Version vom 06.06.2013 - ZIB

2 Matroide und Unabhängigkeitssysteme
(d) Gegeben sei ein vollständiger Digraph Dn = (V, A) mit n Knoten und Bogenlängen
cij für alle (i, j) ∈ A. Eine Tour (gerichteter Hamiltonkreis) ist ein gerichteter Kreis
in Dn, der jeden Knoten enthält. Die Aufgabe, eine Tour mit minimalem Gewicht zu
finden, heißt asymmetrisches Travelling-Salesman-Problem, siehe ADM I, (3.12). Die
Menge T aller Touren ist kein Unabhängigkeitssystem, jedoch eine Antikette, also
Basissystem eines Unabhängigkeitssystems. Das asymmetrische TSP ist somit ein
Optimierungsproblem über einem Basissystem. Wir können es aber auch als Optimierungsproblem
über einem Unabhängigkeitssystem auffassen. Dies geht wie folgt:
Setzen wir
˜T := {I ⊆ A | ∃T ∈ T mit I ⊆ T },
c ′ ij := max{|cij| | (i, j) ∈ A} + 1 − cij,
so ist ˜ T ein Unabhängigkeitssystem, und jede Lösung von max{c ′ (I) | I ∈ ˜ T } ist
eine Tour, die – bezüglich der Gewichte cij – minimales Gewicht hat. (Auf die gleiche
Weise kann man viele andere Optimierungsprobleme über Basissystemen in Optimierungsprobleme
über Unabhängigkeitssystemen überführen.) Ebenso ist das symmetrische
TSP ein Optimierungsproblem über einem Basissystem.
(e) Gegeben sei ein gerichteter Graph D = (V, A). Ein Branching in D ist eine Bogenmenge
B ⊆ A, die keinen Kreis (im ungerichteten Sinne) enthält, und die die
Eigenschaft hat, dass jeder Knoten v ∈ V Endknoten von höchstens einem Bogen
aus B ist. Die Menge aller Branchings ist ein Unabhängigkeitssystem auf A. Das Problem,
in einem vollständigen Digraphen eine minimale aufspannende Arboreszenz zu
finden, ist ein Optimierungsproblem über einem Basissystem, siehe ADM I, (3.11).△
Überlegen Sie sich, welche der übrigen Beispiele aus ADM I, Abschnitt 3.3 als Optimierungsprobleme
über Unabhängigkeits- oder Basissystemen aufgefasst werden können
und welche nicht.
Verschiedene praktische Fragestellungen führen auch zu Optimierungsproblemen über
Zirkuits. Sind die Elemente e ∈ E durch Gewichte ce bewertet, so kann man das Problem
untersuchen, ein Zirkuit C ∈ C zu finden, das minimales Gewicht c(C) hat. Die Aufgabe,
in einem Graphen einen kürzesten Kreis zu bestimmen, ist z. B. von diesem Typ.
Allgemeiner noch ist folgende Frage von Interesse. Wir sagen, dass eine Menge Z ⊆ E
ein Zyklus ist, wenn Z die Vereinigung von paarweise disjunkten Zirkuits ist, d. h. wenn
es Zirkuits C1, . . . , Ck gibt mit Ci ∩ Cj = ∅, 1 ≤ i < j ≤ k, so dass Z = k i=1 Ci.
Sind die Elemente e ∈ E mit Gewichten ce belegt, so sucht man nach einem Zyklus
maximalen Gewichts. Das Chinesische Postbotenproblem (siehe ADM I, (3.12)) und das
Max-Cut-Problem (siehe ADM I, (3.15)) sind z. B. von diesem Typ. Aus Zeitgründen
können wir auf Optimierungsprobleme über Zirkuits bzw. Zyklen nicht eingehen, siehe
hierzu Barahona and Grötschel (1986) und Grötschel and Truemper (1989).
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