Das Wegintegral - Teil 1

Um nun jedoch die Länge eines Weges exakt berechnen zu können, bedarf es
noch einer weiteren Definition und eines Satzes.
Definition 5. Sei γ : [a, b] → Rp ein rektifizierbarer Weg. Sind t1 < t2 ∈
[a, b], dann ist s (t1, t2) die Länge des Weges γ |[t1, t2]. Außerdem ist
0 für t = a
s (t) =
s (a, t) für t ∈ (a, b]
s(t) heißt Weglängenfunktion.
Wegen der vorangegangen Bemerkung ist s (t1, t2) = s (t2) − s (t1).
Satz 6. Die Weglängenfunktion ist
(i) monoton wachsend und
(ii) stetig.
Beweis. (i) Wegen a ≤ t1 < t2 ≤ b und s(t1, t2) ≥ 0 folgt:
s(t1) ≤ s(t1) + s(t1, t2) = s(t1) + s(t2) − s(t1) = s(t2) (9)
(ii) Wegen der Tatsache, dass die Komponentenfunktionen eines rektifizierbaren
Weges nach Satz 3 von beschränkter Variation ist und wegen den
Gleichungen (7) und (8) gilt die Abschätzung:
0 ≤ s (t2) − s (t1) = s (t1, t2) = L (γ | [t1, t2]) (7)und(8)
≤
p
|γj| [t1,t2]
j=1
(10)
Da |γj| [t1,t2] beliebig klein wird, wenn die Differenz zwischen t1 und t2 nur
klein genug wird, folgt dass ein δ > 0 und ein ɛ > 0 existieren, sodass
∀ |t2 − t1| < δ gilt, dass |s(t2) − s(t1)| = s(t2) − s(t1) < ɛ. Hieraus folgt die
Stetigkeit von s (t).
Wir haben nun die nötigen Definitionen und Sätze, um die exakte Berechnung
einer Weglänge herzuleiten. Dazu wird der Weg abgeleitet und anschließend
wieder aufgeleitet. Mit diesem Trick ist es uns möglich, die Weglänge exakt
zu errechnen. Jedoch müssen wir uns hierdurch ab sofort auf stetig differenzierbare
Wege beschränken. Dabei schreiben wir die Ableitung von γ als
˙γ, wobei ˙γ genauso wie γ auch als ein Vektor angesehen werden kann. Aus
Analysis I ist bekannt, dass für t ∈ [a, b]:
γ (t + h) − γ (t)
˙γ (t) = lim
h→0 h
4
(11)