Das Wegintegral - Teil 1

Sei t ∈ [a, b) und h > 0, aber nur maximal so groß, dass t + h ≤ b. Aus
Abbildung 2 folgt:
⇒
|γ (tk) − γ (tk−1)| ≤ s (t + h) − s (t)
γ(t+h)−γ(t)
≤
h
s(t+h)−s(t)
h
h→0
⇒ | ˙γ (t)| ≤ ˙s (t)
NR1
≤ 1
t+h
h t
NR2
≤ | ˙γ (t)|
NR1: Man wendet Gleichung (16) an mit a = t und b = t + h.
NR2: Wegen dem 2. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist
1
h
t+h
| ˙γ (x)| dx = t
1
h |γ (t + h) − γ (t)|
| ˙γ (x)| dx
(17)
⇒ ˙s (t) existiert und ˙s (t) = | ˙γ (t)|
⇒ L (γ) = b
a ˙s (t) dt = b
| ˙γ (t)| dt
a
Die Längenformel ergibt sich durch die Anwendung der euklidischen Norm.
Bemerkung 8. Jeder stückweise stetig differenzierbare Weg ist rektifizierbar
und seine Länge ist die Summe der Längen seiner stetig differenzierbaren
Teilwege.
Nun können wir Weglängen exakt berechnen. Hierzu folgen nun zwei Beispiele:
Beispiel 9.
⎛ ⎞
r · cos (t)
γ (t) = ⎝ r · sin (t) ⎠ , 0 ≤ t ≤ 4π, h > 0
h · t
Dies stellt eine zweifache Schraubenlinie mit Radius r und Höhe h dar.
L (γ) =
=
=
4π
0
4π
| ˙γ (t)| dt
(−r · sin (t)) 2 + (r · cos (t)) 2 + h 2 dt
0
4π √
r2 + h2 dt
0
= 4π · √ r2 + h2 6
(18)