Das Wegintegral - Teil 1

2 Das Wegintegral
Nun, da wir sowohl wissen was ein Weg ist als auch wie man seine Länge
berechnet, können wir uns dem eigentlichen Thema, dem Wegintegral, zuwenden.
Leider kann im Rahmen dieses Vortrags keine Herleitung gegeben
werden, sondern lediglich die ” Formel“.
Definition und Satz(ohne Beweis) 11. Der Weg γ : [a, b] → R p sei stetig
differenzierbar (d.h. er ist rektifizierbar) und f : Γγ → R p eine R p -wertige,
stetige Funktion auf dem zu γ gehörenden Bogen Γγ. Dann bezeichnet
γ
f · dx (20)
das Wegintegral von f längs γ. Im Folgenden ist fj, j = 1, ..., p, eine Komponentenfunktion
von f. Das Wegintegral wird folgendermaßen berechnet:
γ
f · dx =
=
b
a
b
a
f (γ (t)) · ˙γ (t) dt (21)
p
fj (γ (t)) · ˙γj (t) dt (22)
j=1
Die Veranschaulichung eines Wegintegrals ist nicht allzu einfach. Man kann
es sich folgendermaßen vorstellen:
An jedem Punkt zwischen dem Anfangspunkt a und dem Endpunkt b eines
Weges wird das Skalarprodukt (daher der Punkt in der Formel des Wegintegrals)
zwischen f (γ (t0)) und ˙γ (t0) gebildet. Das Ergebnis dieses Skalarprodukts
wird in ein neues Schaubild ” übertragen“. Anschließend hat man
ein neues Schaubild, welches einem Werte für jedes t ∈ [a, b] liefert. Bildet
man nun das Riemannsche Integral über diesem Schaubild, erhält man das
Wegintegral der ” ursprünglichen“ Funktion f längs dem Weg γ.
Bemerkung 12. Es gelten die folgenden Rechenregeln:
(f + g) · dx = f · dx + g · dx (23)
γ
γ
γ
cf · dx = c f · dx (24)
γ
γ
f · dx = f · dx + f · dx (25)
γ1⊕γ2
8
γ1
γ2