Tabelle zur Laplace-Transformation

INSTITUT FÜR MESS- UND REGELUNGSTECHNIK
UNIVERSITÄT KARLSRUHE (TH)
PROF. DR.-ING. C. STILLER
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ENGLER-BUNTE-RING 21
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Tabelle zur Laplace-Transformation
Definition: 1 ∞
F (s) = L{f(t)} = e −st · f(t) dt
1 Operationen
L −1 {F (s)} = 1
2πj
0 −
c+j∞
e ts · F (s) ds =
c−j∞
f(t) für t ≥ 0 −
0 für t < 0
c beliebig innerhalb des Konvergenzbereichs
Nr. Bezeichnung f(t) für t ≥ 0 − F (s)
1 Linearität a · f1(t) ± b · f2(t) . . . a · F1(s) ± b · F2(s) . . .
2 Differentiation der
Originalfunktion
3 Differentiation der
Bildfunktion
4 Differentiation nach
einer 2. Variablen
5 Integration der
Originalfunktion
6 Integration der
Bildfunktion
7 Integration bzgl. einer
2. Variablen
df(t)
dt
= ˙
f(t) s · F (s) − f(0 − )
¨f(t) s 2 · F (s) − s · f(0 − ) − ˙
f(0 − )
f (n) (t) s n ·F (s)−s n−1 ·f(0 − )−s n−2 · ˙
f(0 − )
. . . − s · f (n−2) (0 − ) − f (n−1) (0 − )
(−1) n · t n · f(t)
∂f(t, a)
∂a
t
0 −
f(τ) dτ
f(t)
t
a2
f(t, a) da
a1
d n F (s)
ds n
∂F (s, a)
∂a
F (s)
s
∞
F (ω) dω
s
a2
F (s, a) da
1 Die Integrationsgrenze 0 − deutet an, dass ein Diracstoß bei t = 0 noch im Integrationsbereich liegt.
1
a1

Nr. Bezeichnung f(t) für t ≥ 0 − F (s)
8 Ähnlichkeitssatz f(at)
1
a
s
· F ( ) a > 0
a
9 1. Verschiebungssatz f(t − a) · σ(t − a) e−as · F (s) a > 0
10 2. Verschiebungssatz f(t + a)
eas a
· F (s) − e −st
f(t) dt
11 Dämpfungssatz,
komplexe
Verschiebung
12 Faltungssatz,
Multiplikation von
Bildfunktionen
13 Komplexe Faltung,
Multiplikation von
Originalfunktionen
2 Korrespondenzen
0 −
a > 0
e −at · f(t) F (s + a) a beliebig komplex
t
0 −
f1(τ) · f2(t − τ) dτ F1(s) · F2(s)
f1(t) · f2(t)
Die Größen a, b, c, D und ω0 sind reelle Zahlen.
Nr. f(t) für t ≥ 0 − F (s)
1
2πj
c+j∞
F1(w) · F2(s − w) dw
c−j∞
14 δ(t) 1 (Impuls)
15 σ(t)
16 t
17
t n−1
(n − 1)!
1
s
1
s 2
1
s n
18 e −at 1
s + a
19 sin(at)
20 sinh(at)
a
s 2 + a 2
a
s 2 − a 2
2
(Sprung)
(Rampe)
n = 1, 2, 3, . . .

Nr. f(t) für t ≥ 0 − F (s)
21 cos(at)
22 cosh(at)
s
s 2 + a 2
s
s 2 − a 2
23 1 − e −at a
s · (s + a)
24 t · e −at 1
(s + a) 2
25
26
e −at − e −bt
1
ωe
b − a
· e −Dω0t · sin(ωet)
27 e −at · sin(bt)
28 e −at · cos(bt)
29
30
31
32
33
34
35
(c − a) · e −at − (c − b) · e −bt
b − a
1
a 2 · (at + e−at − 1)
1
a 2 · [1 − (at + 1) · e−at ]
tn−1 1
· e−at
(n − 1)!
1
ab + b · e−at − a · e−bt ab(a − b)
1
ω 2 0
− 1
· e
ω0ωe
−Dω0t · sin(ωet + ϕ)
e−at (b − a) · (c − a) +
e−bt (a − b) · (c − b)
e
+
−ct
(a − c) · (b − c)
1
(s + a) · (s + b)
1
s 2 + 2Dω0s + ω 2 0
b
(s + a) 2 + b 2
s + a
(s + a) 2 + b 2
s + c
(s + a) · (s + b)
1
s 2 · (s + a)
1
s · (s + a) 2
(s + a) n
1
s · (s + a) · (s + b)
1
s · (s 2 + 2Dω0s + ω 2 0)
1
(s + a) · (s + b) · (s + c)
3
b = a
√
ωe = ω0 1 − D2 b = a
n = 1, 2, 3, . . .
b = a
√
ωe = ω0 1 − D2 ϕ = arccos D
a = b = c

3 Spezielle Eigenschaften
Nr. Bezeichnung Eigenschaft
36 Parsevalsche Gleichung
(falls Integrale konvergieren)
∞
f 2 (t) dt = 1
+∞
|F (jω)|
2π
2 dω
37 Grenzwertsätze
(falls Grenzwerte existieren)
0 −
−∞
limt→0 + f(t) = lims→∞ s · F (s)
limt→+∞ f(t) = lims→0 + s · F (s)
4