5. Sachsituationen mathematisieren und interpretieren ... - Mathematik
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Baireuther Sachrechnen WiSe 2003/04<br />
<strong>5.</strong> <strong>Sachsituationen</strong> <strong>mathematisieren</strong> <strong>und</strong> <strong>interpretieren</strong><br />
Sach-<br />
situation<br />
Mathematisieren<br />
Übertragen, Übersetzen<br />
Interpretieren<br />
Mathematisierung von <strong>Sachsituationen</strong><br />
Mathematisches<br />
Modell<br />
Wenn ein mathematisches Modell eine Sachsituation wiedergibt, hat seine<br />
Erk<strong>und</strong>ung einen konkreten "Hintergr<strong>und</strong>". Dadurch entsteht ein reizvoller (<strong>und</strong><br />
wichtiger) Kontrast zwischen Sachstruktur <strong>und</strong> mathematischer Struktur, die<br />
selten exakt aufeinanderpassen:<br />
• Mathematische Modelle vereinfachen die Sachsituation<br />
• Mathematische Modelle geben nur spezielle Aspekte wieder<br />
• Handlungen in mathematischen Modellen (Rechnungen) folgen meist<br />
anderen Regeln als Handlungen in der Sachsituation<br />
Der Kontrast schafft aber auch wichtige Erfahrungen: Erk<strong>und</strong>en des<br />
mathematischen Modells einer Sachsituation<br />
• konkretisiert mathematische Begriffe <strong>und</strong> Handlungen<br />
• veranschaulicht mathematische Begriffe <strong>und</strong> Handlungen<br />
• erleichtert das Sprechen über <strong>Mathematik</strong><br />
• gibt mathematischen Begriffen <strong>und</strong> Handlungen einen Sinnzusammenhang<br />
• regt selbständige mathematische Handlungen an<br />
kurz:<br />
• stärkt die Verantwortlichkeit mathematischen Tuns<br />
Mathematisches Modell:<br />
Strukturierte Darstellung, die die messbaren Eigenschaften der Objekte <strong>und</strong> die<br />
Beziehungen zwischen den Objekten hervorhebt.<br />
Strukturierte Darstellungen sind<br />
a) Konkrete Modelle aus leicht handhabbaren, vergleichbaren Ersatzobjekten:<br />
• Finger, wenn Abzählen wichtig ist<br />
• Plättchen, wenn Anzahlen (auf verschiedene Weisen) übersichtlich<br />
angeordnet werden sollen<br />
• Steckwürfel, wenn Mengen von Objekten ein Maß zugeordnet werden soll<br />
• Spielgeld bei Einkaufssituationen<br />
• Gewichtsstücke<br />
In konkreten Modellen können die <strong>Sachsituationen</strong> simuliert, d.h. auf experimentelle<br />
Weise nachvollzogen werden.
Baireuther Sachrechnen WiSe 2003/04<br />
b) Graphiken: Bildhafte Darstellungen, die Größenordnungen betonen.<br />
• Strichlisten: halten Abzählprozess fest<br />
• Ikonographien (Symbolische Darstellungen, z.B. Strichmännchen)<br />
• Diagramme (Balkendiagr, Kreisdiagr., ...) vergleichen Größenordnungen<br />
• Pläne (Maßstäbliche Zeichnungen)<br />
Graphiken protokollieren einen Abzähl-, Mess- oder Ordnungsprozess <strong>und</strong> machen<br />
ihn so wiederholbar.<br />
c) Modelle für Größenbereiche, in die die Daten einer Sachsituation eingeordnet<br />
werden, vorwiegend<br />
• Skalen<br />
• Das Karoraster<br />
In Größenbereichen werden die Daten einer Sachsituation in den Zusammenhang<br />
mit einer Vielzahl anderer Daten gestellt, die in verwandten <strong>Sachsituationen</strong> wichtig<br />
sein können.<br />
d) Geordnete Datensammlungen<br />
• Tabellen<br />
• Zuordnungsgraphen<br />
Datensammlungen bringen die in einer Sachsituation wichtigen Daten in einen<br />
inhaltlichen Zusammenhang. Sie sind auch (speziell Tabellen) offen für<br />
Erweiterungen <strong>und</strong> Variationen der <strong>Sachsituationen</strong>.<br />
e) Strukturierte Texte. Sie reduzieren die Beschreibung der Sachsituation auf<br />
formale Sprachelemente<br />
• Zwei- <strong>und</strong> Dreisatz<br />
• Frage-Rechnung-Antwort<br />
Strukturierte Texte zeigen, daß die mathematische Struktur der Sachsituation erfasst<br />
ist – sie helfen nicht unbedingt dabei.<br />
f) Rechenschemata betonen die arithmetische Beziehung der Daten<br />
• Simplex/Komplex: Äußerste Reduzierung des Kurztextes, der nur die<br />
arithmetisch zusammengehörigen Daten zusammenfasst:<br />
Einzelpreis Anzahl Gesamtpreis<br />
• Rechenbäume verbinden<br />
die arithmetisch zusammengehörigen<br />
Daten über die<br />
notwendigen Rechenoperationen<br />
• Gleichungen<br />
Ein Rechenschema ist das Ergebnis, kein Hilfsmittel einer Mathematisierung!<br />
Mathematisierung von <strong>Sachsituationen</strong>
Baireuther Sachrechnen WiSe 2003/04<br />
Achtung:<br />
Strukturierte Darstellungen sind nicht aus sich heraus Hilfen bei der mathematischen<br />
Behandlung von <strong>Sachsituationen</strong>! Zuerst ist jede neue Darstellung ein<br />
zusätzlicher Lernstoff, der vom eigentlichen Sachproblem ablenkt. Erst durch<br />
häufige <strong>und</strong> verständige Übung erleichtern Modelle die mathematische Erschließung<br />
der Lebenswelt.<br />
Mathematisieren ist kein mechanischer Vorgang <strong>und</strong> kann deshalb auch nicht<br />
mechanisiert werden! <strong>Sachsituationen</strong> <strong>und</strong> mathematische Modelle passen nicht<br />
umkehrbar eindeutig aufeinander. Mathematisieren ist ein Anpassungsvorgang<br />
unter verschiedenen Fragestellungen:<br />
∗ Welche Aspekte der Sachsituation sind mathematisierbar, welche nicht?<br />
∗ Welche Modellbildung ist der Sachsituation angemessen oder passen zu<br />
verschiedenen Aspekten der Sache verschiedene Modellbildungen?<br />
∗ Wie muß ein Modell an die Sachsituation angepaßt werden?<br />
∗ Was leistet ein Modell in einer Sachsituation? Was kann alles sinnvoll<br />
dargestellt werden?<br />
Mathematisierung von <strong>Sachsituationen</strong>
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