Übungen zu Kap. 3: Lineare Kongruenzen - Mathematik

Baireuther Zahlentheorie WiSe 2004/05
Übungen zu Kap. 3: Lineare Kongruenzen
34. Mod 4: 5x = 12 + 4y oder 5x – 4y = 12
Allgemeine Lösung der dioph. Gleichung: (x / y) = (4t / -3+5t)
Lösung der Kongruenz: x ≡4 0
Mod 5: 5x = 12 + 5y oder 5x – 5y = 12 - keine Lösung (auch bei Kongruenz)
Mod 6 5x = 12 + 6y oder 5x – 6y = 12
Allgemeine Lösung der dioph. Gleichung: (x / y) = (6t / -2+5t)
Lösung der Kongruenz: x ≡6 0
35. a hat den 6-Rest 4 und den 7-Rest 5 ⇔ a ≡ 4 (mod 6) und a ≡ 5 (mod 7) ⇔
a - 4 = 6x und a – 5 = 7y ⇔ a = 4 + 6x und a = 5 + 7y ⇔ ...
a = 40 = 4 + 6⋅6 = 5 + 7⋅5 ist eine Lösung
ebenso wie a = 40 + t⋅42 (für jede ganze Zahl t), denn
40 + t⋅42 = 4 + 6⋅6 + t⋅6⋅7 = 4 + 6⋅(6+t⋅7) und
40 + t⋅42 = 5 + 7⋅5 + t⋅7⋅6 = 5 + 7⋅(5+t⋅6)
36. Zunächst Darstellung am Beispiel (n = 6)
Aus a = 1 + t⋅6 = 1 + s⋅7 folgt t⋅6 = s⋅7, also t : s = 7 : 6
Weil 6 und 7 teilerfremd sind (7/6 kann nicht gekürzt werden!),
folgt daraus t = u⋅7 und s = u⋅6,
also a = 1 + u⋅7⋅6 = 1 + u⋅42
Die Umkehrung ist einfacher: Aus a = 1 + t⋅42 gilt offenbar (wegen 42 = 6⋅7)
auch a = 1 + (t⋅7)⋅6 = 1 + (t⋅6)⋅7
Für je zwei unmittelbar aufeinanderfolgende Zahlen geht die Argumentation völlig
analog!
37. Mit dem Euklidischen Algorithmus bekommt man 1 = 47⋅8 - 3⋅125.
Wenn für die gesuchte Zahl z gilt z = 8x+a = 125y+b oder 8x – 125y = b-a,
folgert man leicht b-a = (b-a) ⋅ (8⋅47 - 3⋅125),
also x = 47⋅(b-a) und y = 3⋅(b-a)
und damit z = 8⋅(47⋅(b-a)) +a = 125⋅(3⋅(b-a)) + b = 376b – 375a = 375(b-a) + b
(selbstverständlich müssen Sie das Ergebnis noch mod 1000 umrechnen – d.h.
im Fall einer positiven Lösung einfach nur die 3 letzten Stellen angeben. Die
Rechnung selbst ist aber i.a. nicht ganz „kopfrechenkompatibel“)
38. Zunächst genügt es, die Kongruenzen mod 3 und mod 4 zu untersuchen; daraus
berechnet man z ≡ 1 mod 12.
Zusammen mit z ≡ 0 mod 5 berechnet man z ≡ 25 mod 60
39. Tabelle der zugeordneten primen Restklassen:
Prime
Restklassen
Prime Restklassen mod 9
1 2 4 5 7 8
1 1 65 49 41 25 17
3 19 11 67 59 43 35
5 37 29 13 5 61 53
mod 8 7 55 47 31 23 7 71

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40. n Prime Restklassen mod n n Prime Restklassen mod n
2 1 12 1, 5, 7, 11
3 1, 2 13 1, ... , 12 (alle)
4 1, 3 14 1, 3, 5, 9, 11, 13
5 1, 2, 3, 4 15 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14
6 1, 5 16 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15
7 1, 2, 3, 4, 5, 6 17 1, ... , 16 (alle)
8 1, 3, 5, 7 18 1, 5, 7, 11, 13, 17
9 1, 2, 4, 5, 7, 8 19 1, ... , 18 (alle)
10 1, 3, 7, 9 20 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19
11 1, ... , 10 (alle) 21 1,2,4,5,8,10,11,13,16,17,19,20
41. s. Vorlesung!
42. 29 ist die größte Primzahl < 31, also ist ϕ(29) = 28 maximal. Minimal ist sicher
ϕ(1) = ϕ(2) = 1, denn zu jeder Zahl n > 2 gibt es immer mindestens zwei
teilerfremde Reste: 1 und n-1!
43. a ist genau dann teilerfremd ist zu n, wenn (n-a) teilerfremd zu n ist. Das zeigt
man indirekt. Denn wenn es ein d > 1 gibt mit d|a und d|n, dann gilt auch d|(n-a)
(Das ist bekannt oder leicht zu zeigen). Die primen Restklassen treten also immer
paarweise auf.
44. Wenn a und b teilerfremd sind, ordnen Sie die Zahlen 1, ..., a ⋅b in a Reihen mit b
Spalten an und kreuzen alle Vertreter einer primen Restklasse mod b an, so in
jeder der a Reihen eine Zahl angekreuzt. Entspricht die Reihe einer primen
Restklasse mod a, dann ist die angekreuzte Zahl auch teilerfremd zu a ⋅b.
Insgesamt konstruieren Sie so alle zu a⋅b teilerfremden Reste (ein exakter Beweis
dafür steht allerdings noch aus; die Formel wird nur durch ein Beispiel bestätigt).
45. ϕ(100) = ϕ(2²) ⋅ ϕ(5²) = 1⋅2 ⋅ 4⋅5 = 40
ϕ(1000) = ϕ(2³) ⋅ ϕ(5³) = 1⋅2² ⋅ 4⋅5² = 400
ϕ(1000) = ϕ(2³) ⋅ ϕ(5³) = 1⋅2² ⋅ 4⋅5² = 400
ϕ(10 n ) = ϕ(2 n ) ⋅ ϕ(5 n ) = 1⋅2 n-1 ⋅ 4⋅5 n-1 = 4⋅ 10 n-1
46. 20 = 4⋅5 = (5-1)⋅5 – also ist 20 = ϕ(5²)
42 = 6⋅7 = (7-1)⋅7 – also ist 42 = ϕ(7²)
100 = 4⋅5² = (5-1)⋅5² – also ist 100 = ϕ(5³)
110 = 10⋅11 = (11-1)⋅11 – also ist 110 = ϕ(11²)
47. Für jede Zahl ist die Teilermenge zu bestimmen und anschließend sind die
jeweils bekannten Werte einzusetzen.
Bsp.: ϕ(18) = 18 - ϕ(1) – ϕ(2) – ϕ(3) – ϕ(6) – ϕ(9) = 8

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48. Produktformel:
60 = 2² ⋅ 3 ⋅ 5, also ϕ(60) = ϕ(2²) ⋅ ϕ(3) ⋅ ϕ(5) = (1⋅2) ⋅ 2 ⋅ 4 = 16
120 = 2 3 ⋅ 3 ⋅ 5, also ϕ(120) = ϕ(2³) ⋅ ϕ(3) ⋅ ϕ(5) = (1⋅2²) ⋅ 2 ⋅ 4 = 32
240 = 2 4 ⋅ 3 ⋅ 5, also ϕ(120) = ϕ(2 4 ) ⋅ ϕ(3) ⋅ ϕ(5) = (1⋅2³) ⋅ 2 ⋅ 4 = 64
Rekursionsformel: Die Werte für die Teiler von 60 sind weitgehend bekannt, also:
ϕ(60) = 60 - ϕ(1) - ϕ(2) - ϕ(3) - ϕ(4) - ϕ(5) - ϕ(6) - ϕ(10) - ϕ(12) - ϕ(15) - ϕ(20) - ϕ(30)
= 60 – 1 – 1 – 2 – 2 – 4 – 2 – 4 – 4 – 8 – 8 – 8 = 16
ϕ(120) = 120 – (ϕ(1) - ... - ϕ(60)) = 60 + ϕ(60) - ϕ(8) - ϕ(24) - ϕ(40) - ϕ(60) =
= 60 - ϕ(8) - ϕ(24) – (40 - ϕ(1) - ϕ(2) - ϕ(4) - ϕ(5) - ϕ(8) - ϕ(10) - ϕ(20) =
= 60 - ϕ(8) - ϕ(24) – (40 - ϕ(1) - ϕ(2) - ϕ(4) - ϕ(5) - ϕ(8) - ϕ(10) - ϕ(20)) = 32
ϕ(240) = 240 – (ϕ(1) - ... - ϕ(120)) = 120 + ϕ(120) - ϕ(16) - ϕ(48) - ϕ(80) - ϕ(120) =
= 120 - ϕ(16) - ϕ(48) - ϕ(80) = ... = 64
Offenkundig ist die Produktformel technisch einfacher – mit zunehmender Anzahl der
Teiler wird die Rekursionsformel immer aufwendiger (allerdings ist ein entsprechendes
Programm wesentlich eleganter zu formulieren)
49. Für die zu untersuchende Zahl n (z.B. n = 24) sind zu bestimmen:
• Alle Teiler t und alle Komplementärteiler k (t⋅k = 24)
• Zu jedem t sämtliche teilerfremden Reste r (Achtung: r = 0 nur bei t = 1!)
• Zu jedem Rest r jeweils r⋅k
Insgesamt erhalten Sie so alle Zahlen a mit 0 ≤ a ≤ 23 jeweils genau einmal.
Umgekehrt berechnen Sie zu jedem a mit 0 ≤ a ≤ 23
• g := ggT(a,24)
• a’ := a : g
• b’ = 24 : g ist sicher ein Teiler von 24.
Ganz sicher sind a’ und b’ teilerfremd; a’ ist deshalb ein teilerfremder Rest mod b’