3. Simultane Kongruenzen - Mathematik

Baireuther Zahlentheorie - Zusammenfassung SoSe 2006
3. Simultane Kongruenzen
3.1. Der Chinesische Restsatz
Bez.: Eine simultane Kongruenz beschreibt Restgleichheit bezüglich verschiedener Moduln
z ≡ a (mod m)
und z ≡ b (mod n) ⇔ z ∈ a m ⇔
und z ∈b n
z ∈ a m ∩ b n
Bsp.: z ≡ 5 (mod 8) ⇔ z ∈ 5 8 = { ... , 5, 13, 21, 29, 37, ... }
z ≡ 6 (mod 10) ⇔ z ∈ 6 10 = { ... , 6, 16, 26, 36, 46, ... }
z ≡ 7 (mod 10) ⇔ z ∈ 7 10 = { ... , 7, 17, 27, 37, 47, ... }
z ≡ 6 (mod 11) ⇔ z ∈ 6 11 = { ... , 6, 17, 28, 39, 50, ... }
5 8 ∩ 6 10 = { }
5 8 ∩ 7 10 = { ... , 37, 77, 117, 157, 197, ... } = 37 40
5 8 ∩ 6 11 = { ... , 61, 149, 237, 325, 413, ... } = 61 88
6 10 ∩ 6 11 = { ... , 6, 116, 226, 336, 446, ... } = 6 110
Einfache Folgerungen aus den Erkenntnissen über diophantische Gleichungen:
Satz 1: Eine lineare Kongruenz z ≡ a (mod m) und z ≡ b (mod n) ist genau dann lösbar,
wenn ggT(m,n) | (a-b)
Wenn eine lineare Kongruenz z ≡ a (mod m) und z ≡ b (mod n) lösbar ist, dann ist
die Lösungsmenge eine Restklasse modulo (m⋅n / ggT(m,n))
Eine direkte Folgerung (Spezialisierung!) daraus ist der sog.
Chinesische Restsatz:
Satz 2: Für zwei teilerfremde Moduln m und n ist jede lineare Kongruenz
z ≡ a (mod m) und z ≡ b (mod n)
lösbar. Die Lösungsmenge ist eine Restklasse modulo m⋅n
Der Chinesische Restsatz kann auch verallgemeinert werden:
Satz 3: Für paarweise teilerfremde Moduln m1, m2, ..., mk ist jede lineare Kongruenz
z ≡ a1 (mod m1), z ≡ a2 (mod m2), ... , z ≡ ak (mod mk)
lösbar. Die Lösungsmenge ist eine Restklasse modulo (m1 ⋅ m2 ⋅⋅⋅ mk)
Bsp.: Für m = 8 und n = 11 bestimmt man r = 33 und s = 56
Also ist z.B. 5 8 ∩ 6 11 = 33⋅ 5+ 56⋅ 688
= 501 88 (= 61 88 - s. Bsp. oben!)
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3.2. Die Eulersche φ-Funktion
Def.: Die Eulersche f-Funktion ordnet jeder natürlichen Zahl n die Anzahl der primen
Restklassen mod n zu: f (n) := ord (Pn)
Wertetabelle: n 2 3 4 5 6 7 8
f(n) 1 2 2 4 2 6 4
Satz: Für jede Primzahl p gilt f(p) = p – 1
Für jede Primzahlpotenz p k gilt: f(p k ) = (p – 1) ⋅ p k-1
Als Folgerung aus dem Chinesischen Restsatz bekommt man die Produktformel für die
Euler’sche f-Funktion
Satz: Für teilerfremde Zahlen m und n gilt die Produktformel
f(m ⋅ n) = f(m) ⋅ f(n)
allgemein:
Für paarweise teilerfremde Zahlen m1, m2, ..., mk gilt die Produktformel
f( m1 ⋅ m2 ⋅⋅⋅ mk) = f(m1) ⋅ f( m2) ⋅⋅⋅ f( mk)
Begründung mit den Erkenntnissen aus Kap. 2:
z ≡ a (mod m) und z ≡ b (mod n) ⇔
z = a + mx und z = b + ny ⇔
mx – ny = b – a ist eine lösbare diophantische Gleichung ⇔
g := ggT(m,n) | (a-b)
Wenn (x0 ; y0) eine Lösung der dioph. Gleichung mx – ny = b – a ist,
dann ist die allgemeine Lösung (x0 + x0 + t⋅n/g ; y0 + t⋅m/g) 1
also z = a + m ⋅ (x0 + t⋅n/g) = a + m⋅x0 + t⋅(m⋅n/g)
oder z ∈ a+ m⋅ x0
(mn/g)
Offenkundig ist die Aussage für teilerfremde Moduln und damit der Chinesische Restsatz
eine einfache Spezialisierung auf den Fall ggT(m,n) = 1
Auf die Begründung für den verallgemeinerten Chinesischen Restsatz wird hier verzichtet.
Für teilerfremde Moduln m und n bestimmt man (durch Umformung der simultanen
Kongruenz in eine diophantische Gleichung und deren Lösung mit Hilfe des Euklidischen
Algorithmus) direkt – als Lösungsmenge – eine Restklasse modulo m⋅n.
D.h.: Für teilerfremde Moduln m und n gehört
zu jedem Paar von Restklassen ( a m , b n ) eindeutig eine Restklasse zmn ⋅ (= a m ∩ b n )
Umgekehrt gibt es
zu jeder Restklasse zmn ⋅ ebenso eindeutig ein Paar ( a m , b n ) mit z ∈a m und z ∈b n
Behauptung: Diese umkehrbare Zuordnung gilt analog auch für prime Restklassen, d.h.
1 Achtung: geänderte Vorzeichen wg. Vorzeichen in der diophantischen Gleichung!
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Zu jedem Paar von primen Restklassen ( a m , b n ) gehört eindeutig eine prime
Restklasse zmn ⋅ - und umgekehrt (das ist die Grundlage für die Produktformel)
Begründung: Aus der Definition von primen Restklassen folgt
ggT(a,m) = 1 und z = a + r⋅m ⇒ ggT(z,m) = 1. Das ist leicht zu zeigen, analog
ggT(b,n) = 1 und z = b + r⋅n ⇒ ggT(z,n) = 1.
Jeder (von 1 verschiedene) gemeinsamen Teiler t von z und von m ⋅n hat (mindestens
einen) Primteiler p, der auch Primteiler von m oder von n (oder von beiden) sein muss 2 .
Wegen der Voraussetzungen kann es einen solchen gemeinsamen Teiler nicht geben
– es ist also auch ggT(z,m⋅n) = 1
Umgekehrt zeigt man ähnlich:
wenn ggT(z,m⋅n) = 1, dann ist auch ggT(z,m) = 1 und ggT(z,n) = 1
Anmerkung: Für die Zuordnung ( a m , b n ) zmn ⋅ gibt es auch eine Formel: z = ra + sb
Die „Formel-Koeffizienten“ r und s berechnet man (für jedes Paar von teilerfremden
Moduln m und n) aus den linearen Kongruenzen
r ≡ 1 (mod m) und r ≡ 0 (mod n) sowie s ≡ 0 (mod m) und s ≡ 1 (mod n)
(Grund: Modulo m gilt z= a und z= r⋅ a+ s⋅ b,
also a = r⋅ a+ s⋅ b (für alle a und b). Das
geht nur für r = 1 und s = 0.
Analog schließt man modulo n!
Die Primfaktorzerlegung einer Zahl ist ein Produkt aus teilerfremden Faktoren.
Satz: Wenn eine Zahl n die Primfaktorzerlegung n =
1 1
1
f(n) = n ⋅ ( 1−
) ⋅ ( 1−
) ⋅ ... ⋅ ( 1−
)
p p
p
1
2
t
- 5 -
1 k 2 p1 ⋅ k
2
k
t
t
p ⋅ ... ⋅ p besitzt, so ist
Bsp.: n = 60 = 2 2 ⋅ 3 1 ⋅ 5 1 1 1 1
also f(60) = 60 ⋅ ( 1−
) ⋅ ( 1−
) ⋅ ( 1−
) = 16
2 3 5
n = 1 f(1) = 1 ist der einzig sinnvolle Schluss aus der Formel
(weil der Faktor n = 1 mit keinem anderen Faktor
multipliziert wird).
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Mit der folgenden Rekursionsformel können nacheinander schnell viele Werte für die
f−Funktion berechnet werden:
Satz: Wenn t1, t2, ... tk alle Teiler von n sind (darunter die Teiler 1 und n = t k), dann gilt
n = f(t1) + f(t2) + ... + f(tk-1) + f(n).
Daraus folgt die
Formel: f(n) = n - f(t1) - f(t2) - ... - f(tk-1) (ti | n)
Bsp.: f(60) = 60 - f(1) - f(2) - f(3) - f(4) - f(5) - f(6) - f(10) - f(12) - f(15) - f(20) - f(30)
= 60 – 1 – 1 – 2 – 2 – 4 – 2 – 4 – 4 – 8 – 8 – 8 = 16
f(61) = 61 - f(1) = 61 – 1 = 60
f(62) = 62 - f(1) - f(2) - f(31) = 62 – 1 – 1 – 30 = 30
2 Wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung – s. Kap. 7