Schwingungen

Schwingungen
1. An einer „masselosen“ Feder schwingt ein Gesichtsstück der Masse 75 g mit einer Kreisfrequenz von
2,5 s –1 . Seine maximale Höhe über einer Tischplatte beträgt 35 cm, seine minimale Höhe 19 cm. Eine
Uhr beginnt gerade zu laufen, als die Masse ihren höchsten Punkt erreicht hat.
a) Welche Energie besitzt das Pendel? [ 2,94 mJ ]
b) Gib die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit an. [ v(t) = − 0,28 m
s sin (3,5 s-1 t) ]
c) Wann beträgt die Höhe erstmals 3,0 cm über der späteren Ruhelage? [ 0,34 s (0,33897) ]
d) Wie groß wäre die Schwingungsdauer, wenn man die Masse in der Mitte der obigen Feder befesti-
gen würde und nicht wie üblich an ihrem Ende? (Mit Begründung)
[Um die ganze Feder um z.B. 2,0 cm zu dehnen, ist eine bestimmte Kraft erforderlich; diese Kraft
dehnt aber die halbe Feder nur um 1,0 cm – die Federhärte der halben Feder ist also doppelt so
groß wie die der ganzen Feder. Da aber die angehängte Masse gleich bleibt, ist also
T' = 2π
m 1
= T ≈ 1,3 s (1,26).]
2 D 2
2. Eine Kugel der Masse 500 g hängt an einer Feder mit der Federkonstanten 100 N
m . Zunächst wird die
Feder samt der angehängten Kugel um 2,00 cm nach unter gezogen und dann losgelassen. Mit wel-
cher Geschwindigkeit passiert die Kugel danach die Ruhelage?
3. Eine Kugel der Masse 2,0 kg hängt an einer Feder. Wird sie in vertikaler Richtung um 3,0 cm ausge-
lenkt, so schwingt sie harmonisch, wobei sie zu 20 Vollschwingungen 5,0 s benötigt. Ferner passiert
sie die Ruhelage zum Zeitpunkt t = 0 in positiver Richtung.
a) Wann ist die nach oben gerichtete Kraft auf die Kugel am größten (mit Begründung) – und wie groß
ist diese Kraft dann?
b) Um welche Länge hat sich die Feder gedehnt, als die Kugel vor Beginn der Schwingung an ihr
Ende gehängt wurde?
4. An einer Schraubenfeder hängt ein Körper der Masse 120 g; gegenüber dieser Masse ist die Masse
der Feder (wie üblich) zu vernachlässigen.
a) Wie groß ist die zu erwartende Schwingungsdauer des Systems bei einer harmonischen Schwin-
gung, wenn sich in einem Zusatzversuch folgendes zeigt: Eine weitere Masse von 45 g dehnt die
Feder zusätzlich um 8,5 cm.
b) Welche Gesamtenergie steckt in dem schwingungsfähigen System einschließlich bzw. ausschließ-
lich der zusätzlichen Masse von 45 g in Abhängigkeit von der Anfangsamplitude?

5. Galileisches Hemmungspendel
Ein kugelförmiger Körper der Masse m wird an einem Faden der
Länge a aufgehängt, bei gespanntem Faden auf die Höhe h2
ausgelenkt und anschließend losgelassen. Dieses schwingende
System heißt Fadenpendel. Die Zeichnung zeigt einige der
ersten Schwingungszustände. Allerdings schlägt der Faden in
der Höhe h 1 an ein Hindernis.
a) Beschreibe, wie sich der Körper weiter bewegt, und
berechne, wie hoch er schwingt.
b) Berechne die Schwingungsdauer des Pendels für a = 64 cm und h 2 = 36 cm.
c) Würde das Fadenpendel auf dem Mond langsamer, schneller oder genauso schnell wie auf der
Erde schwingen?
6. An einer Schraubenfeder hängt ein Körper der Masse 400 g. Durch einen Stoß in vertikaler Richtung
wird die Feder in nahezu ungedämpfte Schwingungen versetzt. Die Amplitude beträgt dabei 5,0 cm,
und die maximale Geschwindigkeit ist 20 cm
s
. Zur Zeit t = 0 soll der schwingende Körper seine maxi-
male Elongation erreicht haben.
a) Gib die Elongation als Funktion der Zeit an.
b) Wie lange dauert eine Schwingung?
c) Zu welcher Zeit ist der Körper zum ersten Mal um 2,5 cm ausgelenkt?
d) Die Feder ist in einem Punkt P aufgehängt. Mit welcher Kraft wirkt die Feder auf P, wenn sich der
schwingende Körper im unteren bzw. im oberen Umkehrpunkt befindet?
e) Tatsächlich ist die Schwingung des Körpers natürlich gedämpft. Wie könnte eine verbesserte
„Schwingungsgleichung“ aussehen, die die Bewegung des realen Körpers genauer beschreibt?
7. Eine horizontale Platte P mit sehr kleiner Masse ist ähnlich wie bei einem Trampolin durch eine Anzahl
von Federn mit einem starren Rahmen verbunden. Im Ruhezustand befindet sich die Platte in der
Höhe h über dem Fußboden. Aus der Höhe H = 1,5 h über dem Fußboden wird nun L, ein Klumpen
Lehm mit der Masse m, auf die Platte fallengelassen. Der Lehm bleibt auf P liegen, ohne wieder nach
oben zu federn, das System P-L gerät dadurch allerdings in nahezu harmonische Schwingungen; und
erst nach sehr langer Zeit kommt P in der Höhe h' = 0,8 h über dem Fußboden zur Ruhe.
a) Wie groß ist die Federkonstante des Gesamtsystems? [ D =
5 m g
h ]
b) Untersuche, ob die Schwingungsdauer T von der Masse m abhängt. [ T = 2π
c) Mit welcher Anfangsamplitude schwingt das System, und erreicht L noch einmal die Höhe H ?
2E ges 2mg(
H − h'
) h
2
[ A = =
= 0,
4 ⋅ 0,
7h
= 0,
53 h und ymax = h' + A = 1,33 h < H]
D
5mg
a
5 h
g ]
h 1
h 2
0

8. Ein Körper führt gleichzeitig in der x- und in der y-Richtung gleichfrequente Schwingungen der Ampli-
tuden A x = 4,0 cm bzw. A y = 3,0 cm aus. Stelle die zeitabhängigen Bewegungsgleichungen der beiden
Bahnen auf und zeichne die Bahn, die der Körper durchläuft, mit Hilfe einer geeigneten Wertetabelle.
9. An einer waagrechten Stange sind zwei je 3,6 m lange Seile befestigt, die an ihrem unteren Ende ein
Sitzbrett tragen. Auf diese Weise entsteht eine Kinderschaukel - Erwachsene dürfen normalerweise
nur sehr vorsichtig darauf schaukeln, weil die Seile die entsprechende Belastung nicht aushalten wür-
den. - Berechne, welche Zugkraft die Seile aushalten müssen, wenn eine 40 kg schwere Person bis
zur Waagrechten schaukelt, wenn sich die Gesamtkraft auf beide Seile gleichmäßig verteilt und wenn
die Entfernung Drehpunkt-Schwerpunkt ungefähr gleich der Seillänge ist.
10. Ein Fliehkraftregler hat den Zweck, die Drehzahl einer Achse auf 14 Umdrehungen
pro Sekunde einzustellen. Dazu sind zwei Kugeln je von der Masse 50 g an zwei
näherungsweise masselosen Stäben, den so genannten Reglerarmen, der
Länge d = 23 cm befestigt. Berechne den Winkel zwischen Drehachse
und Reglerarm bei der angegebenen Drehzahl.
α
d