Mathematisches Pendel + Doppelpendel - I. Physikalisches Institut B

Kapitel 1
Mechanik
1.1 Bestimmung der Erdbeschleunigung mit dem Pendel
Aufgaben
In diesem Experiment werden die Schwingungen eines physikalischen Pendels untersucht.
Aus den Messungen der Schwingungsdauer des Pendels wird die Erdbeschleunigung ermittelt.
Vorkenntnisse/Grundlagen :
Schwerpunktssatz, Beschreibung von Schwingungen, Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung,
Drehmoment, Trägheitsmoment, Satz von Steiner, Direktionsmoment, einfache lineare
Differentialgleichungen.
Literatur :
• Paul A.Tipler : Physik
Spektrum Lehrbuch, ISBN 3-86025-122-8, S.379 - S.399
• W.Walcher : Praktikum der Physik
Teubner Studienbücher Physik, ISBN 3-519-13038-6, S.83 - S.89
• F.Kohlrausch : Praktische Physik 1
ISBN 3-519-23001-1 S.62 - S.64 (Orts-und Zeitabhängigkeit der Erdbeschleunigung)
• F.Kohlrausch : Praktische Physik 3
ISBN 3-519-23000-3 S.293 - S.295 (Tabellenwerte der Erdbeschleunigung)
13

14 Kapitel 1. Mechanik
1.1.1 Das mathematische Pendel
Das einfache mathematische Pendel besteht aus einer punktförmigen, schweren Masse mS,
die an einem masselosen Faden der Länge l aufgehängt ist (Abb.1.1). In der Ruhelage bewirkt
Abbildung 1.1: Das mathematische Pendel
die Schwerkraft Fg = mS · g mit g als Erdbeschleunigung, dass das Pendel senkrecht hängt.
Nach Auslenkung aus der Ruhelage um einen kleinen Winkel ϕmax (klein bedeutet hier
sin ϕmax ≈ ϕmax) entsteht ein rückstellendes Drehmoment l · Fr, das das Pendel wegen seines
Trägheitsmomentes in harmonische Schwingungen versetzt. Die Bewegungsgleichung lautet
J · ¨ϕ = −mS · g · l · sin(ϕ) ≈ −mS · g · l · ϕ (1.1)
wobei J = mT · l 2 das Trägheitsmoment der trägen Masse mT in der Entfernung l vom
Aufhängepunkt ist und die rechte Seite das rücktreibende Drehmoment darstellt; ϕ ist der
momentane Auslenkwinkel und ¨ϕ = d 2 ϕ/dt 2 die momentane Winkelbeschleunigung. Mit
mT = mS (Einstein’sches Äquivalenzprinzip der Gleichheit von schwerer und träger Masse)
wird die Bewegung unabhängig von den Massen :
¨ϕ = − g
l · ϕ = −ω2 · ϕ (1.2)

1.1. Bestimmung der Erdbeschleunigung mit dem Pendel 15
Dies ist eine lineare, homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung deren allgemeine Lösung
eine harmonische Schwingung darstellt :
ϕ(t) = A · cos(ωt) + B · sin(ωt) (1.3)
ω = g
l ist die Kreisfrequenz der Schwingung. Die Anfangsbedingungen legen die Integrationskonstanten
A und B fest. Mit ϕ(t = 0) = ϕmax und ˙ϕ(t = 0) = 0 (Start der
Pendelbewegung vom Auslenkwinkel ϕmax ohne Anfangswinkelgeschwindigkeit) ergibt sich
Die Schwingungsdauer beträgt
bzw.
ϕ(t) = ϕmax · cos(ωt) (1.4)
T = 2π
ω
= 2π ·
l
g
(1.5)
T 2 = 4π 2 · 1
· l (1.6)
g
Das Quadrat der Schwingungsdauer wächst linear mit der Pendellänge l.
1.1.2 Das physikalische Pendel
Die Bewegungsgleichung für ein physikalisches Pendel, d.h. eines ausgedehnten, massebehafteten
Systems, das um einen Aufhängepunkt bzw. um eine Achse schwingen kann, ist formal
mit der des mathematischen Pendels identisch :
J · ¨ϕ = −m · g · ls · ϕ (1.7)
Das rücktreibende Drehmoment wird wieder von der Schwerkraft erzeugt. Nach dem Schwerpunktssatz
verhält sich das System so, als ob die Gesamtmasse m im Schwerpunkt konzentriert
ist. Demgemäss ist ls die Distanz von Aufhängepunkt bzw. Drehachse zum Schwerpunkt
S. Die Trägheit ist gegeben durch das Gesamtträgheitsmoment J um die Drehachse. Man
erhält als Lösung wieder eine harmonische Schwingung mit der Kreisfrequenz:
ω 2 =
m · g · ls
J
Mit ω 2 = ( 2π
T )2 wird die Schwingungsdauer T dann
T 2 = 1
g · 4π2 · J
mls
1.1.3 Bestimmung der Erdbeschleunigung
(1.8)
(1.9)
Das vorliegende physikalische Pendel besteht aus dem Winkelaufnehmer-Profil, der Pendelstange
und dem zylindrischen Pendelkörper (Abb. 1.2). Um die Erdbeschleunigung g aus der
Pendelfrequenz zu bestimmen, müsste man also das gesamte Trägheitsmoment, Masse und

16 Kapitel 1. Mechanik
Abbildung 1.2: Pendel im Versuchsaufbau
Schwerpunkt des Pendels kennen. Im Prinzip kann man die Trägheitsmomente der einzelnen
Bestandteile um die Pendelaufhängung bestimmen, und zum Gesamtträgheitsmoment
zusammenaddieren. Den Schwerpunkt erhält man aus den Schwerpunkten der einzelnen Bestandteile,
die man mit den Einzelmassen gewichtet mittelt:
Sges =
mi · Si
mi
(1.10)
wobei Si die Schwerpunkte der Einzelteile, und mi ihre Massen sind. Dabei würde man
die Bestandteile durch einfache geometrische Objekte annähern, deren Träg-heitsmomente
und Schwerpunkte sich mit vernünftigem Aufwand berechnen lassen (Pendelkörper durch
homogenen Zylinder, Stange durch homogene Stange, Winkelaufnehmer durch Hohlzylinder).
Eine einfachere Möglichkeit g zu bestimmen besteht darin, den systematischen Fehler, der
durch das Trägheitsmoment JSt und das Rückstellmoment DSt der Stange (mit Winkelaufnehmer)
auftritt, zu minimieren. Man geht dabei so vor, dass zunächst die Schwingungsfrequenz
der Stange allein bestimmt wird. Danach wird der Pendelkörper an der Stelle angebracht,
an der die Kombination Stange/Pendel dieselbe Schwingungsfrequenz hat, wie die
Stange allein. In diesem Fall beeinflussen sich Pendelkörper und Stange nicht. Für die Stange

1.1. Bestimmung der Erdbeschleunigung mit dem Pendel 17
allein gilt:
Für den Pendelkörper allein gilt:
ω 2 st = Dst
Jst
ω 2 p = Dp
Das physikalische Pendel, bestehend aus Stange und Pendelkörper hat die Eigenfrequenz:
ω 2 = Dst + Dp
Jst + Jp
= ω 2 p ·
Jp
1 + Dst
Dp
1 + Jst
Jp
= ω 2 st ·
1 + Dp
Dst
1 + Jp
Jst
(1.11)
(1.12)
(1.13)
Hat man nun das Pendel so eingestellt, dass ω = ωst gilt, so sieht man aus Gl.1.13, dass
dann auch gelten muss: Jp
. Umgeformt ergibt sich:
Jst
= Dp
Dst
Dp
Jp
= Dst
Jst
≡ ω 2 st = ω 2 = ω 2 p
(1.14)
Das heißt, daß man das Pendel nun so behandeln kann, als bestünde es bloss aus dem
Pendelkörper, der masselos aufgehängt ist. Die Ausdehnung des Pendelkörpers wird dabei
nicht vernachlässigt. Man benutzt also das Trägheitsmoment eines homogenen Zylinders mit
Radius rp, der im Abstand lp um den Aufhängepunkt schwingt. Dieses ergibt sich mit Hilfe
des Satzes von Steiner zu:
Jp = 1
(1.15)
2 mpr 2 p + mpl 2 p
Für das Quadrat der Kreisfrequenz erhält man dann:
ω 2 = Dp
Daraus ergibt sich die Erdbeschleunigung g
Jp
= mp · g · lp
1
2 mpr 2 p + mpl 2 p
g = ω 2 lp(1 + 1
2
r2 p
l2 p
(1.16)
) (1.17)
In der Klammer beschreibt die 1 das mathematische Pendel, während der zweite Term die
Korrektur ist, die die Ausdehnung des Pendelkörpers berücksichtigt.
1.1.3.1 Bestimmung der Frequenzen
Kreisfrequenz ω, Frequenz f und Periodendauer T hängen über
ω = 2πf = 2π
(1.18)
T
zusammen. Um aus der aufgezeichneten Schwingung die Periodendauer zu ermitteln, zählt
man eine bestimmte Anzahl n voller Perioden aus, und teilt das entsprchende Zeitintervall
durch n: T = t2−t1.
Um eine möglichst genaue Zeitablesung zu erreichen, verwendet man die
n
Nulldurchgänge des Pendels. Wenn ∆t die Genauigkeit ist, mit der man einen Nulldurchgang
bestimmen kann, dann wird der Fehler ∆T auf die Periodendauer: ∆T = 2 · ∆t.
Man sollte
n
also möglichst viele Perioden auszählen, um ein genaues Ergebnis zu erhalten.

18 Kapitel 1. Mechanik
1.1.3.2 Fehlerrechnung
In die Bestimmung von g gehen die Periodendauer T , die Pendellänge lp und der Radius des
Pendelkörpers rp ein. Im Folgenden wird abgeschätzt, wie sich die Messfehler dieser Grössen
im Ergebnis von g niederschlagen.
• Der Fehler auf lp ist durch das Messverfahren mit dem Massband bestimmt und lässt
sich nur schwer unter 1mm bringen, was bei einem lp von ca. 0.69 m zu einem relativen
Fehler von 1-2 Promille führt.
• Der Fehler von rp wird durch einen Faktor r2 p
l 2 p
= ca.1/300 unterdrückt und fällt daher
kaum ins Gewicht. Selbst wenn rp lediglich auf 10% genau bestimmt wird, schlägt sich
dieser Fehler nur noch im sub-Promilleberich auf g nieder.
• Die Frequenz sollte sinnvollerweise mit einer Genauigkeit bestimmt werden, die deutlich
besser ist als die von lp, so dass auch dieser Fehler vernachlässigbar klein wird. Um einen
relativen Fehler von 0.2 Promille in g zu erhalten muss T auf 0.1 Promille bestimmt
werden, da es quadratisch in g eingeht. Wenn man einen Nulldurchgang auf 10ms genau
bestimmen kann, dann wird das gesamte Zeitintervall auf 20 ms genau gemessen. Man
muss also 200 s lang messen um eine relative Genauigkeit von 0.1 Promille zu erreichen,
was bei einer Frequenz von 0.6 Hz 120 vollen Perioden entspricht.
1.1.3.3 Fehler durch Vernachlässsigung der Stange
Wie vorher gezeigt wurde, kann man das Pendel als masselos aufgehängten Zylinder beschreiben
und die Stange samt Aufhängung vernachlässigen. Dies gilt allerdings nur, wenn ωSt genau
gleich ωP wird. Tatsächlich, erreicht man aber nie eine genaue Übereinstimmung dieser
beiden Kreisfrequenzen, sondern beobachtet eine kleine Abweichung. Man kann abschätzen,
wie diese Abweichung sich auf den ermittelten Wert der Erdbeschleunigung auswirkt. Wenn
ω2 DSt
St = JSt und ω2 = DSt+DP
JSt+JP = ω2 St +ɛ dann gilt ω2 DP
P = JP = ω2 +ɛ· JSt Da das Verhältnis der
Jp
Trägheitsmomente von Stange und Pendelkörper ca. 0.1 ist, geht die relative Abweichung
der Frequenzen mit dem Faktor 0.2 in die Bestimmung von g ein, da g ∼ ω2 . Um unter
einem Promille Abweichung zu bleiben, müssen die beiden Frequenzen also besser als 0.5%
übereinstimmen.
Im Prinzip kann man aus der Abweichung der Frequenzen einen Korrektur-Faktor für g
betimmen, und das Ergebnis damit korrigieren.
1.1.4 Versuchsaufbau und Durchführung
Das Pendel besteht aus einer Masse, die verschiebbar an einer Stange angebracht ist. Die Aufhängung
des Pendels ist ein U-Profil mit zwei Spitzen und zwei Permanentmagneten (Abb.
1.4). Die Spitzen bilden das Lager und werden in die Nut des Winkelaufnehmers gesetzt.
Der Winkelaufnehmer enthält eine Hall-Sonde, die das Magnetfeld senkrecht zur Nut misst.
Dreht sich nun die Aufhängung mit den Permanentmagneten um den Winkelaufnehmer, so
liefert die Hallsonde eine Spannung die proportional zum Sinus des Winkels ist. Für kleine
Winkel ist diese Spannung näherungsweise proportional zum Winkel selbst.

1.1. Bestimmung der Erdbeschleunigung mit dem Pendel 19
Mit Hilfe von Stativstangen, Tischklemmen und Verbindungsmuffen wird ein Gestell konstruiert,
das den Winkelaufnehmer hält (Abb. 1.3). Der Aufbau sollte so stabil sein, daß bei
der Pendelbewegung die Aufhängung nicht mitschwingt.
Der Winkelaufnehmer kann direkt an das CASSY-Modul über zwei Leitungspaare angeschlossen
werden (Abb. 1.5). Das eine dient zur Spannungsversorgung und ist besonders
gekennzeichnet, das zweite liefert die gemessene Hallspannung. Durch Regeln der Versorgungsspannung
kann die Nulllage eingestellt werden.
Bei der Datenaufnahme wird zunächst die Spannung aufgenommen, die die Schwingung
des Pendels wiedergibt. Anschliessend wird die Periodendauer aus den Nulldurchgängen des
Pendels bestimmt. Zunächst lässt man die Stange samt Aufnehmer alleine schwingen und
bestimmt die Periodendauer (Messdauer mindestens 120 Perioden). Dann bringt man den
Pendelkörper an und verschiebt ihn solange, bis man wieder dieselbe Periodendauer wie
bei der Stange allein erhält. Dann erfolgt eine Messung mit einer Messdauer von mindestens
120 vollen Schwingungen, aus der die Periodendauer für das gesamte Pendel bestimmt
wird. Um die Erdbeschleunigung g zu bestimmen müssen ausserdem der Abstand von dem
Aufhängepunkt des Pendels zum Mittelpunkt des Pendelkörpers, und der Radius des Pendelkörpers
gemessen werden.
Geben Sie bei der Fehlerrechnung die Grösse der Einzelbeiträge an, die zu dem Gesamtfehler
führen und diskutieren Sie diese. Überlegen Sie sich, welche weiteren systematischen Fehler
bei diesem Versuch auftauchen können, und versuchen Sie, wenn möglich, eine Grössenordnung
für sie anzugeben.

20 Kapitel 1. Mechanik
Abbildung 1.3: Versuchsaufbau

1.1. Bestimmung der Erdbeschleunigung mit dem Pendel 21
Abbildung 1.4: Aufhängung des Pendels
Abbildung 1.5: Anschluss des Winkelaufnehmers

22 Kapitel 1. Mechanik
1.2 Schwingungen von gekoppelten Pendeln
Aufgaben
In diesem Experiment werden die Schwingungen von zwei Pendeln untersucht, die durch eine
Feder miteinander gekoppelt sind. Für verschiedene Kopplungsstärken werden die Schwingungsdauern
der beiden Grundschwingungen sowie der Schwebung des Systems gemessen
und die Schwebungsdauer mit der Erwartung verglichen.
Vorkenntnisse/Grundlagen :
Federverhalten (Hooke’sches Gesetz),Beschreibung von Schwingungen, Winkelgeschwindigkeit,
Winkelbeschleunigung, Drehmoment, Trägheitsmoment, Direktionsmoment, einfache
lineare Differentialgleichungen.
Literatur :
• Paul A.Tipler : Physik
Spektrum Lehrbuch, ISBN 3-86025-122-8, S.379 - S.399
• W.Walcher : Praktikum der Physik
Teubner Studienbücher Physik, ISBN 3-519-13038-6, S.89 - S.98
Abbildung 1.6: Gekoppelte Pendel

1.2. Schwingungen von gekoppelten Pendeln 23
1.2.1 Die Bewegungsgleichung für das gekoppelte Pendel
Die Anordnung ist schematisch dargestellt in Abb. 1.6. Die Kopplungsfeder ist befestigt
in der Entfernung lF von den Drehachsen. Die (identischen) physikalischen Pendel P 1 und
P 2 werden so montiert, dass die Feder bei Ruhestellung der Pendel gespannt ist. Dadurch
hängen die Pendel in der Ruhestellung (im Gleichgewicht) nicht in der vertikalen V , sondern
um den Winkel ϕ◦ nach innen. Das durch die Feder erzeugte Drehmoment ist
MF,◦ = −DF · x◦ · lF
(1.19)
wobei DF die Federkonstante und x◦ ihre Verlängerung gegenüber dem entspannten Zustand
ist. In der Ruhestellung ist MF,◦ entgegengesetzt gleich dem durch die Schwerkraft erzeugten
Drehmoment
MS,◦ = m · g · ls · ϕ◦
(1.20)
wobei ls die Entfernung des Schwerpunktes jedes der beiden Pendel von seiner Drehachse und
m die Gesamtmasse jedes Pendels bedeuten. Wird P 2 um ϕ2 aus der Nullage ausgelenkt, so
wirkt insgesamt das Drehmoment
oder
M2 = −m · g · ls · (ϕ2 − ϕ◦) − DF · (x◦ + lF ϕ2) · lF
M2 = − · g · ls · ϕ2 − DF · l 2 F · ϕ2
(1.21)
(1.22)
Wird ausserdem P 1 um −ϕ1 verschoben, so kommt durch die Feder das Drehmoment DF l 2 F ϕ1
hinzu, so dass sich insgesamt ergibt
Analog wird für P 1
M2 = −m · g · ls · ϕ2 − DF · l 2 F · (ϕ2 − ϕ1) (1.23)
M1 = −m · g · ls · ϕ1 + DF · l 2 F · (ϕ2 − ϕ1) (1.24)
Die Bewegungsgleichungen beider Pendel lauten somit
bzw. mit den Abkürzungen
J · ¨ϕ1 = M1 = −m · g · ls · ϕ1 + DF · l 2 F · (ϕ2 − ϕ1) (1.25)
J · ¨ϕ2 = M2 = −m · g · ls · ϕ2 − DF · l 2 F · (ϕ2 − ϕ1) (1.26)
ω 2 s = mgls
J
Ω 2 = DF l 2 F
J
(1.27)
(1.28)
¨ϕ1 = −ω 2 s · ϕ1 + Ω 2 · (ϕ2 − ϕ1) (1.29)
¨ϕ2 = −ω 2 s · ϕ2 − Ω 2 · (ϕ2 − ϕ1) (1.30)
Dies ist ein System gekoppelter linearer Differentialgleichungen. Die Lösung wird mit Hilfe
der Substitutionen α = ϕ2 + ϕ1, β = ϕ2 − ϕ1 erreicht : Summe und Differenz der beiden
Gleichungen (24 ) und (25 ) führen auf die einfachen Differentialgleichungen
¨α = −ω 2 s · α (1.31)

24 Kapitel 1. Mechanik
mit den Lösungen
¨β = −(ω 2 s + 2Ω 2 ) · β = −ω 2 sf · β (1.32)
α(t) = ϕ2(t) + ϕ1(t) = A · sin(ωst) + B · cos(ωsft) (1.33)
β(t) = ϕ2(t) − ϕ1(t) = C · sin(ωst) + D · cos(ωsft) (1.34)
Die Konstanten werden durch die Anfangsbedingungen festgelegt. Liegen beim Start der
Bewegung keine Anfangswinkelgeschwindigkeiten vor, d.h. ϕ2(t ˙ = 0) = 0 und ϕ1(t ˙ = 0) = 0,
so wird A = C = 0 und aus der Summe der Gleichungen (32) und (33) wird
2ϕ2(t) = B · cos(ωst) + D · cos(ωsft) (1.35)
2ϕ1(t) = B · cos(ωst) − D · cos(ωsft) (1.36)
Werden die Pendel aus den Positionen ϕ1(t = 0) = ϕmax und ϕ2(t = 0) = ϕmax gestartet, so
wird D = 0 und B = 2ϕmax und die Pendel schwingen gleichsinnig gemäss
ϕ2(t) = ϕmax · cos(ωst) (1.37)
ϕ1(t) = ϕmax · cos(ωst) (1.38)
mit der Kreisfrequenz ωs, d.h. der Kreisfrequenz jedes Pendels ohne Kopplung.
Werden die Pendel aus den entgegengesetzten Positionen ϕ1(t = 0) = −ϕmax, ϕ2(t = 0) =
+ϕmax gestartet, so wird B = 0 und D = 2ϕmax und die Pendel schwingen gegensinnig :
mit der Kreisfrequenz ωsf :
ϕ2(t) = ϕmax · cos(ωsft) (1.39)
ϕ1(t) = −ϕmax · cos(ωsft) (1.40)
ω 2 sf = ω 2 s + 2Ω 2
(1.41)
Wird die Schwingung mit Pendel P 1 mit ϕ1(t = 0) = ϕmax und Pendel P 2 in Ruheposition,
ϕ2(t = 0) = 0 gestartet, so wird B = D = ϕmax und
ϕ2(t) = 1
2 ϕmax · cos(ωst) + 1
2 ϕmax · cos(ωsft) (1.42)
ϕ1(t) = 1
2 ϕmax · cos(ωst) − 1
2 ϕmax · cos(ωsft) (1.43)
Jedes Pendel schwingt mit einer Überlagerung von zwei verschiedenen Frequenzen. Mit Hilfe
eines Additionstheorems für trigonometrische Funktionen lassen sich die Gleichungen um-
schreiben in
ϕ1(t) = ϕmax · cos( ωsf − ωs
2
ϕ2(t) = ϕmax · sin( ωsf − ωs
2
t) · cos( ωsf + ωs
t) (1.44)
2
t) · sin( ωsf + ωs
t) (1.45)
2

1.2. Schwingungen von gekoppelten Pendeln 25
Mit den Abkürzungen
wird daraus
ωk = ωsf + ωs
2
ωsch = ωsf − ωs
2
(1.46)
(1.47)
ϕ1(t) = ϕmax · cos(ωscht) · cos(ωkt) (1.48)
ϕ2(t) = ϕmax · sin(ωscht) · sin(ωkt) (1.49)
Die Bewegung jedes der beiden Pendel besteht also aus der Überlagerung zweier Schwingungen
mit den Kreisfrequenzen ωsch und ωk. Sie kann als Schwingung der höheren Frequenz ωk
angesehen werden, die mit der niedrigeren Frequenz ωsch moduliert ist. Diese Erscheinung
wird Schwebung genannt.
1.2.2 Messgrössen
Der Messung zugänglich sind die Schwingungsdauern :
Tk = 2π
Ts = 2π
ωs
Tsf = 2π
ωk
Tsch = 2π
ωsch
=
=
ωsf
4π
ωsf + ωs
4π
ωsf − ωs
(1.50)
(1.51)
(1.52)
(1.53)
Durch Einsetzen von ωs und ωsf ergeben sich folgende Beziehungen zwischen den Schwingungsdauern
:
Tk = 2 · TsTsf
Ts + Tsf
Tsch = 2 · TsTsf
Ts − Tsf
Als Kopplungsgrad κ des Pendelsystems wird das Verhältnis
κ =
definiert. Mit ω 2 sf = ω2 s + 2Ω 2 folgt
κ =
Ω2
ω2 =
s + Ω2 DF l 2 F
mgls + DF l 2 F
1
2 (ω2 sf − ω2 s)
1
2 (ω2 sf + ω2 s) = T 2 s − T 2 sf
T 2 s + T 2 sf
(1.54)
(1.55)
(1.56)
(1.57)
Der Kopplungsgrad ist umso kleiner (die Kopplung also umso schwächer), je näher die Befes-
als Funktion von
tigungspunkte der Feder an den Drehachsen der Pendel liegen. Trägt man 1
κ

26 Kapitel 1. Mechanik
Abbildung 1.7: Aufbau des gekoppelten Pendels
1
l2 auf so ergibt sich eine Gerade, aus deren Steigung die Federkonstante ermittelt werden
F
kann :
1 mlsg
= 1 + (1.58)
κ
DF
· 1
l 2 F
1.2.3 Versuchsaufbau und Durchführung
Der Versuchsaufbau ist ähnlich wie beim einfachen Pendel (Kap. 1.1.4). Es werden nun zwei
Pendel im Abstand von ca. 50 cm an dem Gestell befestigt und über ein Federpaar gekoppelt
(Abb. 1.7). Die Federn können in verschiedenen Höhen an den Pendelstangen befestigt
werden, wodurch unterschiedliche Kopplungskonstanten erzielt werden. Da die Federn nicht
gestaucht werden können, müssen die Pendel so weit auseinander sein, dass die Federn in
der Ruhelage schon gespannt sind. Es muß darauf geachtet werden, daß die Pendelauschläge
so klein bleiben, daß die Federn nie völlig entspannt sind.
Beide Winkelaufnehmer können gleichzeitig mit einem CASSY-Modul ausgelesen werden und
haben einen unabhängigen Nullabgleich. Um eine günstige Darstellung auf dem Bildschirm
zu erzielen, kann die Nulllage eines Pendels entweder durch die Versorgungsspannung des

1.2. Schwingungen von gekoppelten Pendeln 27
Winkelaufnehmers oder durch Einstellung eines Offsets in der CASSY-Software verschoben
werden.
Es werden die Pendelausschläge aufgenommen und die Fouriertransformierten bestimmt. Im
allgemeinen Fall erhält man eine Schwebung, die eine Überlagerung aus zwei Schwingungen
mit dicht benachbarten Frequenzen ist. Im Fourierspektrum erkennt man deshalb zwei
Spitzen, die mit wachsender Kopplungsstärke zusammenrücken. Lässt man die Pendel gleichsinnig
(in Phase) schwingen, so taucht nur die kleinere der beiden Frequenzen auf. Schwingen
die Pendel gegensinnig, so erhält man im Spektrum nur die Spitze der höheren Frequenz.
Um den Fehler der Frequenzmessung zu erhalten wird eine Messung mehrmals durchgeführt
und die mittlere quadratische Abweichung zum Mittelwert bestimmt.
Aus den gemessenen Frequenzen wird der Kopplungsgrad κ bestimmt (Gl.1.57). Außerdem
werden die Abstände lF zwischen dem Aufhängepunkt des Pendels und der Befestigung der
Feder gemessen. Trägt man 1
1 gegen κ l2 auf, so erhält man eine Gerade, aus deren Steigung
F
man die Federkonstante ermitteln kann (Gl. 1.58).

28 Kapitel 1. Mechanik
1.3 Trägheitsmomente
Abbildung 1.8: Versuchsaufbau für die Messung von Trägheitsmomenten.
Physikalische Grundlagen
Definition des Trägheitsmomentes, Satz von Steiner, Direktionsmoment, Schwingungen
1.3.1 Einführung
Bei einem beliebigen starren Körper, dessen Massenelemente ∆mi den Abstand ri zur Drehachse
haben, ist das Trägheitsmoment
J =
(1.59)
i
∆mi · r 2 i
Für eine punktförmige Masse m auf einer Kreisbahn mit dem Radius r gilt:
J = m · r 2

1.3. Trägheitsmomente 29
Das Trägheitsmoment wird aus der Schwingungsdauer
einer Drillachse bestimmt,
J
T = 2π
(1.60)
D
auf die der Probekörper gesteckt wird und die
über eine Schneckenfeder elastisch mit dem
Stativ verbunden ist (siehe Abb. 1.8). Das
System wird zu harmonischen Schwingungen
angeregt. Aus der Schwingungsdauer T errechnet
man bei bekanntem Direktionsmoment
D das Trägheitsmoment des Probekörpers gemäß
2 T
J = D
(1.61)
2π
Die Messwerte werden mit den theoretischen
Vorhersagen für einen Körper der Masse m,
dessen Massenelemente ∆mi um eine feste
Achse im Abstand ri rotieren, verglichen:
J =
∆mir 2
i = r 2 dm (1.62)
i
Der Schwingungsvorgang wird mit Hilfe eines
Winkelaufnehmers (siehe Abb. 1.9) in elektrische
Signale umgewandelt. Der Aufnehmer
liefert für kleine Auslenkungen eine winkelproportionale
Spannung. Er besteht aus einem
vernickelten Messingrohr (10 mm Durchmesser)
mit angeschraubtem Kleingehäuse für
die elektrischen Bauteile. In dem Messingrohr
befindet sich eine Nut an deren Ende
in einem Langloch eine magnetfeldempfindliche
Sonde (Hall-Sonde) eingeklebt ist. Die
Sonde ist so orientiert, dass sie auf die zur
Nut senkrecht stehende Komponente des Magnetfeldes
anspricht. Die zwei felderzeugenden
Permanentmagnete sind so auf die Innenseiten
einer U-förmigen Gabel geklebt, dass
sich Nord- und Südpol gegenüberliegen. Im
Ruhezustand verschwindet daher die vertikale
Feldkomponente; die Ausgangsspannung des
Winkelaufnehmers ist somit 0. Wird nun die
Drillachse um den Winkel α aus der horizontalen
Richtung ausgelenkt, tritt eine Feldkomponente
in vertikaler Richtung auf.
Abbildung 1.9: Drillachse mit Winkelaufnehmer.

30 Kapitel 1. Mechanik
Die exakte Abhängigkeit wird durch die Gleichung
B⊥ = B · sin α
beschrieben. Im Falle kleiner Winkel kann sin α durch α approximiert werden, so dass die
Ausgangsspannung proportional dem Auslenkwinkel α wird. Die Abweichung von diesem
linearen Verhalten liegt bis zu einem Winkel von α = ±14 Grad (entsprechend sin α = 0, 24)
unter 1%.
Die Versorgungsspannung wird über das entsprechend gekennzeichnete Leitungspaar zugeführt
und soll im Bereich 12-16 V liegen. Es ist auf die Polarität gemäß den Farben der
Anschlussstecker (rot-positiv, blau-negativ) zu achten. Bei Fehlbeschaltung tritt keine Ausgangsspannung
auf. Die von dem Winkelaufnehmer gelieferten Spannungssignale werden mit
Hilfe des computerunterstützten Messwerterfassungssystems CASSY aufgezeichnet. Mit Hilfe
einer Fourieranalyse lässt sich aus dem aufgezeichneten Schwingungsvorgang mit großer
Genauigkeit die Frequenz und damit die Schwingungsdauer bestimmen.
Im ersten Teil des Versuches wird das Trägheitsmoment eines ”Massenpunktes” in Abhängigkeit
vom Abstand r zur Drehachse bestimmt. Dazu wird ein Stab mit zwei gleichen Massenstücken
in Querrichtung auf die Drillachse gesteckt. Die Schwerpunkte der beiden Massenstücke
haben den gleichen Abstand r zur Drehachse, so dass das System ohne Unwucht schwingt.
Im zweiten Teil des Versuches werden die Trägheitsmomente eines Hohlzylinders, eines Vollzylinders
und einer Vollkugel miteinander verglichen. Dazu stehen zwei Vollzylinder mit
gleicher Masse jedoch unterschiedlichen Radien zur Verfügung. Weiterhin ein Hohlzylinder,
der in Masse und Radius mit einem Vollzylinder übereinstimmt, und eine Vollkugel, deren
Trägheitsmoment mit einem der Vollzylinder übereinstimmt.
Im dritten Teil des Versuchs wird der Steinersche Satz am Beispiel einer flachen Kreisscheibe
experimentell verifiziert. Dazu werden die Trägheitsmomente Ja einer Kreisscheibe
für verschiedene Abstände a der Drehachse zum Schwerpunkt gemessen und mit dem
Trägheitsmoment J0 um die Schwerpunksachse verglichen. Es soll der Steinersche Satz
bestätigt werden.
1.3.2 Versuchsbeschreibung
Ja = J0 + m · a 2
(1.63)
Die Versuchskörper zur Drillachse sind so ausgewählt, dass sich folgende Fragestellungen
untersuchen lassen:
• Messung des Zusammenhangs J = f(r 2 ) für einen ”Massenpunkt”, der im Abstand r
um eine feste Achse rotiert.
• Vergleich der Trägheitsmomente von Zylindern mit nahezu gleicher Masse, aber verschiedener
Massenverteilung.

1.3. Trägheitsmomente 31
• Bestimmung der Trägheitsmomente von Zylindern und Kugeln aus gleichem Material,
deren Massen und Radien so abgestimmt sind, dass sich gleiche Trägheitsmomente
ergeben.
• Bestätigung des Steinerschen Satzes.
1.3.3 Versuchsaufbau
Zum Versuchsaufbau gehören
1. Drillachse mit zweifach kugelgelagerter Welle, durch eine Schneckenfeder an eine Gabel
angekoppelt.
Richtmoment der Feder: ca. 0,025 N m
Höhe der Drillachse: ca. 0,2 m
Gewicht der Drillachse: ca. 0,39 kg
2. Stab mit Kupplungsstück zum Aufstecken auf die Drillachse; je 5 Kerben in 0, 05 m
Abständen zu beiden Seiten der ebenfalls gekerbten Stabmitte.
Länge des Stabes: ca. 0,6 m
Masse des Stabes: ca. 0,13 kg
3. Zwei Massen (als Modell von Massenpunkten), längs des Stabes (2) verschiebbar, mit
Kugelrasten, die in die Kerben des Stabes greifen, so dass die Massen in definierten
Abständen von der Stabmitte gehalten werden.
Masse jedes Massenstückes: ca. 0,24 kg
4. Vollzylinder aus Holz (Holzscheibe), Durchmesser ca. 225 mm, mit Buchse zum Aufstecken
auf die Drillachse.
Durchmesser: ca. 0,225 m
Höhe: ca. 0,015 m
Masse: ca. 0,35 kg

32 Kapitel 1. Mechanik
5. Vollzylinder aus Holz, Durchmesser ca. 90 mm.
Durchmesser: ca. 0,09 m
Höhe: ca. 0,09 m
Masse: ca. 0,35 kg
6. Hohlzylinder aus Metall, Durchmesser ca. 90 mm.
Durchmesser: ca. 0,09 m
Höhe: ca. 0,09 m
Masse: ca. 0,35 kg
7. Aufnahmeteller aus Metall für die Zylinder (5) und (6) mit Buchse zum Aufstecken
auf die Drillachse und mit Schraube zum fixieren der Zylinder.
Durchmesser: ca. 0,1 m
Masse: ca. 0,12 kg
Durchmesser und Höhe der Zylinder (5) und (6) stimmen überein (nachmessen !), die
Massen der 3 Zylinder (4), (5) und (6) sind näherungsweise gleich (nachmessen !).
8. Kugel aus Holz, Durchmesser ca. 145 mm, mit Buchse zum Aufstecken auf die Drillachse.
Die Trägheitsmomente der Kugel und des Zylinders (4) sind etwa gleich.
Durchmesser: ca. 0,145 m
Masse: ca. 0,99 kg

1.3. Trägheitsmomente 33
9. Kreisscheibe mit Halterung zum Aufstecken auf die Drillachse mit 9 Löchern zum
Aufspannen der Scheibe auf der Halterung in der Scheibenmitte, sowie im Abstand von
0, 02; 0, 04; . . . 0, 14; 0, 16 m von der Scheibenmitte.
Durchmesser: ca. 0,4 m
Masse: ca. 0,74 kg
1.3.4 Hinweise zum Experimentieren
Schrauben (10) welche die federnden Kugelrasten der Massen (3) gen den Stab (2) drücken,
nicht betätigen. Die Schrauben sind so eingestellt, dass man einerseits die Massen entsprechend
den Versuchsbedingungen längs des Stabes verschieben kann, und dass die Massen
anderseits gegen die Zentrifugalkraft auf dem Stab gehalten werden.
Die Anordnung stets so aus der Gleichgewichtslage auslenken, dass die Feder zusammengedrückt
und nicht aufgebogen wird. Die maximale Auslenkung wird druch die Halterungen
für die Magnete auf ca. 60 Grad beschränkt.
Die Schwingungsdauern sollten zweckmäßigerweise durch Mittelwertbildung aus mehreren
Messungen für z.B. 5 Schwingungen bestimmt werden. Aus der Varianz der Messwerte ergibt
sich auch der Fehler für die Schwingungsdauern.
Zusätzlich gibt es Fehler durch die Art und Weise wie mit der CASSY-Software der Schwerpunkt
im Frequenzspektrum bestimmt wird. Um diesen Fehler abzuschätzen, sollte zumindestens
eine Messung mit MAPLE ausgewertet werden, d.h. die mit CASSY aufgzeichneten
Spannungswerte werden in MAPLE eingelesen, die Fouriertransformation mit der Prozedur
”fourier” aus der MAPLE-Bibliothek ”app maple” durchgeführt und mit der Prozedur
”peak” der Schwerpunkt der Verteilung bestimmt. Durch Variation des Messbereichs für die
Fouriertransformation, durch Variation des Fensters in dem der Schwerpunkt bestimmt wird
und durch Vergleich mit dem Ergebnis aus der CASSY Software kann der systematische
Fehler in der Frequenzbestimmung abgeschätzt werden.
Ein Beispiel einer solchen Messung mit dem Messwerterfassungssystem CASSY ist in Abb.
1.10 gezeigt. Aus der Fouriertransformation (siehe Abb. 1.11) ergibt sich in diesem Beispiel
eine Schwingungsdauer von 4.88 s. Die gleiche Messung wurde 5 mal wiederholt um die
statistischen Schwankungen zu ermitteln. Es ergaben sich die Messwerte: 4,88s, 4,87s, 4,87s,
4,88s, 4,87s. Für den Mittelwert also: T = (4, 874 ± 0, 002) s.

34 Kapitel 1. Mechanik
Abbildung 1.10: Messreihe eines Schwingungsvorgangs mit der Drillachse.
Abbildung 1.11: Fouriertranformation der in Abb. 1.10 gezeigten Messreihe. Mit dem ”Peakfinder”
aus der CASSY Software ergibt sich eine Schwingungsdauer von 4,87 s.

1.3. Trägheitsmomente 35
Das Trägheitsmoment der Drillachse liegt in der Grössenordung von 10 −5 kgm 2 . Es ist in
der Auswertung nicht berücksichtigt, so dass die experimentell ermittelten Trägheitsmomente
stets etwas größer als die theoretisch erwarteten Werte sind.
1.3.5 Bestätigung von J = f(r 2 ) und Bestimmung des Direktionsmomentes
D
Zunächst wir das Gewicht der Massen mW 1, mW 2 und das Gewicht des Stabes mStab mit
einer Waage gemessen und die Länge des Stabes lStab mit einem Massband bestimmt.
Dann wird der Stab ohne Massen auf die Drillachse gesteckt und die Schwingungsdauer gemessen.
Anschliessend werden die Massen (mW 1, mW 2) symmetrisch im Abstand r = 0, 05;
0,10; 0,15; 0,20; 0,25 m von der Stabmitte angeordnet und ebenfalls die Schwingungsdauern
gemessen.
Beispiel einer solchen Messreihe:
Das Trägheitsmoment für den Stab alleine ist
r m 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25
T s 2,52 2,71 3,76 4,86 6,08 7,40
JStab = 1
12 · mStab · l 2 Stab
und für die ”Massenpunkte” im Abstand r von der Drillachse:
JMassen = (mW 1 + mW 2) · r 2 = mW · r 2
Es sollte also folgender funktionaler Zusammenhang gelten:
T 2 = 4π 2 JMassen + JStab
D
= 4π2
D mW · r 2 + 4π2
· JStab
D
Die Messung mit dem Stab alleine entspricht also dem Messwert für r = 0.
Der linearer Zusammenhang zwischen dem Quadrat der Schwingsdauern (T 2 ) und dem Quadrat
des Abstandes (r 2 ) (siehe Abb. 1.12) erlaubt es, mit Hilfe einer linearen Regression,
T 2 = m · r 2 + a
= 737, 34 s2
m 2 · r2 + 6, 36 s 2

36 Kapitel 1. Mechanik
Abbildung 1.12: Grafische Darstellung der Messwerte T 2 (r 2 ) zusammen mit der Ausgleichsgeraden.
aus der Steigung der Geraden m das Direktionsmoment D zu bestimmen:
D = 4π2
· mW
m
=
4π2 · 0, 48 N m
737, 34
= 0, 0257 N m
Mit bekanntem Direktionsmoment D kann anschliessend aus dem Achsenabschnitt a das
Trägheitsmoment des Stabes experimentell bestimmt werden
J exp.
Stab
und mit der theoretischen Vorhersage
verglichen werden.
aD
=
4π2 = 6, 36 · 0, 0257
4π2 = 0, 414 · 10 −2 kg m 2
J theo.
Stab = 1
12 · mStab · l 2 Stab
= 1
12 · 0, 132 · 0, 62 kg m 2
= 0, 396 · 10 −2 kgm 2
1.3.6 Vergleich der Trägheitsmomente von Zylindern gleicher Masse
mit verschiedener Massenverteilung
Dünner Vollzylinder aus Holz
Die Masse des Vollzylinders aus Holz (Holzscheibe - HS) mHS wird durch wiegen und sein

1.3. Trägheitsmomente 37
Durchmesser dHS mit dem Massband bestimmt. Dann wird die Holzscheibe auf der Drillachse
befestigt und die Schwingungsdauer gemessen.
Beispiel:
THS = 1, 82 s
J exp
HS
= 1
4π 2 · D · T 2 HS
= 1
4π 2 · 0, 0257 · 1, 822 Nms 2
= 2, 16 · 10 −3 kg m 2
Der theoretisch zu erwartende Wert ergibt sich zu:
J theo
HS = 1
2 mHS
2 dHS
2
= 2, 05 · 10 −3 kg m 2
Vollzylinder (VZ) und Hohlzylinder (HZ)
Beide Zylinder werden auf einen Aufnahmeteller (T) gesetzt, so dass sich die Trägheitsmomente
JV Z und JHZ nicht unmittelbar experimentell, sondern durch Differenzbildung ermitteln lassen:
Aufnahmeteller:
Aufnahmeteller + Vollzylinder:
JV Z = JV Z+T − JT
JHZ = JHZ+T − JT
T = 0, 564 s
J exp
T = 1
4π 2 · D · T 2 T
= 1
4π 2 · 0, 0257 · 0, 5642 Nms 2
= 0, 207 · 10 −3 kg m 2
T = 0, 92 s
JV Z+T = 1
4π 2 · D · T 2 V Z+T
= 1
4π 2 · 0, 0257 · 0, 922 Nms 2
= 0, 552 · 10 −3 kg m 2

38 Kapitel 1. Mechanik
Damit ergibt sich für das Trägheitsmoment des Vollzylinders
J exp
V Z = JV Z+T − JT = 0, 345 · 10 −3 kg m 2
im Vergleich zu dem theoretisch zu erwartenden Wert von
Aufnahmeteller + Hohlzylinder:
J theo
V Z = 1
2 mV Z
dV Z
2
2
= 0, 337 · 10 −3 kg m 2
T = 1, 18 s
JV Z+T = 1
4π 2 · D · T 2 V Z+T
= 1
4π 2 · 0, 0257 · 1, 182 Nms 2
= 0, 907 · 10 −3 kg m 2
Damit ergibt sich für das Trägheitsmoment des Hohlzylinders
J exp
HZ = JHZ+T − JT = 0, 700 · 10 −3 kg m 2
im Vergleich zu dem theoretisch zu erwartenden Wert von
J theo
HZ = mHZ
1.3.7 Trägheitsmoment der Kugel
J exp
K
T = 1, 82 s
dHZ
2
2
= 0, 652 · 10 −3 kg m 2
= 1
4π 2 · D · T 2 V Z+T
= 1
4π 2 · 0, 0257 · 1, 822 Nms 2
= 2, 16 · 10 −3 kg m 2
Um das experimentelle Ergebnis mit der theoretischen Vorhersage
J theo
K
= 2
5 mKR 2 K
vergleichen zu können, benötigen wir den Radius der Kugel RK. Dieser lässt sich mit dem
Massband nur sehr ungenau abschätzen. Wesentlich genauer ist es, die Dichte der Kugel ρK
zu verwenden, um über die Beziehung
mK = VK · ρK = 4
3 πR3 KρK

1.3. Trägheitsmomente 39
den Radius zu bestimmen. Mit ρK = (0, 63 ± 0, 02) · 10 3 kg/m 3 erhalten wir:
und damit
RK =
mK
4
3πρK 1
3
= 0, 0716 m
J theo
K = 2
5 mKR 2 K
= 2
5 · 0, 99 kg · 0, 07162 m 2
= 2, 03 · 10 −3 kg m 2
Der Vergleich mit der Messung für die Holzscheibe zeigt, dass die Trägheitsmomente übereinstimmen.
Bestimmt man Massen und Radien der Versuchskörper, so lässt sich experimentell bestätigen,
dass Kugel und Holzscheibe das gleiche Trägheitsmoment haben wenn gilt:
mHS · R 2 HS = 4
5 mK · R 2 K
1.3.8 Bestätigung des Steinerschen Satzes
In diesem Versuchsteil soll die Abhängigkeit des Trägheitsmomentes J vom Abstand a zwischen
Rotations- und Schwerpunktachse untersucht werden. Der Steinersche Satz
Ja = J0 + m · a 2
soll bestätigt werden. J0 ist hierbei das Trägheitsmoment bei Rotation um die Schwerpunktsachse.
Die Kreisscheibe wird zunächst um ihre Schwerpunktsachse rotieren gelassen (a = 0). Zur
besseren Genauigkeit und um die Schwankung der Messwerte abzuschätzen wird die Messung
mehrfach wiederholt und die Schwingungsdauer durch Mittelwertbildung bestimmt.
In gleicher Weise wird die Schwingungsdauer T als Funktion des Abstandes a = 0, 02; 0, 04;
. . . 0, 16 m zwischen Rotations- und Schwerpunktsachse bestimmt.
Wichtig:
Nach jeder Änderung von a den Stativfuss mit Hilfe der Dosenlibelle wieder so ausrichten,
dass die Kreisscheibe in der Horizontalen rotiert.

40 Kapitel 1. Mechanik
Ergebnis:
a[m] T[s] J [kg m2 −2 ] 10
J−J0
a2 0,00 4,782 1,490
[kg]
0,02 4,800 1,501
0,04 4,961 1,604
0,06 5,230 1,782
0,08 5,532 1,994 0,75
0,10 5,884 2,256
0,12 6,313 2,597
0,14 6,710 2,951
0,16 7,220 3,400
Für das Trägheitsmoment J eines Körpers der Masse m, dessen Rotationsachse um a von
der Schwerpunktsachse entfernt ist, gilt:
Ja = J0 + const. · a 2
Die Auswertung des Diagramms J = f(a 2 ) liefert für den konstanten Proportionalitätsfaktor
in befriedigender Übereinstimmung mit der Masse der Kreisscheibe von 0, 75 kg. Damit
bestätigt der Versuch den Steinerschen Satz:
Ja = J0 + m · a 2