U - I. Physikalisches Institut B

Grundpraktikum Physik 

Teil I 

RWTH Aachen 

I. Physikalisches Institut B 

Dr. Th. Kirn, Dr. A. Ostaptchouk, Prof. Dr. F. Raupach, 

Prof. Dr. St. Schael, Dr. G. Schwering 

http://accms04.physik.rwth-aachen.de/∼praktapp 

Version vom 10.07.2012 

1

Inhaltsverzeichnis 

0 Einleitung 7 

0.1 Arbeitsablauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 

0.2 Benutzung der Notebooks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 

0.3 Versuchsvorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 

0.4 Bewertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 

0.5 Zeitlicher Ablauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 

1 Mechanik 13 

1.1 Bestimmung der Erdbeschleunigung mit dem Pendel . . . . . . . . . . . . . 13 

1.1.1 Das mathematische Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 

1.1.2 Das physikalische Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 

1.1.3 Bestimmung der Erdbeschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 

1.1.4 Versuchsaufbau und Durchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 

1.2 Schwingungen von gekoppelten Pendeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 

1.2.1 Die Bewegungsgleichung für das gekoppelte Pendel . . . . . . . . . . 23 

1.2.2 Messgrössen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 


1.3 Trägheitsmomente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 

1.3.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 

1.3.2 Versuchsbeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 

1.3.3 Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 

1.3.4 Hinweise zum Experimentieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 

1.3.5 Bestätigung von J = f(r 2 ) und Bestimmung des Direktionsmomentes D 35 

1.3.6 Vergleich der Trägheitsmomente von Zylindern gleicher Masse mit verschiedener 

Massenverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 

1.3.7 Trägheitsmoment der Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 

1.3.8 Bestätigung des Steinerschen Satzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 

2 Akustik 41 

2.1 Schallgeschwindigkeit in Gasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 

2.1.1 Versuchsziel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 

2.1.2 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 

2.1.3 Vorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 

2.1.4 Messung und Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 

3

4 Inhaltsverzeichnis 

2.2 Schallgeschwindigkeit in Festkörpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 

2.2.1 Versuchsziel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 

2.2.2 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 


2.3 Schwebungen von Schallwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 

2.3.1 Versuchsziel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 

2.3.2 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 


2.4 Doppler-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 

2.4.1 Versuchsziele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 

2.4.2 Physikalische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 


2.4.4 Versuchsdurchführung und Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 

3 Wärmelehre 79 

3.1 Dampfdruckkurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 

3.1.1 Theoretische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 


3.1.3 Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 

3.2 Adiabatic Coefficient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 

3.2.1 Rüchardt method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 

3.2.2 Setup and Carrying out the Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . 100 

4 Elektrizitätslehre 103 

4.1 Charakterisierung der Ohmschen Widerstände . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 

4.1.1 Versuchsbeschreibung: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 


4.1.3 Versuchsdurchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 

4.1.4 Versuchsauswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 

4.2 Auf- und Entladung eines Kondensators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 





4.3 Auf- und Entladung einer Spule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 





4.4 Gedämpfter LC-Schwingkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 




4.4.4 Versuchsauswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

Inhaltsverzeichnis 5 

4.5 Gekoppelte LC-Schwingkreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 


4.5.2 Analogie zu gekoppelten Pendeln in der Mechanik . . . . . . . . . . . 139 




4.6 Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

6 Inhaltsverzeichnis

Kapitel 0 

Einleitung 

In dem Grundpraktikum für Physiker und Mathematiker (Diplom, Bachelor und Lehramt) 

sollen die Studenten moderne Arbeitsmethoden in der Physik kennen- und anwenden lernen. 

Dabei sollen folgende Kompetenzen erworben werden: 

• Anwendung physikalischen Wissens aus den Vorlesungen 

• Aufbau eines Experimentes 

• Computerunterstützte Messung und Auswertung 

• Präsentation der Ergebnisse 

• Arbeiten in der Gruppe 

Die Studenten sollen sich intensiv mit dem Versuch, dem physikalischen Hintergrund, den 

Messmethoden und der Auswertung der Daten auseinandersetzen. Für jeden Versuch stehen 

daher zwei Tage zur Verfügung. 

Das Praktikum wird wie folgt gegliedert: 

• Die Studenten erarbeiten insgesamt vier Versuche in vier Wochen aus den Arbeitsgebieten: 

Mechanik, Akustik, Wärmelehre und Elektrizitätslehre. 

• Der Stoff orientiert sich an der Vorlesung Experimentalphysik I und II, in denen die 

physikalischen Grundlagen vermittelt worden sind. 

• Eine Arbeitsgruppe besteht aus vier Studenten und einem Tutor. Jeder Tutor betreut 

einen Versuch während der vier Wochen und jeweils zwei Arbeitsgruppen gleichzeitig. 

• Maximal vier Arbeitsgruppen arbeiten in einem Raum unter der Betreuung von zwei 

Tutoren. 

Zu Beginn des Praktikums gibt es eine eintägige Veranstaltung, in der den Studenten Voraussetzungen, 

Gruppeneinteilungen, Praktikumsregeln, sowie Grundkenntnisse in Fehlerrechung 

(Statistik) und in Gerätekunde vermittelt werden. Diese Lehrveranstaltungen sind kombinierte 

Vorlesungen und Übungen. 

7

8 Kapitel 0. Einleitung 

0.1 Arbeitsablauf 

Das Praktikum wird im Sommersemester (Wintersemester) für 256 (64) Studenten ausgelegt, 

die in 64 (16) Arbeitsgruppen A01-A16 (A01-A04), B01-B16 (B01-B04), C01-C16 (C01-C04) 

und D01-D16 (D01-D04) eingeteilt werden. Die Gruppen sind vormittags (von 08:30 Uhr bis 

13:00 Uhr) im Wechsel jeweils drei Tage aktiv und bereiten einen Tag die Versuche vor. 

• 1. Tag: Anwesenheitspflicht vormittags von 08:30 bis 13:00 Uhr 

Vorbesprechung mit dem Tutor, Erarbeitung eines geeigneten Versuchsaufbaus. Versuchsaufbau, 

inkl. Inbetriebnahme aller für die Messung erforderlicher Geräte und 

Computer. Pro Arbeitsgruppe sollen zwei Versuchsaufbauten in Betrieb genommen 

werden, die identisch oder unterschiedlich sein können, je nach Fragestellung. Die 

Messdaten werden aufgezeichnet und die Auswertung soweit durchgeführt, dass erste, 

vorläufige Ergebnisse diskutiert werden können. Die Versuchsaufbauten/-einstellungen, 

die Namen der Dateien und die vorläufigen Ergebnisse werden in Form eines Messprotokolls 

dokumentiert. Der Vormittag endet mit der Rückgabe der Versuchsaufbauten 

und Computer. Die Tutoren zeichnen die Messprotokolle ab. Die Messprotokolle werden 

später an das erstellte Protokoll angehängt. Zur weiteren Versuchsauswertung steht 

nachmittags der CIP-Pool der Physik zur Verfügung. 

• 2. Tag: 

Die Auswertung der Versuche wird im CIP-Pool der Physik oder auf eigenen Computern 

zu Hause weitergeführt und abgeschlossen. Das Protokoll wird von der Arbeitsgruppe 

gemeinsam erarbeitet. 

• 3. Tag: Anwesenheitspflicht nachmittags von 14:00 bis 18:30 Uhr 

Die Arbeitsgruppe gibt vormittags bis 10:00 Uhr ein Protokoll ab im Sekretariat des 

I. Physikalischen Institutes B, Raum 28C207, welches die Messergebnisse beider Versuchsaufbauten 

beschreibt und vergleicht. Die Arbeitsgruppe arbeitet die Präsentation 

zu dem Versuch aus. Die Tutoren lesen und bewerten das Protokoll. Nachmittags von 

14:00 bis 18:30 Uhr werden die Versuchsergebnisse in den Arbeitsgruppen präsentiert 

und diskutiert. Die Präsentation erfolgt für die maximal vier Arbeitsgruppen, die an 

dem gleichen Arbeitsgebiet experimentiert haben, zusammen in einem Raum. Im Anschluss 

werden die Protokolle mit den Tutoren besprochen. 

Die Betreuer wählen aus, welchen Versuch aus einem Arbeitsgebiet die Studenten durchführen 

werden. Dies ist natürlich nur in dem Umfang möglich, wie es die vorhandenen Versuchsaufbauten 

zulassen. Die Studenten müssen sich daher auf alle Versuche eines Arbeitsgebietes 

vorbereiten. Jeder Student aus einer Gruppe muss in den vier Wochen mindestens einmal: 

• einen Versuch aufgebaut haben, 

• die Ergebnisse der Gruppe präsentiert und 

• ein Protokoll auf dem Computer erstellt haben. 

Das Praktikum wird mit einem Abschlusstest am Ende der vier Wochen abgeschlossen.

0.2. Benutzung der Notebooks 9 

0.2 Benutzung der Notebooks 

Für die Durchführung der Versuche erhält jede Arbeitsgruppe zwei Notebooks. Diese stehen 

nur für die Arbeiten im Praktikum zur Verfügung und können nicht mit nach Hause genommen 

werden. Auf den Notebooks läuft als Betriebssystem Windows XP und UNIX. An 

Software ist das CASSY-Messwerterfassungssystem (siehe http://www.leybold-didactic.de), 

das OpenOffice 1.1.0 und das Numerik Programm Maple installiert. Weiterhin steht eine Digitalkamera 

zur Verfügung, um die Versuchsaufbauten zu dokumentieren. Protokolle sollten 

mit OpenOffice 1.1.0 erstellt werden. Die statistischen Auswertungen der Versuche (Mittelwerte, 

lineare Regression, etc.) sollen mit MAPLE durchgeführt werden. 

Die Studenten haben nur Schreibzugriff auf den User-Bereich. Als ersten Arbeitsschritt legt 

jeder Student, sobald er ein Notebook erhält, im User-Bereich ein Verzeichnis mit seinem Namen 

an. In diesem Verzeichnis sollten alle Dateien, die zu dem Versuch gehören, abgespeichert 

werden und am Ende der eintägigen Arbeitsphase auf Disketten oder USB-Memory-Sticks 

überspielt werden. Der User-Bereich wird bei jedem Wechsel zwischen den Gruppen gelöscht, 

so dass alle ungesicherten Daten unwiederbringlich verloren sind. 

Alle Notebooks sind über ein WLAN vernetzt und haben somit auch Zugang zum Internet. 

Die Praktikumsteilnehmer benötigen dazu den bei der Immatrikulation durch 

das Rechenzentrum zugewiesenen Zugang. Alle Versuchsergebnisse können über scp 

zum CIP-Pool Bereich oder nach Hause überspielt werden. Eine ssh Verbindung (Programm 

Putty) zu dem CIP-Pool können die Studenten herstellen. 

Für Experten sind auf den Notebooks zusätzlich die Programmpakete LATEX (TEXnicCenter, 

Textverarbeitung) und GHOSTSCRIPT/GHOSTVIEW (Verarbeitung von Post-Script- 

Dateien) installiert. Es stehen die Texteditoren GVIm und XEmacs zur Verfügung, um eigene 

C-Programme zu erstellen. Mit dem Grafikprogramm GIMP können die Bilder von der Digitalkamera 

bearbeitet werden und Screen-Shots erstellt werden. Zusätzlich sind für einige 

Versuche spezielle Programme installiert (z.B. Digitaloszilloskope) die in den Anleitungen 

näher erläutert sind. 

0.3 Versuchsvorbereitung 

Die Versuchsbeschreibungen sollen den Studenten eine qualifizierte Vorbereitung auf den 

Versuch ermöglichen und eine Anleitung für die Versuchdurchführung sein. Die physikalischen 

Grundlagen zu den Versuchsthemen werden in den Versuchsanleitungen nur bedingt 

hergeleitet. Es ist daher unerlässlich, entsprechende Physikbücher für die Vorbereitung zu 

verwenden. Besonders geeignet sind die folgenden Bücher: 

• W. Walcher, ”Praktikum der Physik”, Teubner Taschenbuch. 

• Demtröder, ”Experimentalphysik”, Band 1 und 2. 

• P.A. Tipler, ”Physik”, Spektrum Verlag.

10 Kapitel 0. Einleitung 

• Gerthsen, Kneser, Vogel, ”Physik”, Springer Verlag 

0.4 Bewertung 

Die Teilnahme an den vier Versuchsterminen ist Pflicht! Jeder Versuch muss mit der Bewertung 

OK bestanden werden! 

Vorbereitung: 

Während der Vorbesprechung zu Beginn eines Versuchstages werden die physikalischen 

Grundlagen zu den Versuchsthemen, sowie die Versuchsdurchführung und Auswertung besprochen. 

Wenn der Student nicht vorbereitet ist, kann er an dem Versuch nicht teilnehmen! 

Studenten die einmal nicht auf einen Versuch vorbereitet sind, müssen den Versuch nachholen, 

bei zweimaliger Nichtvorbereitung gilt das Praktikum als nicht bestanden. 

Protokoll: 

Die max. vier Studenten einer Gruppe geben ein gemeinsames Protokoll ab. Die Tutoren 

lesen und bewerten das Protokoll. Der Versuch gilt als bestanden, wenn die Bewertung OK 

erfolgt. Sollte das Protokoll mit Nicht OK bewertet werden, kann das Protokoll einmal 

korrigiert und am nächsten Tag wiedervorgelegt werden. 

Präsentation: 

Jeder Student einer Arbeitsgruppe muss mindestens einmal die Ergebnisse seiner Gruppe 

präsentieren. Die Präsentation wird für den vortragenden Studenten einer Gruppe gewertet. 

Die Präsentation gilt als bestanden bei der Bewertung OK. Bei der Bewertung Nicht OK 

kann die Präsentation einmal überarbeitet und am nächsten Tag wiederholt werden. 

Abschlusstest und Gesamtnote: 

Am Ende des Grundpraktikums wird ein Abschlusstest durchgeführt. Aus der im Abschlusstest 

erzielten Punktzahl ermittelt sich die Endnote für das physikalische Grundpraktikum. 

Der Abschlusstest gilt als bestanden, wenn mindestens eine ausreichende Leistung erreicht 

wurde. Er gilt als nicht bestanden, wenn eine nicht ausreichende Leistung erreicht wurde, 

dann gilt das Praktikum als nicht bestanden. 

Die Teilnahme an den 4 Versuchsterminen ist Pflicht! 

Studenten, die aus Krankheitsgründen an einem Termin entschuldigt fehlen (ärztliches Attest 

muss vorgelegt werden), müssen den Versuch nachholen. Bei zwei fehlenden Versuchen 

muss das Praktikum wiederholt werden. 

Studenten die einmal nicht auf einen Versuch vorbereitet sind, müssen den Versuch nachholen, 

bei zweimaliger Nichtvorbereitung gilt das Praktikum als nicht bestanden. 

Studenten die ihre Versuchsergebnisse, Protokolle oder Präsentationen nicht selber 

erarbeiten sondern abschreiben, werden von dem Praktikum unverzüglich 

ausgeschlossen.

0.5. Zeitlicher Ablauf 11 

0.5 Zeitlicher Ablauf 

Das Praktikum beginnt mit der Einführungsveranstaltung und endet mit dem Abschlusstest. 

Der zeitliche Ablauf des Praktikums, die Raumeinteilung, sowie die Einteilung der Studenten 

in die Arbeitsgruppen und in den Abschlusstest werden gesondert bekannt gegeben. 

Das Praktikum ist von 08:30 Uhr bis 18:30 Uhr geöffnet.

12 Kapitel 0. Einleitung

Kapitel 1 

Mechanik 

1.1 Bestimmung der Erdbeschleunigung mit dem Pendel 

Aufgaben 

In diesem Experiment werden die Schwingungen eines physikalischen Pendels untersucht. 

Aus den Messungen der Schwingungsdauer des Pendels wird die Erdbeschleunigung ermittelt. 

Vorkenntnisse/Grundlagen : 

Schwerpunktssatz, Beschreibung von Schwingungen, Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung, 

Drehmoment, Trägheitsmoment, Satz von Steiner, Direktionsmoment, einfache lineare 

Differentialgleichungen. 

Literatur : 

• Paul A.Tipler : Physik 

Spektrum Lehrbuch, ISBN 3-86025-122-8, S.379 - S.399 

• W.Walcher : Praktikum der Physik 

Teubner Studienbücher Physik, ISBN 3-519-13038-6, S.83 - S.89 

• F.Kohlrausch : Praktische Physik 1 

ISBN 3-519-23001-1 S.62 - S.64 (Orts-und Zeitabhängigkeit der Erdbeschleunigung) 

• F.Kohlrausch : Praktische Physik 3 

ISBN 3-519-23000-3 S.293 - S.295 (Tabellenwerte der Erdbeschleunigung) 

13

14 Kapitel 1. Mechanik 

1.1.1 Das mathematische Pendel 

Das einfache mathematische Pendel besteht aus einer punktförmigen, schweren Masse mS, 

die an einem masselosen Faden der Länge l aufgehängt ist (Abb.1.1). In der Ruhelage bewirkt 

Abbildung 1.1: Das mathematische Pendel 

die Schwerkraft Fg = mS · g mit g als Erdbeschleunigung, dass das Pendel senkrecht hängt. 

Nach Auslenkung aus der Ruhelage um einen kleinen Winkel ϕmax (klein bedeutet hier 

sin ϕmax ≈ ϕmax) entsteht ein rückstellendes Drehmoment l · Fr, das das Pendel wegen seines 

Trägheitsmomentes in harmonische Schwingungen versetzt. Die Bewegungsgleichung lautet 

J · ¨ϕ = −mS · g · l · sin(ϕ) ≈ −mS · g · l · ϕ (1.1) 

wobei J = mT · l 2 das Trägheitsmoment der trägen Masse mT in der Entfernung l vom 

Aufhängepunkt ist und die rechte Seite das rücktreibende Drehmoment darstellt; ϕ ist der 

momentane Auslenkwinkel und ¨ϕ = d 2 ϕ/dt 2 die momentane Winkelbeschleunigung. Mit 

mT = mS (Einstein’sches Äquivalenzprinzip der Gleichheit von schwerer und träger Masse) 

wird die Bewegung unabhängig von den Massen : 

¨ϕ = − g 

l · ϕ = −ω2 · ϕ (1.2)

1.1. Bestimmung der Erdbeschleunigung mit dem Pendel 15 

Dies ist eine lineare, homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung deren allgemeine Lösung 

eine harmonische Schwingung darstellt : 

ϕ(t) = A · cos(ωt) + B · sin(ωt) (1.3) 

ω = � g 

l ist die Kreisfrequenz der Schwingung. Die Anfangsbedingungen legen die Integrationskonstanten 

A und B fest. Mit ϕ(t = 0) = ϕmax und ˙ϕ(t = 0) = 0 (Start der 

Pendelbewegung vom Auslenkwinkel ϕmax ohne Anfangswinkelgeschwindigkeit) ergibt sich 

Die Schwingungsdauer beträgt 

bzw. 

ϕ(t) = ϕmax · cos(ωt) (1.4) 

T = 2π 

ω 

= 2π · 

� 

l 

g 

(1.5) 

T 2 = 4π 2 · 1 

· l (1.6) 

g 

Das Quadrat der Schwingungsdauer wächst linear mit der Pendellänge l. 

1.1.2 Das physikalische Pendel 

Die Bewegungsgleichung für ein physikalisches Pendel, d.h. eines ausgedehnten, massebehafteten 

Systems, das um einen Aufhängepunkt bzw. um eine Achse schwingen kann, ist formal 

mit der des mathematischen Pendels identisch : 

J · ¨ϕ = −m · g · ls · ϕ (1.7) 

Das rücktreibende Drehmoment wird wieder von der Schwerkraft erzeugt. Nach dem Schwerpunktssatz 

verhält sich das System so, als ob die Gesamtmasse m im Schwerpunkt konzentriert 

ist. Demgemäss ist ls die Distanz von Aufhängepunkt bzw. Drehachse zum Schwerpunkt 

S. Die Trägheit ist gegeben durch das Gesamtträgheitsmoment J um die Drehachse. Man 

erhält als Lösung wieder eine harmonische Schwingung mit der Kreisfrequenz: 

ω 2 = 

m · g · ls 

J 

Mit ω 2 = ( 2π 

T )2 wird die Schwingungsdauer T dann 

T 2 = 1 

g · 4π2 · J 

mls 

1.1.3 Bestimmung der Erdbeschleunigung 

(1.8) 

(1.9) 

Das vorliegende physikalische Pendel besteht aus dem Winkelaufnehmer-Profil, der Pendelstange 

und dem zylindrischen Pendelkörper (Abb. 1.2). Um die Erdbeschleunigung g aus der 

Pendelfrequenz zu bestimmen, müsste man also das gesamte Trägheitsmoment, Masse und


Abbildung 1.2: Pendel im Versuchsaufbau 

Schwerpunkt des Pendels kennen. Im Prinzip kann man die Trägheitsmomente der einzelnen 

Bestandteile um die Pendelaufhängung bestimmen, und zum Gesamtträgheitsmoment 

zusammenaddieren. Den Schwerpunkt erhält man aus den Schwerpunkten der einzelnen Bestandteile, 

die man mit den Einzelmassen gewichtet mittelt: 

�Sges = 

� mi · � Si 

� mi 

(1.10) 

wobei � Si die Schwerpunkte der Einzelteile, und mi ihre Massen sind. Dabei würde man 

die Bestandteile durch einfache geometrische Objekte annähern, deren Träg-heitsmomente 

und Schwerpunkte sich mit vernünftigem Aufwand berechnen lassen (Pendelkörper durch 

homogenen Zylinder, Stange durch homogene Stange, Winkelaufnehmer durch Hohlzylinder). 

Eine einfachere Möglichkeit g zu bestimmen besteht darin, den systematischen Fehler, der 

durch das Trägheitsmoment JSt und das Rückstellmoment DSt der Stange (mit Winkelaufnehmer) 

auftritt, zu minimieren. Man geht dabei so vor, dass zunächst die Schwingungsfrequenz 

der Stange allein bestimmt wird. Danach wird der Pendelkörper an der Stelle angebracht, 

an der die Kombination Stange/Pendel dieselbe Schwingungsfrequenz hat, wie die 

Stange allein. In diesem Fall beeinflussen sich Pendelkörper und Stange nicht. Für die Stange


allein gilt: 

Für den Pendelkörper allein gilt: 

ω 2 st = Dst 

Jst 

ω 2 p = Dp 

Das physikalische Pendel, bestehend aus Stange und Pendelkörper hat die Eigenfrequenz: 

ω 2 = Dst + Dp 

Jst + Jp 

= ω 2 p · 

Jp 

1 + Dst 

Dp 

1 + Jst 

Jp 

= ω 2 st · 

1 + Dp 

Dst 

1 + Jp 

Jst 

(1.11) 

(1.12) 

(1.13) 

Hat man nun das Pendel so eingestellt, dass ω = ωst gilt, so sieht man aus Gl.1.13, dass 

dann auch gelten muss: Jp 

. Umgeformt ergibt sich: 

Jst 

= Dp 

Dst 

Dp 

Jp 

= Dst 

Jst 

≡ ω 2 st = ω 2 = ω 2 p 

(1.14) 

Das heißt, daß man das Pendel nun so behandeln kann, als bestünde es bloss aus dem 

Pendelkörper, der masselos aufgehängt ist. Die Ausdehnung des Pendelkörpers wird dabei 

nicht vernachlässigt. Man benutzt also das Trägheitsmoment eines homogenen Zylinders mit 

Radius rp, der im Abstand lp um den Aufhängepunkt schwingt. Dieses ergibt sich mit Hilfe 

des Satzes von Steiner zu: 

Jp = 1 

(1.15) 

2 mpr 2 p + mpl 2 p 

Für das Quadrat der Kreisfrequenz erhält man dann: 

ω 2 = Dp 

Daraus ergibt sich die Erdbeschleunigung g 

Jp 

= mp · g · lp 

1 

2 mpr 2 p + mpl 2 p 

g = ω 2 lp(1 + 1 

2 

r2 p 

l2 p 

(1.16) 

) (1.17) 

In der Klammer beschreibt die 1 das mathematische Pendel, während der zweite Term die 

Korrektur ist, die die Ausdehnung des Pendelkörpers berücksichtigt. 

1.1.3.1 Bestimmung der Frequenzen 

Kreisfrequenz ω, Frequenz f und Periodendauer T hängen über 

ω = 2πf = 2π 

(1.18) 

T 

zusammen. Um aus der aufgezeichneten Schwingung die Periodendauer zu ermitteln, zählt 

man eine bestimmte Anzahl n voller Perioden aus, und teilt das entsprchende Zeitintervall 

durch n: T = t2−t1. 

Um eine möglichst genaue Zeitablesung zu erreichen, verwendet man die 

n 

Nulldurchgänge des Pendels. Wenn ∆t die Genauigkeit ist, mit der man einen Nulldurchgang 

bestimmen kann, dann wird der Fehler ∆T auf die Periodendauer: ∆T = 2 · ∆t. 

Man sollte 

n 

also möglichst viele Perioden auszählen, um ein genaues Ergebnis zu erhalten.


1.1.3.2 Fehlerrechnung 

In die Bestimmung von g gehen die Periodendauer T , die Pendellänge lp und der Radius des 

Pendelkörpers rp ein. Im Folgenden wird abgeschätzt, wie sich die Messfehler dieser Grössen 

im Ergebnis von g niederschlagen. 

• Der Fehler auf lp ist durch das Messverfahren mit dem Massband bestimmt und lässt 

sich nur schwer unter 1mm bringen, was bei einem lp von ca. 0.69 m zu einem relativen 

Fehler von 1-2 Promille führt. 

• Der Fehler von rp wird durch einen Faktor r2 p 

l 2 p 

= ca.1/300 unterdrückt und fällt daher 

kaum ins Gewicht. Selbst wenn rp lediglich auf 10% genau bestimmt wird, schlägt sich 

dieser Fehler nur noch im sub-Promilleberich auf g nieder. 

• Die Frequenz sollte sinnvollerweise mit einer Genauigkeit bestimmt werden, die deutlich 

besser ist als die von lp, so dass auch dieser Fehler vernachlässigbar klein wird. Um einen 

relativen Fehler von 0.2 Promille in g zu erhalten muss T auf 0.1 Promille bestimmt 

werden, da es quadratisch in g eingeht. Wenn man einen Nulldurchgang auf 10ms genau 

bestimmen kann, dann wird das gesamte Zeitintervall auf 20 ms genau gemessen. Man 

muss also 200 s lang messen um eine relative Genauigkeit von 0.1 Promille zu erreichen, 

was bei einer Frequenz von 0.6 Hz 120 vollen Perioden entspricht. 

1.1.3.3 Fehler durch Vernachlässsigung der Stange 

Wie vorher gezeigt wurde, kann man das Pendel als masselos aufgehängten Zylinder beschreiben 

und die Stange samt Aufhängung vernachlässigen. Dies gilt allerdings nur, wenn ωSt genau 

gleich ωP wird. Tatsächlich, erreicht man aber nie eine genaue Übereinstimmung dieser 

beiden Kreisfrequenzen, sondern beobachtet eine kleine Abweichung. Man kann abschätzen, 

wie diese Abweichung sich auf den ermittelten Wert der Erdbeschleunigung auswirkt. Wenn 

ω2 DSt 

St = JSt und ω2 = DSt+DP 

JSt+JP = ω2 St +ɛ dann gilt ω2 DP 

P = JP = ω2 +ɛ· JSt Da das Verhältnis der 

Jp 

Trägheitsmomente von Stange und Pendelkörper ca. 0.1 ist, geht die relative Abweichung 

der Frequenzen mit dem Faktor 0.2 in die Bestimmung von g ein, da g ∼ ω2 . Um unter 

einem Promille Abweichung zu bleiben, müssen die beiden Frequenzen also besser als 0.5% 

übereinstimmen. 

Im Prinzip kann man aus der Abweichung der Frequenzen einen Korrektur-Faktor für g 

betimmen, und das Ergebnis damit korrigieren. 

1.1.4 Versuchsaufbau und Durchführung 

Das Pendel besteht aus einer Masse, die verschiebbar an einer Stange angebracht ist. Die Aufhängung 

des Pendels ist ein U-Profil mit zwei Spitzen und zwei Permanentmagneten (Abb. 

1.4). Die Spitzen bilden das Lager und werden in die Nut des Winkelaufnehmers gesetzt. 

Der Winkelaufnehmer enthält eine Hall-Sonde, die das Magnetfeld senkrecht zur Nut misst. 

Dreht sich nun die Aufhängung mit den Permanentmagneten um den Winkelaufnehmer, so 

liefert die Hallsonde eine Spannung die proportional zum Sinus des Winkels ist. Für kleine 

Winkel ist diese Spannung näherungsweise proportional zum Winkel selbst.


Mit Hilfe von Stativstangen, Tischklemmen und Verbindungsmuffen wird ein Gestell konstruiert, 

das den Winkelaufnehmer hält (Abb. 1.3). Der Aufbau sollte so stabil sein, daß bei 

der Pendelbewegung die Aufhängung nicht mitschwingt. 

Der Winkelaufnehmer kann direkt an das CASSY-Modul über zwei Leitungspaare angeschlossen 

werden (Abb. 1.5). Das eine dient zur Spannungsversorgung und ist besonders 

gekennzeichnet, das zweite liefert die gemessene Hallspannung. Durch Regeln der Versorgungsspannung 

kann die Nulllage eingestellt werden. 

Bei der Datenaufnahme wird zunächst die Spannung aufgenommen, die die Schwingung 

des Pendels wiedergibt. Anschliessend wird die Periodendauer aus den Nulldurchgängen des 

Pendels bestimmt. Zunächst lässt man die Stange samt Aufnehmer alleine schwingen und 

bestimmt die Periodendauer (Messdauer mindestens 120 Perioden). Dann bringt man den 

Pendelkörper an und verschiebt ihn solange, bis man wieder dieselbe Periodendauer wie 

bei der Stange allein erhält. Dann erfolgt eine Messung mit einer Messdauer von mindestens 

120 vollen Schwingungen, aus der die Periodendauer für das gesamte Pendel bestimmt 

wird. Um die Erdbeschleunigung g zu bestimmen müssen ausserdem der Abstand von dem 

Aufhängepunkt des Pendels zum Mittelpunkt des Pendelkörpers, und der Radius des Pendelkörpers 

gemessen werden. 

Geben Sie bei der Fehlerrechnung die Grösse der Einzelbeiträge an, die zu dem Gesamtfehler 

führen und diskutieren Sie diese. Überlegen Sie sich, welche weiteren systematischen Fehler 

bei diesem Versuch auftauchen können, und versuchen Sie, wenn möglich, eine Grössenordnung 

für sie anzugeben.


Abbildung 1.3: Versuchsaufbau


Abbildung 1.4: Aufhängung des Pendels 

Abbildung 1.5: Anschluss des Winkelaufnehmers


1.2 Schwingungen von gekoppelten Pendeln 

Aufgaben 

In diesem Experiment werden die Schwingungen von zwei Pendeln untersucht, die durch eine 

Feder miteinander gekoppelt sind. Für verschiedene Kopplungsstärken werden die Schwingungsdauern 

der beiden Grundschwingungen sowie der Schwebung des Systems gemessen 

und die Schwebungsdauer mit der Erwartung verglichen. 

Vorkenntnisse/Grundlagen : 

Federverhalten (Hooke’sches Gesetz),Beschreibung von Schwingungen, Winkelgeschwindigkeit, 

Winkelbeschleunigung, Drehmoment, Trägheitsmoment, Direktionsmoment, einfache 

lineare Differentialgleichungen. 

Literatur : 

• Paul A.Tipler : Physik 

Spektrum Lehrbuch, ISBN 3-86025-122-8, S.379 - S.399 

• W.Walcher : Praktikum der Physik 

Teubner Studienbücher Physik, ISBN 3-519-13038-6, S.89 - S.98 

Abbildung 1.6: Gekoppelte Pendel

1.2. Schwingungen von gekoppelten Pendeln 23 

1.2.1 Die Bewegungsgleichung für das gekoppelte Pendel 

Die Anordnung ist schematisch dargestellt in Abb. 1.6. Die Kopplungsfeder ist befestigt 

in der Entfernung lF von den Drehachsen. Die (identischen) physikalischen Pendel P 1 und 

P 2 werden so montiert, dass die Feder bei Ruhestellung der Pendel gespannt ist. Dadurch 

hängen die Pendel in der Ruhestellung (im Gleichgewicht) nicht in der vertikalen V , sondern 

um den Winkel ϕ◦ nach innen. Das durch die Feder erzeugte Drehmoment ist 

MF,◦ = −DF · x◦ · lF 

(1.19) 

wobei DF die Federkonstante und x◦ ihre Verlängerung gegenüber dem entspannten Zustand 

ist. In der Ruhestellung ist MF,◦ entgegengesetzt gleich dem durch die Schwerkraft erzeugten 

Drehmoment 

MS,◦ = m · g · ls · ϕ◦ 

(1.20) 

wobei ls die Entfernung des Schwerpunktes jedes der beiden Pendel von seiner Drehachse und 

m die Gesamtmasse jedes Pendels bedeuten. Wird P 2 um ϕ2 aus der Nullage ausgelenkt, so 

wirkt insgesamt das Drehmoment 

oder 

M2 = −m · g · ls · (ϕ2 − ϕ◦) − DF · (x◦ + lF ϕ2) · lF 

M2 = − · g · ls · ϕ2 − DF · l 2 F · ϕ2 

(1.21) 

(1.22) 

Wird ausserdem P 1 um −ϕ1 verschoben, so kommt durch die Feder das Drehmoment DF l 2 F ϕ1 

hinzu, so dass sich insgesamt ergibt 

Analog wird für P 1 

M2 = −m · g · ls · ϕ2 − DF · l 2 F · (ϕ2 − ϕ1) (1.23) 

M1 = −m · g · ls · ϕ1 + DF · l 2 F · (ϕ2 − ϕ1) (1.24) 

Die Bewegungsgleichungen beider Pendel lauten somit 

bzw. mit den Abkürzungen 

J · ¨ϕ1 = M1 = −m · g · ls · ϕ1 + DF · l 2 F · (ϕ2 − ϕ1) (1.25) 

J · ¨ϕ2 = M2 = −m · g · ls · ϕ2 − DF · l 2 F · (ϕ2 − ϕ1) (1.26) 

ω 2 s = mgls 

J 

Ω 2 = DF l 2 F 

J 

(1.27) 

(1.28) 

¨ϕ1 = −ω 2 s · ϕ1 + Ω 2 · (ϕ2 − ϕ1) (1.29) 

¨ϕ2 = −ω 2 s · ϕ2 − Ω 2 · (ϕ2 − ϕ1) (1.30) 

Dies ist ein System gekoppelter linearer Differentialgleichungen. Die Lösung wird mit Hilfe 

der Substitutionen α = ϕ2 + ϕ1, β = ϕ2 − ϕ1 erreicht : Summe und Differenz der beiden 

Gleichungen (24 ) und (25 ) führen auf die einfachen Differentialgleichungen 

¨α = −ω 2 s · α (1.31)


mit den Lösungen 

¨β = −(ω 2 s + 2Ω 2 ) · β = −ω 2 sf · β (1.32) 

α(t) = ϕ2(t) + ϕ1(t) = A · sin(ωst) + B · cos(ωsft) (1.33) 

β(t) = ϕ2(t) − ϕ1(t) = C · sin(ωst) + D · cos(ωsft) (1.34) 

Die Konstanten werden durch die Anfangsbedingungen festgelegt. Liegen beim Start der 

Bewegung keine Anfangswinkelgeschwindigkeiten vor, d.h. ϕ2(t ˙ = 0) = 0 und ϕ1(t ˙ = 0) = 0, 

so wird A = C = 0 und aus der Summe der Gleichungen (32) und (33) wird 

2ϕ2(t) = B · cos(ωst) + D · cos(ωsft) (1.35) 

2ϕ1(t) = B · cos(ωst) − D · cos(ωsft) (1.36) 

Werden die Pendel aus den Positionen ϕ1(t = 0) = ϕmax und ϕ2(t = 0) = ϕmax gestartet, so 

wird D = 0 und B = 2ϕmax und die Pendel schwingen gleichsinnig gemäss 

ϕ2(t) = ϕmax · cos(ωst) (1.37) 

ϕ1(t) = ϕmax · cos(ωst) (1.38) 

mit der Kreisfrequenz ωs, d.h. der Kreisfrequenz jedes Pendels ohne Kopplung. 

Werden die Pendel aus den entgegengesetzten Positionen ϕ1(t = 0) = −ϕmax, ϕ2(t = 0) = 

+ϕmax gestartet, so wird B = 0 und D = 2ϕmax und die Pendel schwingen gegensinnig : 

mit der Kreisfrequenz ωsf : 

ϕ2(t) = ϕmax · cos(ωsft) (1.39) 

ϕ1(t) = −ϕmax · cos(ωsft) (1.40) 

ω 2 sf = ω 2 s + 2Ω 2 

(1.41) 

Wird die Schwingung mit Pendel P 1 mit ϕ1(t = 0) = ϕmax und Pendel P 2 in Ruheposition, 

ϕ2(t = 0) = 0 gestartet, so wird B = D = ϕmax und 

ϕ2(t) = 1 

2 ϕmax · cos(ωst) + 1 

2 ϕmax · cos(ωsft) (1.42) 

ϕ1(t) = 1 

2 ϕmax · cos(ωst) − 1 

2 ϕmax · cos(ωsft) (1.43) 

Jedes Pendel schwingt mit einer Überlagerung von zwei verschiedenen Frequenzen. Mit Hilfe 

eines Additionstheorems für trigonometrische Funktionen lassen sich die Gleichungen um- 

schreiben in 

ϕ1(t) = ϕmax · cos( ωsf − ωs 

2 

ϕ2(t) = ϕmax · sin( ωsf − ωs 

2 

t) · cos( ωsf + ωs 

t) (1.44) 

2 

t) · sin( ωsf + ωs 

t) (1.45) 

2


Mit den Abkürzungen 

wird daraus 

ωk = ωsf + ωs 

2 

ωsch = ωsf − ωs 

2 

(1.46) 

(1.47) 

ϕ1(t) = ϕmax · cos(ωscht) · cos(ωkt) (1.48) 

ϕ2(t) = ϕmax · sin(ωscht) · sin(ωkt) (1.49) 

Die Bewegung jedes der beiden Pendel besteht also aus der Überlagerung zweier Schwingungen 

mit den Kreisfrequenzen ωsch und ωk. Sie kann als Schwingung der höheren Frequenz ωk 

angesehen werden, die mit der niedrigeren Frequenz ωsch moduliert ist. Diese Erscheinung 

wird Schwebung genannt. 

1.2.2 Messgrössen 

Der Messung zugänglich sind die Schwingungsdauern : 

Tk = 2π 

Ts = 2π 

ωs 

Tsf = 2π 

ωk 

Tsch = 2π 

ωsch 

= 

= 

ωsf 

4π 

ωsf + ωs 

4π 

ωsf − ωs 

(1.50) 

(1.51) 

(1.52) 

(1.53) 

Durch Einsetzen von ωs und ωsf ergeben sich folgende Beziehungen zwischen den Schwingungsdauern 

: 

Tk = 2 · TsTsf 

Ts + Tsf 

Tsch = 2 · TsTsf 

Ts − Tsf 

Als Kopplungsgrad κ des Pendelsystems wird das Verhältnis 

κ = 

definiert. Mit ω 2 sf = ω2 s + 2Ω 2 folgt 

κ = 

Ω2 

ω2 = 

s + Ω2 DF l 2 F 

mgls + DF l 2 F 

1 

2 (ω2 sf − ω2 s) 

1 

2 (ω2 sf + ω2 s) = T 2 s − T 2 sf 

T 2 s + T 2 sf 

(1.54) 

(1.55) 

(1.56) 

(1.57) 

Der Kopplungsgrad ist umso kleiner (die Kopplung also umso schwächer), je näher die Befes- 

als Funktion von 

tigungspunkte der Feder an den Drehachsen der Pendel liegen. Trägt man 1 

κ


Abbildung 1.7: Aufbau des gekoppelten Pendels 

1 

l2 auf so ergibt sich eine Gerade, aus deren Steigung die Federkonstante ermittelt werden 

F 

kann : 

1 mlsg 

= 1 + (1.58) 

κ 

DF 

· 1 

l 2 F 


Der Versuchsaufbau ist ähnlich wie beim einfachen Pendel (Kap. 1.1.4). Es werden nun zwei 

Pendel im Abstand von ca. 50 cm an dem Gestell befestigt und über ein Federpaar gekoppelt 

(Abb. 1.7). Die Federn können in verschiedenen Höhen an den Pendelstangen befestigt 

werden, wodurch unterschiedliche Kopplungskonstanten erzielt werden. Da die Federn nicht 

gestaucht werden können, müssen die Pendel so weit auseinander sein, dass die Federn in 

der Ruhelage schon gespannt sind. Es muß darauf geachtet werden, daß die Pendelauschläge 

so klein bleiben, daß die Federn nie völlig entspannt sind. 

Beide Winkelaufnehmer können gleichzeitig mit einem CASSY-Modul ausgelesen werden und 

haben einen unabhängigen Nullabgleich. Um eine günstige Darstellung auf dem Bildschirm 

zu erzielen, kann die Nulllage eines Pendels entweder durch die Versorgungsspannung des


Winkelaufnehmers oder durch Einstellung eines Offsets in der CASSY-Software verschoben 

werden. 

Es werden die Pendelausschläge aufgenommen und die Fouriertransformierten bestimmt. Im 

allgemeinen Fall erhält man eine Schwebung, die eine Überlagerung aus zwei Schwingungen 

mit dicht benachbarten Frequenzen ist. Im Fourierspektrum erkennt man deshalb zwei 

Spitzen, die mit wachsender Kopplungsstärke zusammenrücken. Lässt man die Pendel gleichsinnig 

(in Phase) schwingen, so taucht nur die kleinere der beiden Frequenzen auf. Schwingen 

die Pendel gegensinnig, so erhält man im Spektrum nur die Spitze der höheren Frequenz. 

Um den Fehler der Frequenzmessung zu erhalten wird eine Messung mehrmals durchgeführt 

und die mittlere quadratische Abweichung zum Mittelwert bestimmt. 

Aus den gemessenen Frequenzen wird der Kopplungsgrad κ bestimmt (Gl.1.57). Außerdem 

werden die Abstände lF zwischen dem Aufhängepunkt des Pendels und der Befestigung der 

Feder gemessen. Trägt man 1 

1 gegen κ l2 auf, so erhält man eine Gerade, aus deren Steigung 

F 

man die Federkonstante ermitteln kann (Gl. 1.58).


1.3 Trägheitsmomente 

Abbildung 1.8: Versuchsaufbau für die Messung von Trägheitsmomenten. 

Physikalische Grundlagen 

Definition des Trägheitsmomentes, Satz von Steiner, Direktionsmoment, Schwingungen 

1.3.1 Einführung 

Bei einem beliebigen starren Körper, dessen Massenelemente ∆mi den Abstand ri zur Drehachse 

haben, ist das Trägheitsmoment 

J = � 

(1.59) 

i 

∆mi · r 2 i 

Für eine punktförmige Masse m auf einer Kreisbahn mit dem Radius r gilt: 

J = m · r 2

1.3. Trägheitsmomente 29 

Das Trägheitsmoment wird aus der Schwingungsdauer 

einer Drillachse bestimmt, 

� 

J 

T = 2π 

(1.60) 

D 

auf die der Probekörper gesteckt wird und die 

über eine Schneckenfeder elastisch mit dem 

Stativ verbunden ist (siehe Abb. 1.8). Das 

System wird zu harmonischen Schwingungen 

angeregt. Aus der Schwingungsdauer T errechnet 

man bei bekanntem Direktionsmoment 

D das Trägheitsmoment des Probekörpers gemäß 

� �2 T 

J = D 

(1.61) 

2π 

Die Messwerte werden mit den theoretischen 

Vorhersagen für einen Körper der Masse m, 

dessen Massenelemente ∆mi um eine feste 

Achse im Abstand ri rotieren, verglichen: 

J = � 

∆mir 2 � 

i = r 2 dm (1.62) 

i 

Der Schwingungsvorgang wird mit Hilfe eines 

Winkelaufnehmers (siehe Abb. 1.9) in elektrische 

Signale umgewandelt. Der Aufnehmer 

liefert für kleine Auslenkungen eine winkelproportionale 

Spannung. Er besteht aus einem 

vernickelten Messingrohr (10 mm Durchmesser) 

mit angeschraubtem Kleingehäuse für 

die elektrischen Bauteile. In dem Messingrohr 

befindet sich eine Nut an deren Ende 

in einem Langloch eine magnetfeldempfindliche 

Sonde (Hall-Sonde) eingeklebt ist. Die 

Sonde ist so orientiert, dass sie auf die zur 

Nut senkrecht stehende Komponente des Magnetfeldes 

anspricht. Die zwei felderzeugenden 

Permanentmagnete sind so auf die Innenseiten 

einer U-förmigen Gabel geklebt, dass 

sich Nord- und Südpol gegenüberliegen. Im 

Ruhezustand verschwindet daher die vertikale 

Feldkomponente; die Ausgangsspannung des 

Winkelaufnehmers ist somit 0. Wird nun die 

Drillachse um den Winkel α aus der horizontalen 

Richtung ausgelenkt, tritt eine Feldkomponente 

in vertikaler Richtung auf. 

Abbildung 1.9: Drillachse mit Winkelaufnehmer.


Die exakte Abhängigkeit wird durch die Gleichung 

B⊥ = B · sin α 

beschrieben. Im Falle kleiner Winkel kann sin α durch α approximiert werden, so dass die 

Ausgangsspannung proportional dem Auslenkwinkel α wird. Die Abweichung von diesem 

linearen Verhalten liegt bis zu einem Winkel von α = ±14 Grad (entsprechend sin α = 0, 24) 

unter 1%. 

Die Versorgungsspannung wird über das entsprechend gekennzeichnete Leitungspaar zugeführt 

und soll im Bereich 12-16 V liegen. Es ist auf die Polarität gemäß den Farben der 

Anschlussstecker (rot-positiv, blau-negativ) zu achten. Bei Fehlbeschaltung tritt keine Ausgangsspannung 

auf. Die von dem Winkelaufnehmer gelieferten Spannungssignale werden mit 

Hilfe des computerunterstützten Messwerterfassungssystems CASSY aufgezeichnet. Mit Hilfe 

einer Fourieranalyse lässt sich aus dem aufgezeichneten Schwingungsvorgang mit großer 

Genauigkeit die Frequenz und damit die Schwingungsdauer bestimmen. 

Im ersten Teil des Versuches wird das Trägheitsmoment eines ”Massenpunktes” in Abhängigkeit 

vom Abstand r zur Drehachse bestimmt. Dazu wird ein Stab mit zwei gleichen Massenstücken 

in Querrichtung auf die Drillachse gesteckt. Die Schwerpunkte der beiden Massenstücke 

haben den gleichen Abstand r zur Drehachse, so dass das System ohne Unwucht schwingt. 

Im zweiten Teil des Versuches werden die Trägheitsmomente eines Hohlzylinders, eines Vollzylinders 

und einer Vollkugel miteinander verglichen. Dazu stehen zwei Vollzylinder mit 

gleicher Masse jedoch unterschiedlichen Radien zur Verfügung. Weiterhin ein Hohlzylinder, 

der in Masse und Radius mit einem Vollzylinder übereinstimmt, und eine Vollkugel, deren 

Trägheitsmoment mit einem der Vollzylinder übereinstimmt. 

Im dritten Teil des Versuchs wird der Steinersche Satz am Beispiel einer flachen Kreisscheibe 

experimentell verifiziert. Dazu werden die Trägheitsmomente Ja einer Kreisscheibe 

für verschiedene Abstände a der Drehachse zum Schwerpunkt gemessen und mit dem 

Trägheitsmoment J0 um die Schwerpunksachse verglichen. Es soll der Steinersche Satz 

bestätigt werden. 

1.3.2 Versuchsbeschreibung 

Ja = J0 + m · a 2 

(1.63) 

Die Versuchskörper zur Drillachse sind so ausgewählt, dass sich folgende Fragestellungen 

untersuchen lassen: 

• Messung des Zusammenhangs J = f(r 2 ) für einen ”Massenpunkt”, der im Abstand r 

um eine feste Achse rotiert. 

• Vergleich der Trägheitsmomente von Zylindern mit nahezu gleicher Masse, aber verschiedener 

Massenverteilung.


• Bestimmung der Trägheitsmomente von Zylindern und Kugeln aus gleichem Material, 

deren Massen und Radien so abgestimmt sind, dass sich gleiche Trägheitsmomente 

ergeben. 

• Bestätigung des Steinerschen Satzes. 

1.3.3 Versuchsaufbau 

Zum Versuchsaufbau gehören 

1. Drillachse mit zweifach kugelgelagerter Welle, durch eine Schneckenfeder an eine Gabel 

angekoppelt. 

Richtmoment der Feder: ca. 0,025 N m 

Höhe der Drillachse: ca. 0,2 m 

Gewicht der Drillachse: ca. 0,39 kg 

2. Stab mit Kupplungsstück zum Aufstecken auf die Drillachse; je 5 Kerben in 0, 05 m 

Abständen zu beiden Seiten der ebenfalls gekerbten Stabmitte. 

Länge des Stabes: ca. 0,6 m 

Masse des Stabes: ca. 0,13 kg 

3. Zwei Massen (als Modell von Massenpunkten), längs des Stabes (2) verschiebbar, mit 

Kugelrasten, die in die Kerben des Stabes greifen, so dass die Massen in definierten 

Abständen von der Stabmitte gehalten werden. 

Masse jedes Massenstückes: ca. 0,24 kg 

4. Vollzylinder aus Holz (Holzscheibe), Durchmesser ca. 225 mm, mit Buchse zum Aufstecken 

auf die Drillachse. 

Durchmesser: ca. 0,225 m 

Höhe: ca. 0,015 m 

Masse: ca. 0,35 kg


5. Vollzylinder aus Holz, Durchmesser ca. 90 mm. 


Höhe: ca. 0,09 m 

Masse: ca. 0,35 kg 

6. Hohlzylinder aus Metall, Durchmesser ca. 90 mm. 


Höhe: ca. 0,09 m 


7. Aufnahmeteller aus Metall für die Zylinder (5) und (6) mit Buchse zum Aufstecken 

auf die Drillachse und mit Schraube zum fixieren der Zylinder. 



Durchmesser und Höhe der Zylinder (5) und (6) stimmen überein (nachmessen !), die 

Massen der 3 Zylinder (4), (5) und (6) sind näherungsweise gleich (nachmessen !). 

8. Kugel aus Holz, Durchmesser ca. 145 mm, mit Buchse zum Aufstecken auf die Drillachse. 

Die Trägheitsmomente der Kugel und des Zylinders (4) sind etwa gleich. 


Masse: ca. 0,99 kg


9. Kreisscheibe mit Halterung zum Aufstecken auf die Drillachse mit 9 Löchern zum 

Aufspannen der Scheibe auf der Halterung in der Scheibenmitte, sowie im Abstand von 

0, 02; 0, 04; . . . 0, 14; 0, 16 m von der Scheibenmitte. 



1.3.4 Hinweise zum Experimentieren 

Schrauben (10) welche die federnden Kugelrasten der Massen (3) gen den Stab (2) drücken, 

nicht betätigen. Die Schrauben sind so eingestellt, dass man einerseits die Massen entsprechend 

den Versuchsbedingungen längs des Stabes verschieben kann, und dass die Massen 

anderseits gegen die Zentrifugalkraft auf dem Stab gehalten werden. 

Die Anordnung stets so aus der Gleichgewichtslage auslenken, dass die Feder zusammengedrückt 

und nicht aufgebogen wird. Die maximale Auslenkung wird druch die Halterungen 

für die Magnete auf ca. 60 Grad beschränkt. 

Die Schwingungsdauern sollten zweckmäßigerweise durch Mittelwertbildung aus mehreren 

Messungen für z.B. 5 Schwingungen bestimmt werden. Aus der Varianz der Messwerte ergibt 

sich auch der Fehler für die Schwingungsdauern. 

Zusätzlich gibt es Fehler durch die Art und Weise wie mit der CASSY-Software der Schwerpunkt 

im Frequenzspektrum bestimmt wird. Um diesen Fehler abzuschätzen, sollte zumindestens 

eine Messung mit MAPLE ausgewertet werden, d.h. die mit CASSY aufgzeichneten 

Spannungswerte werden in MAPLE eingelesen, die Fouriertransformation mit der Prozedur 

”fourier” aus der MAPLE-Bibliothek ”app maple” durchgeführt und mit der Prozedur 

”peak” der Schwerpunkt der Verteilung bestimmt. Durch Variation des Messbereichs für die 

Fouriertransformation, durch Variation des Fensters in dem der Schwerpunkt bestimmt wird 

und durch Vergleich mit dem Ergebnis aus der CASSY Software kann der systematische 

Fehler in der Frequenzbestimmung abgeschätzt werden. 

Ein Beispiel einer solchen Messung mit dem Messwerterfassungssystem CASSY ist in Abb. 

1.10 gezeigt. Aus der Fouriertransformation (siehe Abb. 1.11) ergibt sich in diesem Beispiel 

eine Schwingungsdauer von 4.88 s. Die gleiche Messung wurde 5 mal wiederholt um die 

statistischen Schwankungen zu ermitteln. Es ergaben sich die Messwerte: 4,88s, 4,87s, 4,87s, 

4,88s, 4,87s. Für den Mittelwert also: T = (4, 874 ± 0, 002) s.


Abbildung 1.10: Messreihe eines Schwingungsvorgangs mit der Drillachse. 

Abbildung 1.11: Fouriertranformation der in Abb. 1.10 gezeigten Messreihe. Mit dem ”Peakfinder” 

aus der CASSY Software ergibt sich eine Schwingungsdauer von 4,87 s.


Das Trägheitsmoment der Drillachse liegt in der Grössenordung von 10 −5 kgm 2 . Es ist in 

der Auswertung nicht berücksichtigt, so dass die experimentell ermittelten Trägheitsmomente 

stets etwas größer als die theoretisch erwarteten Werte sind. 

1.3.5 Bestätigung von J = f(r 2 ) und Bestimmung des Direktionsmomentes 

D 

Zunächst wir das Gewicht der Massen mW 1, mW 2 und das Gewicht des Stabes mStab mit 

einer Waage gemessen und die Länge des Stabes lStab mit einem Massband bestimmt. 

Dann wird der Stab ohne Massen auf die Drillachse gesteckt und die Schwingungsdauer gemessen. 

Anschliessend werden die Massen (mW 1, mW 2) symmetrisch im Abstand r = 0, 05; 

0,10; 0,15; 0,20; 0,25 m von der Stabmitte angeordnet und ebenfalls die Schwingungsdauern 

gemessen. 

Beispiel einer solchen Messreihe: 

Das Trägheitsmoment für den Stab alleine ist 

r m 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 

T s 2,52 2,71 3,76 4,86 6,08 7,40 

JStab = 1 

12 · mStab · l 2 Stab 

und für die ”Massenpunkte” im Abstand r von der Drillachse: 

JMassen = (mW 1 + mW 2) · r 2 = mW · r 2 

Es sollte also folgender funktionaler Zusammenhang gelten: 

T 2 = 4π 2 JMassen + JStab 

D 

= 4π2 

D mW · r 2 + 4π2 

· JStab 

D 

Die Messung mit dem Stab alleine entspricht also dem Messwert für r = 0. 

Der linearer Zusammenhang zwischen dem Quadrat der Schwingsdauern (T 2 ) und dem Quadrat 

des Abstandes (r 2 ) (siehe Abb. 1.12) erlaubt es, mit Hilfe einer linearen Regression, 

T 2 = m · r 2 + a 

= 737, 34 s2 

m 2 · r2 + 6, 36 s 2


Abbildung 1.12: Grafische Darstellung der Messwerte T 2 (r 2 ) zusammen mit der Ausgleichsgeraden. 

aus der Steigung der Geraden m das Direktionsmoment D zu bestimmen: 

D = 4π2 

· mW 

m 

= 

4π2 · 0, 48 N m 

737, 34 

= 0, 0257 N m 

Mit bekanntem Direktionsmoment D kann anschliessend aus dem Achsenabschnitt a das 

Trägheitsmoment des Stabes experimentell bestimmt werden 

J exp. 

Stab 

und mit der theoretischen Vorhersage 

verglichen werden. 

aD 

= 

4π2 = 6, 36 · 0, 0257 

4π2 = 0, 414 · 10 −2 kg m 2 

J theo. 

Stab = 1 

12 · mStab · l 2 Stab 

= 1 

12 · 0, 132 · 0, 62 kg m 2 

= 0, 396 · 10 −2 kgm 2 

1.3.6 Vergleich der Trägheitsmomente von Zylindern gleicher Masse 

mit verschiedener Massenverteilung 

Dünner Vollzylinder aus Holz 

Die Masse des Vollzylinders aus Holz (Holzscheibe - HS) mHS wird durch wiegen und sein


Durchmesser dHS mit dem Massband bestimmt. Dann wird die Holzscheibe auf der Drillachse 

befestigt und die Schwingungsdauer gemessen. 

Beispiel: 

THS = 1, 82 s 

J exp 

HS 

= 1 

4π 2 · D · T 2 HS 

= 1 

4π 2 · 0, 0257 · 1, 822 Nms 2 

= 2, 16 · 10 −3 kg m 2 

Der theoretisch zu erwartende Wert ergibt sich zu: 

J theo 

HS = 1 

2 mHS 

� �2 dHS 

2 

= 2, 05 · 10 −3 kg m 2 

Vollzylinder (VZ) und Hohlzylinder (HZ) 

Beide Zylinder werden auf einen Aufnahmeteller (T) gesetzt, so dass sich die Trägheitsmomente 

JV Z und JHZ nicht unmittelbar experimentell, sondern durch Differenzbildung ermitteln lassen: 

Aufnahmeteller: 

Aufnahmeteller + Vollzylinder: 

JV Z = JV Z+T − JT 

JHZ = JHZ+T − JT 

T = 0, 564 s 

J exp 

T = 1 

4π 2 · D · T 2 T 

= 1 

4π 2 · 0, 0257 · 0, 5642 Nms 2 

= 0, 207 · 10 −3 kg m 2 

T = 0, 92 s 

JV Z+T = 1 

4π 2 · D · T 2 V Z+T 

= 1 

4π 2 · 0, 0257 · 0, 922 Nms 2 

= 0, 552 · 10 −3 kg m 2


Damit ergibt sich für das Trägheitsmoment des Vollzylinders 

J exp 

V Z = JV Z+T − JT = 0, 345 · 10 −3 kg m 2 

im Vergleich zu dem theoretisch zu erwartenden Wert von 

Aufnahmeteller + Hohlzylinder: 

J theo 

V Z = 1 

2 mV Z 

� dV Z 

2 

� 2 

= 0, 337 · 10 −3 kg m 2 

T = 1, 18 s 

JV Z+T = 1 

4π 2 · D · T 2 V Z+T 

= 1 

4π 2 · 0, 0257 · 1, 182 Nms 2 

= 0, 907 · 10 −3 kg m 2 

Damit ergibt sich für das Trägheitsmoment des Hohlzylinders 

J exp 

HZ = JHZ+T − JT = 0, 700 · 10 −3 kg m 2 

im Vergleich zu dem theoretisch zu erwartenden Wert von 

J theo 

HZ = mHZ 

1.3.7 Trägheitsmoment der Kugel 

J exp 

K 

T = 1, 82 s 

� dHZ 

2 

� 2 

= 0, 652 · 10 −3 kg m 2 

= 1 

4π 2 · D · T 2 V Z+T 

= 1 

4π 2 · 0, 0257 · 1, 822 Nms 2 

= 2, 16 · 10 −3 kg m 2 

Um das experimentelle Ergebnis mit der theoretischen Vorhersage 

J theo 

K 

= 2 

5 mKR 2 K 

vergleichen zu können, benötigen wir den Radius der Kugel RK. Dieser lässt sich mit dem 

Massband nur sehr ungenau abschätzen. Wesentlich genauer ist es, die Dichte der Kugel ρK 

zu verwenden, um über die Beziehung 

mK = VK · ρK = 4 

3 πR3 KρK


den Radius zu bestimmen. Mit ρK = (0, 63 ± 0, 02) · 10 3 kg/m 3 erhalten wir: 

und damit 

RK = 

� 

mK 

4 

3πρK � 1 

3 

= 0, 0716 m 

J theo 

K = 2 

5 mKR 2 K 

= 2 

5 · 0, 99 kg · 0, 07162 m 2 

= 2, 03 · 10 −3 kg m 2 

Der Vergleich mit der Messung für die Holzscheibe zeigt, dass die Trägheitsmomente übereinstimmen. 

Bestimmt man Massen und Radien der Versuchskörper, so lässt sich experimentell bestätigen, 

dass Kugel und Holzscheibe das gleiche Trägheitsmoment haben wenn gilt: 

mHS · R 2 HS = 4 

5 mK · R 2 K 

1.3.8 Bestätigung des Steinerschen Satzes 

In diesem Versuchsteil soll die Abhängigkeit des Trägheitsmomentes J vom Abstand a zwischen 

Rotations- und Schwerpunktachse untersucht werden. Der Steinersche Satz 

Ja = J0 + m · a 2 

soll bestätigt werden. J0 ist hierbei das Trägheitsmoment bei Rotation um die Schwerpunktsachse. 

Die Kreisscheibe wird zunächst um ihre Schwerpunktsachse rotieren gelassen (a = 0). Zur 

besseren Genauigkeit und um die Schwankung der Messwerte abzuschätzen wird die Messung 

mehrfach wiederholt und die Schwingungsdauer durch Mittelwertbildung bestimmt. 

In gleicher Weise wird die Schwingungsdauer T als Funktion des Abstandes a = 0, 02; 0, 04; 

. . . 0, 16 m zwischen Rotations- und Schwerpunktsachse bestimmt. 

Wichtig: 

Nach jeder Änderung von a den Stativfuss mit Hilfe der Dosenlibelle wieder so ausrichten, 

dass die Kreisscheibe in der Horizontalen rotiert.


Ergebnis: 

a[m] T[s] J [kg m2 −2 ] 10 

J−J0 

a2 0,00 4,782 1,490 

[kg] 

0,02 4,800 1,501 

0,04 4,961 1,604 

0,06 5,230 1,782 

0,08 5,532 1,994 0,75 

0,10 5,884 2,256 

0,12 6,313 2,597 

0,14 6,710 2,951 

0,16 7,220 3,400 

Für das Trägheitsmoment J eines Körpers der Masse m, dessen Rotationsachse um a von 

der Schwerpunktsachse entfernt ist, gilt: 

Ja = J0 + const. · a 2 

Die Auswertung des Diagramms J = f(a 2 ) liefert für den konstanten Proportionalitätsfaktor 

in befriedigender Übereinstimmung mit der Masse der Kreisscheibe von 0, 75 kg. Damit 

bestätigt der Versuch den Steinerschen Satz: 

Ja = J0 + m · a 2

Kapitel 2 

Akustik 

Bei den Versuchen zur Akustik kann prinzipiell zwischen 2 Meßprogrammen gewählt werden. 

(I und II mit etwa gleichem Meß- und Auswerteaufwand – s.u.) 

Da jeweils nur 4 Aufbauten zur Verfügung stehen, sollte vor der Vorbereitung die Aufteilung 

auf die Versuche unter den Gruppen koordiniert werden. 

Meßprogramm I: V 2.1.A und ein Versuch aus V 2.1.B und entweder V 2.2 oder V 2.3 

V 2.1 Schallwellen in Gasen / Ausbeitungsgeschwindigkeit 

A Laufende Welle – Laufzeit gegen Laufstrecke 

B1 Stehende Welle – Schalldruck gegen Ort 

B2 Stehende Welle – Schalldruck gegen Rohrlänge 

B3 Stehende Welle – Schalldruck gegen Frequenz 

V 2.2 Schallwellen in Festkörpern / Elastizitätsmodul 

1 Bestimmung der Stab-Dichte 

2 Aufzeichnung der Grundschwingung 

V 2.3 Schwebungen von Schallwellen zweier Stimmgabeln 

1 Aufzeichnung der Schwingung einzeln und in Schwebung 

2 Periodenlängen und Fourier Auswertung 

Meßprogramm II: V 2.4 komplett 

V 2.4 Doppler-Effekt 

1 Schallgeschwindigkeit aus Phasenverschiebung 

2 Frequenzverschiebung gegen Quellengeschwindigkeit 

3 Echolot 

41

42 Kapitel 2. Akustik 

2.1 Schallgeschwindigkeit in Gasen 

2.1.1 Versuchsziel 

A Bestimmung der Schallgeschwindigkeit in Luft aus Laufzeitmessungen. 

B Bestimmung der Schallgeschwindigkeit in Luft mit stehenden Wellen: 

– durch Messung des Schalldruckverlaufs 

– oder Messung der Resonanzlängen 

– oder Messung der Resonanzfrequenzen 

Vorkenntnisse: Wellen 

Schallausbreitung in Gasen 

Überlagerung von Wellen 

Stehende Wellen 

Schallwandler (Piezo/Lautsprecher/Mikrophon) 

Benötigte Geräte: Sensor CASSY 1x 

Timer-Box 1x 

Stromquellen-Box 1x 

Temperatursensor 1x 

Plexiglas Rohr ø 10cm L 50cm mit Ständer 1x 

Endstück mit Lautsprecher 1x 

Endstück mit Durchführung 1x 

im Rohr verschiebbare Scheibe 1x 

Universalmikrophon mit Stativstange u. Sockel 1x 

Piezo Hochtöner mit Stativstange u. Sockel 1x 

Wegaufnehmer mit Stativstange 1x 

Faden 1m mit Gummiring und Gewicht 1x 

Tischklemme 1x 

Führungsschiene Alu 30x3mm^2 L 50cm 1x 

Funktionsgenerator 0-200 kHz 1x 

BNC -> 4mm Übergangsstecker 2x 

BNC -> Lemo Übergangsstecker 2x 

4mm Laborkabel 25cm/1.0mm Paar rot/blau 1x 

4mm Laborkabel 100cm/1.0mm Paar rot/blau 2x 

4mm Laborkabel 200cm/1.0mm Paar schwarz 1x

2.1. Schallgeschwindigkeit in Gasen 43 

2.1.2 Grundlagen 

2.1.2.1 Schallgeschwindigkeit in Gasen 

Die Ausbreitung von Schallwellen in Gasen ist ein adiabatischer Prozeß. Das Schallfeld ist 

durch die Angabe von Schallschnelle u(x, t) (lokale Geschwindigkeit der Gasmoleküle) oder 

Schalldruck p(x, t) (lokale Abweichung des Drucks vom Außendruck) beschrieben. Ist der 

Schalldruck p klein gegenüber dem Außendruck p0, so gelten die Euler-Gleichungen: 

∂ 

∂ 

p(x, t) = −ϱ u(x, t) und 

∂x ∂t 

∂ 

1 

u(x, t) = − 

∂x κp0 

∂ 

∂t p(x, t) mit κ = cP /cV 

(2.1) 

Eine Lösung der Wellengleichung ∂2u ∂t2 = v2 ∂2u ∂x2 sind ebene Wellen: u(x, t) = u0sin(ωt±kx−φ) 

mit Kreiswellenzahl k = 2π/λ, Kreisfrequenz ω = 2πf und Phasengeschwindigkeit vph = 

ω/k. Ohne Dispersion entsprechen Phasen- und Gruppengeschwindigkeit vgr = ∂ω/∂k der 

Ausbreitungsgeschwindigkeit v, die für ein ideales Gas von der Temperatur T allein abhängig 

ist: 

v = � � 

� R · κ 

p0 · κ/ϱ = v0 T/T0 mit v0 = 

(2.2) 

T0 

Mmol 

allg. Gaskonstante: R = 8.3145 J/(mol K) 

Adiabatenexponent: κ = 7/5 für ein zweiatomiges Gas (N2, O2) 

Molmasse von Luft: Mmol = 28.984 · 10−3 Kg/mol 

üblicherweise wählt man: T0 = 273.15 K (=0◦C) 2.1.2.2 Stehende Wellen 

In einem geschlossenen Rohr bilden sich durch Überlagerung von einlaufenden mit reflektierten 

periodischen Schallwellen sog. stehende Wellen aus. Im Gegensatz zu frei laufenden (z.B. 

ebenen) Wellen gibt es hier Orte, an denen zu jeder Zeit die Schallschnelle oder der Schalldruck 

verschwinden (Knoten) und Zeiten, zu denen an jedem Ort Schalldruck oder Schnelle 

verschwinden. Befindet sich bei x=0 ein schallharter Abschluß, so ist dort die Schallschnelle 

zu jeder Zeit ux=0 = 0 (Schnelleknoten) und die Amplitude des Schalldrucks extremal 

(Druckbauch). 

Allgemein gilt in einem Rohr der Länge L mit schallhartem Abschluß bei x=0 und Schall- 

quelle bei x=L mit Schallschnelle u(x = L, t) = uL · sin ωt: u(x, t) = uL 

Damit ist der Effektivwert 

� 1 

T 

� T 

0 p2 (x, t)dt des Schalldrucks ˆp(x) = 

Die Druckknoten haben somit einen Abstand ∆x = λ/2 und liegen bei: 

sin kL 

ϱ · v · uL 

√ 2 

sin kx · sin ωt 

· cos kx 

sin kL 

xn = n · λ/2 − λ/4 n = 1, 2, . . . (2.3) 

Am schallharten Abschluß bei x=0 ist der Effektivwert des Schalldrucks: 

� 

ϱ · v · uL 2πf 

ˆpx=0 = √ / sin 

2 v L 

� 

d.h. bei fester Rohrlänge L liegen Resonanzen bei fn = n·v/2L n = 1, 2, . . . (2.4) 

und bei fester Frequenz f liegen Resonanzen bei Ln = n·v/2f n = 1, 2, . . . (2.5)


2.1.3 Vorbereitung 

Zur Vorbereitung ist es eine gute Übung, die Eulergleichungen 2.1 aus Beschleunigungs- und 

Kompressionsvorgängen eines diskreten Gasvolumens herzuleiten. Daraus wird die Wellengleichung 

ableitet, und die Ausbreitungsgeschwindigkeit abgelesen. Die Umrechnung in 2.2 

sollte auch linear nach TC in o C entwickelt werden. 

Zur Herleitung von Gl. 2.3 sind ein- und auslaufende Wellen nach Diskussion der Randbedingungen 

an der reflektierenden Wand phasenrichtig zu überlagern und mit Additionstheoremen 

zusammenzufassen. Weiterhin sind p und u über die Euler-Gl. 2.1 verknüpft. 

2.1.4 Messung und Auswertung 

Vier verschiedene Messungen sind möglich: 

A Laufzeit einer Störung in Abhängigkeit der Laufstrecke 

Mit dieser Messung wird die Schallgeschwindigkeit bei Raumtemperatur gemessen. 

B1 Schalldruck in Abhängigkeit des Ortes entlang des Rohres 

Das Schalldruckprofil einer stehenden Welle wird vermessen. 

B2 Schalldruck am schallharten Abschluß in Abhängigkeit der Resonatorlänge 

Diese Messung zeigt die Resonanzlängen einer stehenden Welle in einem geschlossenen 

Rohr. Warum wird am schallharten Abschluß gemessen? 

B3 Schalldruck am schallharten Abschluß in Abhängigkeit der Frequenz 

Diese Messung zeigt die Resonanzfrequenzen einer stehenden Welle in einem geschlossenen 

Rohr. 

Aus allen Messungen wird die Schallgeschwindigkeit bestimmt und mit der Erwartung nach 

Gl. 2.2 verglichen. Dazu ist jedesmal eine Messung der Lufttemperatur nötig, deren Unsicherheit 

ebenfalls berücksichtigt werden muß. 

Fehlerabschätzung 

Die Messungen zur Schallausbreitung in Luft werden mit Sensor-CASSY aufgezeichnet. Dabei 

kommen verschiedene Meßaufnehmer zum Einsatz, die teilweise vor der Messung kalibriert 

werden (Wegaufnehmer), deren systematische Unsicherheiten ansonsten aber nach 

Herstellerangaben abgeschätzt werden müssen (Zeitbasis, Temperatur). 

Die Schätzung der statistischen Fehler geschieht durch Mehrfachmessungen (Mittelwert/RMS) 

oder durch Variation der Meßwertintervalls z.B. für Peakwertbestimmungen. Mittels Fehlerfortpflanzung 

wird schließlich die Güte der Messung (Vertrauensbereich) ermittelt. I. A. 

reduziert sich der Fehler durch eine sinnvolle Verteilung der Meßwerte (kleinere Abstände 

und damit mehr Meßwerte an kritischen Stellen wie z.B. Resonanzfrequenzen oder Schalldruckknoten). 

Um die begrenzte Meßzeit effektiv auszunutzen, ist es sinnvoll, schon während der Messung 

die einzelnen Fehlerbeiträge getrennt zu bestimmen. Dominiert ein Beitrag den Meßfehler, 

sollte der weitere Aufwand in dessen Reduzierung investiert werden.


2.1.4.1 Laufzeit gegen Laufstrecke 

Wird die Laufzeit t einer Störung a(x − vt) für verschiedene Orte x gemessen, so ergibt sich 

die Ausbreitungsgeschwindigkeit v als Steigungsfaktor der Auftragung x gegen t auch ohne 

absolute Ortskenntnis der Störquelle. 

Hierzu werden Stoßwellen mit dem Piezo-Hochtonlautsprecher erzeugt und mit Sensor- 

CASSY aufgezeichnet. Abb. 2.1 zeigt den Aufbau: 

Mikrofon 

58626 

= 

~ 

Trigger 

12 V 

INPUT A 

INPUT B 

R 

TIMER−BOX 

R P + 

E 

T 

F 

524034 

STROMQUELLEN−BOX 

+ 

T 

524031 

S 

− + 

SENSOR−CASSY 524010 

Piezo 

Hochtöner 

Abbildung 2.1: CASSY Meßaufbau Laufzeit gegen Laufstrecke 

Am Tischende fixiert die Tischklemme die 50cm lange Alu-Schiene. An ihrem anderen Ende 

schließt sich die Rohr-Halterung an. Das Schallrohr wird mittig darauf gelegt und auf der 

hinteren Seite mit dem Piezo-Hochtöner abgeschlossen. 

Der Rohrabschluß mit Durchführung wird auf die vordere Rohrseite gesteckt. Das eingeschaltete 

1 Mikrophon wird im Trigger-Modus ∼ = ⊓ auf mittlere Empfindlichkeit eingestellt 

und im Sockel auf der Alu-Schiene verschiebbar durch die mittige Durchführung in das 

Rohrinnere geführt. 

1 Das Mikrophon schaltet sich nach ca. 10 Min. selbständig aus, um den Akkulaufzeit zu schonen. Bei 

Verschwinden des Signals (’kein Trigger’) daher zuerst durch Wiedereinschalten dieses Problem ausschließen. 

+ 

−


An der Tischklemme wird der Wegaufnehmer befestigt und ein an der Mikrophon-Stativstange 

befestigter Faden parallel zur Schiene über das Rad geführt, und mit einem Gewicht beschwert. 

An Kanal A wird die Timer-Box angeschlossen. Sie benötigt zur Laufzeitmessung ein Start- 

Signal am Eingang E und ein Stop-Signal am Eingang F. An den Eingang E wird der 

Piezolautsprecher richtig herum gepolt (E an +/gelb) angeschlossen. Parallel dazu wird das 

rechte Relais-Schalterpaar (R2/R3) geschaltet. Schließt das Relais, wird das Piezoelement 

entladen und sendet eine Stoßwelle aus. Gleichzeitig fällt die am Eingang E intern anliegende 

Spannung auf 0V, Startzeit ist somit die negative Flanke an E. Öffnet der Relais Schalter, 

so wird das Piezoelement – über den internen 15 kΩ Widerstand RP von Eingang E mit 

größerer Zeitkonstante ohne meßbare Schallaussendung – wieder auf +5V aufgeladen. Das 

Mikrophon im Triggermodus liefert bei Eintreffen der Stoßwelle das Stop-Signal und wird 

an Eingang F angeschlossen. 

Zur Streckenmessung wird der Wegaufnehmer (Mehrgangpotentiometer) über die Stromquellen- 

Box (liefert konstanten Strom) an Kanal B angeschlossen. Die Laufrichtung kann durch die 

Wechsel des Potentiometer-Endabgriffs umgekehrt werden. Der Nullpunkt wird so eingestellt 

(und während der Messung kontrolliert), daß der gesamte Verschiebebereich des Mikrophons 

gemessen werden kann. 

Wegen der Bauteiletoleranz des Potentiometers im Prozentbereich muß der Wegaufnehmer 

in einem Vorversuch mit dem Bandmaß kalibriert werden. Dazu werden die mit dem Bandmaß 

gemessenen Orte S gegen den Widerstand Rb1 des Wegaufnehmers wie in Abb. 2.2 

aufgezeichnet. Bei äquidistanten Kalibrationspunkten mit ähnlichen Einzelfehlern reduziert 

die Parametrisierung S −S0 = K ·(R−R0) die Anpassung auf eine Ursprungsgerade (S0 und 

R0 sind die mittleren Orte und Widerstände). Die Steigung der Ausgleichsgeraden liefert den 

Kalibrationsfaktor K, zur Umrechnung von Widerstandseinheiten auf Längeneinheiten. 

CASSY / Kanal B / Strombox 

Widerstand Rb1, 0-3kOhm, 

gemittelt 1000 ms 

Meßparameter / manuell 

Formel / neue Größe S = 60-2*n 

(Messungen bei 58,56,...) 

Darstellung / X-Achse Rb1 

Y-Achse S 

Abbildung 2.2: CASSY-LAB Kalibration des Wegaufnehmers. 

Wie bei allen Ausgleichsrechnungen sind die Einzelfehler auf der x- und y-Achse zu berücksichtigen. 

Liefert die Geradenanpassung ein χ 2 von etwa 1 pro Freiheitsgrad, so ist die Fehlerabschätzung 

– und damit auch der Fehler des Steigungsfaktors – sinnvoll. Diese Unsicherheit von K muß 

bei den folgenden Messungen als systematischer Fehler berücksichtigt werden, d.h. er liefert


unabhängig von den jeweiligen Einzel-Meßwerten einen zusätzlichen Beitrag als Skalenfehler 

bei der Umrechnung des Endergebnisses von kΩ auf m. 

Zur Bestimmung der Schallgeschwindigkeit wird die Laufzeit an ca. 8 Orten in Abständen von 

ca. 5cm gemessen. Dazu wird das Mikrophon in die gewünschte Position verfahren und die 

Stabilisierung der Ortskoordinate abgewartet. Mit Start/Stop [F9] wird für diesen Ort eine 

Meßreihe gestartet und nach ca. 10 Werten wieder beendet. Die aufgenommenen Meßreihen 

werden zur weiteren Auswertung in einer Datei gespeichert. 

CASSY-Lab Tip zur Aufzeichnung der Meßwerte: 

CASSY / Kanal A / Laufzeit Dta1 E->F, 0.002s, Flanken invertiert 

Kanal B / Widerstand Rb1, 0-3kOhm, gemittelt 1000 ms 

Relais / frac(t)


2.1.4.2 Druckknoten einer stehenden Welle 

Gemessen wird das Schalldruckprofil einer stehenden Welle, also die Ortsabhängigkeit der 

Schalldruckamplitude entlang des Rohrs. Abb. 2.4 zeigt den Aufbau: 

Mikrofon 

58626 

12 V 

INPUT A 

INPUT B 

= 

~ 

R 

p eff 

I 

U 


+ 

T 

524031 

S 

− + 


Frequenz Bereich Amplitude 

0.2 

FEIN 

− + 

FG 200 

2.4 

x100k 

x10k 

x1k 

x100 

x10 

x1 

Signal Form 

min max 

DC 

AC 

low 

Offset 

0 

− + 

Abbildung 2.4: CASSY Meßaufbau Schalldruck gegen Ort 

AC 

high 

Lautsprecher 

Das Mikrophon im Effektivwertmodus ∼ = ⊓ wird nun direkt an CASSY Kanal A angeschlossen 

und ansonsten wie in Versuch 2.1.4.1 durch die mittige Öffung der Abschlußkappe 

ins Rohrinnere geführt. 

Als Schallquelle dient der Klein-Lautsprecher in der Kappe, die das Rohr am hinteren Ende 

abschließt. Mit dem BNC-Lemo-Adapter wird er an den niederohmigen DC-Ausgang des 

Funktionsgenerators angeschlossen und dieser wie folgt betrieben, um Sinusschwingungen 

bei ca. 2400 Hz zu erzeugen: 

Signalform ∼ (Sinusschwingung) 

Bereich x1k (0.2 - 2.4 x 1 kHz) 

Offset 0 (kein Konstantstrom durch den Lautsprecher) 

Amplitude mittig (Minimum für sichere Frequenzmessung) 

Vor der eigentlichen Messung wird eine Resonanz-Frequenz bei ca. 2400Hz eingestellt und 

nach Versuchsaufbau aus Abb. 2.10 mit der Timer-Box an CASSY Kanal B gemessen.


Im weiteren wird mit CASSY Kanal B die Mikrophonposition gemessen. Wie bei Messung 

2.1.4.1 wird dazu der Wegaufnehmer über die Strombox angeschlossen. Am schallharten 

Rohrende wird er auf x=0 eingestellt, mit Anstieg zum hinteren Ende hin. 

Vor Aufnahme einer Meßreihe sollte der dynamische Bereich des Mikrophonkanals an den 

Maximalwert im Druckbauch angepaßt werden. 


CASSY / Kanal A / Spannung Ua1 0-Umax Nullpunkt links, gemittelt 1000 ms 

Kanal B / Widerstand Rb1 0-3kOhm gemittelt 1000 ms 


Formel / neue Größe S=Rb1*15.91 (Wegaufnehmer Kalibration) 

Darstellung / X-Achse S 

Y-Achse Ua1 

Nach Einstellen einer Position und Stabilisierung des Ortswertes wird mit Start/Stop [F9] 

ein Meßwert aufgenommen. Die Wahl der weiteren Positionen sollte wie in Abb. 2.5 auf die 

optimale Bestimmung der Druckknoten und -Bäuche ausgerichtet sein. 

Abbildung 2.5: Messung der Schalldruckamplitude gegen den Ort. 

Es werden die Positionen xn der 

Druckbäuche und -Knoten a bestimmt 

und über n aufgetragen. Nach Gl. 2.3 

liegen diese Werte auf einer Geraden 

mit Steigung λ/2. 

Mit v = λf wird aus diesen Messungen 

die Schallgeschwindigkeit bestimmt: 

a Wird die Knotenlage mit dem Peakfinder 

ermittelt, so muß die Kurve invertiert werden! 

Warum? 

Abbildung 2.6: Schallgeschwindigkeit aus Peaklage der Druckknoten und -Bäuche.


2.1.4.3 Resonanzlängen einer stehenden Welle 

Gemessen wird die Abhängigkeit der Schalldruckamplitude einer stehenden Welle von der 

Resonatorlänge. Abb. 2.7 zeigt den Aufbau: 

Mikrofon 

58626 

12 V 

INPUT A 

INPUT B 

= 

~ 

R 

p eff 

I 

U 


+ 

T 

524031 

S 

− + 



0.2 

FEIN 

− + 

FG 200 

2.4 

x100k 

x10k 

x1k 

x100 

x10 

x1 

Signal Form 

min max 

DC 

AC 

low 

Offset 

0 

− + 

AC 

high 

Lautsprecher 

Abbildung 2.7: CASSY Meßaufbau Schalldruck gegen Resonatorlänge 

Auf das Ende des Mikrophons im Effektivwertmodus ∼ = ⊓ wird vorsichtig die Lochscheibe 

geschoben, um an einem im Rohr verschiebbaren schallharten Abschluß im Druckbauch 

die Schalldruckamplitude zu messen. Es wird direkt an Sensor-CASSY Kanal A angeschlossen. 

Als Schallquelle dient der Lautsprecher in der Kappe, die das Rohr am hinteren Ende abschließt, 

um Sinusschwingungen bei ca. 2400 Hz zu erzeugen. Angeregt wird er vom Funktionsgenerator, 

mit folgenden Einstellungen: 





Der Lautsprecher wird mit dem BNC-Lemo-Adapter an den niederohmigen DC-Ausgang 

angeschlossen.


Vor der eigentlichen Messung wird die höchste Frequenz (ca. 2400Hz) eingestellt und nach 

Versuchsaufbau aus Abb. 2.10 mit der Timer-Box an CASSY Kanal B gemessen. 

Im weiteren wird mit CASSY Kanal B die Mikrophonposition gemessen. Wie bei Messung 

2.1.4.1 wird dazu der Wegaufnehmer über die Strombox angeschlossen. 

Vor der Aufnahme der Meßwerte empfiehlt es sich, den dynamischen Bereich des Mikrophon- 

Kanals an die maximale Schalldruckamplitude bei Resonanz anzupassen, d.h. die Empfindlichkeit 

des Mikrophons möglichst niedrig einstellen und ggf. die Amplitude am Funktionsgenerator 

erhöhen, um den gewählten Meßbereich von CASSY Kanal A optimal auszunutzen. 



Kanal B / Widerstand Rb1 0-3kOhm gemittelt 1000 ms 


Formel / neue Größe S=Rb1*15.91 (Wegaufnehmer Kalibration) 

Darstellung / X-Achse S 

Y-Achse Ua1 

Nach Einstellen einer Position und Stabilisierung des Ortswertes wird mit Start/Stop [F9] 

ein Meßwert aufgenommen. Die Wahl der weiteren Positionen sollte auf die optimale Bestimmung 

der Resonanzlängen ausgerichtet sein. Abb. 2.8 zeigt eine solche Messung. 

Abbildung 2.8: Messung der Schalldruckamplitude gegen die Resonatorlänge. 

Zur quantitativen Auswertung werden die 

Messungen in einer Datei abgespeichert. Es 

werden die Resonanzlängen Ln bestimmt 

und über n aufgetragen. Nach Gl. 2.5 liegen 

diese Werte auf einer Geraden mit Steigung 

v/2f. Bei bekannter Frequenz f wird mit dieser 

Messung die Schallgeschwindigkeit v bestimmt. 

Abbildung 2.9: Bestimmung der Schallgeschwindigkeit aus den Resonanzlängen.


2.1.4.4 Resonanzfrequenzen einer stehenden Welle 

Gemessen wird die Frequenz-Abhängigkeit der Schalldruckamplitude einer stehenden Welle 

am schallharten Abschluß bei fester Resonatorlänge. Abb. 2.10 zeigt den Aufbau: 

Mikrofon 

58626 

= 

~ 

p eff 

12 V 

INPUT A 

INPUT B 

R 

TIMER−BOX 

R P + 

E 

T 

F 

I 

U 

524034 

S 

− + 



0.2 

FEIN 

− + 

FG 200 

2.4 

x100k 

x10k 

x1k 

x100 

x10 

x1 

Signal Form 

min max 

DC 

AC 

low 

Offset 

0 

− + 

AC 

high 

Lautsprecher 

Abbildung 2.10: CASSY Meßaufbau Schalldruck gegen Frequenz 

Das Mikrophon im Effektivwertmodus ∼ = ⊓ wird an das Rohrende verschoben, um am 

schallharten Abschluß im Druckbauch die Schalldruckamplitude zu messen. Es wird direkt 

an Sensor-CASSY Kanal A angeschlossen. 

Als Schallquelle dient der Lautsprecher in der Kappe, die das Rohr am hinteren Ende abschließt, 

um Sinusschwingungen zwischen 200 Hz und 2400 Hz zu erzeugen. Angeregt wird 

er vom Funktionsgenerator, der folgendermaßen eingestellt wird: 





Der Lautsprecher wird mit dem BNC-Lemo-Adapter an den niederohmigen DC-Ausgang 

angeschlossen. Zur Frequenzmessung wird der rechte Hochpegel AC-Ausgang an den Eingang 

E der CASSY Timer-Box in Sensor-CASSY Kanal B angeschlossen.


Vor der Aufnahme der Meßwerte empfiehlt es sich, den dynamischen Bereich des Mikrophon- 

Kanals an die maximale Schalldruckamplitude bei Resonanz anzupassen, d.h. die Empfindlichkeit 

des Mikrophons möglichst niedrig einstellen und ggf. die Amplitude am Funktionsgenerator 

erhöhen, um den gewählten Meßbereich von CASSY Kanal A optimal auszunutzen. 



Kanal B / Timerbox / Frequenz fb1(E) 5000 Hz Torzeit 1s 


Darstellung / X-Achse fb1 

Y-Achse Ua1 

Nach Einstellen einer Frequenz und Stabilisierung des Frequenzwerts wird mit Start/Stop 

[F9] ein Meßwert pro Frequenz aufgenommen. Die Wahl der weiteren Frequenzwerte sollte 

auf die optimale Bestimmung der Resonanzfrequenzen ausgerichtet sein. Abb. 2.11 zeigt 

eine solche Messung. Wie zu erkennen ist, sind diese Resonanzen recht schmal. Daher empfiehlt 

es sich, deren Lage vorher abzuschätzen. Mit der Frequenz-Feineinstellung kann ein 

Resonanzbereich dann komplett durchgestimmt werden. 

Abbildung 2.11: Messung der Schalldruckamplitude gegen die Frequenz 

Zur quantitativen Auswertung werden die 

Messungen in einer Datei abgespeichert. Es 

werden die Resonanzfrequenzen fn bestimmt 

und über n aufgetragen. Nach Gl. 2.4 liegen 

diese Werte auf einer Geraden mit Steigung 

v/2L. Bei bekannter Resonanzlänge L 

des Rohres (zwischen den Endkappen) wird 

mit dieser Messung die Schallgeschwindigkeit 

v bestimmt: 

Abbildung 2.12: Bestimmung der Schallgeschwindigkeit aus den Resonanzfrequenzen.


2.2 Schallgeschwindigkeit in Festkörpern 


Messung der Schallgeschwindigkeit in Metallen zur Bestimmung des Elastizitätsmoduls. 


Schallausbreitung in Festkörpern 


Stehende Wellen 

Fourier-Analyse 


Universalmikrophon mit Stativstange 1x 

Sockel 1x 

Tischklemme 1x 

Metallstange 20cm 1x 

Kreuzmuffe 1x 

Metallstift ø 4mm L 30mm 1x 

Gummi-Hammer 1x 

Mikrometermaß 0-25mm 1x 

Stahl-Bandmaß 2m 1x 

Metallstangen 1.3m Cu, Al, Fe, Messing je 1x 

Analysewaage im Raum 


Der Elastizitätsmodul E ist eine Materialkonstante und charakterisiert die relative Längenausdehnung 

eines Materials abhängig von der angreifenden Zugspannung: E := F ∆L / A L . 

Für Metalle ist E in der Größenordnung 10 11 N/m 2 und damit nur für dünne Drähte statisch 

meßbar. Mit Metallstäben ist jedoch eine dynamische Messung möglich, indem die 

Ausbreitungsgeschwindigkeit vl = � E/ϱ von longitudinalen Schallwellen bestimmt wird. 

Ein mittig eingespannter Stab der Länge L wird durch geeignetes Anschlagen zur longitudinalen 

Grundschwingung der Wellenlänge λ0 = 2L angeregt. Die Frequenz f0 und die Dichte 

ϱ werden gemessen und mit vl = f0 · λ0 ergibt sich 

E = ϱ · f 2 0 · 4L 2 

(2.6)

2.2. Schallgeschwindigkeit in Festkörpern 55 


Ausmessen des Stabes zur Dichtebestimmung 

a Länge L mit dem Bandmaß 

b Durchmesser D mit dem Mikrometermaß, gemittelt über 

mehrere Positionen entlang des Stabs (kann variieren) 

in mehreren Orientierungen (Elliptizität) 

c Masse M auf der Analysewaage 

Die Dichte berechnet sich zu ϱ = M/V = M/(L · πD 2 /4) 

Einspannen des Stabes 

Abb. 2.13 zeigt den mechanischen Aufbau zusammen mit der Sensor-CASSY Datenaufnahme. 

Mikrofon 

58626 

= 

~ 

Ampl. 

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 

Abbildung 2.13: CASSY Meßaufbau Schallgeschwindigkeit in Stäben 

12 V 

INPUT A 

INPUT B 

R 

S 

I 

U 

U 

− + 


Die Kreuzmuffe wird an der kurzen Metallstange mit der Tischklemme am Tisch befestigt. 

Der 1.3m Metallstab wird – von einem Metallstift unterstützt – parallel zur Tischfläche so 

in der Kreuzmuffe eingespannt, daß er nur an 2 Punkten (Pfeile) gehalten wird und damit 

frei schwingen kann.


Aufnahme der Meßwerte 

Als Meßaufnehmer dient das Mikrophon. Es wird im Amplitudenmodus ∼ = ⊓ auf niedrigster 

Empfindlichkeit in ca. 5mm Abstand vom Stabende aufgestellt und eingeschaltet 2 

. Aufgezeichnet werden die Meßwerte mit Sensor CASSY. Bei geeigneter Einstellung der 

Zeitbasis können sowohl die Schwingungen, als auch deren Fast-Fourier-Frequenzspektren 

(FFT) dargestellt werden. 


CASSY / Kanal A / Spannung Ua1 +-0.3V Momentanwerte 

Meßparameter / automatisch Intervall 100 mu s x16000 

Darstellung / X-Achse t 

Y-Achse Ua1 

FFT / Fast Fourier Transformation von Ua1 

Angeregt wird die Schwingung durch einen leichten Schlag auf das Stabende mit dem Gummihammer. 

Der Anschlag wird solange variiert, bis der Höreindruck bzw. das Frequenzspektrum 

eine saubere Anregung der Grundschwingung zeigt. Bessere Ergebnisse werden erzielt, 

wenn die Messung mit [F9] ([n]) erst im Ausklingen der Schwingung gestartet wird, da so 

die Einschwingvorgänge direkt nach dem Anschlagen nicht mit aufgezeichnet werden. Abb. 

2.14 zeigt ein solches FFT-Spektrum für einen Messingstab. 

Abbildung 2.14: FFT-Spektrum mit Oberschwingung in log-Darstellung erkennbar 

2 Das Mikrophon schaltet sich nach ca. 10 Min. selbständig aus, um die Akkulaufzeit zu verlängern. Bei 

Verschwinden des Signals (’kein Trigger’) daher zuerst durch Wiedereinschalten dieses Problem ausschließen.

2.2. Schallgeschwindigkeit in Festkörpern 57 

Fünf solcher Schwingungen mit etwa 1000 Perioden sowie deren FFT-Spektren incl. der 

Bestimmung des Peakschwerpunktes von f0 werden zur weiteren Auswertung abgespeichert. 

Diese Messungen sollten mit den anderen Gruppen im Raum koordiniert werden, denn ein 

weiterer zur selben Zeit angeschlagener Metallstab gleichen Materials würde die Messung 

verfälschen. Ein zur selben Zeit angeschlagener Metallstab anderern Materials ist im Fourier- 

Spektrum problemlos bei seiner Frequenz zu erkennen und beeinträchtigt wegen der schmalen 

Linienbreite die Auswertung nicht. Er wäre auch mit wesentlich kleinerer Amplitude 

zusätzlich auswertbar. 

Auswertung der Meßdaten 

a Aus einem Ausschnitt der aufgezeichneten Schwingung wird wie z.B. in Abb. 2.15 die 

Frequenz f0 aus der Zeitdauer für mindestens 20 Perioden ermittelt. 

b Aus dem diskreten FFT-Frequenzspektrum wird f0 wie z.B in Abb. 2.16 aus der Peaklage 

der Grundschwingung bestimmt. 

c Eine Fouriertransformation der gesamten aufgezeichneten Schwingung ui(ti) liefert eine 

genauere Frequenzbestimmung. Dazu wird der Betrag der Fouriertransformierten a 

in einem Bereich f = f0 � 

± 10 Hz in geeigneter Schrittweite berechnet: 

�� 

� n� 

�2 � 

n� 

�2 |a(f)| ∼ 

� 

ui · cos (2πfti) + ui · sin (2πfti) 

i=1 

i=1 

Die Lage des Maximums von |a(f)| und damit f0 wird durch Anpassung einer Parabelfunktion 

oder den Peakfinder bestimmt. Für diese Auswertung gibt es ein Maple-Script 

Beispiel. 


Systematische Fehler resultieren z.B. aus Gerätegenauigkeiten oder Ablesefehlern. Sie werden 

für jede Einzelmessung geschätzt. Statistisch verteilte Fehler werden durch die Streuung von 

Mehrfachmessungen abgeschätzt. Der Gesamtfehler ergibt sich mittels Fehlerfortplanzung 

aus den Einzelfehlern, hier zu: ∆E = E · 

- Zeitbasis und FFT Peaklagen-Fehler für f0 

- Meßfehler für Stab-Länge, -Durchmesser und -Masse 

� 

(2 ∆f0 

f0 )2 + ( ∆M 

M )2 + ( ∆L 

L )2 + (2 ∆D 

D )2 

- Temperatur: L = L0(1 + αl(T − T0)) mit Längenausdehnungskoeffizient αl 

Wie groß ist dieser Beitrag für f0 und ϱ ? 

Bei dieser Messung ist eine Abschätzung der Einzelfehlerbeiträge sehr aufschlußreich.


Abbildung 2.15: Ausschnitt der aufgezeichneten Messingstab-Schwingungen 

Abbildung 2.16: FFT-Peakposition der Messingstab-Grundschwingung

2.3. Schwebungen von Schallwellen 59 

2.3 Schwebungen von Schallwellen 


Spektralanalyse von Wellenüberlagerungen 



Fourier-Analyse 


Universalmikrophon mit Stativstange 1x 

Sockel 1x 

Stimmgabel Resonanzkörper Schiebe-Gewicht je 2x 

Anschlaghammer 1x 


Schallwellen breiten sich in einem Medium aus. Da z.B. in Luft dieselben Gasmoleküle von 

verschiedenen Schallquellen zu Schnelleoszillationen angeregt werden, überlagern sich alle in 

einem Punkt eintreffenden Schallwellen. Schalldruck p und Schallschnelle u sind bei ebenen 

fortlaufenden Wellen mit u(x, t) = u0 cos (2πft − 2πx/λ) in Phase: p(x, t) = ϱfλ · u(x, t) 

� 

Der Schalldruck p am Ort x ergibt sich als Summe aller eintreffenden Wellen: p(x, t) = 

pi(x, t) 

i 

Für zwei einander entgegenlaufende Wellen i=1,2 mit Kreisfrequenzen ωi = 2πfi, Kreiswellenzahlen 

ki = 2π/λi gleicher Amplitude p0 � und beliebiger Phasendifferenz φ ergibt sich: 

ω1 + ω2 

p(x = 0, t) = p1 + p2 = 2p0 cos t − 

2 

φ 

� � 

ω1 − ω2 

· cos t + 

2 

2 

φ 

� 

, 

2 

d.h. eine Schwingung mit mittlerer Frequenz ¯ f und Schwebungsfrequenz fs: 

¯f = f1 + f2 

2 

fs = f1 − f2 

2 

(2.7) 

Mit Ts = 1/fs haben zwei aufeinanderfolgende Schwebungsknoten einen Abstand Tk = Ts/2. 


Mit dem eingeschalteten 3 Mikrophon im Amplitudenmodus ∼ = ⊓ auf niedrigster Empfindlichkeit 

wird der Schalldruck mittig zwischen den Resonanzkörpern der zwei Stimmgabeln 

gemessen, die mit Zusatzmassen unterschiedlich gestimmt werden können. Die Meßwerte 

werden mit Sensor-CASSY in geeigneter Schrittweite aufgezeichnet, sodaß sowohl die 

Schwingungen als auch deren Fast-Fourier-Frequenzspektren (FFT) sinnvoll dargestellt werden. 

Abb. 2.17 zeigt den Aufbau. 

3 Das Mikrophon schaltet sich nach ca. 10 Min. selbständig aus, um die Akkulaufzeit zu verlängern. Bei 

Verschwinden des Signals (’kein Trigger’) daher zuerst durch Wiedereinschalten dieses Problem ausschließen

82 CASSY Lab 

60 Akustische Schwebungen 

Kapitel 2. Akustik 

Abbildung 2.17: CASSY Meßaufbau Akustische Schwebungen 

Beispiel laden 

Versuchsbeschreibung 

Es wird die Schwebung aufgezeichnet, die durch zwei geringfügig gegeneinander verstimmte Stimmgabeln 

erzeugt wird. Die Einzelfrequenzen f1 und f2, die neue Schwingungsfrequenz fn und die 

Schwebungsfrequenz fs werden ermittelt und können mit den theoretischen Werten 

Vor der Aufnahme der Meßwerte den dynamischen Bereich des Mikrophon-Kanals an die 

maximale Schalldruckamplitude anpassen. 

fn = ½ (f1 + f2) und fs = | f1 − f2 | 

verglichen werden. 


Benötigte Geräte 

1 Sensor-CASSY 524 010 

1 CASSY Lab 524 200 

1 Paar Resonanzstimmgabeln 414 72 

1 Universalmikrofon 586 26 

1 Sockel 

1 PC Y-Achse ab Windows Ua1 95/98/NT 

300 11 

CASSY / Kanal A / Spannung Ua1 +- Umax V Momentanwerte 

Meßparameter / automatisch Intervall 500 mu s x16000 

Trigger Ua1 0.1 V steigend 

Darstellung / X-Achse t 

FFT / Fast Fourier Transformation von Ua1 

Versuchsaufbau (siehe Skizze) 

Das Universalmikrofon (Funktionsschalter auf Betriebsart “Signal” und Einschalten nicht vergessen) 

wird zwischen beiden Stimmgabeln positioniert und an Eingang A des Sensor-CASSYs angeschlossen. 

Eine der Stimmgabeln wird durch eine Zusatzmasse geringfügig verstimmt. 

Für die Schwebung ist – wie in Abb. 2.18 ausschnittweise zu sehen – auf eine möglichst 

vollständige Auslöschung in den Schwebungsknoten zu achten, d.h. die Amplituden der beiden 

Schallwellen müssen beim Mikrophon gleich groß sein. 

Versuchsdurchführung 

Einstellungen laden 

• Erste Stimmgabel anstoßen und Messung mit F9 auslösen 

• Signalstärke mit Einsteller am Mikrofon optimieren 

• Frequenz f1 ermitteln (z. B. durch senkrechte Markierungslinien in der Standard-Darstellung oder 

als Peakschwerpunkt im Frequenzspektrum) 

Neben der Schwebung für drei verschiedene Frequenzdifferenzen sind auch die Schwingungen 

und FFT-Frequenzspektren der einzeln angeschlagenen Stimmgabeln aufzuzeichnen. Diese 

Messungen sollten mit den anderen Gruppen im Raum koordiniert werden, um störungsfreie 

Daten aufzuzeichnen.


Abbildung 2.18: Schwebung mit nahezu vollständiger Auslöschung in den Schwebungsknoten 

Auswertung der Meßdaten 

a Aus einem Ausschnitt der aufgezeichneten Schwingungen werden die Frequenzen f1, 

f2 und ¯ f aus der Zeitdauer für mindestens 20 Perioden ermittelt. 

Die Schwebungsfrequenz fs wird aus dem Zeitabstand Tk der Schwebungsknoten bestimmt. 

Decken sich die Messungen von ¯ f und fs mit den Vorhersagen aus Gl.2.7? 

b Aus den diskreten FFT-Frequenzspektren der einzeln und gemeinsam angeschlagenen 

Stimmgabeln werden die Frequenzen f1 und f2 – wie z.B in Abb. 2.19 für die Schwebung 

gezeigt – aus den Peaklagen bestimmt. 

Abbildung 2.19: Bestimmung der Einzelfrequenzen aus den FFT-Peaklagen 

c Die Fouriertransformation der gesamten aufgezeichneten Schwingungen ui(ti) zeigt deren 

spektrale Zusammensetzung. Dazu wird der Betrag der komplexen Fouriertransformierten 

a(f) ∼ � +∞ 

−∞ u(t)e−i2πf·tdt in einem Bereich ±2fs um f1, f2 bzw. ¯ f in geeigneter 

Schrittweite durch Summen-Näherung des Fourierintegrals berechnet:


� 

�� 

� n� 

|a(f)| ∼ 

� 

ui · cos (2πfti) 

i=1 

� 2 

+ 

� n� 

i=1 

ui · sin (2πfti) 

Die Lage der Maxima von |a(f)| und damit f1 bzw. f2 werden – wie in Abb. 2.20 

gezeigt – durch Anpassung von Parabelfunktionen bestimmt. 

In der Fouriertransformierten der Schwebung können die zwei Frequenzen noch getrennt 

werden, wenn ihr Abstand ∆f größer ist, als die eineinhalbfache Halbwerts- 

Breite σf der Einzelspektren. Diese Breite fällt mit der Anzahl N der aufgezeichneten 

Perioden: σf/f ≈ 1/2N, sodaß sich als Trenn-Bedingung ergibt: Tmess = N ¯ T > 1.5Tk. 

Damit ist auch in der Fouriertransformierten eine Trennung der zwei Frequenzen erst 

möglich, wenn mindestens zwei Schwebungsknoten aufgezeichnet wurden. Dies kann 

durch Einschränkung der verwendeten Meßwerte in den Fouriersummen gezeigt werden. 


Die Abschätzung der Fehler beschränkt sich hier auf die Genauigkeit mit der die Zeitdauer 

für die gemessenen Schwingungsperioden ermittelt werden kann. Wegen der diskreten Abtastung 

des Signals ui zu Zeiten ti mit Abstand ∆ti ist selbst durch Interpolation zwischen 

zwei Meßwerten keine Verbesserung unter 0.1 ∆ti zu erwarten. 

Im Allgemeinen lassen sich Nulldurchgänge präziser ermitteln als die Extrema, dabei ist 

aber ein evtl. vorhandener Offset der Schwingung, d.h. eine Abweichung der Nullage von u 

zu berücksichtigen. 

Für die Fouriertransformierten sind die Fehler der Fit-Parameter der Peak-Maxima eine 

Abschätzung. Dabei ist auf eine sinnvolle Güte der Anpassung zu achten (χ 2 pro Freiheitsgrad 

≈ 1). 

Da diese Messung nur ein relativer Vergleich ist, heben sich die systematischen Fehler auf 

und es bleiben die statistisch verteilten Fehler. Diese können auch aus der Schwankung von 

Mehrfachmessungen abgeschätzt werden. 

� 2


u/V 

u/V 

abs(a) 

0.5 

0 

-0.5 

0.05 

0 

-0.05 

0.15 

0.1 

0.05 

0 

0 2 4 6 8 

t/s 

2.45 2.5 2.55 2.6 2.65 

t/s 

f1 = 439.334 Hz f2 = 439.835 Hz 

439 439.5 440 

Abbildung 2.20: Fouriertransformation für nah beieinander liegende Einzelfrequenzen 

Oben: Die gesamte aufgezeichnete Schwebung 

Mitte: Ein Ausschnitt mit Knoten bei t=2.55s 

Unten: Die Fouriertransformierte mit Parabelanpassungen für f1 und f2 

f/Hz


2.4 Doppler-Effekt 

a) Messung der Schallgeschwindigkeit in Luft 

b) Doppler-Effekt 

c) Echolot 

2.4.1 Versuchsziele 

α) Abstrahlcharakteristik des Senders (Schallumwandler) 

Hierbei handelt es sich um einen Vorversuch, um einen guten, langzeitstabilen Senderbetrieb 

zu garantieren. 

a) Bestimmung der Schallgeschwindigkeit in Luft 

Mit einem Oszilloskop wird die Phasenverschiebung bei Veränderung des Abstandes 

zwischen Sender und Empfänger sichtbar gemacht. Das Durchfahren von 100 Wellenlängen 

bei fester Senderfrequenz ermöglicht die Bestimmung der Schallgeschwindigkeit 

in Luft. 

b) Überprüfung des Doppler-Effektes 

Das Frequenzspektrum einer periodisch hin- und herfahrenden Schallquelle wird ausgemessen 

und mit der theoretischen Erwartung verglichen. 

c) Das Echolot-Prinzip wird an einer reflektierenden Wand erprobt. 

2.4.2 Physikalische Grundlagen 

Kenntnisse: 

Wellengleichungen, Schall als harmonische Welle, Dopplereffekt, Echolot-Prinzip 

Schall ist eine longitudinale Welle mit den Feldgrößen Schalldruck p (skalar) und Schallschnelle 

u (Bewegung der Einzelteilchen entlang Ausbreitungsrichtung). In diesem Versuch 

werden Ultraschallwellen bei einer Frequenz von ca. 40 kHz benutzt (hörbarer Schall endet 

– je nach Güte des menschlichen Ohres – bei 15 bis 20 kHz), um die Schallgeschwindigkeit 

in Luft bei Raumtemperatur zu messen und den Dopplereffekt zu überprüfen. Als letzter 

Versuchsteil wird das Sender–Empfänger–System ebenfalls in Luft als Echolot betrieben. 

Eine ebene Welle, die sich o.B.d.A in x-Richtung ausbreitet, wird durch die Wellengleichung 

der Form: 

d2a 1 

= 

dx2 c2 · d2a dt2 (2.8) 

beschrieben, wobei a die Feldgröße (p und u) bezeichnet. Zur Herleitung der Wellengleichung 

in Gasen benötigt man die Eulerschen Gleichungen für adiabatische Prozesse: 

dp 

dx 

= −ρ · du 

dt 

, 

dp 

dt = −p0κ · du 

dx 

(2.9)

2.4. Doppler-Effekt 65 

wobei ρ, p0 und κ Dichte, Druck und Adiabatenkoeffizient (= cp/cV = 1,4 bei zweiatomigen 

Gasen) des Mediums sind. 

Eine mögliche Lösung der Wellengleichung für die Druckamplitude ist 

� 

p(x, t) = ˆp · sin 2π f0 · t − x 

� 

+ Φ 

λ0 

(2.10) 

Offenbar kann bei gleichzeitiger Messung der Frequenz f0 und Wellenlänge λ0 die Schallgeschwindigkeit 

c in Luft bestimmt werden: 

c = λ0 · f0 

(2.11) 

Sendet ein Sender mit konstanter Frequenz f , so kann ein Empfänger an einem festen Ort 

eine zeitlich Schwingung mit dieser Frequenz registrieren: 

p(x, t) = p0 · sin 2π (f0 · t + Φ) (2.12) 

Die Phase Φ ist nun durch den Abstand zwischen Sender und Empfänger in Wellenlängeneinheiten 

bestimmt. 

Zur Piezo-Elekritzität: 

Bestimmte Kristalle können entlang ausgezeichneter Symmetrieachsen bei mechanischem 

Druck eine elektrische Polarisation erfahren, die eine messbare Spannung an den Außenflächen 

des Kristalls erzeugt. Andererseits kann eine angelegte Spannung zu einer mechanischen 

Verschiebung der kristallinen Struktur führen. Diese Effekte können wegen der kleinen 

Auslenkungen sehr schnell ablaufen. In diesem Versuch werden Piezokristalle als sogenannte 

Ultraschallwandler benutzt. Trotz der für ein Material immer gleichen Kristallstruktur, 

die im Prinzip immer zu derselben Resonanzfrequenz führen müsste, besitzt jeder Kristall 

aufgrund seiner geometrischen Dimensionen eine eigene Resonanzfrequenz, bei der er maximalen 

Ausschlag zeigt. Die Resonanzfrequenz der verwendeten Ultraschallwandler liegt bei 

40 kHz. 

Zum Doppler-Effekt: 

Bewegen sich Sender und Empfänger relativ zueinander, so misst der Empfänger eine von 

der Senderfrequenz f0 verschiedene Frequenz f . Das Phänomen ist nicht symmetrisch bzgl. 

Vertauschung von Sender- und Empfängerbewegung. Für die vom Empfänger registrierten 

Frequenzen gilt: 

und 

f = f0 · 

1 

1 ± v/c 

f = f0 · (1 ± v/c) 

� + : Sender entfernt sich 

− : Sender nähert sich 

� 

� + : Empfänger nähert sich 

− : Empfänger entfernt sich 

� 

(2.13) 

(2.14)


Abbildung 2.21: Der Doppler-Effekt bei bewegter Quelle 

Meist ist die Geschwindigkeit des Senders klein gegenüber der Schallgeschwindigkeit c (wir 

erwarten in diesem Versuch 1 : 350), sodass die erste Formel gemäß der Taylorentwicklung 

umgeformt werden kann in: 

f = f0 · 

� 

1 ∓ v 

c + 

v 

� 

v 

� � 

2 

� 

∓ . . . ≈ f0 · 

c 

1 ∓ v 

c 

� 

(2.15) 

Zum Echolot: 

Das Echolotprinzip ist aus dem Alltag wohlbekannt: Schall (und natürlich auch Ultraschall) 

wird an Grenzflächen zwischen Medien unterschiedlichen Schallwellenwiderstandes gut reflektiert. 

Das Echolot benutzt eine gepulste Schallquelle, um Wellenpakete zu senden, welche 

reflektiert und mit einem Empfänger registriert werden. 

Es wird der Zeitunterschied ∆t zwischen Aussendung des Signals und Einlauf des reflektierten 

Signals gemessen. Dann ist der Abstand zur Grenzfläche: 

d = 1 

· ∆t · c (2.16) 

2


Aufgaben zur Vorbereitung: 

1) Man leite die Wellengleichung 2.8 aus 2.9 her und zeige, dass für die Schallgeschwindigkeit 

c (im dispersionlosen Fall) gilt: 

� 

κ · p0 

c = 

(2.17) 

ρ 

Da ρ und p0 temperaturabhängig sind, ist es auch die Schallgeschwindigkeit 

2) Man zeige mit Hilfe der idealen Gasgleichung die Beziehung: 

� 

R · κ 

c = · √ T (2.18) 

Mmol 

und entwickle diese für Raumtemperatur ϑ (in ◦C, d. h. T = 273 + ϑ). Einsetzen der 

Werte für Luft ergibt: 

� 

c = 331, 6 + 0, 6 ϑ 

� 

m 

ϑ in ◦C s 

◦ C (2.19) 

3) Man zeige durch Einsetzen von 2.10 in 2.8, dass für die Wellenlänge λ0 und die Frequenz 

f0 gilt: 

c = λ0 · f0 

(2.20) 

4) Man leite die unterschiedlichen Beziehungen 2.13 und 2.14 für die vom Empfänger 

registrierten Frequenzen beim Dopplereffekt her. Führen Sie eine Taylorentwicklung 

von 2.13 durch, und verifizieren Sie dadurch die genäherte Formel 2.15 

5) Die Schallgeschwindigkeit und die Sendergeschwindigkeit seien nun jeweils auf 0,1% 

genau bestimmt. Ist für v : c = 1 : 350 messbar, ob die exakte oder die genäherte 

Formel stimmt? 

6) Wie genau (in Hz) sollte die Frequenzmessung bei einer Senderfrequenz von 40 kHz 

sein, um den Dopplereffekt bei v : c = 1 : 350 gut messen zu können? Wieviel ist das 

prozentual? 

7) Warum muss die Schallquelle beim Echolotversuch gepulst sein? Warum benutzt man 

Ultraschall?



Es steht folgendes Material zur Verfügung: 

• Pendelbahn mit 16 Schienenabschnitten (≈ 2m, Firma LEGO), 

Kontrollelektronik Pendelzug zur automatischen Pendelbewegung und Zeitmessung mit 

Netzteil und 4 Lichtschranken. 

Es soll eine möglichst lange Messstrecke aufgebaut werden, wobei ein wenig Auslaufreserve 

dazugegeben werden muss (probieren bei maximaler Versorgungspannung ≈ 

4,5 V). Die Pendelbahn wird gemäß Abb. 2.22 an das Gerät Pendelzug angeschlossen. 

Die äußeren Lichtschranken L1 und L4 werden zum Stoppen des Triebwagens und 

Netzteil 

12V 

Pendelzug Kontrollelektronik 

TDS2024B 

L1 L2 L3 L4 

Pendelzug mit Batterie und Sender 

Abbildung 2.22: Schematischer Versuchsaufbau 

zum PC 

MXG−9802A 

40.000 

,, 

Empfanger 

Rücksetzen der Stoppuhr, die inneren Lichtschranken L2 und L3 zur Zeitmessung benutzt. 

Die Pendelzugkontrolle schaltet automatisch an den Endpunkten von Vor- auf 

Rücklauf (bzw. umgekehrt) um, wobei der Triebwagen an den Endpunkten einige Zeit 

verweilt, damit die Messwerte notiert werden können und die Senderfrequenz f0 beim 

Doppler-Effekt gemessen wird. 

Die Kontrollelektronik ”Pendelzug” (Abb. 2.23) besitzt folgende Bedienelemente: 

– Drehpotentiometer: Versorgungsspannung (0.0 . . . ≈ 4, 5 V) 

– linker Schalter: Mit START und STOP wird die Versorgungsspannung des Triebwagens 

kontrolliert. Die Stoppuhr ist davon unabhängig. Sie reagiert nur auf Signale 

der Lichtschranken L2 und L3. Während des Versuchs wird der Schalter nur 

für den Doppler-Effekt in START-Stellung gebracht, ansonsten wird der Triebwagen 

von Hand bewegt. 

– rechter Schalter: Umschalten zwischen manuellem (MAN) und automatischem 

Betrieb (AUTO). 

Während des ganzen Versuchs belässt man den Schalter in der Stellung AUTO.


– linke Anzeige: Versorgungsspannung des Pendelzugs in Volt 

– rechte Anzeige: Stoppuhr in ms 

Netzteil− CANON−D Buchse 

anschluss Bahn & Lichtschranke 

PENDELZUG 

U 

2.80 

START 

SPEED 

T 

1604.3 

MAN 

STOP AUTO 

Abbildung 2.23: ”Pendelzug” Kontrollelektronik 

• piezoelektrischer Schallumwandler als Empfänger mit angeschlossenem LEMO-Kabel. 

• Sender-Einheit (siehe Abb. 2.24) mit batteriebetriebenem piezoelektrischem Schallumwandler, 

kontinuierlicher oder gepulster Betrieb. 

Ein Frequenzgenerator erzeugt eine Rechteckspannung mit einer Frequenz von ca. 

40 kHz, die der Schallumwandler in eine harmonische (sinusförmige) Schallwelle umwandelt. 

Schaut man von vorne auf den Sender, so befinden sich an der rechten Seite 

die Batterieanschlüsse und an der linken Seite ein Drehpotentiometer und eine LEMO- 

Buchse. Mit dem Drehpotentiometer ist die Anregerfrequenz in einem Bereich von 

einigen Hundert Hertz einstellbar. 

gepulstes Signal 

Aus/Ein 

Poti. fur 

Frequenz− 

Abstimmung 

LEMO−Buchse: 

elektr. Erregersignal 

PULSE 

OFF 

BAT 

OFF 

Abbildung 2.24: Sender-Einheit 

Betriebsschalter 

Aus/Ein 

Ultraschall− 

wandler


An der LEMO-Buchse kann das Erregersignal abgegriffen werden. Oben auf der Sender- 

Box befinden sich zwei Kippschalter: der rechte schaltet die Versorgungsspannung 

(OFF/BAT) durch, der linke schaltet zwischen kontinuierlichem (OFF) und gepulstem 

Betrieb (PULSE). 

DEN SENDER ERST EINSCHALTEN, WENN DER AUFBAU KOMPLETT IST 

UND MIT DEN MESSUNGEN BEGONNEN WERDEN KANN (Kap. 2.4.4). 

• Funktionsgenerator/messer CONRAD MXG-9802 A, der als computerauslesbarer Frequenzmesser 

betrieben wird, Kabel für serielle Schnittstelle, USB-Adapter. 

Der Schalter FC/FG schaltet die Digitalanzeige zwischen externem(Frequenzmesser) 

und internem (Frequenzgenerator) Signal um. Der Frequenzmesser misst während einer 

einstellbaren Zeit (Torzeit, engl. Gate) die Frequenz und zeigt sie auf dem Display 

an, d.h. ist die Torzeit auf 1s eingestellt, wird kontinuierlich jede Sekunde ein neuer 

Messwert angezeigt, bzw. an den Computer ausgegeben. 

Aufgabe: Mit welcher Genauigkeit lässt sich die Frequenz bestimmen bei Torzeiten 

von 1/10s, 1s, 10s? 

Beim Einschalten des Gerätes wird automatisch die Torzeit auf 1 Sekunde und der 

ausgelesene Kanal (CHAN) A gewählt. Diese Einstellungen sollten für die gesamte 

Versuchsdauer beibehalten werden. Überprüfen Sie die Einstellungen auf dem Display 

(untere LED-Leiste). Als Kabelanschluss für das Empfängersignal wird der zweite von 

rechts (CH-A 200MHz) benutzt. Der Frequenzmesser ist über die serielle Schnittstelle 

(Anschluss an der Rückseite) mit dem Praktikums-Computer auslesbar. Das Ausleseprogramm 

“doppler” mit graphischer Anzeige wird vom Assistenten bereitgestellt. Eine 

detaillierte Beschreibung über die Bedienung findet sich in Kap. 2.4.4. Bitte kopieren 

Sie dieses Programm in Ihren Bereich, die Dateien mit Ihren Messungen werden dann 

automatisch in demselben Verzeichnis abgelegt. Das Programm kann bei der späteren 

Datenanalyse auf dem eigenen Rechner (unter Windows) benutzt werden. 

• LEMO– und BNC–Coaxialkabel mit Adaptern (“T”). 

• digitales Speicheroszilloskop Tektronix TDS2024B, USB-Kabel. 

Die Messwerte werden direkt am Oszilloskop abgelesen. Um die graphischen Darstellungen 

des Oszilloskop für das Protokoll zu nutzen, kann das Oszilloskop über das 

USB-Kabel an den Praktikums-Computer angeschlossen werden. Eine entsprechende 

Software zur Bildaufnahme, evtl. -verarbeitung und -speicherung ist auf dem Praktikums-Computer 

installiert. Die Beschreibung der einzelnen Bedienelemente des Oszilloskops 

würde den Rahmen dieser Versuchsbeschreibung sprengen. Der Praktikumsassistent 

wird die wichtigsten Punkte vorstellen und für weitere Fragen zugegen sein. 

• 1 Metermaßband.


2.4.4 Versuchsdurchführung und Auswertung 

α) Bestimmung der Abstrahlcharakteristik des Senders 

• zeitabhängig 

Beim Einschalten des Senders wärmt sich die Treiberelektronik langsam auf. Dies 

kann zu einer Frequenzverschiebung führen. Messen Sie die Frequenz mit dem 

Frequenzmesser CONRAD MXG-9802 A nach dem Einschalten alle 30 Sekunden. 

Beobachten Sie, ob die Frequenz ab einer gewissen Zeit stabil bleibt. Danach sollte 

der Sender nicht mehr ausgeschaltet werden, um Frequenzschwankungen während 

der Messungen zu unterdrücken. 

Für diese Messung kann auch das Programm “doppler” benutzt werden, das im 

Abschnitt b) genauer beschrieben wird. Eventuell ist es hilfreich, die Anregerfrequenz 

mittels des Drehpotentiometers so zu variieren, dass eine maximale Abstrahlleistung 

erzielt wird. 

• frequenzabhängig Diese Messung erfolgt mit dem Oszilloskop. Die angezeigte 

Spannung (linke Menü-Leiste, von Spitze zu Spitze) ist proportional zur Druckamplitude. 

Da es sich hier um eine relative Amplitudenmessung handelt, sollte der 

Messbereich bzw. Abstand zum Empfänger so gewählt werden, dass der Messbereich 

vollkommen ausgenutzt wird (z. B. einmal die Frequenz durchfahren und 

beim maximalen Messwert den Abstand entsprechend festsetzen). 

Die Schallintensität des Senders variiert etwas. Einige Messwerte im Abstand von 

einigen Sekunden notieren und mitteln. Die Messwerte in ein Diagramm U(f) 

eintragen. 

a) Messung der Schallgeschwindigkeit 

Durchführung 

Über eine Veränderung des Abstandes zwischen Sender und Empfänger wird die Phase 

der gemessenen Wellenfront zur ausgesendeten Wellenfront verändert. Aus Gl. 2.10 

erkennt man, dass zwischen den Schwingungen (Gl. 2.12) an zwei verschiedenen Orten 

mit dem Abstand d entlang der Ausbreitungsrichtung x der harmonischen Welle ein 

Phasenunterschied besteht: 

Φ ′ = 2π · d 

(2.21) 

Fährt man nun den Sender (mit der Hand) vom Empfänger weg, so läuft dieser Phasenunterschied 

in der registrierten Schwingung durch. Nach einer komplett zurückgelegten 

Wellenlänge λ0 ist die Schwingung wieder deckungsgleich mit der Startschwingung. 

Diese Messung wird mit dem Oszilloskop durchgeführt: Auf Kanal 1 (Chan1) wird das 

elektrische Ausgangssignal des Senders gegeben. Der Trigger wird auf Chan1 festgesetzt. 

Der Messbereich sollte so gewählt werden, dass zwei bis drei Rechteckstufen zu sehen 

sind. Auf Kanal 2 (Chan2) wird nun das Ausgangssignal des Empfängers gegeben. 

Bei einer leichten Verschiebung des Senders ist zu sehen, wie sich das sinusförmige 

Empfängersignal gegen das Rechtecksignal verschiebt (siehe Abb. 2.25). 

λ0


Chan 2 

Chan 1 

Abbildung 2.25: Abbildung der Schwingungen mit dem Oszilloskop beim Durchfahren einer 

Wellenlänge 

Hinweise zur Durchführung: 

• Eine eindeutig gut ablesbare Phase als Ausgangspunkt nehmen. 

Einen guten Anfangspunkt für die Streckenmessung nehmen (LEGO-Steinchen 

. . . ) 

Bei welchem Signal (Rechteckspannung oder Sinusschwingung) ist der Trigger 

stabiler? 

• Langsam fahren, da das Oszilloskop sampled, was bei unregelmäßigem Signal zu 

breiten Bändern in der Anzeige führt. 

• Um einen möglichst kleinen relativen Fehler in der Streckenbestimmung zu erhalten, 

werden 100 Wellenlängen durchgeschoben. Zur besseren Kontrolle des 

Zählvorgangs alle 20 Wellenlängen den Wert der zurückgelegten Strecke und der 

Frequenz aufschreiben. Sind bei jeder Messung genau 20 Wellenlängen durchfahren 

worden? Ist die Senderfrequenz konstant? 

Hinweise zur Auswertung 

• Die Wellenlänge wird durch lineare Regression im (nλ, d)–Diagramm bestimmt. 

Wie groß ist der Fehler der Einzelmessung? Wie groß ist der Fehler von λ? 

• Erstellen Sie zur Beurteilung des Ergebnisses einen Residuengraph! 

• Vergleichen Sie mit dem theoretisch erwarteten Wert (Gl. 2.19). Ein Thermometer 

ist im Versuchsraum aufgehängt. 

Wie groß ist der Fehler des erwarteten Wertes? 

b) Messung des Doppler-Effekts 

Bei verschiedenen Geschwindigkeiten (→ funktionaler Zusammenhang mit Versorgungsspannung) 

wird die Frequenzänderung während der Fahrt des Senders auf den Empänger 

zu, bzw. von ihm weg, gemessen. 

Der Versuch setzt sich aus zwei Messungen zusammen:


(1) Bestimmung der Geschwindigkeit der Pendelbahn (in Abhängigkeit von der Versorgungsspannung) 

(2) Bestimmung der Frequenzverschiebungen 

Die beiden Messungen können kombiniert werden, d. h. es sollte gleichzeitig zur Laufzeitmessung 

des Wagens die Freqenzverschiebung mit dem Programm “doppler” bestimmt 

werden. Sie sind hier nur getrennt aufgeführt, um zu verdeutlichen, dass sie 

beide einer entsprechenden Auswertung und Fehlerbetrachtung bedürfen. 

zu (1): Geschwindigkeitsmessung 

Durchführung 

Bauen Sie die Pendelbahn mit den vier Lichtschranken entsprechend der Abb. 2.22 

auf. Die Funktionsweise der Elektronik wurde in Abschnitt 2.4.3 beschrieben. Für 

ein besseres Verständnis der Apparatur lässt man die Pendelbahn einige Mal auf der 

Schalterstellung AUTO laufen. 

Die Bestimmung des Anfangs- und Endpunktes der Messstrecke bereitet einige Schwierigkeiten. 

Die Lichtschranke wird ausgelöst, wenn der kontinuierliche Lichtstrahl aus 

der linken Öffnung an dem Reflexionsstreifen auf dem Triebwagen in die rechte Öffnung 

reflektiert wird (siehe Abb. 2.26). Dieser Zeitpunkt (und damit Ortspunkt) ist nicht 

identisch mit dem Vorbeifahren der Streifenkante an der Lichtschranke. Am besten 

fährt man sehr langsam den Wagen mit der Hand durch (Pendelzug-Kontrolle auf 

STOP) und achtet auf den Augenblick des Auslösens (bzw. Stoppens) der Stoppuhr. 

Mit etwas Geschick und Ausnutzen der LEGO-Rasterstruktur kann eine Genauigkeit 

von unter 1 mm errreicht werden! Es ist zu prüfen, ob die Strecken in Hin- und 

Rückrichtung gleich lang sind. 

Lichtschranke 

Reflexionsstreifen 

Triebwagen 

Lichtsignal 

Abbildung 2.26: Funktionsweise der Lichtschranke (Sicht von oben)


Hinweise zur Durchführung: 

- Befolgen Sie eine sinnvolle Messreihe: z.B. von 3.0 V an in Schritten von 0.5 V. 

(Bei einer Versorgungsspannung unterhalb von 3.0 V reicht das Drehmoment des 

Triebwagens nicht für eine gleichmäßige Bewegung aus.) 

- Probieren Sie bei maximaler Geschwindigkeit, ob die Auslaufstrecken lang genug 

sind. 

- Die Geschwindigkeit für Hin- und Rückfahrt kann unterschiedlich sein, z. B. durch 

nicht horizontalen Aufbau. 


- Wie gut ist die Reproduzierbarkeit, d.h. sind die Messwerte der Laufzeiten statistisch 

verteilt? Fertigen sie dazu ein Histogramm an. Der Fehler der Laufzeit wird 

durch einfaches Mittel über jeweils fünf bis zehn Hin- und Herfahrten bestimmt. 

- (Zusatz:) Wie ist der funktionale Zusammenhang zwischen Versorgungsspannung 

und Geschwindigkeit? Bei linearem Zusammenhang zwischen Versorgungsspannung 

und Geschwindigkeit kann eine Ausgleichsgerade mittels linearer Regression 

berechnet werden. 

zu (2): Frequenzverschiebung 

Durchführung 

Für die Messung der Frequenzverschiebung wird der Frequenzmesser über die serielle 

Schnittstelle des Praktikums-Computers ausgelesen. Das Programm “doppler” kann 

zwar vom Desktop aus gestartet werden, jedoch ist es günstiger, es von einem DOS- 

Fenster (“Eingabeaufforderung”) mit dem Befehl “doppler” zu aktivieren. Wenn Sie keine 

weiteren Parameter angeben, liest das Programm den Frequenzmesser aus. Wenn Sie 

den Namen einer alten, gespeicherten Messung anfügen (Dateityp Frequenz, nicht Histogramm), 

stellt das Programm diese Werte dar. Verifizieren Sie, dass das Programm 

die gleiche Empfängerfrequenz liest wie die Anzeige des Frequenzmessers darstellt. Das 

Programm liest einmal pro Sekunde den Frequenzmesser aus und stellt die Daten auf 

zwei Fenstern dar (Abb. 2.27): 

• Das größere Fenster zeigt den zeitlichen Verlauf der Messungen, wobei der letzte 

gelesene Wert oben in der Mitte dargestellt wird. Befindet sich der Cursor in 

diesem Fenster, erhält man mit der rechten Klick-Fläche (Maustaste) ein Menü 

zur Kontrolle des Programms. Es ist ratsam, das Menüfenster nicht unnötig zu 

bedienen, da keine neuen Daten aufgenommen werden, solange das Menü aktiviert 

ist. Das Programm kann mit folgenden Optionen kontrolliert werden: 

– Start: Weiterführung der Messung, falls vorher gestoppt 

– Stop: Stoppen der gegenwärtigen Messung 

– Reset: Löschen der aktuellen Messung. ACHTUNG: Dieser Befehl löscht nur 

die Darstellung. Bei einer späteren Speicherung werden alle Daten ab dem 

ersten Start des Programms in eine Datei geschrieben (s.u.). Deswegen ist es


MGX 9802 Frequenzmessung 

Statistik 

f = 40012 Hz 

mean = −0.23 Hz 

emean = 0.25 Hz 

rms = 2.68 Hz 

Abbildung 2.27: Graphische Darstellung des Programms doppler zur Messung des Doppler- 

Effekts 

besser, für jede Messung das Programm neu zu starten und gleich mit der 

Messung zu beginnen. 

– Save: Die Daten werden in einer Datei im aktuellen Verzeichnis abgespeichert, 

wobei deren Name automatisch generiert wird 

(jahr-monat-tag-stunde-minute-sekunde doppler typ.dat, 

mit typ: f=Frequenz, h=Histogramm). Am besten startet man das Programm 

für jede Messung neu, da die Reset-Funktion nur den Bildschirminhalt löscht, 

aber alle Daten behält und bei einer nachträglichen Auswertung auch diese 

in die Berechnungen mit einbezieht. 

– Change ymax: Die Obergrenze des angezeigten Frequenzbereichs kann in verschieden 

großen Schritten verändert werden. 

– Change ymin: Die Untergrenze des angezeigten Frequenzbereichs kann in verschieden 

großen Schritten verändert werden. 

• Das kleinere Fenster zeigt die Verteilung (das Histogramm) der gemessenen Frequenzen. 

Es rechnet automatisch bei jedem dazukommenden Wert den Mittelwert 

neu aus und zieht ihn von den Messungen ab. Somit ergeben sich drei Häufungen 

(Rückfahrt, Stillstand, Hinfahrt), die um 0 Hz gruppiert sind. Die Werte (mean 

= Mittelwert, emean = Fehler des Mittelwertes, rms = Standardabweichung) der 

einzelnen Häufungen können mit einem darüber gelegten Fenster angezeigt werden. 

Wenn das Fenster nicht aktiviert ist (“Peak finder off”), wird der Mittelwert 

aller Daten angezeigt (die Fehler sind somit statistisch unsinnig). Aktivieren Sie 

die Kontrolle mit der rechten Klickfläche (der Cursor muss sich natürlich in dem 

Histogrammfenster befinden), und wählen Sie den Menü-Punkt “Peak finder on”. 

Das Fenster wird mit roten senkrechten Linien angezeigt. Mit den Cursor-Tasten 

← und → können die Begrenzungslinien verschoben werden. Tippt man die Tas-


f / f 0 

0,001 

Abbildung 2.28: graphische Darstellung des Ergebnisses des Doppler-Effekts 

te U so wird das obere Limit, tippt man die Taste L so wird das untere Limit 

verschoben. 

Starten Sie nun die Pendelbahn im AUTO-Betrieb und schauen, wie das Programm 

reagiert. Nehmen Sie für jede Geschwindigkeit einen eigenen, sinnvoll großen Datensatz 

auf. 

Hinweise zur Durchführung 

0,001 

v / c 

- Überprüfen Sie von Zeit zu Zeit die Umgebungstemperatur. 

- Wie kommt das eigentümliche Histogramm zustande (es sind mehr als nur drei 

Häufungen zu sehen)? 


- Achten Sie darauf, dass das richtige ∆f und f0 genommen wird! Wie groß ist der 

Fehler von ∆f (Achtung: Differenzmessung!)? 

- Tragen Sie zum Schluss die Ergebnisse der gesamten Messreihe in ein Diagramm 

ein. Welche Darstellung ist sinnvoll? Überlegen Sie, welche Fehler in diese Messung 

eingehen. Eine Möglichkeit der Auftragung ist in Abb 2.28 zu sehen. 

- Alternativ zur genäherten Formel (Gl. 2.15) kann die Auswertung auch über die 

exakte Formel durchgeführt werden. Durch leichtes Umformen erhält man die 

Beziehung: 

∆f 

f 

= ∓v 

c 

(2.22) 

- Verifizieren sie die theoretische Vorhersage unter Berücksichtigung des Ergebnissis 

von Versuchsteil a) mittels linearer Regression (mit Fehler auf der Abszisse und 

Ordinate).


- Wie berechnen sich die Fehler der Abszissen- und Ordinatenwerte? Welche Anteile 

sind statistischer, welche systematischer Natur? Zu welchem Zeitpunkt in 

der Fehlerbestimmung müssen statistische und systematische Fehler einbezogen 

werden? 

- Meist sind die beiden äußeren Häufungen des doppler-Histogramms asymmetrisch. 

Dies ist durch die Systematik der Messung gegeben. (Warum? Welche?) Dort ist 

zu überlegen, ob die angegebene Standardabweichung des Mittelwertes (Grundlage: 

statistische Gauß-Verteilung) den tatsächlichen Fehler richtig abschätzt. Man 

kann den Fehler auch durch Verändern des Intervalls abschätzen, indem man die 

Variation des sich dann verändernden Mittelwertes betrachtet. Zu überlegen ist 

auch, ob man den Schwerpunkt (=Mittelwert) der Verteilung nimmt oder den 

Wert der maximalen Häufung. 

c) Echolot 

Durchführung: 

Ultraschallwellen werden an Grenzflächen zwischen Medien unterschiedlichen Schallwellenwiderstandes 

reflektiert. Wie in Versuchsteil a) gesehen, kann man mittels der 

Phasenverschiebung einer kontinuierlichen Welle nur Strecken vermessen, die kürzer 

als eine Wellenlänge sind. Deshalb benutzt man eine gepulste Schallquelle, die kurze 

Wellenzüge einiger Wellenlängen aussendet. Der Abstand zum reflektierenden Hindernis 

wird dann gemäß Gl. 2.16 bestimmt. In diesem Versuchsteil sind zwei Messreihen 

durchzuführen : 

(1) Stellen Sie Empfänger und Sender auf (Fast-)Berührung gegenüber auf (direkter 

Kontakt kann zu elektrischem Übersprechen zwischen Sender und Empfänger 

führen, was die Laufzeitmessung verfälscht). Geben Sie analog zur Messung der 

Schallgeschwindigkeit das Sendersignal auf Kanal 1 und das Empfängersignal auf 

Kanal 2 des Oszilloskops. Wählen sie die Zeiteinteilung so, dass Sie das gesamte 

Sender- und Empfängersignal gleichzeitg auf dem Schirm sehen. 

Warum hat das Empfängersignal eine andere Form als das Sendersignal (abgesehen 

von der Rechteckspannung)? 

Messen sie die Zeit zwischen erster Senderschwingung und erster Empfängerschwingung. 

Diese Zeitdifferenz t0 muss bei allen folgenden Versuchen abgezogen werden, da 

ja der Abstand zwischen Sender- und Empfängergehäuse gleich Null ist. 

Schieben Sie den Sender langsam vom Empfänger weg und schauen Sie sich die 

beiden Signale bei groberer Zeitauflösung an. Messen sie den Abstand zum Sender 

mit dem Maßband und die Zeitdifferenz mit dem Oszilloskop. Man kann ein 

wenig mit der Zeitauflösung, dem Trigger-Delay und dem Cursor spielen, um ein 

möglichst exaktes Ergebnis zu erhalten. Führen Sie einige Messungen durch und 

vergleichen Sie das Ergebnis mit der in Teil a) gemessenen Schallgeschwindigkeit. 

Hinweis: lineare Regression, Residuengraph... Wie kann man daraus t0 bestimmen? 

(2) Stellen Sie Empfänger und Sender nebeneinander auf. Schauen sie sich erst das 

gepulste Signal bei großer Zeitauflösung an.


Stört das direkte Sendersignal das Empfängersignal (Übersprechen)? Durch eine 

Trennwand und leichtes Drehen des Senders oder Empfängers lässt sich womöglich 

die Situation verbessern. (Der Sender strahlt nicht unbedingt exakt geradeaus.) 

Eventuell andere Störfaktoren (Schienen, nah placierte Geräte) entfernen. 

Stellen Sie die Reflexionswand in einem Abstand von ungefähr 50 cm auf. Messen 

Sie den Zeitunterschied ∆t zwischen gesendetem und reflektiertem Signal. Berechnen 

Sie unter Verwendung des Ergebnisses aus Versuchsteil a) den Abstand zur 

Reflexionswand (Gl. 2.16) und vergleichen mit dem Wert, den Sie mit dem Maßband 

bestimmt haben. Wiederholen Sie die Messung bei verschiedenen Abständen. 

Hinweise zur Auswertung: 

Wie gut ist Ihr Echolot? Schätzen Sie den Fehler der berechneten Lauflänge (Fehler 

in ∆t , t0 und c) ab. Wie groß sind die Abweichungen zur Messung mit dem 

Metermaßstab? Ist eine Systematik zu erkennen?

Kapitel 3 

Wärmelehre 

3.1 Dampfdruckkurve 

Aufgaben 

In diesem Versuch wird die Dampfdruckkurve von Wasser vermessen und die Verdampfungsenthalpie 

bestimmt. 

Grundlagen 

Wärme, Temperatur, Zustandsgrößen, ideale und reale Gase, ideale Gasgleichung, 1. und 

2. Hauptsatz der Wärmetheorie, Zustandsänderung, Zustandsdiagramm, Phasenübergänge, 

Verdampfungsenthalpie, Clausius-Clapeyron-Gleichung, kritische Parameter. 

Literatur 

• Gerthsen/Vogel, Physik 

• Bergmann/Schäfer, Lehrbuch der Experimentalphysik, Band 1, Mechanik Akustik Wärme 

• Hänsel/Neumann, Physik 

• Tipler, Physik 

• Baehr, Thermodynamik 

• Stumpf/Rieckers, Thermodynamik 

• http://www.physik.rwth-aachen.de/∼hebbeker/lectures/ph1−0102/p112−l06.pdf 

http://www.physik.rwth-aachen.de/∼hebbeker/lectures/ph1−0102/p112−l07.pdf 

• http://www.fm.fh-muenchen.de/labore/waas/skripten/kap10.pdf 

• http://www.chm.davidson.edu/ChemistryApplets/PhaseChanges/ 

• Landolt-Börnstein, Zahlenwerte und Funktionen, Band II, 2. Teil, Gleichgewichte außer 

Schmelzgleichgewichten 

79

80 Kapitel 3. Wärmelehre 

• Landolt-Börnstein, Zahlenwerte und Funktionen, Band II, 4. Teil: Kalorische Zustandsgrößen 

3.1.1 Theoretische Grundlagen 

Wärme und Temperatur 

Wärme ist eine Form von Energie. Wird einem Körper Wärme zugeführt oder wird ihm 

Wärme entzogen, ändert sich seine Temperatur (Ausnahme: latente Wärme, siehe Abschnitt 

“Änderung von Aggregatszuständen”), wie aus dem Alltag bekannt ist. Die Temperatur 

ist eine Zustandsgröße. Hierunter versteht man eine eine Stoffmenge charakterisierende 

Größe, deren Wert nur vom momentanen Zustand der Stoffmenge abhängt, es also egal 

ist, auf welchem Weg dieser Zustand erreicht wurde. Andere Zustandsgrößen sind Druck, 

Volumen, innere Energie. Arbeit und Wärme sind dagegen keine Zustandsgrößen. 

yUm die Temperatur zu messen, braucht man eine physikalische Größe, die sich mit der 

Temperatur ändert, und eine Skala, die über zwei (willkürliche) Fixpunkte festgelegt wird. 

Falls die Temperaturabhängigkeit der zur Temperaturmessung verwendeten Größe linear ist, 

wird der Bereich zwischen den Fixpunkten gleichmäßig in z.B. 100 Einheiten eingeteilt und 

die so gewonnene Skala über die Fixpunkte hinaus verlängert. 

Beispiele für Temperatur-Skalen: 

• Celsius-Skala (1741): t = 0 ◦ C: Schmelztemperatur von Eis, t = 100 ◦ C: Siedetemperatur 

von Wasser. 

• Die offizielle Temperaturskala ist die Kelvin-Skala, in der als einziger Fixpunkt seit 1954 

der mit großer Genauigkeit bestimmbare Tripelpunkt (siehe später) des Wassers (t = 

0.0098 ◦ C) verwendet wird: T = 0 K: tiefste theoretisch denkbare Temperatur (absoluter 

Nullpunkt), T = 273.16 K: Tripelpunkt von Wasser. Die Kelvinskala bezieht sich also 

auf den absoluten Nullpunkt. Die in Kelvin gemessene Temperatur wird als absolute 

Temperatur bezeichnet. Das Kelvin ist auch die Einheit für Temperaturdifferenzen. 

Ein Beispiel für einen häufig für Temperaturmessungen ausgenutzten physikalischen Effekt 

ist die Ausdehnung von Stoffen (meist Flüssigkeiten) mit steigender Temperatur. Eine Besonderheit 

ergibt sich für Wasser: normalerweise hat der feste Aggregatszustand eines Stoffes 

eine höhere Dichte als der flüssige. Wasser hat aber bei t = 4 ◦ C seine größte Dichte (Eis 

schwimmt auf Wasser). 

Gesetze für ideale Gase 

In einem idealen Gas werden die Moleküle als punktförmig angenommen (kein Eigenvolumen) 

und die Wechselwirkung zwischen den Molekülen wird vernachlässigt. 

Das Volumen eines Gases hängt bei konstanter Temperatur und bei gleicher Masse (geschlossenes 

Gefäß) nur vom Druck ab. Bei Kompression erhöht sich die Dichte des Gases: 

p = ρ · const. 

Daraus folgt das Boyle-Mariottsche Gesetz, welches für ideale Gase bei konstanter Temperatur 

gilt: 

p · V = const.

3.1. Dampfdruckkurve 81 

Der Zusammenhang zwischen den drei Zustandsgrößen Druck, Volumen und Temperatur 

wird durch die Zustandsgleichung idealer Gase (ideale Gasgleichung) beschrieben: 

pV = νRT (3.1) 

Hierbei ist ν die Stoffmenge (Anzahl der Mole). R wird als allgemeine Gaskonstante bezeichnet. 

Mit dem Molvolumen V0 = 22.4 l/mol, dem Normaldruck p0 = 1.013 hPa und 

T0 = 273.15 K gilt: R = p0V0/T0 = 8.31 J/(mol · K). 

Mit der Avogadrozahl NA = Teilchenzahl pro Mol = 6.022·10 23 mol −1 und ν = N/NA, wobei 

N die Anzahl der Moleküle ist, lässt sich Gleichung 3.1 auch schreiben als 

pV = NkT 

mit der Boltzmann-Konstanten k = R/NA = 1.38 · 10 −23 J/K. 

Die Isothermen, d.h. p-V-Kurven für T=const., sind demnach für ein ideales Gas Hyperbeln, 

wie in Abb. 3.1 links exemplarisch für ein Gas, welches bei 0 ◦ C und Normaldruck ein 

Volumen von 1 l einnimmt, gezeigt ist. 

Abbildung 3.1: Links: Isothermen eines idealen Gases. Rechts: Van der Waals-Isothermen 

von CO2. 

Reale Gase 

In realen Gasen haben die Moleküle ein endliches Eigenvolumen. Dies führt zum sogenannten 

Kovolumen b, welches wegen der Packungslücken ungefähr dem vierfachen Eigenvolumen der 

Moleküle entspricht. Desweiteren wechselwirken die Teilchen untereinander durch Van der 

Waals-Kräfte, wodurch zum äußeren Druck ein innerer Druck addiert werden muß. Die ideale 

Gasgleichung geht über in die Van der Waals-Gleichung: 

(p + a/V 2 )(V − b) = νRT 

Die “Konstanten” a und b hängen in obiger Form der van der Waals-Gleichung noch von 

der Stoffmenge ab. Eine Division durch ν ergibt 

� 

p + ν2a ′ 

V 2 

� � � 

V 

− b′ = RT 

ν


Die Isothermen sehen damit anders aus als für ein ideales Gas, wie man in Abb. 3.1 rechts 

am Beispiel von Kohlendioxid sieht. Außerdem ist zu beachten, daß für ein reales Gas die 

Wechselwirkung der Teilchen so stark werden kann, daß es seinen Aggregatszustand ändert 

und sich verflüssigt. Dies wird später behandelt. 

Spezifische Wärmekapazität 

Wenn zwei Körper mit den Temperaturen T1 und T2 < T1 in Kontakt gebracht werden, stellt 

sich eine gemeinsame Temperatur T mit T2 < T < T1 ein. Es wird also Wärme von Körper 

1 auf den Körper 2 übertragen. Die übertragene Wärmemenge ∆Q ist 

∆Q = c1m1∆T1 = c2m2∆T2 

mit ∆T1 = T1 − T und ∆T2 = T − T2. Die materialabhängige Größe 

c = 1 ∆Q 

m ∆T 

wird als spezifische Wärmekapazität bezeichnet. Die Einheit für die Wärmemenge ist das 

Joule. Im Alltag noch gebräuchlich ist die Kalorie (cal), wobei 1 cal = 4.1868 Joule die 

Wärmemenge ist, die man benötigt, um 1 g Wasser von 14.5 ◦ C auf 15.5 ◦ C zu erwärmen. Die 

Einheit der spezifischen Wärmekapazität ist [c] = J/(gK). 

Weiterhin ist definiert die Wärmekapazität C: 

C = mc = ∆Q 

∆T 

mit [C] = J/K, sowie die molare Wärmekapazität 

Cm = Mc = m 1 ∆Q 

c = 

ν ν ∆T 

mit [Cm] = J/(mol · K). Hierbei ist M die Molmasse. 

Bei tiefen Temperaturen ist c allerdings selbst temperaturabhängig. 

Außerdem hängt die spezifische Wärmekapazität davon ab, ob man sie bei konstantem Druck 

(cp) oder konstanten Volumen (cV ) bestimmt. Bei konstantem Druck führt die zugeführte 

Wärme nicht nur zu einer Erwärmung, sondern auch zu einer Ausdehnung des Körpers. Es 

ist also immer cP > cV (eine Ausnahme ergibt sich hier wiederum aus der Anomalie des 

Wassers). Wegen der kleinen Ausdehnung von Festkörpern und Flüssigkeiten mit der Temperatur 

fällt dies praktisch nur bei Gasen ins Gewicht. Das Verhältnis der beiden spezifischen 

Wärmen wird als Adiabatenexponent κ bezeichnet (warum wird später klar werden): 

κ = cp/cV 

(3.2) 

Diese Größe spielt auch in der Akustik (Schallwellen, siehe Versuche zur Akustik) eine Rolle. 

1. Hauptsatz 

Wie schon erwähnt wurde, ist Wärme eine Form von Energie, sie kann z.B. durch Reibung 

mechanisch erzeugt werden.


Der Energieerhaltungssatz besagt, daß die Gesamtenergie innerhalb eines abgeschlossenen 

Systems durch beliebige (mechanische, thermische, elektrische, chemische) Vorgänge nicht 

erhöht werden kann. Es gibt also kein Perpetuum Mobile. 

In einem abgeschlossenen System findet weder Materie- noch Energieaustausch mit der Umgebung 

statt. Von einem geschlossenen System spricht man, wenn nur Energieaustausch 

stattfindet, und in einem offenem System wird sowohl Energie als auch Materie mit der Umgebung 

ausgetauscht. In der Thermodynamik werden i.A. geschlossene Systeme behandelt. 

Als innere Energie U eines Systemes bezeichnet man seine Energie im Schwerpunktsystem, 

also die Summe von thermischer, chemischer und elektrischer Energie, d.h. die Gesamtenergie 

abzüglich äußerer mechanischer (kinetischer, potentieller) Energie. Es gilt: 

∆U = ∆Q + ∆A (3.3) 

mit ∆Q = zugeführter Wärme und ∆A = zugeführter Arbeit. Die Vorzeichenkonvention ist 

die folgende: für ∆Q > 0 wird Wärme zugeführt, für ∆A > 0 Arbeit am System verrichtet. 

Ist dagegen ∆Q < 0, wird die Wärme ∆Q ′ = −∆Q abgeführt, für ∆A < 0 wird die Arbeit 

∆A ′ = −∆A vom System verrichtet. In einem sogenannten Kreisprozeß landet man nach 

Zu-/Abführung von Wärme und Arbeit wieder beim Ausgangszustand, es gilt also U1 = U2 

und damit: 

∆U = ∆Q + ∆A = 0 (3.4) 

also entweder ∆Q > 0 (Wärme wird zugeführt) und ∆A < 0 (Arbeit wird vom System 

verrichtet) oder umgekehrt. Die Gleichungen 3.3 und 3.4 bilden zusammen den 1. Hauptsatz 

der Wärmetheorie (Thermodynamik). 

Die Arbeit A ist die Arbeit, die von äußeren Kräften geleistet wird. Im Allgemeinen führt 

der Außendruck pa zu einer Volumenänderung dV : 

dA = −padV 

Falls dV < 0, verübt der Druck Arbeit am System (dA > 0), im anderen Fall dehnt sich das 

System aus und verrichtet dabei Arbeit. Die Arbeit ist dann − � pdV und damit die Fläche 

unter einer Zustandsänderung im p-V-Diagramm, siehe Abb. 3.2. In einem Kreisprozeß wird 

eine geschlossene Kurve im p-V-Diagramm durchlaufen, ihr Flächeninhalt entspricht der freigewordenen 

oder geleisteten Arbeit (je nach Umlaufrichtung). 

Im Allgemeinen kann man den äußeren, vom Experimentator frei wählbaren Druck pa nicht 

durch den inneren, durch die Zustandsgleichung vorgegebenen Druck p ersetzen. Dies ist nur 

in sogenannten quasi-statischen Prozessen erlaubt, in denen der äußere Druck dem inneren 

Druck numerisch immer fast gleich gewählt ist, wobei die Prozesse dann unendlich langsam 

ablaufen. Dies hat den Vorteil, daß man für den Innendruck p die ideale Gasgleichung 

verwenden kann: pV = νRT . Es gilt dann für ideale Gase: 

dU = dQ − pdV.


Abbildung 3.2: Arbeitsdiagramme von quasi-statischen Prozessen. Im rechten Bild ist ein 

Kreisprozeß gezeigt. 

Zustandsänderungen 

1.) Isochore Zustandsänderung: V = const. 

dU = dQ = mcV dT 

U = mcV T + U0 

Die innere Energie hängt für eine feste Masse also nur von T ab. Bei der isochoren Zustandsänderung 

erhöht die zugeführte Wärme nur die innere Energie. 

2.) Isobare Zustandsänderung: p = const. 

Hieraus folgt Cmp − CmV 

äußere Arbeit. 

dU = mcpdT − pdV = mcV dT 

3.) Isotherme Zustandsänderung: T = const. 

= R. Die zugeführte Wärme erhöht die innere Energie und leistet 

U = mcV T + U0 ⇒ dU = 0 ⇒ dQ = pdV 

Die zugeführte Wärme wird komplett in äußere Arbeit umgesetzt. 

4.) Adiabatische Zustandsänderung: Q = const. 

dU = −padV = mcV dT 

Die am System verrichtete Arbeit erhöht die innere Energie. 

Läuft der Prozeß quasi-statisch ab, gilt pa = p = νRT/V .


Abbildung 3.3: Isothermen (gestrichelte Linien) und Adiabaten (durchgezogene Linien) eines 

idealen Gases. 

CmV 

mcV dT = −νRT dV/V 

McV dT/T + RdV/V 

� 

� 

= 0 

dT/T + R dV/V = 0 

CmV ln (T/T0) + R ln (V/V0) = 0 

ln (T/T0) + ln (V/V0) R/Cm V = 0 

⇒ T 

� �R/CmV V 

= 1 

T0 

Mit den Gleichungen 3.2 und Cmp − CmV 

Mit der idealen Gasgleichung folgt: 

V0 

= R folgt daher: 

T V κ−1 = const. (3.5) 

pV κ = const. (3.6) 

pT κ 

1−κ = const. (3.7) 

Dies sind die drei Poissonschen Gleichungen. Eine Druckänderung führt also zu einer 

Temperaturänderung (Beispiele für adiabatische Prozesse: Luftpumpe, Schallwellen). Im p- 

V-Diagramm verlaufen die Adiabaten steiler als die Isothermen und schneiden diese daher, 

wie in Abb. 3.3 zu sehen ist. 

Änderung von Aggregatszuständen 

Wenn man einem Festkörper Wärme mit einer konstanten Rate zuführt, ändert sich die 

Temperatur wie in Abb. 3.4 exemplarisch für 1 g Wasser gezeigt. Zuerst steigt die Temperatur 

wie erwartet an: ∆Q = cpEis m(T − T0) (T0 ist die Ausgangstemperatur, in der Abbildung 

gilt z.b. T0 = 243 K). Bei 0 ◦ C allerdings passiert etwas Neues: trotz Wärmezufuhr bleibt


die Temperatur konstant. Beim Übergang vom festen zum flüssigen Aggregatszustand muß 

die kristalline Anordnung der Moleküle mit ihrer räumlich stabilen Struktur von Ionen und 

Elektronen aufgebrochen werden. Die zugeführte Wärmemenge von 335 J wird gebraucht, 

um 1 g Eis zu schmelzen. Die Schmelzwärme beträgt also 

λSchmelz = 334.9 J/g 

ΛSchmelz = 6.03 kJ/mol , 

wobei die spezifische und molare Schmelzwärme über ΛSchmelz = MλSchmelz = m 

ν λSchmelz zusammenhängen. 

Zwischen 0◦C und 100◦C steigt die Temperatur nach ∆Q = cpW m(T − 

asser 

TSchmelz) weiter an. Bei der Siedetemperatur ts = 100◦C muß wieder eine Umwandlungswärme, 

die Verdampfungswärme, zugeführt werden: 

λVerd = 2256.7 J/g 

ΛVerd = 40.6 kJ/mol 

denn beim Übergang vom flüssigen zum gasförmigen Aggregatszustand wird die durch Van 

der Waals-Kräfte vermittelte Nahordnung zerstört. Solche Umwandlungswärmen zwischen 

Aggregatszuständen oder Phasen (z.B. verschiedenen Kristallstrukturen) werden auch als 

latente Wärmen bezeichnet. Beim Umkehrvorgang, also Kondensation und Erstarrung, werden 

die gleichen Energiemengen frei. Wie in der Chemie spricht man, je nachdem ob Wärme 

verbraucht oder frei wird, von endothermen oder exothermen Prozessen. 

Abbildung 3.4: Temperaturverlauf bei konstanter Erwärmung von 1 g Wasser.


Ein Teil der Umwandlungswärme geht in Volumenarbeit über, denn das Volumen der Aggregatszustände 

ist i.A. unterschiedlich. Beim Übergang vom flüssigen zum gasförmigen Aggregatszustand 

muß eine dem Differenzvolumen entsprechende Menge Luft verdrängt werden: 

dA = −pdV . Die Volumenarbeit beträgt etwa 170 J/g. Die Änderung der inneren Energie 

ist also dU = dQ − pdV < λVerdm. In den obigen Zahlen ist die Volumenarbeit schon enthalten. 

Zur Verdeutlichung spricht man statt von Wärme auch von Enthalpie H, wenn die 

Volumenarbeit schon addiert ist: 

H = U + pV 

∆H = ∆U + ∆(pV ) = ∆Q + V dp 

Für dp = 0 ist die Enthalpie also mit der Wärme identisch. 

Im Folgenden soll der Übergang vom flüssigen zum gasförmigen Aggregatszustand betrachtet 

werden. Hat man eine Flüssigkeit in einem evakuierten geschlossenen Gefäß, so verdampfen 

und kondensieren Moleküle, bis sich ein Gleichgewicht einstellt. Der Dampf hat dann einen 

von der Temperatur und Stoffart abhängigen Druck, den Dampfdruck oder Sättigungsdruck. 

Der Zusammenhang zwischen Sättigungsdampfdruck und Temperatur wird durch die Dampfdruckkurve 

beschrieben. Abb. 3.5 zeigt die Dampfdruckkurve von Wasser. Ist das Gefäß nicht 

evakuiert, müssen die Moleküle durch z.B. Luft diffundieren. Das Gleichgewicht stellt sich 

langsamer ein, aber der Dampfdruck ist der gleiche, denn nach Dalton ändert sich an den 

Partialdrücken der einzelnen Gase durch die Anwesenheit anderer Gase nichts. Ist zu wenig 

Flüssigkeit vorhanden, verdampft alles und es kann sich kein Gleichgewicht einstellen. 

Flüssigkeit in einem offenen Gefäß wird also unabhängig von Druck und Temperatur immer 

vollständig verdampfen (Verdunstung). 

Abbildung 3.5: Dampfdruckkurve von Wasser.


Die Isothermen des Flüssigkeit-Gas-Systemes von CO2 sind auf der linken Seite von Abb. 3.6 

gezeigt. Sie folgen nicht mehr dem Boyle-Mariottschen Gesetz für ideale Gase, sondern zeigen 

einen komplizierteren Verlauf. Wir betrachten die Isotherme bei t1 = 10 ◦ C. Rechts 

vom Punkt A ist das CO2 gasförmig, Kompression führt also zu einem Druckanstieg. Am 

Punkt A setzt Sättigung ein, Kompression führt zu Kondensation bei konstantem Druck. 

Schließlich ist bei B nur noch Flüssigkeit vorhanden, weitere Kompression führt zu starkem 

Druckanstieg. Das durch die Punkte A und B der Isothermen definierte Gebiet wird als 

Sättigungsgebiet bezeichnet. Für T2 = 31 ◦ C sind am Punkt C die Volumina von Gas und 

Flüssigkeit gleich, beide Aggregatszustände haben die gleiche Dichte. Dieser Punkt wird als 

kritischer Punkt bezeichnet, entprechend die zugehörigen Zustandsgrößen als kritische Temperatur, 

kritische Dichte etc.. Oberhalb der kritischen Temperatur kann ein Gas auch durch 

beliebig hohen Druck nicht verflüssigt werden. Nur für Zustände mit einer Temperatur weit 

oberhalb der kritischen Temperatur gilt die Thermodynamik eines idealen Gases. 

Die aus der Van der Waals-Gleichung berechneten Isothermen (Van der Waals-Isothermen) 

sehen anders aus als die im Experiment gewonnen Kurven (Abb. 3.6, rechte Seite). Man 

erhält die den Punkten A und B von oben entprechenden Punkte A und C, wenn man eine 

Gerade so durch die Van der Waals-Isotherme legt, daß die schraffierten Flächen gleich groß 

sind. 

Wird die Wärmezufuhr einer Flüssigkeit so groß, daß die Wärme nur durch inneres Verdampfen 

(Vergrösserung der Oberfläche) mittels Gasblasen, welche an die Oberfläche steigen, 

abgeführt werden kann, spricht man vom Sieden. Die Temperatur ist dann konstant 

(Siedetemperatur), d.h. ein stationärer Zustand erreicht, wenn der Druck in den Blasen dem 

äußeren Druck entspricht. Die Siedetemperatur hängt also vom Außendruck ab (Abb. 3.8.) 

Die Blasen entstehen an “Keimen”, z.B. gelösten Gasen, Spitzen, Ionen, ... In sehr sauberen 

Flüssigkeiten gibt es daher Siedeverzug. 

Abbildung 3.6: Links: Isothermen von CO2 mit Sättigungsgebiet. Rechts: Van der Waals- 

Isothermen von CO2 mit Sättigungsgebiet.


Clausius-Clapeyronsche Gleichung 

Die quantitative Beschreibung des Sättigungsdampfdruckes leistet die Clausius-Clapeyronsche 

Gleichung. Zur Herleitung betrachten wir den in Abb. 3.7 gezeigten Kreisprozeß im p-V- 

Diagramm. 

• Start bei A mit ν, V2, T , c2 

• A → B: ∆Q = νCm2dT wird zugeführt 

• B → C: Verdampfen, ∆Q = νΛ ′ wird zugeführt 

• C → D: ∆Q = νCm1dT wird entzogen 

• D → A: Kondensieren, ∆Q = νΛ wird frei 

Es gilt also mit Λ ′ = Λ + dΛdT 

und dem ersten Hauptsatz: 

dT 

Der zweite Hauptsatz ( � δQ 

T 

� 

Cm2dT 

ν 

T 

∆Q = ν(Cm2dT + Λ ′ = 

− Cm1dT − Λ) 

� 

ν (Cm2 − Cm1)dT + dΛ 

dT dT 

� 

= −∆A 

= dp(V1 − V2) 

� 

⇒ ν (Cm2 − Cm1)dT + dΛ 

dT dT 

� 

= 0) liefert die Gleichung: 

+ Λ′ 

T + dT 

− Cm1dT 

T 

= dp(V1 − V2) (3.8) 

− Λ 

� 

= 0 

T 

Abbildung 3.7: Kreisprozeß zur Herleitung der Clausius-Clapeyron-Gleichung.


102 Siedetemperatur von Wasser als Funktion des Druckes 

100 

98 

96 

Siedetemperatur [degC] 

94 

102 102 

92 

101.5 

101 101 

90 

100.5 

100 100 

88 

99.5 99.5 

99 99 

86 

98.5 98.5 

98 98 

84 

97.5 97.5 

950 950 960 960 970 970 980 980 990 990 1000 1010 1020 1030 1040 1050 1060 

97 97 

82 

500 600 700 800 900 1000 1100 

Umgebungsdruck [hPa] 

Abbildung 3.8: Temperaturabhängigkeit des Siedepunktes von Wasser. 

80


Hierbei wurde 1 

1+ dT 

T 

(Cm2 − Cm1)dT + 

Λ + dΛ 

dT dT 

(Cm2 − Cm1) 

dT + = 0 

T 

T (1 + dT/T ) 

� 

Λ + dΛ 

dT dT 

� 

(1 − dT/T ) − Λ = 0 

− Λ 

T 

(Cm2 − Cm1)dT + dΛ 

dT − ΛdT/T = 0 (3.9) 

dT 

= 1 − dT 

T 

Gleichungen 3.8 und 3.9 ergibt sich: 

gesetzt und der quadratische Term in dT vernachlässigt. Aus 

dp 

ν (V1 − V2) = Λ dT 

T 

⇒ Λ(T ) = T dp 

dT (V1 − V2)/ν 

⇒ dp 

dT = 

νΛ 

T (V1 − V2) 

Dies ist die Clausius-Clapeyronsche Gleichung. Sie gilt für beliebige Phasenübergänge. 

Eine Integration, wobei die Temperaturabhängigkeiten von Λ und dV bekannt sein müssen, 

ergibt p(T ). 

Beim Verdampfen, wenn Vgas >> Vfl, gilt: 

Integration ergibt 

ΛV erd(T ) = T dp 

dT (Vgas − Vfl)/ν 

� p 

dp 

dT = 

p0 

= 

νΛV erd 

T (Vgas − Vfl) 

νΛ 

T Vgas 

� T 

1 Λ 

dp = 

p R T0 

ln(p/p0) = − Λ 1 

( 

R T 

= pΛ 

RT 2 

1 

dT 

T 2 

1 

− ) 

T0 

Bei entsprechender Auftragungsweise kann die Verdampfungswärme also direkt aus der Steigung 

bestimmt werden, wobei wegen der Temperaturabhängigkeit von Λ streng genommen 

nur kleine Temperaturbereiche genommen werden dürfen. 

Zustandsdiagramm 

Für alle Phasenübergange wird p(T ) im Zustandsdiagramm dargestellt. Abb. 3.9 zeigt die 

Zustandsdiagramme für CO2 (links) und Wasser (rechts) mit den Phasenübergängen Sublimation, 

Schmelzen und dem ausführlich behandelten Verdampfen. Die Steigung von dp/dT


ist i.A. positiv. Eine Ausnahme bildet die Schmelzkurve von Wasser, deren Steigung negativ 

ist. Der Grund ist die schon behandelte Anomalie des Wassers, also VEis > Vfl. Man 

kann also durch Druck Eis schmelzen (Anwendung: Schlittschuhlaufen). Der Punkt, an dem 

sich alle drei Kurven treffen, wird Tripelpunkt genannt. Hier herrscht Koexistenz aller drei 

Aggregatszustände. 

Abbildung 3.9: Links: Zustandsdiagramm von Kohlendioxid. Rechts: Zustandsdiagramm 

von Wasser. 


Benötigte Geräte 

Sensor-CASSY; 

Heizhaube; 

Absolutdrucksensor mit Stativstange; 

6-poliges Verbindungskabel; 

B-Box; 

Temperatursensor; 

Temperaturbox; 

Kolben; 

Meßbecher; 

Glasventil; 

Handpumpe; 

Stativ mit Stange; 

Schläuche; 

Verbindungsstücke; 

Muffen. 

Ein Piezowiderstand auf Siliziumbasis (Motorola MPX2100AP) ist als Drucksensor (p < 1500 

hPa) in das Gehäuse des Leybold-Absolutdrucksensors eingebaut. Der Sensor ist zwischen 

0 ◦ und 85 ◦ C temperaturkompensiert und kann von −40 ◦ C bis 125 ◦ C betrieben werden. Um


zu verhindern, daß Kondensat in den Sensor zurückfließt, ist der Sensor mit der Meßöffnung 

abwärts zu montieren. Das analoge Drucksignal (40mV/1000hPa, ±1% Linearitätsfehler) des 

Piezo-Sensors wird verstärkt (Output des Absolutdrucksensors: 1V/1500hPa), der Fehler des 

Sensors wird mit < 1% angegeben. Dann wird das Signal über einen Pegelkonverter (B-Box, 

Verstärkungsfehler 1%) an die Digitalisierung (CASSY, 12bit A/D Wandler) weitergereicht. 

Der Temperaturfühler (Betriebsbereich −200 ◦ C< T < 400 ◦ C, Fehler für −40 ◦ C< T < 335 ◦ C: 

±2.5 ◦ C) basiert auf einem NiCr-Ni-Thermoelement. Dieser Sensor ist an der Spitze eines hermetisch 

verschlossenen dünnen Edelstahlrohres montiert (Vorsicht beim Einführen in die mit 

einem durchbohrten Stopfen verschlossene Meßöffnung). Die Ansprechzeit (99% des Temperaturendwertes) 

in Gasen ist 2s. Das analoge Temperatursignal (4.1mV/100 ◦ C) wird über 

einen Pegelkonverter (Temperatur-Box, Meßfehler < 1 %) an die Digitalisierung (CASSY, 

12bit A/D Wandler) weitergereicht. CASSY kann Meßwerte mit bis zu 100kHz Wiederholrate 

aufnehmen und puffern. 

Allgemeines 

• Bei allen Messungen darf die Funktion “Meßwerte mitteln” in der CASSY-Software 

nicht verwendet werden, da sie die Bestimmung der Meßfehler stark verfälscht! 

• Sorgfältig protokollieren! Wichtig sind insbesondere die Zeitpunkte und Dauer der Messungen, 

die Nummer der verwendeten Apparatur, Ergebnisse der Vorversuche und jeder 

Handgriff an der Apparatur. 

• Immer die Rohdaten mit abspeichern. Z.B. gehören neben ln(p) und 1/T auch p und T 

selbst mit in den CASSY-Datensatz. Das spätere Zurückrechnen ist, wenn überhaupt 

möglich, eine ergiebige Fehlerquelle. 

Die unten angegebenen Zeitdauern pro Messung sollen nur ein Anhaltspunkt für 

Sie sein. Falls Sie allerdings wesentlich länger brauchen, könnten Sie am Ende 

in Zeitdruck geraten. 

Messung des Rauschens der Sensoren 

Dauer der Messung: ca. 15 Minuten 

Um die statistische Meßgenauigkeit abzuschätzen, kann man die Sensoren über ein kurzes 

Zeitintervall mit hoher Rate auslesen (Raumtemperatur bzw. Normaldruck). Unter der Annahme 

eines stabilen Meßwertes in diesem Zeitintervall ergibt die Streuung der beobachteten 

Daten die statistische Meßungenauigkeit. Aus diesen Meßwerten anschließend in Maple mit 

der Routine mean aus der Praktikumsbibliothek das RMS bestimmen. Dies ist der gesuchte 

Meßfehler der Sensoren. Die von Leybold angegebenen Fehler können als systematische 

Fehler betrachtet und behandelt werden. Die Meßwerte sollen zusätzlich in ein Histogramm 

eingetragen werden, um einen Überblick über ihre Verteilung zu erhalten. 

Kalibrierung des Temperatursensors 


Der Temperatursensor wird mit Eiswasser und kochendem Wasser kalibriert. Eiswürfel erhalten 

Sie vom Assistenten. Fügen Sie nicht zu viel Wasser hinzu, sonst dauert es sehr lange,


bis sich ein Gleichgewicht einstellt. Die Kalibration mit kochendem Wasser führen Sie später 

während des Hauptversuches durch. Die gemessenen Temperaturwerte sollen nachträglich 

in der Auswertung mit Hilfe der Kalibrationsmessung korrigiert werden, falls signifikante 

Abweichungen bestehen. 

Messung der Gasdichtigkeit 


In einer Vormessung soll die Gasdichtigkeit geprüft werden. Hierzu wird im Kolben mittels 

einer Handpumpe ein Unterdruck (p < 200 hPa) erzeugt, welcher durch Undichtigkeiten mit 

der Zeit ausgeglichen wird. Der Druckverlauf sollte über ca. 10 Minuten gemessen werden. 

Der prinzipielle Versuchsaufbau ist in Abb. 3.10 gezeigt. Verbinden Sie die Pumpe über das 

Ventil mit dem Kolben und montieren Sie den Drucksensor. Erzeugen Sie einen möglichst 

großen Unterdruck und messen Sie den Druckverlauf. Die Kompensation des Drucksensors 

sollte in allen Messungen ausgeschaltet sein (die LED auf der B-Box also nicht leuchten). Falls 

nötig, kann zur Verbesserung der Dichtigkeit der Anordnung die Schlauchschelle vorsichtig 

weiter angezogen werden. Außerdem steht ein Dichtungsmittel zur Verfügung, das auf die 

Normschliffe der Glasbehälter/Ventile aufgetragen werden kann. Ausgeleierte Schlauchenden 

können abgeschnitten werden. Allgemein ist zu empfehlen, das Öffnen der einmal abgedichteten 

Glas- und Schlauchverbindungen möglichst zu vermeiden. Der Aufbau sollte nach dieser 

Messung nicht mehr geändert werden (Schraubverschlüsse nicht mehr auf und zu drehen, 

Temperatursensor nicht entfernen etc.). 

Messung der Dampfdruckkurve 

Dauer der Messung: ca. 1 1/2 Stunden 

Im Hauptversuch soll die Dampfdruckkurve von Wasser aufgenommen werden. 

Gefüllt wird das Gefäß durch Ansaugen aus einem Meßglas (Eintauchen des Schlauches in 

das Meßglas bei geschlossenem Ventil, kurzzeitiges Öffnen des Ventils, eventuell erneutes 

Abpumpen). Der Kolben sollte ca. halb gefüllt werden. 

Sodann wird das Wasser mit Hilfe der elektrischen Heizhaube zum Sieden gebracht, und 

dabei der Temperaturverlauf aufgezeichnet. Während der Aufwärmphase bleibt der Auslaß 

geöffnet (wieso?). Lassen Sie den erzeugten Dampf in einem Glas kondensieren. Vergleichen 

Sie die Temperatur in als auch oberhalb der Flüssigkeit. Nutzen Sie die Aufwärmphase, um 

sich von der starken Druckabhängigkeit der Siedetemperatur zu überzeugen. Nach Einstellung 

des Gleichgewichtes sollte das Wasser noch einige Minuten sieden, damit die Luft weitgehend 

aus dem Gefäß entweichen kann. Ihr Partialdruck führt sonst zu einer Verfälschung 

der Druckmessung. Der Anteil der Luft im austretenden Gas läßt sich recht gut abschätzen, 

indem der Abgasschlauch einige Zentimeter unter den Flüssigkeitsspiegel – z.B. in einem 

Meßglas – getaucht wird. Während der Dampfanteil sofort kondensiert, treten nur die Luftblasen 

bis an die Oberfläche. 

Der Dampfdruck wird beim Abkühlen bei verschlossenem Gefäß gemessen. Unbedingt den 

Hahn am Auslaßschlauch schließen, kurz bevor die Heizhaube abgeschaltet oder entfernt 

wird. Der entstehende Druckabfall führt sonst sofort zum Ansaugen von Luft oder Wasser 

in das Gefäß. Nach dem Schließen des Hahns nicht zu lange warten, der Überdruck kann 

sonst den Glasstopfen aus dem Rundkolben herausdrücken. Wählen sie eine geeignete Auf-


tragungsweise und berechnen Sie zu Ihrer Kontrolle sofort die Verdampfungswärme. 

Zweite Dichtigkeitsmessung (nur, falls genügend Zeit vorhanden ist) 

Um eine eventuelle Änderung der Gasdichtigkeit während des Versuches auszuschliessen, wiederholen 

Sie die Dichtigkeitsmessung nach der Aufnahme der Dampfdruckkurve. Hierfür muß 

das Wasser vollständig auf Raumtemperatur abgekühlt sein, da die Temperaturänderung 

sonst den Druck beeinflußt. 

3.1.3 Auswertung 

• Bestimmung des statistischen Fehlers auf Druck und Temperatur aus den Rauschmessungen. 

• Eventuell Korrektur der Temperaturdaten mit Hilfe der Kalibrationsmessung. Prüfen 

Sie hierfür, ob die gemessenen Werte von Schmelz- und Siedetemperatur mehr als drei 

Standardabweichungen von den Theoriewerten abweichen. Berücksichtigen Sie für den 

Vergleich die Druckabhängigkeit der Siedetemperatur. Im Allgemeinen ist die Temperaturkorrektur 

temperaturabhängig. 

• Bestimmung der Leckraten vor (und eventuell nach) der Haupmessung, Abschätzung 

des für die Enthalpiebestimmung verwendbaren Zeitraumes. 

• Bestimmung der Verdampfungsenthalpie aus der Verteilung von ln(p) gegen 1/T mittels 

linearer Regression. Für den Drucksensor wurde keine Kalibrationsmessung durchgeführt. 

Berücksichtigen Sie daher den von Leybold angegebenen Fehler als systematischen 

Fehler. Addieren Sie hierfür die angegebenen relativen Fehler quadratisch und berechnen 

Sie den absoluten Fehler, indem Sie den relativen Fehler auf den Meßbereichsendwert 

anwenden. Wie ändert sich die Verdampfungsenthalpie, wenn alle Druckwerte 

um diesen systematischen Fehler zu niedrig oder zu hoch gemessen wären? Für die lineare 

Regression kann die Funktion “LineareRegressionXY” der Praktikumsbibliothek 

“MapleLibs” verwendet werden. Sie berücksichtigt Fehler in der x- und y-Koordinate 

(siehe http://accms04.physik.rwth-aachen.de/∼praktapp/maple−new/index.html). 

• Alle Werte sollen mit Fehlern angegeben, die Punkte in den Plots mit Fehlerbalken 

gezeichnet werden! Geben sie auch an, wie Sie die Fehler auf ln(p) und 1/T berechnet 

haben. 

• Geben Sie die Verdampfungsenthalpie mit statistischem und systematischen Fehler an 

und vergleichen Sie Ihr Resultat mit dem Literaturwert. Stimmt es im Rahmen des 

(kombinierten) Fehlers überein? 

• Diskutieren Sie in Ihrer Zusammenfassung die Resultate, systematische Fehlerquellen 

sowie Mängel des angewendeten Verfahrens.


Abbildung 3.10: Versuchsaufbau zur Messung der Dampfdruckkurve.


44 

Molare Verdampfungsenthalpie von Wasser 

43.5 

43 

42.5 

42 

41.5 

41 

40.5 

Verdampfungsenthalpie [kJ/mol] 

40 

39.5 

300 320 340 360 380 400 

Temperatur [K] 

Abbildung 3.11: Temperaturabhängigkeit der Verdampfungsenthalpie von Wasser.


3.2 Adiabatic Coefficient 

Purposes 

In this experiment the ratio cp 

Keywords 

cv 

is measured by the Rüchardt method. 

Specific heat, equation of state, processes of state transformation (adiabatic, isothermic, isobaric), 

pressure oscillations. 

Literature 

See list of sources in Section 3.1. 

3.2.1 Rüchardt method 

The Rüchardt method to determine the ratio cp 

for a gas is based on the measurement of 

cv 

oscillations of a steel ball supported by a column of the gas in a precision glass tube. 

The scheme of the experiment is shown in Fig. 3.12. 

Rubber 

bung 

Marriot’s 

flask 

Ball 

F = AΔp 

D 

Gas 

pV κ = const 

Differential 

manometer 

Δp 

Hand 

pump 

Abbildung 3.12: Scheme of the Rüchardt method for the ratio cp 

cv measurement

3.2. Adiabatic Coefficient 99 

The ball fits exactly into the tube having a diameter of about 16 mm. The precision glass 

tube is inserted vertically into a glass bottle (Marriot’s flask) which has a rubber stopper 

with a hole fitting the glass tube. Gas pressure inside the bottle is measured by a differential 

manometer. 

A hand pump can provide a slow influx of air into the bottle. The increased air pressure 

raises the ball along the tube. After air influx is stopped the ball will sink down very slowly. 

It takes considerable time to fall through the tube, for the air enclosed in the tube below 

the ball escapes very slowly through the narrow gap between ball and tube walls. 

If the ball hight is increased sharply by the use of two small permanent magnets the ball 

starts to oscillate up and down a few times before continuing to sink down slowly. The 

oscillations are damped due to the unavoidable losses of energy by friction. Variations of 

the air pressure inside the bottle during these oscillations have to be measured and stored. 

Analysis of these data in accordance with a theory described below allows to determine the 

air adiabatic coefficient κ. 

The parameters relevant for the analysis are 

• m - mass of the ball 

• A = πD 2 /4 - cross-section area of the glass tube 

• V - volume of enclosed air 

• p0 - atmospheric pressure 

• p - pressure inside the bottle 

• cp - specific heat at constant pressure 

• cv - specific heat at constant volume 

• κ = cp 

cv 

- adiabatic coefficient 

The ball is in equilibrium if the pressure p inside the bottle is equal to the sum of the 

atmospheric pressure p0 and the pressure due to the weight of the ball: 

p = p0 + mg 

A 

(3.10) 

When the ball moves a distance x beyond its equilibrium position, the pressure changes 

by dp. By this a force Adp is exerted on the ball. Friction force is proportional to the ball 

. Then by Newton’s second law: 

velocity Ffr = −αfr dx 

dt 

m d2x dx 

= Adp − αfr 

dt2 dt 

(3.11) 

The process may be considered practically adiabatic. Therefore, according to 3.6 (Section 

3.1.1) 

pV κ = const (3.12)


By differentiation: 

V κ dp + pκV κ−1 dV = 0 (3.13) 

dp = − pκ 

dV (3.14) 

V 

The ball was supposed to move a distance x in the glass tube; this gives a change of volume 

By substituting 3.15 in 3.14 

dp = − pκAx 

V 

The equation of motion 3.11 takes now the form 

d2x αfr dx 

+ 

dt2 m dt 

dV = Ax (3.15) 

(3.16) 

pκA2 

+ x = 0 (3.17) 

mV 

This is the differential equation of harmonic oscillations with damping from which the angular 

frequency of the ball oscillations can be deduced, which is 

� 

pκA2 ω = 

(3.18) 

mV 

from this follows for κ = cp 

cv : 

2 mV 

κ = ω 

pA2 (3.19) 

All the quantities on the right side of equation 3.19 are accessible to measurements, therefore 

κ can be determined in this way. 

3.2.2 Setup and Carrying out the Experiment 

Apparatus 

Oscillation tube; 

Stand base, V-shape; 

Stand rod, 50 cm; 

Clamp with jaw clamp; 

Two Marriot’s flasks of different volumes; 

Hand vacuum and pressure pump; 

Differential pressure sensor; 

Absolute pressure sensor; 

Sensor-CASSY; 

PVC tubes; 

Connectors; 

Permanent magnets; 

Digital balance; 

Precision micrometer.

3.2. Adiabatic Coefficient 101 

The pressure sensor enables differential pressures ∆p = p1 − p2 between 0 and ±70 hP a to 

be measured. It can be connected directly to the Sensor-CASSY. 

Technical data: 

• Measuring ranges: ±0.7 hP a, ±7 hP a, ±70 hP a 

• Resolution: 0.05% of measuring range 

The technical data of the absolute pressure sensor are described in Section 3.1.2. 

Setup 

Set up the experiment as shown in Fig.3.13: 

• Insert the oscillation tube vertically into the dry Marriot’s flask. Both sides of the tube 

should be closed to avoid fast movements of the ball inside the tube. 

• Fix the vertical position of the tube by clamping it with the jaw clamp connected with 

the stand. 

• Connect the outlet of the Marriot’s flask with the hand pump and with the differential 

pressure sensor using the PVC tubes and T-connector. 

• Insert the pressure sensor in the INPUT A channel of the CASSY box. 

• Open the upper end of the oscillation tube. 

The setup is ready for the oscillation measurements. 

Carrying out the experiment 

The parameters which define the value of the adiabatic coefficient κ, namely 

• ω - the ball oscillation frequency 

• A = πD2 

4 - cross-section of the tube 

• m - mass of the ball 

• V - volume of the bottle 

• p - gas pressure in the equilibrium state of the ball 

have to be measured using the provided tools: 

• relative pressure sensor 

• absolute pressure sensor


• precise micrometer 

• digital balance 

The measurement of the parameter V can be performed by weighing of the empty bottle 

and of the bottle filled with water. This can be done only after performing the oscillation 

measurement because the air inside the Marriot’s flask has to be dry then. 

Ball oscillation frequencies for different ball positions (heights) inside the tube have to be 

measured for both Marriot’s flasks. 

All the measurements have to be done several times. Evaluation of sources and values of 

systematic and stochastic errors for all the measured parameters should be presented. 

The values of the adiabatic coefficient κ together with its measurement errors should be calculated 

using all the measurements done. The resulting κ value measured in the experiment 

have to be calculated using either weighted mean or linear regression method (or both). 

Analysis of the κ error budget (sources of the dominant errors, possible ways to improve the 

experiment performance, etc.) has to be presented. 

Abbildung 3.13: Experiment setup for measuring the ratio cp 

cv

Kapitel 4 

Elektrizitätslehre 

Vorversuche: 

4.1 Charakterisierung der Ohmschen Widerstände 

4.2 Auf- und Entladung eines Kondensators 

4.3 Auf- und Entladung einer Spule 

Hauptversuche: 

4.4 LC-Schwingkreise 

4.5 gekoppelte Schwingungen 

Physikalische Grundlagen 

103 

Ohmsches Gesetz, Kirchhoffsche Regeln, Schaltungen von Widerständen, Kondensatoren, 

Spulen, Auf- bzw. Entladevorgänge, Schwingungen, gedämpfte Schwingungen, gekoppelte 

Schwingungen, Wechselströme, Wechselstromwiderstände, Verlustwiderstände

104 Kapitel 4. Elektrizitätslehre 

4.1 Charakterisierung der Ohmschen Widerstände 

4.1.1 Versuchsbeschreibung: 

Es soll der Betrag der Ohmschen Widerstände bestimmt werden, die bei den folgenden Versuchsteilen 

zur Charakterisierung der Kondensatoren und der Spulen, bzw. zur Dämpfung 

des Schwingkreises benutzt werden. Des weiteren sollen die Messfehler der Strom- und Spannungsmessungen 

bestimmt werden. Dazu werden zwei Messreihen benötigt: 

1.) Es wird eine Gleichspannung eingestellt und der Spannungsabfall an dem Ohmschen 

Widerstand und der im Kreis fließende Strom gegen die Zeit gemessen. Aus der Häufigkeitsverteilung 

der Strom- bzw. Spannungsmessung wird der jeweilige Mittelwert, die 

Standardabweichung (Fehler des Einzelwertes)und der mittlere Fehler des Mittelwertes 

bestimmt. 

� 

X = 1 

n 

n� 

� 

� 

Xi, σX = � 1 

n − 1 

i=1 

n� 

i=1 

√n 

(Xi − X) 2 , σ X = σX 

(4.1) 

2.) Die anliegende Gleichspannung wird variiert, der Spannungsabfall am Ohmschen Widerstand 

und der fließende Strom gemessen. Die Fehler der Einzelmessungen wurden 

mit den jeweiligen Messreihen 1 vorher bestimmt. Mittels linearer Regression wird 

die Steigung und damit der Wert des Ohmschen Widerstandes gemäß dem Ohmschen 

Gesetz bestimmt. 


U = I · R 

Die verschiedenen Ohmschen Widerstände werden gemäß Abbildung 4.1 auf der Rastersteckplatte 

aufgebaut und an Spannung gelegt. Als Spannungsquelle dient die Gleichspannungsquelle 

S (0-16 V) des Sensor CASSY-Interface. Zur Strommessung wird das Amperemeter 

des Eingangs A und zur Spannungsmessung das Voltmeter des Eingangs B benutzt. 

4.1.3 Versuchsdurchführung 

Messreihe 1 

Die Spannungsquelle kann über das Menü Einstellungen CASSY automatisch bei Beginn 

der Messung eingeschaltet werden (Änderung des Zustands 0 auf 1). Die Messzeit wird im 

Menü Messparameter anzeigen (Abb. 4.1b) eingestellt, die Messgrößen werden als Momentanwerte 

(Intervall 10 µs) aufgezeichnet. Die an dem Ohmschen Widerstand abfallende 

Spannung wird mit dem Spannungsmessgerät des Eingangs B, der im Kreis fließende Strom 

wird mit dem Amperemeter des Eingangs A gemessen. 

Achtung: Auf Grenzwerte und Messbereiche achten!

4.1. Charakterisierung der Ohmschen Widerstände 105 

Messreihe 2 

Die Spannungsquelle wird über das Menü Einstellungen CASSY eingeschaltet (Zustand 

1). Die Messwertaufnahme wird in dem Menü Messparameter anzeigen von automatischer 

auf manuelle Aufnahme umgeschaltet (Abb. 4.1c). Es wird ein Messwert pro Start 

einer Messung aufgezeichnet. Variiert wird manuell am Drehknopf die anliegende Spannung 

und es werden der Spannungsabfall am Ohmschen Widerstand und der Strom aufgezeichnet 

in einem U-I-Diagramm. Achtung: Auf Grenzwerte und Messbereiche achten! 

a) 

12 V 

INPUT A 

INPUT B 

R 

S 

− + 

I 

U 

U 


b) c) 

Benötigte Geräte: 

1 Sensor-CASSY 

1 Rastersteckplatte, DIN A4 

1 STE Widerstand 100 Ω ! 

1 STE Widerstand 47 Ω 



1 STE Widerstand 5,1 Ω 


3 Paar Kabel, 50 cm rot/blau 

Abbildung 4.1: a) Versuchsaufbau zur Charakterisierung des Ohmschen Widerstandes. b) 

Messreihe 1. c) Messreihe 2


4.1.4 Versuchsauswertung 

Messreihe 1 

Bestimmen Sie aus den Häufigkeitsverteilungen der Strom- bzw. Spannungsmessungen (Abb. 

4.1b) den jeweiligen Mittelwert, die Standardabweichung (statistischer Fehler des Einzelwertes), 

den mittleren Fehler des Mittelwertes (Gleichungen 4.1) und berechnen sie jeweils den 

Ohmschen Widerstand sowie den Fehler mittels Fehlerfortpflanzung. 

R = U 

I , σR = 

� �1 

I 

� 2 

· σ2 U + 

� 

U 

I 2 

�2 

· σ2 I , 

σR 

R = 

� �σU 

U 

� 2 

+ 

� �2 σI 

Variieren Sie die Anzahl der Messpunkte und fassen Sie die Ergebnisse als Funktion der 

Anzahl der Messpunkte grafisch zusammen. 

Berücksichtigen Sie ebenfalls den systematischen Fehler mittels Fehlerfortpflanzung 

und geben sie das Endergebnis an: 

σU,sys = 0, 01 · Ui + 0, 005 · UBereichsendwert 

σI,sys = 0, 02 · Ii + 0, 005 · IBereichsendwert 

(R ± ∆Rstat ± ∆Rsys) Ω 

Messreihe 2 

Stellen Sie die Messreihe in einem U-I-Diagramm dar und bestimmen Sie mittels linearer 

Regression den Wert und Fehler des Ohmschen Widerstandes (Abb. 4.2). In die lineare 

Regression gehen für jeden Messpunkt die statistischen Fehler der Strom- und Spannungsmessungen 

ein, die in der Messreihe 1 bestimmt worden sind. Um den systematischen Fehler 

in R abzuschätzen, verschieben Sie die Messpunkte mit ihren statistischen Fehlern um die 

systematischen Fehlern, so dass der Einfluss auf die Steigung der Ausgleichsgeraden maximal 

wird (Abbildung 4.2). Systematische Verschiebungen: 

bzw.: 

Ui,verschoben = Ui − (0, 01 · Ui + 0, 005 · UBereichsendwert) 

Ii,verschoben = Ii + (0, 02 · Ii + 0, 005 · IBereichsendwert) 

Ui,verschoben = Ui + (0, 01 · Ui + 0, 005 · UBereichsendwert) 

Ii,verschoben = Ii − (0, 02 · Ii + 0, 005 · IBereichsendwert) 

Geben Sie ihre Ergebnisse zusammenfassend an. 

Diskutieren Sie die Ergebnisse der beiden Messreihen und vergleichen Sie diese mit den 

Herstellerangaben (Tabelle 4.1). 

I

4.1. Charakterisierung der Ohmschen Widerstände 107 

Abbildung 4.2: Messreihe 2: Bestimmung des Ohmschen Widerstandes mittels linearer Regression 

(rote, mittlere Kurve) und des systematischen Fehlers (blaue und grüne Kurven). 

Ohmscher Widerstand Belastbarkeit Toleranz 

1 Ω 2 W 5 % 

5,1 Ω 2 W 5 % 

10 Ω 2 W 5 % 

20 Ω 2 W 5 % 

47 Ω 2 W 5 % 

100 Ω 2 W 5 % 

Tabelle 4.1: Spezifikationen der Ohmschen Widerstände nach Herstellerangaben


4.2 Auf- und Entladung eines Kondensators 

Optional, Rücksprache mit den Versuchsbetreuern! 


Mit diesem Vorversuch sollen die Kapazitäten der Kondensatoren bestimmt werden, die 

später bei den Hauptversuchen der LC-Schwingkreise eingesetzt werden! Der bei diesem 

Vorversuch verwendete Ohmsche Widerstand muß im vorherigen Vorversuch charakterisiert 

worden sein! 

Wird ein Kondensator an eine Spannungsquelle angeschlossen (Abb. 4.3), so wird er geladen. 

Innerhalb einer gewissen Zeit fließen Ladungen auf die Platten (Ladestrom), bis der 

Kondensator die gleiche Spannung wie die Quelle hat. Wird dann die Spannungsquelle abgetrennt 

und werden die Kondensatorplatten leitend miteinander verbunden, so entlädt sich 

der Kondensator, im Kreis fließt dann für eine gewisse Zeit ein Entladestrom. 

Im folgenden wird ein Kondensator über einen Widerstand aufgeladen oder entladen. Es 

wird der Spannungsabfall am Kondensator sowie der Lade- bzw. Entladestrom gemessen. 

Daraus kann die Zeitkonstante τ = R · C bestimmt werden. 

+ 

U0 

B 

A 

I 

R 

C 

U 

C 

Abbildung 4.3: Schaltung zur Aufnahme von Strom- und Spannungskennlinien bei Lade- und 

Entladevorgängen eines Kondensators 

Ladevorgang des Kondensators (Schalterstellung A): 

Der Ladevorgang beginnt beim Zeitpunkt t = 0, zu diesem Zeitpunkt fließt der maximale 

Strom I0 = U0 . Dann wird der Kondensator immer mehr geladen, die sich dabei aufbauende 

R 

Spannung UC wirkt als Gegenspannung zu U0, so daß der Ladestrom I immer kleiner wird. 

Wenn UC = U0 geworden ist, kommt der Strom zum Erliegen (I = 0). 

Wird von einem beliebigen Punkt ausgehend der Kreis (Abb. 4.3) einmal vollständig umfahren, 

muß die Summe aller Spannungen Null ergeben gemäß der Kirchhoffschen Maschenregel.

4.2. Auf- und Entladung eines Kondensators 109 

Eine andere Formulierung der Maschenregel lautet, daß die Summe der anliegenden Spannungen 

gleich der Summe der abfallenden Spannungen ist. Es gilt also zu jedem Zeitpunkt: 

Wegen C · UC = Q und I = dQ 

dt 

U0 − UR(t) − UC(t) = 0 → U0 − UC(t) = I(t) · R 

gilt dann: 

U0 − UC(t) = R · C dUC 

(4.2) 

dt 

Die Differentialgleichung 4.2 wird integriert mit der Randbedingung, daß beim Zeitpunkt 

t = 0 keine Ladung auf dem Kondensator ist und daher UC(t = 0) = 0 ist. Für den 

Spannungsabfall am Kondensator zu einer beliebigen Zeit t gilt dann: 

UC(t) � 

0 

dUC 

U0 − UC 

= 1 

R · C 

�t 

0 

� � 

U0 − UC(t) 

dt → ln 

U0 

= −t 

R · C → UC(t) 

� � 

t 

− 

= U0 · 1 − e R·C (4.3) 

also steigt die Spannung am Kondensator exponentiell mit der Zeit auf U0 an. Damit ergibt 

sich für den Ladestrom: 

I(t) = dQ dUC U0 

= C · = 

dt dt R 

mit der Zeitkonstanten des RC-Kreises τ = R · C. 

· e− t 

R·C = U0 

Entladevorgang des Kondensators (Schalterstellung B): 

R 

t 

t 

− 

· e− τ = I0 · e R·C (4.4) 

Zum Zeitpunkt t = 0 wird die Spannungsquelle durch einen Leiter überbrückt, so daß keine 

Spannung mehr am Kreis anliegt und der Kondensator gemäß U0 aufgeladen ist. Dann liefert 

die Maschenregel: 

Mit Q = C · UC und I = dQ 

dt 

R · I(t) + UC(t) = 0 

folgt die homogene Differentialgleichung: 

R · C · dUC(t) 

dt + UC(t) = 0 (4.5) 

Die Lösung der Differentialgleichung 4.5 erfolgt durch “Separation der Variablen“ unter 

Berücksichtigung der Randbedingung (t = 0 → UC = U0): 

�UC 

U0 

dUC 

UC 

= −1 

R · C 

�t 

0 

dt → ln 

� UC 

U0 

� 

= −t 

R · C 

und damit ergibt sich für den zeitabhängigen Spannungsabfall am Kondensator: 

Für den Stromverlauf ergibt sich bei der Entladung: 

I = dQ 

dt 

t 

t 

− − 

UC(t) = U0 · e R·C = U0 · e τ (4.6) 

= C · dUC 

dt = C · U0 · −1 

R · C 

t 

· e− R·C → I(t) = − U0 t 

· e− R·C (4.7) 

R



Der Kondensator und der Ohmsche Widerstand werden gemäß Abbildung 4.4 auf der Rastersteckplatte 

aufgebaut. Als Spannungsquelle dient die Gleichspannungsquelle S (0-16 V) 

des Sensor-CASSY-Interface. Zur Strommessung wird das Amperemeter des Eingangs A 

und zur Spannungsmessung das Voltmeter des Eingangs B benutzt. Zusätzlich wird der 

Spannungsabfall am Kondensator auf dem Kanal 1 und der Strom als Spannungsabfall am 

Ohm’schen Widerstand auf dem Kanal 2 des Oszilloskopes gemessen. Zur Überbrückung der 

Spannungsquelle (Entladevorgang) wird ein Taster parallel zu dem Ohmschen Widerstand 

und dem Kondensator geschaltet. 

Bei dem Aufladevorgang des Kondensators wird die Spannungsquelle im Menü Einstellungen 

CASSY von AUS (0) auf EIN (1) automatisch bei Beginn einer Messung umgeschaltet. 

Bei dem Entladevorgang bleibt die Spannungsquelle eingeschaltet (1), wird aber durch den 

Taster überbrückt, so das sich der Kondensator über den Widerstand entlädt. 

12 V 

INPUT A 

INPUT B 

R 

S 

− + 

I 

U 

U Erde 


Kanal 2 

Kanal 1 

Oszilloskop 



1 TDS 2004B Oszilloskop 



1 Kondensator 10 µF 

1 Kondensator 4,7 µF 



1 Satz Brückenstecker 


3 Kabel, 50 cm rot/blau 

1 Taster 

Abbildung 4.4: Schaltbild zur Aufnahme einer Auf- oder Entladekurve eines Kondensators 


a) Aufladung 

– Ladespannung U0 einstellen - dazu Drehknopf an Spannungsquelle S entsprechend 

einstellen und Ladespannung messen. 

– Im Menü Einstellungen CASSY die automatische Umschaltung der Spannungsquelle 

von AUS (0) auf EIN (1) bei Start der Messung markieren 

– Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen das Messintervall auf 10 µs 

und die Anzahl auf 1000 einstellen, entsprechend einer Messzeit von 10ms. Die 

Zeitbasis am Oszilloskop entsprechend einstellen. 

– Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen weiterhin einen geeigneten 

Trigger einstellen! Diesen Trigger auch am Oszilloskop einstellen. 

– Aufladung mit F9 starten, Ladekurven gemäß Gleichungen 4.4, 4.3 und Abb. 4.5a 

aufnehmen


b) Entladung 


einstellen und Ladespannung messen. 

– Im Menü Einstellungen CASSY die Spannungsquelle auf EIN (1) stellen 


und die Anzahl auf 1000 einstellen, entsprechend einer Messzeit von 10 ms. Die 



Trigger einstellen! Diesen Trigger auch am Oszilloskop einstellen. 

– Messung mit F9 starten, Entladekurven gemäß Gleichungen 4.6, 4.7 und Abb. 

4.5b aufnehmen 

– Nach Meldung “Triggersignal fehlt“, den Taster zur Überbrückung der Spannungsquelle 

betätigen 

Achtung: Mögliche Nullpunktsschwankungen der Strom- oder Spannungsmessgeräte (Offsets) 

korrigieren im Menü Einstellungen CASSY oder nachträglich bei der Analyse der 

Daten! Am Oszilloskop müssen die Offsets ebenfalls berücksichtigt werden. 


Messung mit Oszilloskop 

Für die Bestimmung der Kapazität C am Oszilloskop wird bei der Aufladung die Strommessung 

verwendet, bei der Entladung der Spannungsabfall am Kondensator. Gemessen werden 

die Zeiten, nach der ein Startwert U0 auf die Hälfte, ein Viertel, ein Achtel usw. gesunken 

ist. Die Halbwertszeit T1/2 hängt mit der Zeitkonstanten τ = R · C wie folgt zusammen: 

UC(T1/2) = U0 

2 = U0 · e − T 1/2 

τ → T1/2 = τ · ln(2) 

und damit ergibt sich für die Kapazität C und den Fehler σC der Kapazität: 

C = T1/2 

R · ln(2) 

→ 

σC 

C = 

� 

�σT �2 � � 

1/2 σR 

2 

+ 

R 

Verfahren sie analog mit den Zeiten T1/4, T1/8 usw.. Der systematische Fehler des Ohmschen 

Widerstandes R (erster Vorversuch) setzt sich wie folgt auf den Fehler der Kapazität fort: 

σ R C,sys 

C 

= σR,sys 

R 

Messung mit Cassy 

Für die Bestimmung der Kapazität C werden die Strom- bzw. Spannungsmessreihen logarithmisch 

dargestellt. Die statistischen Fehler der Einzelmesswerte der Strom- und Spannungsmessungen 

wurden bereits im ersten Vorversuch ermittelt und müssen in die logarithmierte 

T1/2


a) 

b) 

Abbildung 4.5: a) Auf- bzw b) Entladekurve eines Kondensators


Darstellung transformiert werden. (Beachte: Vor der Transformation Offsets korrigieren!) 

S = ln(X) → σS = dS 

dX · σX = σX 

X 

An die jeweilige logarithmierte Messreihe wird mittels linearer Regression eine Gerade y = 

a · t + b angepaßt. Für die Kapazität C und den Fehler σC der Kapazität des Kondensators 

gilt dann: 

C = − 1 

a · R 

→ σC 

C = 

� �σa 

a 

� 2 

+ 

� � 

σR 

2 

R 

Überprüfen sie anhand der Residuenverteilungen, ob die Offset-Korrektur ausreichend war. 

Überlegen Sie, ob eine Verschiebung der Messpunkte mit ihren statistischen Fehlern um die 

systematischen Fehler sinnvoll ist oder ob man die systematischen Fehler nicht berücksichtigen 

muss. 

Der systematische Fehler des Ohmschen Widerstandes R (erster Vorversuch) setzt sich wie 

folgt auf den Fehler der Kapazität fort: 

σ R C,sys = 1 

· σR,sys 

a · R2 Geben Sie ihre Ergebnisse zusammenfassend an: 

C ± σC,stat ± σ R C,sys 

Bestimmen Sie dann aus den durch Auf- bzw. Entladung gewonnenen Kapazitäten und deren 

statistischen und systematischen Fehlern den Mittelwert und den Fehler der Kapazität mit 

dem Verfahren des gewichteten Mittelwertes: 

C = 

n� 

i=1 

n� 

i=1 

Ci 

σ 2 i 

1 

σ 2 i 

� 

� 

� 

σC = � 

� 

Vergleichen Sie ihre Ergebnisse mit der Erwartung aufgrund der Herstellerangaben (Tabelle 

4.2). 

1 

n� 

i=1 

1 

σ 2 i 

Kapazität max. zul. Spannung Toleranz 

1 µF 100 V 5 % 

2,2 µF 63 V 5 % 

4,7 µF 63 V 5 % 

10 µF 100 V 5 % 

Tabelle 4.2: Spezifikationen der Kondensatoren laut Herstellerangaben


4.3 Auf- und Entladung einer Spule 

Optional, Rücksprache mit den Versuchsbetreuern! 

Mit diesem Vorversuch sollen die Induktivität L und der innere Ohmsche Widerstand RL der 

Spulen bestimmt werden, die später bei den Hauptversuchen der LC-Schwingkreise eingesetzt 

werden! Des weiteren soll der Innenwiderstand des Strommessgerätes ermittelt werden, da 

dieser später die Dämpfung der freien Schwingung beeinflussen wird. 


Eine Spule wird über einen Widerstand aufgeladen oder entladen. Es werden die Spannungsabfälle 

an der Spule sowie der Lade- oder Entladestrom gemessen. Daraus kann die 

Zeitkonstante τ = L 

R , die Induktivität L und der innere Widerstand RL der Spule bestimmt 

werden. 

+ 

U0 

B 

A 

I 

R 

L 

U 

L 

Abbildung 4.6: Schaltung zur Aufnahme von Strom- und Spannungskennlinien bei Lade- und 

Entladevorgängen einer Spule 

Ladevorgang einer idealen Spule (Abbildung 4.6, Schalterstellung A): 

Eine Spule wird über einen Ohmschen Widerstand aufgeladen. Bei der Änderung des Stromes 

im Kreis ändert sich das Magnetfeld und damit auch der magnetische Fluß im Querschnitt der 

Spule. Nach dem Induktionsgesetz wird dann in der Spule selbst eine Induktionsspannung 

Ui = −L · dI 

induziert (Selbstinduktion). Für den bei Änderung des Stromes im Kreis 

dt 

durch Selbstinduktion auftretenden Spannungsabfall UL an der Spule gilt: UL = L · dI , mit dt 

dem Selbstinduktionskoeffizienten L (auch Induktivität genannt), der von der geometrischen 

Gestalt der Spule abhängt. Für die Induktivität L einer Spule vom Querschnitt A, der Länge 

l und mit N Windungen gilt annähernd: 

L = µ0 · µr · N 2 · A 

l

4.3. Auf- und Entladung einer Spule 115 

Nach dem Einschalten wächst I(t) von Null an, wird durch U0 angetrieben und durch Ui 

behindert. Die Spannung U0 kann einen maximalen Strom I0 = U0 im Kreis erzeugen. Mit 

R 

der Kirchhoffschen Maschenregel folgt eine inhomogene lineare Differentialgleichung (DGL) 

1. Ordnung: 

U0 = L · dI 

dt 

+ R · I → dI 

dt 

R U0 

+ · I = 

L L 

Die Lösung einer solchen DGL setzt sich zusammen aus der Summe einer allgemeinen homogenen 

Lösung mit einer beliebigen sog. partikulären Lösung der inhomogenen Gleichung: 

I(t) = Ih(t) + Ip(t) 

Für Lösung Ih der homogenen DGL ergibt sich: 

dI 

dt 

R 

+ · I = 0 → 

L 

�I(t) 

0 

dI 

I 

= −R 

L 

�t 

0 

dt → ln 

� � 

I(t) 

= − 

I(0) 

R 

L · t → Ih(t) 

R 

− 

= Ih(0) · e L ·t 

Ih(0) ist die Integrationskonstante, die durch die Anfangsbedingung festgelegt wird. Für die 

inhomogene Lösung Ip folgt: 

Damit folgt für die Gesamtlösung: 

L · dI 

dt + I · R = U0 → Ip = U0 

R 

R 

− 

I(t) = Ih(0) · e L ·t + U0 

R 

Mit der Anfangsbedingung I(0) = 0 folgt: I(0) = Ih(0) + U0 

R = 0 und damit Ih(0) = − U0 

R . 

Der Ladestrom ist dann: 

I(t) = U0 

R · 

� 

R 

− 

1 − e L ·t 

� 

(4.8) 

Dabei ist τ = L die Zeitkonstante des Stromkreises. Für den zeitabhängigen Spannungsabfall 

R 

UL an der Spule folgt damit: 

UL(t) = L · dI 

dt = U0 

R 

− 

· e L ·t 

Entladevorgang einer idealen Spule (Abbildung 4.6, Schalterstellung B): 

(4.9) 

Zur Zeit t = 0 wird der Schalter von A nach B gelegt und dadurch die Spannungsquelle durch 

Überbrückung abgeschaltet. Im RL-Kreis folgt dann aus der Maschenregel die homogene 

Differentialgleichung: 

L · dI 

dt 

+ R · I = 0 → dI 

dt 

R 

+ · I = 0 

L


mit der Lösung: 

R 

− 

Ih(t) = Ih(0) · e L ·t 

mit der Anfangsbedingung, daß zur Zeit t=0 der maximale Strom I(0) = U0 

R 

I(t) = U0 

R 

Für den Spannungsabfall an der Spule gilt: 

Ladevorgang einer realen Spule: 

· e− R 

L ·t 

R 

− 

UL(t) = −U0 · e L ·t 

fließt, gilt dann: 

(4.10) 

(4.11) 

Eine Spule ist etwas komplizierter zu diskutieren als ein Kondensator. Das liegt an dem nicht 

veschwindenden Ohmschen Widerstand der Spule. 

Ein Ohmscher Widerstand R und eine Spule mit der Induktivität L und einem Ohmschen 

Widerstand RL werden in Reihe geschaltet und an eine Gleichspannung U0 angeschlossen. 

Mit der Kirchhoffschen Maschenregel folgt dann allgemein: 

� 

U0 = UR + USp = R · I + RL · I + L · dI 

� 

(4.12) 

dt 

In der Klammer steht der Spannungsabfall an der Spule. Die Differentialgleichung wird gelöst, 

indem zunächst die homogene Gleichung (d.h. U0 = 0) untersucht wird: 

L · dI 

dt = −(R + RL) · I 

Unbestimmte Integration dieser Differentialgleichung: 

� � 

dI + RL 

= −R · dt 

I L 

ergibt mit einer Integrationskonstanten K die homogene Lösung: 

R + RL 

ln Ih = − 

L 

· t + ln K → Ih = K · e − R+RL L ·t 

Die partikuläre Lösung der Differentialgleichung 4.12 (d.h. U0 �= 0) ist: 

Damit ergibt sich für den Strom: 

Ip = U0 

R + RL 

I(t) = Ih + Ip = K · e − R+R L 

L ·t + U0 

R + RL


Mit der Anfangsbedingung I(0) = 0 gilt für die Integrationskonstante K = −U0/(R + RL) 

und damit folgt für den Ladestrom der Spule (vergleiche auch mit Gleichung 4.8): 

I(t) = U0 

� 

· 

R + RL 

1 − e − R+RL L 

·t 

� 

(4.13) 

Die Zeitkonstante τ = L steuert den zeitlichen Verlauf für den Strom und auch für den 

R+RL 

Spannungsabfall an der Spule (vergleiche auch mit Gleichung 4.9): 

�� 

−RL 

USp(t) = U0 · 

R + RL 

� 

+ 1 e − R+RL L ·t + RL 

� 

R + RL 

(4.14) 

Entladevorgang einer realen Spule (Abbildung 4.6, Schalterstellung B): 

Beim Entladevorgang wird die Spannungsquelle überbrückt. Dann führt die bereits bekannte 

Lösung der homogenen Differentialgleichung. mit der Anfangsbedingung I(0) = U0 

R+RL auf 

den Entladestrom (vergleiche mit Gleichung 4.10): 

I(t) = U0 

R + RL 

· e − R+RL L ·t 

(4.15) 

Für den Spannungsabfall an der Spule gilt beim Entladevorgang (vergleiche mit Gleichung 

4.11): 

�� 

RL 

USp(t) = U0 · 

− 1 e 

R + RL 

− R+RL L ·t 

� 

(4.16) 

Beim Entladevorgang beginnt der Spannungsabfall nicht bei −U0. 

Spule bei Supraleitung: 

Wenn kein äußerer Widerstand im Stromkreis vorhanden ist und der Ohmsche Spulenwiderstand 

praktisch Null ist (Supraleitung, oder sehr dicker Draht), muss die angelegte Spannung 

am induktiven Widerstand abfallen. Es gilt dann also 

was sich unmittelbar integrieren lässt: 

U0 = L · dI 

dt 

I(t) = U0 

L 

Der Strom steigt also proportional zur Zeit an. Für den Spannungsabfall gilt USp = U0 . 

Dieser Sachverhalt kann auch aus der allgemeinen Lösung für den Ladestrom (Glg. 4.13) 

durch den Grenzübergang R + RL → 0 gefunden werden. 

· t


Wenn man zu einem Zeitpunkt t1 den Ladevorgang stoppt indem man die Spannungsquelle 

überbrückt, fließt ein konstanter ’Entladestrom’, d. h. die Spule entlädt sich nicht. Der Strom 

wird nicht kleiner, weil keine ’Reibung’ ( kein Ohmscher Widerstand) vorhanden ist. Das 

folgt auch mathematisch mit der Anfangsbedingung I(0) = U0 · t1: L 

L · dI 

dt 


= 0 → I(t) = U0 

L · t1 = const. 

Die Spule und der Ohmsche Widerstand werden gemäß Abbildung 4.7 auf der Rastersteckplatte 

aufgebaut. Die Strommessung erfolgt mit dem Amperemeter des Eingangs A und 

die Spannungsmessung mit dem Voltmeter des Eingangs B des Sensor-CASSY-Interface. 

Zusätzlich wird der Spannungsabfall an der Spule auf dem Kanal 1 und der Strom als Spannungsabfall 

am Ohm’schen Widerstand auf dem Kanal 2 des Oszilloskopes gemessen. 

Die Spannungsquelle S des Sensor-Cassy-Interface wird bei dem Ladevorgang im Menü Einstellungen 

CASSY auf AUS (Zustand 0) gestellt und mit Beginn der Messung automatisch 

auf EIN (Zustand 1) geschaltet. 

Beim Entladevorgang wird die Spannungsquelle vom eingeschalteten Zustand 1 automatisch 

bei Beginn der Messung in den ausgeschalteten Zustand 0 umgeschaltet. Die Datenaufnahme 

erfolgt erst nach Erfüllung einer Triggerbedingung. 


a) Aufladung 


einstellen und Ladespannung messen. Achtung: Grenzwerte beachten! 


und die Anzahl auf 250 einstellen, entsprechend einer Messzeit von 2.5 ms. Die 


– Spannungsquelle einschalten - dazu in Einstellungen CASSY, Spannungsquelle 

S die Eingabe von 0 nach 1 ändern durch automatische Umschaltung bei 

Beginn der Messung. 

– Aufladung mit F9 starten, Ladekurven gemäß Gleichungen 4.13, 4.14 und Abb. 

4.8a aufzeichnen. 

b) Entladung 


einstellen und Ladespannung messen. Achtung: Grenzwerte beachten! 


und die Anzahl auf 250 einstellen, entsprechend einer Messzeit von 2.5 ms.Die 



Trigger einstellen! Diesen Trigger auch am Oszilloskop einstellen.


12 V 

INPUT A 

INPUT B 

R 

S 

− + 

I 

U 

U 


a) b) 



1 TDS 2004B Oszilloskop 



1 Spule 250, 500 oder 1000 Windungen 

1 Experimentierkabel, 50 cm, blau 


3 Kabel, 50 cm rot/blau 

12 V 

INPUT A 

INPUT B 

R 

S 

− + 

I 

U 

U 


Abbildung 4.7: Schaltbild zur a) Aufnahme von Auf- und Entladekurven und Bestimmung 

des inneren Ohmschen Widerstandes RL einer Spule und b) Bestimmung des inneren Ohmschen 

Widerstandes des Amperemeters. 

– Spannungsquelle bei Beginn der Messung ausschalten - dazu in Einstellungen 

Spannungsquelle S1 die Eingabe von 1 nach 0 ändern durch automatische 

Umschaltung bei Beginn der Messung. 

– Entladung mit F9 starten, Entladekurven gemäß Gleichungen 4.15, 4.16 und Abb. 

4.8b aufzeichnen. 

c) Innerer Ohmscher Widerstand RL der Spule 

– Spannungsquelle S über das Menü Einstellungen CASSY einschalten (1). 

– Messwertaufnahme in dem Menü Messparameter anzeigen von automatischer 

auf manuelle Aufnahme umschalten (Abb. 4.9a). Es wird ein Messwert pro Start 

einer Messung aufgezeichnet.


– Variation der anliegenden Spannung U0 (manuell am Drehknopf), Aufzeichnung 

des Spannungsabfalls an der Spule und des Stroms (Abb. 4.9a). 

d) Innenwiderstand des Amperemeters des Eingangs A 

– Spannungsquelle S über das Menü Einstellungen CASSY einschalten (1). 

– Messwertaufnahme in dem Menü Messparameter anzeigen von automatischer 

auf manuelle Aufnahme umschalten. Es wird ein Messwert pro Start einer Messung 

aufgezeichnet. 

– Variation der anliegenden Spannung U0 (manuell am Drehknopf), Aufzeichnung 

des Spannungsabfalls am Amperemeter und des Stroms (Abb. 4.7b und 4.9b).


a) 

b) 

Abbildung 4.8: a) Auf- und b) Entladekurven einer Spule


a) 

b) 

Abbildung 4.9: Bestimmung des inneren Ohmschen Widerstandes a) einer Spule, b) des 

Amperemeters mittels Ohmschen Gesetzes.



Induktivität L: 

Messung mit Oszilloskop 

Für die Bestimmung der Induktivität L am Oszilloskop werden die Zeiten, nach der ein Start- 

wert U0 oder I0 auf die Hälfte, ein Viertel, ein Achtel usw. gesunken ist. Die Halbwertszeit 

T1/2 hängt mit der Zeitkonstanten τ = L 

R 

wie folgt zusammen: 

UL(T1/2) = U0 

2 = U0 · e − T 1/2 

τ → T1/2 = τ · ln(2) 

und damit ergibt sich für die Induktivität L und den Fehler σL der Induktivität: 

L = T1/2·R 

ln(2) 

→ 

σL 

L = 

� 

�σT �2 � � 

1/2 σR 

2 

+ 

R 

Verfahren sie analog mit den Zeiten T1/4, T1/8 usw.. Der systematische Fehler des Ohmschen 

Widerstandes R (erster Vorversuch) setzt sich wie folgt auf den Fehler der Kapazität fort: 

σ R L,sys 

L 

= σR,sys 

R 

Messung mit Cassy 

Für die Bestimmung der Zeitkonstanten τ = L werden die Strom- bzw. Spannungsmess- 

R 

reihen logarithmisch dargestellt. Die statistischen Fehler der Einzelmesswerte der Stromund 

Spannungsmessungen wurden bereits im ersten Vorversuch ermittelt und müssen in die 

logarithmierte Darstellung transformiert werden. (Beachte: Vor der Transformation Offsets 

korrigieren!) 

T1/2 

S = ln(X) → σS = dS 

dX · σX = σX 

X 

An die jeweilige logarithmierte Messreihe wird mittels linearer Regression eine Gerade y = 

a · t + b angepaßt. Damit ergibt sich für die Induktivität L und deren Fehler σL: 

L = − R 

a , 

σL 

L = 

� �σa 

a 

� 2 

+ 

� � 

σR 

2 

R 

Überprüfen sie Anhand der Residuenverteilungen, ob die Offsets ausreichend korrigiert wurden. 

Überlegen Sie, ob eine Verschiebung der Messpunkte mit ihren statistischen Fehlern 

um die systematischen Fehler sinnvoll ist oder ob man die systematischen Fehler nicht 

berücksichtigen muss. Der systematische Fehler des Ohmschen Widerstandes R (erster Vorversuch) 

setzt sich wie folgt auf den Fehler der Induktivität fort: 

σ R L,sys = 1 

· σR,sys 

a


Geben Sie ihre Ergebnisse zusammenfassend an L ± σL,stat ± σR L,sys . Bestimmen Sie dann aus 

den durch Auf- bzw. Entladung gewonnenen Induktivitäten und deren Fehlern (statistische 

und systematische) den Mittelwert und den Fehler der Induktivität mit dem Verfahren des 

gewichteten Mittelwertes: 

L = 

n� 

i=1 

n� 

i=1 

Li 

σ 2 i 

1 

σ 2 i 

� 

� 

� 

σL = � 

� 

Vergleichen Sie ihre Ergebnisse mit der Erwartung aufgrund der Herstellerangaben. 

Innerer Widerstand RL der Spule 

Methode 1: 

Bei den Aufladekurven in Abbildung 4.8a fällt auf, daß der Spannungsabfall an der Spule 

nicht exponentiell mit der Zeit gegen Null, sondern gegen einen konstanten Anteil geht. 

Der Grund dafür ist der innere Ohmsche Widerstand RL der Spule. Bestimmen Sie aus 

den Aufladekurven den Sättigungsstrom I0 und den konstanten an der Spule abfallenden 

Gleichspannungsanteil UL und berechnen Sie den inneren Ohmschen Widerstand der Spule: 

RL = UL 

� 

�σUL 

�2 � �2 σRL 

σI0 

= 

+ 

I0 

RL 

Methode 2: 

Stellen Sie die manuell aufgenommene Messreihe in einem U-I-Diagramm dar und bestimmen 

Sie den Wert und Fehler des inneren Ohmschen Widerstandes RL mittels linearer Regression 

(Abb. 4.9a). In die lineare Regression gehen die Fehler der Strom- und Spannungsmessungen 

ein, die im ersten Vorversuch, Messreihe 1, bestimmt worden sind. 

Diskutieren Sie die Ergebnisse der beiden Methoden mitsamt ihrer statistischen und systematischen 

Fehler und vergleichen Sie diese mit den Herstellerangaben. 

Innenwiderstand Ri des Amperemeters 

Stellen Sie die manuell aufgenommene Messreihe in einem U-I-Diagramm dar und bestimmen 

Sie den Wert und Fehler des Innenwiderstandes des Amperemeters Ri mittels linearer 

Regression (Abb. 4.9b). In die lineare Regression gehen die Fehler der Strom- und Spannungsmessungen 

ein, die im ersten Vorversuch, Messreihe 1, bestimmt worden sind. Geben 

Sie das Ergebnis mit statistischen und systematischen Fehlern an. 

UL 

1 

n� 

i=1 

1 

σ 2 i 

I0

4.4. Gedämpfter LC-Schwingkreis 125 

4.4 Gedämpfter LC-Schwingkreis 


I 

R 

L 

C 

Abbildung 4.11 LCR-Schwingkreis 

+ 

U 

Wird ein Kondensator C auf die Spannung U0 aufgeladen 

und über eine parallel geschaltete Spule 

entladen, so müssen zu jeder Zeit die Spannungen 

am Kondensator und an der Spule gleich 

groß sein, bzw. die Gesamtenergie bei einer freien, 

ungedämpften Schwingung muß konstant bleiben. 

Die Gesamtenergie ist gleich der Summe der 

elektrischen und magnetischen Feldenergien. Ein 

tatsächlich aufgebauter Schwingkreis besitzt neben 

einer Kapazität C und einer Induktivität L 

immer auch einen unvermeidlichen Ohmschen Widerstand 

R. Kondensatoren und Spulen sind keine 

idealen Bauelemente, sondern weisen neben der 

Kapazität bzw. Induktivität auch Ohmschen Widerstände 

auf (siehe Anhang 4.6). Diese üben eine 

dämpfende Wirkung auf die Schwingung aus und 

am Gesamtwiderstand R wird in der Zeit dt die 

Stromenergie dE = I 2 · R · dt in Wärme umgewandelt. 

Diese wird der Gesamtenergie des Kreises 

entzogen. 

Die elektrischen Schwingungen lassen sich anregen, indem man entweder den Kondensator 

entlädt oder auflädt. Sowohl Auf- wie Entladung werden durch Schwingungsgleichungen 

mit einem Dämpfungsterm beschrieben. Es hängt entscheidend vom Dämpfungsterm ab, 

wie der Einschwingvorgang auf die angelegte Spannung (U0 bzw. Null) verläuft. Bei kleiner 

Dämpfung wird sich die Spannung nach einem Einschwingvorgang am Kondensator einstellen. 

Bei sehr starker Dämpfung kommt es zu keiner Schwingung und der Kondensator 

erreicht sehr langsam die angelegte Spannung. Zwischen diesen beiden Fällen gibt es einen 

Spezialfall, bei dem sich die Spannung ohne Schwingung nach kürzester Zeit auf den richtigen 

Wert einstellt. 

Diese Situationen entsprechen vollkommen den mechanischen freien Schwingungen. Analoge 

Beziehung bzw. Bezeichnungen mechanischer und elektromagnetischer Schwingungen sind in 

Tabelle 4.3 aufgezeigt.


Schwingungen 

mechanische elektromagnetische 

d2y dt2 + b dy c · + · y = 0 

m dt m 

Differentialgleichung DGL: 

d2Q dt2 + R dQ 1 · + · Q = 0 

L dt L·C 

y Elongation Q elektrische Ladung 

m Masse L Induktivität 

b Dämpfungskonstante R Ohmscher Widerstand 

c Federkonstante 1/C inverse Kapazität 

Geschwindigkeit: v = dy 

dt 

Stromstärke: I = dQ 

dt 

Kreisfrequenz ohne Dämpfung: 

ω0 = � c/m ω0 = � 1/(LC) 

δ = b 

2m 

Abklingkoeffizient, Dämpfungskonstante: 

δ = R 

2L 

Kreisfrequenz: ω = � ω 2 0 − δ 2 

= � c/m − b 2 /(4m 2 ) = � 1/(LC) − R 2 /(4L 2 ) 

D = δ 

ω0 

b = 2 · 

� 

1 

mc 

Dämpfungsgrad: 

D = δ 

ω0 

= R 

2 · 

� C 

L 

Potentielle Energie: Elektrostatische Energie: 

Epot = 1 

2cy2 EC = 1 

2 

Q 2 

C 

= 1 

2 CU 2 C 

Kinetische Energie: Magnetische Energie: 

Ekin = 1 

2 mv2 EL = 1 

2 LI2 

Güte (wird meist auch mit Q bezeichnet): 

Q = 1 

2D = √ mc/b Q = 1 

2D 

= 1 

R · � L/C 

Tabelle 4.3: Analogien zwischen mechanischen und elektromagnetischen Schwingungen


Differentialgleichung für freie elektrische Schwingungen: 

An eine Gleichspannung U0 wird eine Serienschaltung von R, L und C angeschlossen. Nach 

der Kirchhoffschen Maschenregel ist U0 gleich der Summe aller Spannungsabfälle an den 

Komponenten R, L und C: 

U0 = UR + UL + UC = R · I + L dI 

dt 

Wegen I = dQ/dt gilt dann für die elektrische Ladung: 

L · d2Q dQ 

+ R · 

dt2 dt 

+ Q 

C . 

+ Q 

C = U0. (4.17) 

Weil eine so aufgebaute Differentialgleichung (DGL) für alle freien gedämften Schwingungen 

gilt, bei denen die Schwingungsamplituden nicht so groß werden, dass nicht-lineare Terme 

berücksichtigt werden müssen, schreibt man: 

mit 

δ = R 

2L 

d2Q dQ 

+ 2 δ 

dt2 dt + ω2 0 Q = U0 

. (4.18) 

L 

und ω0 = 1 

√ LC 

(4.19) 

δ heißt Abklingkoeffizient, Dämpfungskonstante (in s −1 ) und ist ein Maß für die 

Dämpfung; ω0 ist die Kreisfrequenz der ungedämpften freien Schwingung. 

Das Verhältnis von Abklingkoeffizient und Kreisfrequenz ist dimensionslos und heißt Dämpfungsgrad 

D der gedämpften Schwingung: 

D = δ 

ω0 

= R 

2 · 

� 

C 

L . 

d = 2 ·D ist der Verlustfaktor und das Inverse davon die Güte: 

Q = 1 

2D 

= 1 

R · 

� 

L 

. (4.20) 

C 

Der gesamte Ohmsche Widerstand R des Schwingkreises, in dem unter anderem auch der 

Ohmsche Widerstand der Spule enthalten ist, trägt zu Energieverlusten bei. Durch diese 

Dämpfung verringern sich die Kreisfrequenz und die Güte des Schwingkreises. 

Gleichung 4.18 ist eine inhomogene lineare DGL 2. Ordnung. Die allgemeine Lösung dieser 

DGL ist die Summe aus der allgemeinen Lösung der homogenen und einer beliebigen Lösung 

der inhomogenen Gleichung: Q(t) = Qh(t) + Qp(t). Qp(t) nennt man partikuläre Lösung. 

Die Gesamtlösung enthält zwei Integrationskonstanten, die durch die Anfangsbedingungen 

des Schwingungsproblems bestimmt werden müssen.


Lösung der homogenen Differentialgleichung 

Die homogene Differentialgleichung 

wird gelöst durch den Ansatz: 

d2Q dQ 

+ 2 δ 

dt2 dt + ω2 0 Q = 0 (4.21) 

Q(t) = Q0 · e λt ˙ Q(t) = λ · Q(t) ¨ Q(t) = λ 2 · Q(t) 

Einsetzen in die Differentialgleichung liefert: 

mit den Lösungen: 

(λ 2 + 2δλ + ω 2 0) · Q(t) = 0 → λ 2 + 2δλ + ω 2 0 = 0 

λ1,2 = −δ ± 

� 

δ 2 − ω 2 0 = −δ ± √ − ω 2 = − δ ± iω (4.22) 

mit ω 2 = ω 2 0 − δ 2 . Die allgemeine Lösung der homogenen DGL orientiert sich daran, ob der 

Dämpfungsgrad D größer, gleich oder kleiner als 1 ist. Allgemein gilt: 

Qh(t) = A · e λ1t + B · e λ2t 

Die homogene DGL entspricht dem Fall, dass keine Spannung anliegt. Die Lösungen dieser 

Gleichung beschreiben folglich die Entladung eines bereits aufgeladenen Kondensators. Das 

muss bei den Randbedingungen berücksichtigt werden. Für die drei folgenden Situationen 

haben die Randbedingungen für die exakte Lösung immer die gleiche Form: 

Qh(0) = Q0 = CU0 und 

Kriechfall (δ > ω0, D > 1) 

dQh 

dt |(0) = I(0) = 0 (4.23) 

Beim Kriechfall ist die Dämpfung so stark, dass der Kondensator sehr langsam entladen wird 

und nur asymptotisch seine Spannung verliert. Es findet keine Schwingung statt! 

Mit den beiden Integrationskonstanten folgt: 

Qh(t) = 

“ 

−δ+ 

A · e 

√ δ 2 −ω 2 0 

” 

“ √ ” 

t −δ− δ2−ω2 0 t 

+ B · e 

Mit den Randbedingungen ergibt sich für die Konstanten in Gleichung 4.24: 

A = CU0 · δ + � δ2 − ω2 0 

2 � δ2 − ω2 , B = CU0 · 

0 

−δ + � δ2 − ω2 0 

2 � δ2 − ω2 0 

(4.24) 

Abb. 4.10 zeigt für R = 320 Ω, L = 9,0 mH und C = 2,2 µF den Spannungsabfall am Kondensator 

und den Strom I. Der Kondensator war zu Beginn geladen mit einer Spannung von 

10 V. Beim Kriechfall stellt sich die Spannung nur sehr langsam und ohne überzuschwingen


Spannung (V) 

10 

8 

6 

4 

2 

0 

-2 

-4 

-6 

-8 

Aperiodischer Grenzfall 

Schwingfall 

Kriechfall 

-10 

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 

Zeit (s) 

Strom (A) 

0.15 

0.1 

0.05 

0 

-0.05 

-0.1 

Schwingfall 

Kriechfall 


-0.15 

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 

Abbildung 4.10: Kondensatorspannung und Strom beim Entladen (Schwingfall, Kriechfall 

und Aperiodischer Grenzfall) 

ein. Auch der Entladestrom schwingt nicht über und bleibt relativ klein. 

Aperiodischer Grenzfall (δ = ω0, D = 1) 

Beim aperiodischen Grenzfall wird die Dämpfung so gering, dass der Kondensator in der 

kürzesten Zeit entladen wird. Auch in diesem Fall kommt es zu keinen Schwingungen. Der 

Strom zeigt ebenfalls keine Schwingungen, ist aber wegen der kürzeren Entladungszeit größer 

als der im Kriechfall. Wegen δ = ω0 verschwindet in Glg. 4.22 die Wurzel. Damit man für 

die einzustellenden Anfangsbedingungen wieder zwei Integrationskonstanten zur Verfügung 

hat, nimmt die Lösung folgende allgemeine Form an (mit den Anfangsbedingungen folgt: 

A = CU0 und B = δA): 

Qh(t) = e −δt · (A + Bt) → Qh(t) = CU0 · e −δt · (1 + δ · t) (4.25) 

UC(t) = U0 · e −δt · (1 + δ · t) und I(t) = −δ 2 e −δt CU0 · t (4.26) 

Abb. 4.10 zeigt für den gleichen Schwingkreis neben dem Kriechfall auch den aperiodischen 

Grenzfall. Der Ohmsche Widerstand beträgt hier jedoch R = 2· � L/C = 127,9 Ω. 

Schwingfall (δ < ω0, D < 1) 

Wenn die Dämpfung noch kleiner wird, stellt sich die Spannung am Kondensator erst nach 

einem Einschwingvorgang auf den endgültigen Wert ein. Die Wurzel im Exponenten von Glg. 

4.22 wird jetzt rein imaginär. Die allgemeine Lösung nimmt dann die folgende Form an: 

Qh(t) = e −δt · � A ′ e iωt + B ′ e −iωt� 

Zeit (s)


In dieser Relation ist sowohl Real- wie auch Imaginärteil Lösung der DGL. Man kann daher 

mit anderen Integrationskonstanten schreiben: 

Qh(t) = e −δt · (A cos ωt + B sin ωt) 

Mit den bekannten Anfangsbedingungen (Glg. 4.23) findet man A = CU0 und B = Aδ/ω, 

also: 

Qh(t) = CU0 · e −δt � 

· cos ωt + δ 

� 

sin ωt 

(4.27) 

ω 

Abb. 4.10 zeigt für den gleichen Schwingkreis, jedoch mit einem kleineren Ohmschen Widerstand 

(R = 12, 8Ω) die Situation, bei der es deutlich zu einem Überschwingen kommt. 

Bei kleiner Dämpfung verläuft Qh(t) und damit auch UC(t) annähernd wie ein Cosinus. Der 

Strom ergibt sich durch die Zeitableitung von Glg. 4.27 und hat die Form eines gedämpften 

Sinus: 

UC(t) = U0 · e −δt � 


� 

sin ωt 

(4.28) 

ω 

I(t) = − CU0 · e −δt � 

· ω + δ2 

� 

· sin ωt (4.29) 

ω 

Zwischen beiden hat man also ungefähr eine Phasenverschiebung von π/2. Der Strom eilt 

der Spannung voraus. 

Lösung der inhomogenen Differentialgleichung 

Wenn nicht die Entladung sondern die Aufladung des Kondensators in einem Schwingkreis 

untersucht wird, muss die inhomogene DGL 4.18 gelöst werden. Dies geschieht, indem man 

eine beliebige partikuläre Lösung dieser Glg. sucht. Da in diesem Fall der inhomogene Teil 

eine Konstante ist, erfüllt Qp = CU0 die DGL. Zu allen allgemeinen Lösungen der homogenen 

DGL tritt der partikuläre Teil additiv hinzu. Bei allen drei im folgenden aufgeführten Fällen 

sind die Anfangsbedingungen gegeben durch: 

Kriechfall (δ > ω0, D > 1) 

Die allgemeine Lösung lautet: 

Q(0) = 0 und 

Q(t) = 

“ 

−δ+ 

CU0 + A · e 

√ δ 2 −ω 2 0 

dQ(0) 

dt 

= I(0) = 0 

” 

“ √ ” 

t −δ− δ2−ω2 0 t 

+ B · e 

Mit den Anfangsbedingungen findet man für die Integrationskonstanten: 

A = −CU0 · δ + � δ 2 − ω 2 0 

2 � δ 2 − ω 2 0 

B = CU0 · δ − � δ 2 − ω 2 0 

2 � δ 2 − ω 2 0


Spannung (V) 

20 

18 

16 

14 

12 

10 

8 

6 

4 

2 

Schwingfall 

Kriechfall 


0 

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 

Zeit (s) 

Strom (A) 

0.15 

0.1 

0.05 

0 

-0.05 

-0.1 

-0.15 


Kriechfall 

Schwingfall 

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 

Abbildung 4.11: Kondensatorspannung und Strom beim Aufladen (Schwingfall, Kriechfall 

und Aperiodischer Grenzfall) 

Aperiodischer Grenzfall (δ = ω0, D = 1) 

Allgemeine Lösung: 

Q(t) = CU0 + e −δt · (A + Bt) 

Mit den Integrationskonstanten A = −CU0 und B = δA folgt für die Lösung: 

Q(t) = CU0 · � 1 − e −δt · (1 + δ · t) � 

Schwingfall (δ < ω0, D < 1) 

Allgemeine Lösung: 

Q(t) = CU0 + e −δt · (A cos ωt + B sin ωt) 

Mit den Anfangsbedingungen folgt für die Lösung: 

Q(t) = CU0 · 

� 

1 − e −δt · 

� 

cos ωt + δ 

sin ωt 

ω 

und damit für Spannung UC und Strom I: 

UC(t) = 

� 

U0 · 1 − e −δt � 


I(t) = 

ω 

CU0 · e −δt � 

· ω + δ2 

� 

sin ωt 

ω 

�� 

�� 

sin ωt 

Zeit (s)


Elektrische und Magnetische Energie 

Der Energiesatz ist ein erstes Integral der zugrunde liegenden Bewegungsgleichung (Differentialgleichung). 

Daher kann man aus dem Energiesatz wieder die DGL herleiten. 

Wenn im Schwingkreis ein Strom fließt, sorgt der Ohmsche Widerstand für Verluste durch 

Umwandlung der Energie in Wärme. Wenn Eges die zur Zeit t noch vorhandene Gesamtenergie 

ist, beträgt die Verlustleistung: − dEges 

dt = I · UR = I2 · R 

Die Gesamtenergie des Schwingkreises setzt sich zu jedem Zeitpunkt aus der Summe der 

magnetischen (Induktivität) und der elektrostatischen Energien (Kapazität) zusammen: 

Eges = 1 

2 LI2 + 1 

2 

Mit der Verlustleistung und mit I = dQ/dt folgt: 

− d 

� 

1 

dt 2 LI2 + 1 Q 

2 

2 � 

C 

Diese Gleichung ist identisch mit Glg. 4.17. 

Q 2 

C 

= I 2 R → L · d2Q dQ 

+ R · 

dt2 dt 

+ 1 

C 

· Q = 0 

Während des Entladeprozesses, aber auch während des Aufladeprozesses, schwingt die Energie 

zwischen der magnetischen Feldenergie der Spule Emagn = 1 

2LI2 und der elektrischen 

Feldenergie des Kondensators Eel = 1 Q 

2 

2 

hin und her. Bei sehr kleinem Dämpfungsgrad 

C 

(D


mit 

ω = 2π · f = 

� 

ω 2 0 − δ 2 , ω0 = 

1 

√ L · C 

und δ = R 

2 · L 

(4.31) 

Wurde der Vorversuch zur Charakterisierung der Spulen nicht durchgeführt, müssen die 

Spulen mit Hilfe der Ergebnisse der Schwingungsversuche charakterisiert werden. Mit den 

Gleichungen 4.31 folgt: 

L = 

1 

(ω 2 + δ 2 ) · C 

und R = 

2δ 

(ω 2 + δ 2 ) · C 

Wurden die Vorversuche zur Charakterisierung der Spulen und Kondensatoren nicht durchgeführt, 

müssen die Spulen und Kondensatoren mit Hilfe eines R − δ - Diagramms und eines 

ω 2 - δ 2 - Diagramms charakterisiert werden. 


Der Schwingkreis wird gemäß Abbildung 4.12 auf der Rastersteckplatte aufgebaut. Der Strom 

fließt durch Eingang A des Sensor-CASSYs und die Kondensatorspannung wird an Eingang 

B gemessen (ebenfalls am Oszilloskop). Zu Beginn des Experiments wird der Kondensator 

aus der Spannungsquelle S aufgeladen. Zum Start der Schwingung wird der Taster gedrückt, 

welcher dabei die Spannungsquelle S kurzschließt. 

12 V 

INPUT A 

INPUT B 

R 

S 

I 

U 

U 

− + 









1 Spule 250 Windungen 



1 Satz Brückenstecker 


1 Taster 

1 Potentiometer 

Abbildung 4.12: Schaltbild zur Aufnahme von freien, gedämpften Auflade- bzw. Entlade- 

Schwingungen



• Ladespannung U0 am Kondensator einstellen - dazu Spannungsquelle S entsprechend 

einstellen 

• Spannungsquelle S auf EIN (1) bei Messung Entladevorgang, auf AUS (0) mit automatischer 

Umschaltung auf EIN (1) bei Beginn der Messung des Ladevorgangs. 

• Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen das Messintervall auf 10 µs und 

die Anzahl auf 2000 einstellen, entsprechend einer Messzeit von 20 ms. Die Zeitbasis 

am Oszilloskop entsprechend einstellen. 

• Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen weiterhin einen geeigneten 

Trigger für den Entladevorgang bzw. Ladevorgang einstellen! Diesen Trigger auch am 

Oszilloskop einstellen. 

• Messung mit F9 starten (wartet dann auf Triggersignal) 

• Schwingkreis mit Taster schließen (erzeugt Triggersignal) 

• Ohmschen Widerstand R variieren und Messungen wiederholen! 

• Zur Bestimmung des aperiodischen Grenzfalls Potentiometer verwenden (Widerstand 

mit Digitalvoltmeter bei ausgeschalteter Spannungsquelle messen). 


Schwingfall, Frequenzbestimmung 

Erstes Verfahren zur Frequenzbestimmung f: 

Bestimmen sie die mittlere Periodendauer T und dem mittleren Fehler σ T der Schwingung 

aus dem zeitlichen Verhalten der gemessenen Kondensatorspannung UB1 oder des Stromes 

IA1 (Abbildung 4.13b). Benutzen sie dazu entweder die Nulldurchgänge oder die Lage der 

Minima und Maxima der Amplituden. Schätzen sie die Ablesefehler sinnvoll ab. Für die 

Frequenz f gilt dann: 

f = 1 

T 

→ σf 

f = σ T 

T 

Zweites Verfahren zur Frequenzbestimmung f: 

Die Frequenz f der Schwingung lässt sich im Frequenzspektrum ermitteln, welches mittels einer 

Fouriertransformation der gemessenen Kondensatorspannung UB1 bzw. dem gemessenen 

Strom IA1 bestimmt werden kann. Die Frequenz f wird bestimmt mittels Ablesen mit dem 

Auge oder der Peakschwerpunktsmethode und der Fehler muss sinnvoll abgeschätzt werden 

(Abbildung 4.14a). 

Vergleichen sie die beiden Verfahren und bestimmen sie die Frequenzen für verschiedene 

zusätzliche Ohm’sche Widerstände.


b) 

a) 

Abbildung 4.13: a) Auflade- bzw. b) Entlade-Schwingungen


Schwingfall, Bestimmung der Dämpfungskonstanten δ 

Erstes Verfahren: 

Die Amplitude der Kondensatorspannung UC(t) oder des Stroms I(t) nimmt exponentiell 

mit der Zeit ab (Gleichung 4.23) . Für das Verhältnis der Amplituden An gilt: 

An+1 = An · e −δ·(tn+1−tn) → δn = 

� � 

An ln An+1 

(tn+1 − tn) → δn = 

Schätzen sie den Ablesefehler sinnvoll ab und für den Fehler σδi gilt dann: 

σδn = 1 

� 

�σAn 

�2 � �2 σAn+1 

· 

+ + (δn · σTn) 2 

Tn 

An 

An+1 

� � 

An ln An+1 

Bestimmen sie die mittlere Dämpfungskonstante δ und den mittleren Fehler σoverlineδ der 

Dämpfungskonstanten. 

Zweites Verfahren: 

Die Dämpfungskonstante δ und deren Fehler σδ ergeben sich aus der Anpassung einer 

Einhüllenden an die Messung UC(t) (Abbildung 4.14b). 

Vergleichen sie die beiden Verfahren und bestimmen sie die Dämpfungskonstanten für verschiedene 

zusätzliche Ohm’sche Widerstände. 

Wurden der Kondensator und die Spule in den Vorversuchen charakterisiert, dann bestimmen 

Sie die Kreisfrequenz ω, die Dämpfungskonstante δ und vergleichen sie ihre Ergebnisse 

mit den Vorhersagen gemäß den Ergebnissen der Voruntersuchungen, eingesetzt in die Gleichungen 

4.31. 

Wurden die Bauteile nicht in den Vorversuchen charakterisiert, dann wählen sie geeignete 

Auftragungen, um die Spulen (L und RL) und die Kondensatoren (C) aus der Variation der 

Dämpfung zu charakterisieren. 

Die Dämpfungskonstante δ ist linear abhängig von dem Gesamtwiderstand Rges der Schaltung. 

Bei der Autragung des zuätzlich gesteckten Widerstandes R gegen die Dämpfungskonstante 

δ kann aus der Steigung der Geraden die Induktivität L der Spule bestimmt 

werden und aus dem Achsenabschnitt der Restwiderstand der Schaltung (Innenwiderstand 

der Spule RL, Innenwiderstand Amperemeter und Verlustwiderstände). 

Trägt man das Quadrat der Kreisfrequenz ω gegen das Quadrat der Dämpfungskonstanten 

δ auf, so kann aus dem Achsenabschnitt die Kapazität C bestimmt werden. Die Steigung 

der Geraden muss dann auf −1 festgesetzt werden. Alternativ bestimmt man Ci direkt aus 

den Einzelmessungen 

Ci = 

1 

(ω2 i + δ2 i ) · Li 

Tn


und fasst die Einzelergebnisse mit dem gewichteten Mittel zusammen. 

Aufgrund der Umpolarisierung des Dielektrikums des Kondensators und der Ummagnetisierung 

des Spulenmaterials durch die Wechselspannung bzw. Wechselstrom der Schwingung 

treten zusätzliche Verlustwiderstände auf (siehe Anhang 4.6). Berücksichtigen Sie den Beitrag 

der Verlustwiderstände zu den Ergebnissen der Voruntersuchungen und vergleichen Sie 

dies mit ihren Ergebnissen. 

a) b) 

Abbildung 4.14: Beispielmessung einer freien, gedämpften Schwingung (C = 2, 2 µF, Spule 

mit 500 Windungen (L = 9 mH, RL = 2, 2 Ω)). a) Frequenzspektrum mittels Fouriertransformation, 

Anpassung mittels Fanofunktion, b) Anpassung einer Einhüllenden an UC(t) 

Aperiodischer Grenzfall, Bestimmung des Widerstands Rap 

Erhöhen sie den Ohm’schen Widerstand R der Schaltung, bis sich der Kondensator in der 

kürzesten Zeit entlädt. In diesem Fall gilt: 

δ = ω0 → (Rap) 

2 · L = 

� 

1 

L 

√ → Rap = 2 · 

L · C C → (R + RL 

� 

L 

+ RRest) = 2 · 

C 

Bestimmen sie den Widerstand des aperiodischen Grenzfalls Rap und dessen Fehler σRap und 

vergleichen sie ihr Ergebnis mit den Erwartungen.


4.5 Gekoppelte LC-Schwingkreise 


Ein elektrischer Schwingkreis 1 kann induktiv mit einem zweiten erregten Schwingkreis 2 

koppeln. Der Kreis 1 wird dadurch zu erzwungenen Schwingungen erregt. Die Resonanz tritt 

auf, wenn ω1 = ω2 ist. Dann wird die Erscheinung der Schwebung beobachtet: Die Schwingungsenergie 

pendelt zwischen den Kreisen hin und her (gekoppelte Schwingungen). 

Bei diesem Versuch werden die Fundamentalschwingungen und die Schwebung der gekoppelten 

Schwingkreise aufgezeichnet. Dazu wird das Frequenzspektrum der gekoppelten Schwingkreise 

mit dem Spektrum eines ungekoppelten Schwingkreises verglichen. Das fouriertransformierte 

Signal der gekoppelten Schwingkreise zeigt die Aufspaltung in zwei symmetrisch 

um das ungekoppelte Signal liegende Verteilungen, deren Abstand von der Kopplung der 

Schwingkreise abhängt. 

Ausgehend von den Differentialgleichungen der gekoppelten Schwingkreise: 

Ï1 + k · Ï2 + I1 

L · C 

Ï2 + k · Ï1 + I2 

L · C 

= 0 (4.32) 

= 0 (4.33) 

mit Kopplung k (0 < k < 1) folgen die beiden Eigenfrequenzen ω+ und ω− zu 

ω0 

√ 1 + k = ω+ < ω0 < ω− = ω0 

√ 1 − k . 

Insbesondere ist die Schwingungsfrequenz des gekoppelten Systems gleich (für kleine k). 

→ k1 = 

� �2 ω0 

ω+ 

− 1, k2 = 1 − 

ω+ + ω− 

2 

� ω0 

ω− 

= 

ω0 

√ 1 − k 2 

≈ ω0 

�2 � � 

� 

� �2 � �2 2ω0 σω0 ω0 

, σk = · 

+ · 

1/2 

ω+/− ω+/− ω+/− 

Hinweis: 

Die Aufspaltung in zwei exakt gleich große Signale gelingt nur bei genau gleichen Schwingkreisen. 

Durch Toleranzen der Induktivitäten L und der Kapazitäten C ist das nicht immer 

genau gegeben. Es sollen die Kondensatoren und Spulen verwendet werden, die bei den 

Voruntersuchungen und den freien gedämpften Schwingungen charakterisiert worden sind. 

Die Kopplungen k1 und k2 werden aus den beiden Frequenzen der Fundamentalschwingungen 

(Moden) f1 und f2 berechnet und sollten innerhalb der Fehler den gleichen Zahlenwert für 

die Kopplung ergeben. Für die im weiteren Verlauf gezeigten Messungen trifft das zu, wenn 

σω0 ≈ σω +/− ≈ 10 Hz beträgt. Dann findet man k1 = 0,109, k2 = 0,133 und σk = 0,029. 

� �2 σω +/− 

ω+/−

4.5. Gekoppelte LC-Schwingkreise 139 

4.5.2 Analogie zu gekoppelten Pendeln in der Mechanik 

Die Situation der induktiv gekoppelten elektrischen Schwingkreise entspricht der von gekoppelten 

Pendeln (Teil I, Mechanik), mit dem Unterschied, dass die Kopplung bei den 

Schwingkreisen durch Spannungen hervorgerufen wird, die in den Spulen induziert werden. 

In den Differentialgleichungen treten daher Terme der Form kL · ˙ I auf. Die Konstante k 

gibt den Kopplungsgrad an. Das führt im Gegensatz zu gekoppelten Pendeln dazu, dass die 

Kopplungsstärke für beide Fundamentalschwingungen eine Rolle spielt. 

Bei Schwingkreisen, die mit identischen Komponenten aufgebaut werden, gelten die Differentialgleichungen 

(Summen der Spannungen verschwinden): 

� I1 

C · dt + L · I1 

˙ + kL · ˙ I2 = 0 (Schwingkreis 1) 

� 

I2 

C · dt + L · I2 

˙ + kL · ˙ I1 = 0 (Schwingkreis 2) 

Hier wurden Dämpfungsterme zunächst vernachlässigt. Differentiation nach der Zeit führt 

zu der Standardform der gekoppelten Differentialgleichungen (Gleichungen 4.32, 4.33). Die 

Addition der Gleichungen 4.32 und 4.33 ergibt: 

Durch Umformung findet man: 

( Ï1 + Ï2) + 1 

L C · (I1 + I2) + k · ( Ï1 + Ï2) = 0 

Ï+ + 

1 

LC · (1 + k) · I+ = 0 

wobei I+ = I1 + I2 einer der beiden ’Fundamentalströme’ ist. Daraus erhält man die Kreisfrequenz 

dieser Fundamentalschwingung: 

ω+ = 

1 

� LC · (1 + k) = 

ω0 

√ 1 + k 

(4.34) 

ω0 = 1/ √ LC ist dabei die Kreisfrequenz der einzelnen Schwingkreise ohne Kopplung. Diese 

Fundamentalschwingung kann angeregt werden, wenn man in der Schaltung beide Kondensatoren 

in der Art auflädt, dass die Ströme I1 und I2 parallel durch die Spulen fließen 

(Abbildung 4.15a). In gleicher Weise ergibt die Subtraktion der beiden Gleichungen: 

Ï− + 

1 

LC · (1 − k) · I− = 0 

wobei I− = I1 − I2 der zweite ’Fundamentalstrom’ ist. 

Diese Fundamentalschwingung hat die Kreisfrequenz: 

ω− = 

1 

� LC · (1 − k) = 

ω0 

√ 1 − k 

(4.35)


a) 

U C1 

C 

1 

+ U0 

L 

C 

L 

1 2 2 

+ 

U 0 

U 

C2 

b) 

U C1 

C 

1 

+ U0 

L 

C 

L 

1 2 2 

Abbildung 4.15: Fundamentalschwingungen zweier gekoppelter Schwingkreise a) gleichsinnige 

und b) gegensinnige Anregung 

Diese Schwingung kann angeregt werden, wenn in der Schaltung die Kondensatoren entgegengesetzt 

aufgeladen werden, so dass die Ströme in entgegengesetzter Richtung durch die 

Spulen fließen (Abbildung 4.15b). 

Beide Fundamentalschwingungen zeigen, wie in der Mechanik, keine Schwebungserscheinungen 

sondern wegen der Dämpfung einen einfachen exponentiellen Abfall der maximalen Amplituden. 

Die Strom-Kombination I+ entspricht dem Fall gleichsinnig ausgelenkter Pendel; 

dies führt zu einer kleinen Schwingungsfrequenz. I− dagegen entspricht den gegensinnig ausgelenkten 

Pendeln (die Kopplung wirkt sich dann stärker aus) und führt zu einer größeren 

Schwingungsfrequenz. 

Wenn man die Frequenzen der Fundamentalschwingungen und vielleicht der nicht-gekoppelten 

Schwingkreise gemessen hat, kann man mit Hilfe der Gleichungen 4.34 und 4.35 den Kopplungsgrad 

der Schwingkreise bestimmen: 

k = f 2 − − f 2 + 

f 2 − + f 2 + 

Wenn durch die Wahl der Anfangsbedingungen ’Schwebung’ eingestellt wird, ergibt sich wie 

in der Mechanik durch die Mittelung der Schwingungsfrequenzen f+ unf f− die Frequenz der 

gekoppelten Schwingung: 

fk = f− + f+ 

2 

≈ f0 , 

und aus der halben Differenz erhält man die Frequenz der Schwebung: 

fschw = f− − f+ 

. 

2 

Berücksichtigung der Dämpfung (einige wichtige Relationen): 

Die Differentialgleichungen für die beiden Fundamentalschwingungen haben dann folgende 

Form: 

Ï+ + 

Ï− + 

R 

· ˙ 

1 

I+ + 

L(1 + k) LC · (1 + k) · I+ = 0 

R 

· ˙ 

1 

I− + 

L(1 − k) LC · (1 − k) · I− = 0 

+ 

U 0 

U 

C2


Mit den Definitionen 

folgt: 

β± = 

R 

2L(1 ± k) , ω2 ±0 = 

Die Lösungen der Gleichungen 4.36 sind: 

1 

LC(1 ± k) 

Ï± + 2β± · ˙ 

I± + ω 2 ±0 · I± = 0 (4.36) 

I± = e −β±t · (a± sin ω±t + b± cos ω±t) 

mit den Kreisfrequenzen ω2 ± = ω2 ±0 − β2 ±. Die Größen a± und b± sind vier Integrationskonstanten, 

die durch die Anfangsbedingungen festgelegt werden. 

Die messbaren Größen sind nicht die Kombinationen I±, sondern die Ströme und z. B. die 

Kondensatorspannungen in den beiden Schwingkreisen. Die Kondensatorspannungen sollen 

jetzt andeutungsweise berechnet werden. Die Ströme in den Schwingkreisen berechnen sich 

durch I1 = (I++I−)/2 bzw. I2 = (I+−I−)/2. Daraus lassen sich die gesuchten Spannungen 

(etwas aufwendig) berechnen: 

U1/2 = 1 

C · 

= 1 

C 

± 1 

C 

� 

· e−β+t 

ω 2 +0 

I1/2dt 

· e−β−t 

ω 2 −0 

· { a+ 

2 · (−β+ sin ω+t − ω+ cos ω+t) 

+ b+ 

2 · (−β+ cos ω+t + ω+ sin ω+t)} 

· { a− 

2 · (−β− sin ω−t − ω− cos ω−t) 

+ b− 

2 · (−β− cos ω−t + ω− sin ω−t)} 

Die Anfangsbedingungen werden meist so gewählt, dass die Kondensatoren für t = 0 durch 

die Spannungen U10 und U20 aufgeladen sind und zunächst kein Strom fließt. Aus I1(0) = 

I2(0) = 0 folgt immer b+ = b− = 0. Für die Kondensatorspannungen für t = 0 findet man 

dann 

a+ω+ 

2ω 2 +0 

a+ω+ 

2ω 2 +0 

+ a−ω− 

2ω 2 −0 

− a−ω− 

2ω 2 −0 

= − U10(0) · C 

= − U20(0) · C 

Damit ergeben sich folgende Lösungen für die Kondensatorspannungen: 

• Gleichsinnige Aufladung: U10 = U20 = U0: 

U1 = U2 = U0 · e−β+t 

ω+ 

· (β+ sin ω+t + ω+ cos ω+t) 

Abbildung 4.16a zeigt oben die Spannung am Kondensator 1 und 2.


a) 

Spannung (V) 

Spannung (V) 

15 

10 

5 

0 

-5 

-10 

-15 

15 

10 

5 

0 

-5 

-10 

-15 

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 

x 10 -2 

t(s) 

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 

x 10 -2 

t(s) 

b) 

Spannung (V) 

Spannung (V) 

10 

7.5 

5 

2.5 

0 

-2.5 

-5 

-7.5 

-10 

10 

7.5 

5 

2.5 

0 

-2.5 

-5 

-7.5 

-10 

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 

t(s) 

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 

t(s) 

Abbildung 4.16: a) Fundamentalschwingungen und b) Schwebung zweier gekoppelter 

Schwingkreise mit R = 2, 5 Ω, L = 9 mH und C = 1, 0 µF 

• Gegensinnige Aufladung: U10 = −U20 = U0: 

U1 = −U2 = U0 · e−β−t 

ω− 

· (β− sin ω−t + ω− cos ω−t) 

Abbildung 4.16a zeigt unten die Spannung am Kondensator 1. Am 2. Kondensator ist 

die Spannung entgegengesetzt. Die Frequenz ist höher als bei gleichsinniger Aufladung! 

• Schwebung: U10 = U0 und U20 = 0: 

· (−β+ sin ω+t − ω+ cos ω+t)} 

2ω+ 

± e −β−t 1 

· { · (−β− sin ω−t − ω− cos ω−t)}] 

2ω− 

U1/2 = U0 · [e −β+t · { 1 

Abbildung 4.16b zeigt oben die Spannung am Kondensator 1 und unten am Kondensator 

2. 

Phasenbeziehungen bei gekoppelten Schwingungen 

Um Schwebungsvorgänge aufzuzeichnen, wird der Kondensator des ersten Schwingkreises 

aufgeladen, während der des zweiten Schwingkreises ungeladen bleibt. Wenn beide Schwingkreise 

über die Spulen miteinander gekoppelt sind und der Schwingungsvorgang gestartet 

wird, erwartet man, dass immer dann, wenn z. B. die Kondensatorspannung des ersten 

Kreises einen Nulldurchgang hat, die des zweiten Schwingkreises ein Extremum zeigt und 

umgekehrt.


Beobachtet wird dagegen, dass die Extrema des einen gegen die Nulldurchgänge des anderen 

Schwingkreises verschoben sind. Das liegt an den Dämpfungen in den beiden Kreisen. Bei 

ungedämpften Schwebungen würde die soeben erwähnte Phasenbeziehung exakt gelten. 

Am besten sind die Verschiebungen zu erkannen, wenn man die Einhüllenden der Schwebungsvorgänge 

skizziert. Die Einhüllenden haben die Dämpfung 

β = β− + β+ 

2 

Abbildung 4.17: Schwebung bei gekoppelten Schwingungen 

und die Schwebungskreisfrequenz 

. 

2 

und werden für die hier verwendeten Anfangsbedingungen dargestellt durch: 

ωschw = ω− − ω+ 

U1schm = U0 · e −βt · cos(ωschwt) 

U2schm = −U0 · e −βt · sin(ωschwt) 

Die Nulldurchgänge der Einhüllenden liegen bei: 

t1N = 

1 

· ( 

ωschw 

π 

t2N = 

± nπ) 

2 

1 

· (± nπ) 

ωschw


Differentiation der Einhüllenden nach der Zeit und Nullsetzen liefert für die Extrema der 

Einhüllenden die Zeiten: 

� � � � 

1 

−β 

t1E = · arctan ± nπ 

ωschw 

ωschw 

� � � � 

1 

ωschw 

t2E = · arctan ± nπ 

β 

ωschw 

Die zeitliche Verschiebung z. B. zwischen den Nullstellen t1N und den Extrema t2E lässt sich 

berechnen und beträgt für Kopplungen k < 0, 2 ungefähr: 

∆t ≈ 

1 

ωschw 

· 

� 

π 

2 

− arctan 

� 

k 

R · 

� �� 

L 

C 

Für größere Kopplungsstärken wird die Relation komplizierter. Man erkennt bereits hieraus, 

dass für verschwindende Dämpfung (R ≈ 0) der arctan-Term gegen π/2 geht und damit die 

Zeitverschiebung verschwindet. Für große Dämpfung, aber auch für kleine Induktivität und 

große Kapazität, wird die Verschiebung beträchtlich, wie aus Abb. 4.17 zu erkennen ist. 


a) 

12 V 

INPUT A 

INPUT B 

R 

S 

− + 

I 

U 

U 





2 Kondensator 1, 2,2, 4,7, 10 µF 

2 Spulen 250, 500, 1000 Windungen 


1 Taster 

Abbildung 4.18: Schaltbild zur Aufnahme der Schwebung von gekoppelten Schwingungen 

Der erste Schwingkreis wird gemäß den Abbildungen 4.18 und 4.19 auf der Rastersteckplatte 

aufgebaut. Die Kondensatorspannung wird an Eingang B des Sensor CASSYs gemessen. Zu 

Beginn des Versuchs wird der Kondensator aus der Spannungsquelle S aufgeladen. Zum Start 

der Schwingung wird der Taster gedrückt, welcher dabei die Spannungsquelle S kurzschließt.

12 V 

INPUT A 

INPUT B 

R 

S 

− 


I 

U 

U 

+ 


12 V 

INPUT A 

INPUT B 

R 

S 

− 

I 

U 

+ 


a) b) 

¡ ¡ 

¡ ¡ 

¡ ¡ 

R 

S 

− 


R 

S 

− 


Abbildung 4.19: Schaltbild zur Aufnahme von gekoppelten Schwingungen bei a) gleichsinniger 

und b) gegensinniger Anregung 

Der zweite Schwingkreis wird separat aufgebaut. Seine Spule wird für die Kopplung der 

Schwingkreise direkt neben die erste Spule gestellt. Es kann die Spannung am zweiten Kondensator 

an Eingang A des Sensor-CASSYs gemessen werden. Bei gleichsinniger bzw. gegensinniger 

Anregung wird ebenfalls der zweite Kondensator aus der Spannungsquelle S 

aufgeladen. Zum Start der Schwingung wird der zweite Taster ebenfalls betätigt, welcher 

dabei die Spannungsquelle S kurzschließt. 


12 V 

INPUT A 

INPUT B 

• Ladespannung U0 einstellen - dazu Spannungsquelle S entsprechend einstellen, Spannungsquelle 

eingeschaltet lassen. 

• Polung der an den Schwingkreisen anliegenden Spannungen bei gleichsinniger bzw. 

gegensinniger Anregung einstellen. 

• Zur Beobachtung der Schwebung nur an einen Schwingkreis Spannung anlegen 

• Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen das Messintervall auf 10 µs 

und die Anzahl auf 2000 einstellen, entsprechend einer Messzeit von 20 ms 

• Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen weiterhin einen geeigneten 

Trigger (z.B. UB1 = 5 V, fallende Tendenz) einstellen! 

• Messung mit F9 starten (wartet dann auf Triggersignal) 

• Schwingkreis mit Taster schließen (erzeugt Triggersignal) 

• Abstand der Spulen und damit die Kopplungsstärke variieren 

I 

U 

U 

+ 

12 V 

INPUT A 

INPUT B 

I 

U 

+ 

¡ ¡ 

¡ ¡ 

¡ ¡



Fall der Schwebung: 

Im ungekoppelten Fall ergibt sich eine gedämpfte harmonische Schwingung (Abbildung 

4.20a). Die gekoppelte Schwingung besitzt die gleiche Einhüllende (Abbildung 4.20a). 

Im ungekoppelten Fall zeigt das Frequenzspektrum nur ein Signal, dessen Frequenz sich 

durch die Berechnung des Signalschwerpunkts ermitteln lässt (Abbildung 4.20b). 

Im gekoppelten Fall spaltet die Frequenz symmetrisch in zwei Frequenzen auf. Die Amplituden 

sind nur halb so groß wie im ungekoppelten Fall und der Abstand hängt von der 

Kopplung ab (Abbildung 4.20b). 

Die Abbildung 4.20c zeigt die gemessenen Spannungsabfälle an den beiden Kondensatoren 

für den Fall der Schwebung bei den gekoppelten Schwingungen. Die Abbildung 4.20d zeigt die 

ungekoppelte und die Fundamentalschwingungen der gekoppelten Schwingungen bei gleichbzw. 

gegensinniger Anregung. 

Bestimmen Sie den Kopplungsgrad k aus diesen verschiedenen Messungen und geben Sie die 

Ergebnisse mit Fehlern an. 

Bestimmen Sie die zeitliche Verschiebung ∆t für den Fall der Schwebung und vergleichen Sie 

dies mit Ihrer Erwartung.


a) 

c) d) 

Abbildung 4.20: a) Ungekoppelter (grüner Verlauf) und gekoppelter Schwingkreis (Schwebung, 

blaue Linie), b) Frequenzspektren der ungekoppelten und der gekoppelten Schwingungen 

c) Spannungsabfälle an den beiden Kondensatoren im Fall der Schwebung, d) Fundamentalschwingungen 

bei gleichbzw. gegensinniger Anregung 

b)


4.6 Anhang 

Verlustfaktoren 

Im Hauptteil des Versuches sollen freie, gedämpfte elektromagnetische Schwingungen untersucht 

werden. Solche Schwingungen in Spannungsabfällen und Strömen gehören streng 

genommen in das Gebiet der Wechselströme, die eingehender im Teil II des Praktikums behandelt 

werden. Um die einzelnen Komponenten besser verstehen zu können, werden Grundlagen 

der Theorie von Teil II bereits hier stark verkürzt zusammen gefasst. 

Wenn eine Reihenschaltung einer idealen Spule (L) und eines idealen Kondensators (C) von 

einem Strom durchflossen wird, gibt es zwischen Strom und Spannungsabfall an L bzw. C 

immer eine Phasenverschiebung von exakt ±90 o . Phasenverschiebungen um beliebige Winkel 

können elegant in der komplexen Gaußschen Zahlenebene (Operatordiagramm) dargestellt 

werden. Reale Komponenten werden auf der Realteil-Achse (x-Achse), imaginäre Anteile auf 

der Imaginärteil-Achse (y-Achse) aufgetragen. Eine genauere Diskussion zeigt folgendes: 

• Bei rein Ohmschen Widerständen sind, wegen der Gültigkeit des Ohmschen Gesetzes, 

Strom und Spannung in Phase. Der Ohmsche Widerstand ist rein reell. Im Operatordiagramm 

wird der Ohmsche Widerstand R auf der reellen Achse aufgetragen. 

• Bei einem idealen Kondensator ist die Situation komplizierter. Solche Kondensatoren 

existieren real nicht! 

Mit den Relationen UC(t) = Q(t)/C bzw. dUC/dt = I/C kann man zeigen, daß der 

Strom der Spannung um π/2 vorauseilt. Dies wird durch den rein imaginären kapazitiven 

Widerstand XC = −i/(ωC) bewirkt. Im Operatordiagramm wird XC auf der 

imaginären Achse in negativer Richtung aufgetragen. 

• Bei einer idealen Spule eilt der Strom wegen UL = L · dI/dt der Spannung um π/2 

nach. Der ideale induktive Widerstand XL = iωL ist ebenfalls rein imaginär und wird 

in positiver Richtung aufgetragen. 

Im Ohmschen Widerstand geht elektrische Energie verloren, da sie in Joulesche Wärme umgewandelt 

wird. Das ist nur möglich, weil hier U und I in Phase sind. Wenn dagegen U und 

I um 90 o gegeneinander phasenverschoben sind, wird im zeitlichen Mittel keine elektrische 

Leistung verbraucht. Ideale Kondensatoren und Spulen haben diese Eigenschaft, sie sind 

verlustfrei. Diese Betrachtungen gelten nur, wenn es zu Schwingungen kommt. 

Reale Kondensatoren und Spulen haben elektrische Verluste. Sie werden in realen oder fiktiven 

sog. Ohmschen Verlustwiderständen zusammen gefaßt. Im folgenden wird eine stark 

vereinfachte Darstellung gezeigt, nach der solche Verlustwiderstände charakterisiert werden 

können. 

Ohmsche Widerstände sollen hier nicht diskutiert werden. Sie haben zwar meist neben den 

rein Ohmschen Anteilen auch kapazitive und induktive Komponenten, diese sind aber bei 

diesem Versuch vernachlässigbar klein.

4.6. Anhang 149 

Spulen: Die Verluste bei Spulen nehmen im allgemeinen mit steigender Frequenz zu. 

Ursachen für Verluste: 

• Ohmscher Widerstand der Spulenwicklung (frequenzunabhängig) 

• Skineffekt (frequenzabhängig), er muss beachtet werden bei 

Drahtdurchmesser = 1 mm ab etwa 100 kHz, 

Drahtdurchmesser = 0,1 mm ab etwa 10 MHz, 

Drahtdurchmesser = 0,01 mm ab etwa 1 GHz. 

spielt daher bei diesem Versuch keine Rolle. 

• Hysteresis- und Wirbelstromverluste im Kernmaterial und Spulendrahtmaterial 

Da der Spulenstrom für die Induktivität der Spule wesentlich ist, wird der Verlustwiderstand 

meist als Reihenwiderstand dargestellt. Kleine Verluste sind dann gleichbedeutend mit kleinen 

Verlustwiderständen. Den Verlustwinkel θL kann man im Zeigerdiagramm ablesen, 

in dem der rein imaginäre induktive Widerstand XL = iωL gegen den reellen Ohmschen 

Widerstand der Spule RL aufgetragen wird. 

Es gilt für den komplexen Widerstand XL = RL + iωL. 

Für den Verlustwinkel gilt: 

= dL. 

ωL 

Dies ist auch gleichzeitig der Verlustfaktor der Spule, den man oft mit dL kennzeichnet. 

Er wird für die meist kleinen Verlustwinkel durch den Winkel selbst angenähert (dL ≈ θL). 

tan θL = RL 

Kondensatoren: Die Verluste bei Kondensatoren nehmen im allgemeinen mit steigender 

Frequenz ab. 

Ursachen für Verluste: 

• Geringe Leitfähigkeit des Dielektrikums und Widerstand der Zuleitungen und Folien 

bei Folienwiderständen, 

• Geringe Wärmeentwicklung im Dielektrikum durch ständige Umpolarisation der Moleküle. 

Da die Kondensatorspannung für die Kapazität des Kondensators wesentlich ist, wird der 

Verlustwiderstand meist als Serienwiderstand dargestellt. Kleine Verluste sind dann gleichbedeutend 

mit kleinen Verlustwiderständen. Den Verlustwinkel θC kann man im Zeiger- 

diagramm ablesen, in dem der rein imaginäre kapazitive Widerstand XC = −i 

ωC 

reellen Ohmschen Widerstand des Kondensators RC aufgetragen wird. 

Es gilt dann für den Verlustwinkel gilt: 

tan θC = ω · C · RC = dC. 

gegen den 

Dies ist auch gleichzeitig der Verlustfaktor des Kondensators, den man oft mit dC 

kennzeichnet. Er wird für die meist sehr kleinen Verlustwinkel durch den Winkel selbst 

angenähert (dC ≈ θC).


Bauteile Verlustfaktor 

100 Hz 1000 Hz 

Kondensatoren tan δC tan δC 

1 µF 2, 0 · 10 −3 2, 9 · 10 −3 

2,2 µF 1, 7 · 10 −3 3, 3 · 10 −3 

4,7 µF 2, 0 · 10 −3 3, 5 · 10 −3 

10 µF 1, 8 · 10 −3 4, 1 · 10 −3 

Spulen tan δL tan δL 

N=250 0,41 0,047 

N=500 0,40 0,049 

N=1000 0,41 0,045 

Tabelle 4.4: Experimentell bestimmte Verlustfaktoren der im Praktikum verwendeten Kondensatoren 

und Spulen 

a) 

ωL 

δ L 

RL 

b) 

−1 

ωC 

δ C 

RC 

Abbildung 4.21: Operatordiagramm für Verlustwiderstand a) einer Spule, b) eines Kondensators

U - I. Physikalisches Institut B

Erfolgreiche ePaper selbst erstellen

Template löschen?

Als Template speichern?