Charakterisierung der Ohmschen Widerstände Auf

Kapitel 4 

Elektrizitätslehre 

Vorversuche: 

4.1 Charakterisierung der Ohmschen Widerstände 

4.2 Auf- und Entladung eines Kondensators 

4.3 Auf- und Entladung einer Spule 

Hauptversuche: 

4.4 LC-Schwingkreise 

4.5 gekoppelte Schwingungen 

Physikalische Grundlagen 

107 

Ohmsches Gesetz, Kirchhoffsche Regeln, Schaltungen von Widerständen, Kondensatoren, 

Spulen, Auf- bzw. Entladevorgänge, Schwingungen, gedämpfte Schwingungen, gekoppelte 

Schwingungen, Wechselströme, Wechselstromwiderstände, Verlustwiderstände

108 Kapitel 4. Elektrizitätslehre 

4.1 Charakterisierung der Ohmschen Widerstände 

4.1.1 Versuchsbeschreibung: 

Es soll der Betrag der Ohmschen Widerstände bestimmt werden, die bei den folgenden Versuchsteilen 

zur Charakterisierung der Kondensatoren und der Spulen, bzw. zur Dämpfung 

des Schwingkreises benutzt werden. Des weiteren sollen die Messfehler der Strom- und Spannungsmessungen 

bestimmt werden. Dazu werden zwei Messreihen benötigt: 

1.) Es wird eine Gleichspannung eingestellt und der Spannungsabfall an dem Ohmschen 

Widerstand und der im Kreis fließende Strom gegen die Zeit gemessen. Aus der Häufigkeitsverteilung 

der Strom- bzw. Spannungsmessung wird der jeweilige Mittelwert, die 

Standardabweichung (Fehler des Einzelwertes)und der mittlere Fehler des Mittelwertes 

bestimmt. 

 

X = 1 

n 

n 

 

 

Xi, σX = 1 

n − 1 

i=1 

n 

(Xi − X) 2 , σX = σX 

√n 

i=1 

(4.1) 

2.) Die anliegende Gleichspannung wird variiert, der Spannungsabfall am Ohmschen Widerstand 

und der fließende Strom gemessen. Die Fehler der Einzelmessungen wurden 

mit den jeweiligen Messreihen 1 vorher bestimmt. Mittels linearer Regression wird 

die Steigung und damit der Wert des Ohmschen Widerstandes gemäß dem Ohmschen 

Gesetz bestimmt. 

4.1.2 Versuchsaufbau 

U = I · R 

Die verschiedenen Ohmschen Widerstände werden gemäß Abbildung 4.1 auf der Rastersteckplatte 

aufgebaut und an Spannung gelegt. Als Spannungsquelle dient die Gleichspannungsquelle 

S (0-16 V) des Sensor CASSY-Interface. Zur Strommessung wird das Amperemeter 

des Eingangs A und zur Spannungsmessung das Voltmeter des Eingangs B benutzt. 

4.1.3 Versuchsdurchführung 

Messreihe 1 

Die Spannungsquelle kann über das Menü Einstellungen CASSY automatisch bei Beginn 

der Messung eingeschaltet werden (Änderung des Zustands 0 auf 1). Die Messzeit wird im 

Menü Messparameter anzeigen (Abb. 4.1b) eingestellt, die Messgrößen werden als Momentanwerte 

(Intervall 10 µs) aufgezeichnet. Die an dem Ohmschen Widerstand abfallende 

Spannung wird mit dem Spannungsmessgerät des Eingangs B, der im Kreis fließende Strom 

wird mit dem Amperemeter des Eingangs A gemessen. 

Achtung: Auf Grenzwerte und Messbereiche achten!

4.1. Charakterisierung der Ohmschen Widerstände 109 

Messreihe 2 

Die Spannungsquelle wird über das Menü Einstellungen CASSY eingeschaltet (Zustand 

1). Die Messwertaufnahme wird in dem Menü Messparameter anzeigen von automatischer 

auf manuelle Aufnahme umgeschaltet (Abb. 4.1c). Es wird ein Messwert pro Start 

einer Messung aufgezeichnet. Variiert wird manuell am Drehknopf die anliegende Spannung 

und es werden der Spannungsabfall am Ohmschen Widerstand und der Strom aufgezeichnet 

in einem U-I-Diagramm. Achtung: Auf Grenzwerte und Messbereiche achten! 

a) 

12 V 

INPUT A 

INPUT B 

R 

S 

− + 

I 

U 

U 

SENSOR−CASSY 524010 

b) c) 

Benötigte Geräte: 

1 Sensor-CASSY 

1 Rastersteckplatte, DIN A4 

1 STE Widerstand 100 Ω ! 

1 STE Widerstand 47 Ω 



1 STE Widerstand 5,1 Ω 


3 Paar Kabel, 50 cm rot/blau 

Abbildung 4.1: a) Versuchsaufbau zur Charakterisierung des Ohmschen Widerstandes. b) 

Messreihe 1. c) Messreihe 2


4.1.4 Versuchsauswertung 

Messreihe 1 

Bestimmen Sie aus den Häufigkeitsverteilungen der Strom- bzw. Spannungsmessungen (Abb. 

4.1b) den jeweiligen Mittelwert, die Standardabweichung (statistischer Fehler des Einzelwertes), 

den mittleren Fehler des Mittelwertes (Gleichungen 4.1) und berechnen sie jeweils den 

Ohmschen Widerstand sowie den Fehler mittels Fehlerfortpflanzung. 

R = U 

I , σR = 

 

1 2 I 

· σ2 U + 

 

U 

I 2 

2 

· σ2 I , 

σR 

R = 

 

σU 2 + 

U 

Variieren Sie die Anzahl der Messpunkte und fassen Sie die Ergebnisse als Funktion der 

Anzahl der Messpunkte grafisch zusammen. 

Berücksichtigen Sie ebenfalls den systematischen Fehler mittels Fehlerfortpflanzung 

und geben sie das Endergebnis an: 

σU,sys = 0, 01 · Ui + 0, 005 · UBereichsendwert 

σI,sys = 0, 02 · Ii + 0, 005 · IBereichsendwert 

(R ± ∆Rstat ± ∆Rsys) Ω 

Messreihe 2 

Stellen Sie die Messreihe in einem U-I-Diagramm dar und bestimmen Sie mittels linearer 

Regression den Wert und Fehler des Ohmschen Widerstandes (Abb. 4.2). In die lineare 

Regression gehen für jeden Messpunkt die statistischen Fehler der Strom- und Spannungsmessungen 

ein, die in der Messreihe 1 bestimmt worden sind. Um den systematischen Fehler 

in R abzuschätzen, verschieben Sie die Messpunkte mit ihren statistischen Fehlern um die 

systematischen Fehlern, so dass der Einfluss auf die Steigung der Ausgleichsgeraden maximal 

wird (Abbildung 4.2). Systematische Verschiebungen: 

bzw.: 

Ui,verschoben = Ui − (0, 01 · Ui + 0, 005 · UBereichsendwert) 

Ii,verschoben = Ii + (0, 02 · Ii + 0, 005 · IBereichsendwert) 

Ui,verschoben = Ui + (0, 01 · Ui + 0, 005 · UBereichsendwert) 

Ii,verschoben = Ii − (0, 02 · Ii + 0, 005 · IBereichsendwert) 

Geben Sie ihre Ergebnisse zusammenfassend an. 

Diskutieren Sie die Ergebnisse der beiden Messreihen und vergleichen Sie diese mit den 

Herstellerangaben (Tabelle 4.1). 

σI 

I 

2

4.1. Charakterisierung der Ohmschen Widerstände 111 

Abbildung 4.2: Messreihe 2: Bestimmung des Ohmschen Widerstandes mittels linearer Regression 

(rote, mittlere Kurve) und des systematischen Fehlers (blaue und grüne Kurven). 

Ohmscher Widerstand Belastbarkeit Toleranz 

1 Ω 2 W 5 % 

5,1 Ω 2 W 5 % 

10 Ω 2 W 5 % 

20 Ω 2 W 5 % 

47 Ω 2 W 5 % 

100 Ω 2 W 5 % 

Tabelle 4.1: Spezifikationen der Ohmschen Widerstände nach Herstellerangaben


4.2 Auf- und Entladung eines Kondensators 

Optional, Rücksprache mit den Versuchsbetreuern! 

4.2.1 Versuchsbeschreibung 

Mit diesem Vorversuch sollen die Kapazitäten der Kondensatoren bestimmt werden, die 

später bei den Hauptversuchen der LC-Schwingkreise eingesetzt werden! Der bei diesem 

Vorversuch verwendete Ohmsche Widerstand muß im vorherigen Vorversuch charakterisiert 

worden sein! 

Wird ein Kondensator an eine Spannungsquelle angeschlossen (Abb. 4.3), so wird er geladen. 

Innerhalb einer gewissen Zeit fließen Ladungen auf die Platten (Ladestrom), bis der 

Kondensator die gleiche Spannung wie die Quelle hat. Wird dann die Spannungsquelle abgetrennt 

und werden die Kondensatorplatten leitend miteinander verbunden, so entlädt sich 

der Kondensator, im Kreis fließt dann für eine gewisse Zeit ein Entladestrom. 

Im folgenden wird ein Kondensator über einen Widerstand aufgeladen oder entladen. Es 

wird der Spannungsabfall am Kondensator sowie der Lade- bzw. Entladestrom gemessen. 

Daraus kann die Zeitkonstante τ = R · C bestimmt werden. 

+ 

U0 

A 

B 

I 

R 

C 

U 

C 

Abbildung 4.3: Schaltbild zur Aufnahme von Strom- und Spannungskennlinien bei Ladeund 

Entladevorgängen eines Kondensators 

Ladevorgang des Kondensators (Schalterstellung offen zwischen A und B): 

Der Ladevorgang beginnt beim Zeitpunkt t = 0, zu diesem Zeitpunkt fließt der maximale 

Strom I0 = U0 . Dann wird der Kondensator immer mehr geladen, die sich dabei aufbauende 

R 

Spannung UC wirkt als Gegenspannung zu U0, so daß der Ladestrom I immer kleiner wird. 

Wenn UC = U0 geworden ist, kommt der Strom zum Erliegen (I = 0). 

Wird von einem beliebigen Punkt ausgehend der Kreis (Abb. 4.3) einmal vollständig umfahren, 

muß die Summe aller Spannungen Null ergeben gemäß der Kirchhoffschen Maschenregel. 

Eine andere Formulierung der Maschenregel lautet, daß die Summe der anliegenden Span-

4.2. Auf- und Entladung eines Kondensators 113 

nungen gleich der Summe der abfallenden Spannungen ist. Es gilt also zu jedem Zeitpunkt: 

Wegen C · UC = Q und I = dQ 

dt 

U0 − UR(t) − UC(t) = 0 → U0 − UC(t) = I(t) · R 

gilt dann: 

U0 − UC(t) = R · C dUC 

(4.2) 

dt 

Die Differentialgleichung 4.2 wird integriert mit der Randbedingung, daß beim Zeitpunkt 

t = 0 keine Ladung auf dem Kondensator ist und daher UC(t = 0) = 0 ist. Für den 

Spannungsabfall am Kondensator zu einer beliebigen Zeit t gilt dann: 

UC(t) 

0 

dUC 

U0 − UC 

= 1 

R · C 

t 

0 

 

U0 − UC(t) 

dt → ln 

U0 

= −t 

R · C → UC(t) 

 

t 

− 

= U0 · 1 − e R·C (4.3) 

also steigt die Spannung am Kondensator exponentiell mit der Zeit auf U0 an. Damit ergibt 

sich für den Ladestrom: 

I(t) = dQ dUC U0 

= C · = 

dt dt R 

mit der Zeitkonstanten des RC-Kreises τ = R · C. 

· e− t 

R·C = U0 

R 

t 

t 

− 

· e− τ = I0 · e R·C (4.4) 

Entladevorgang des Kondensators (Schalterstellung geschlossen zwischen A und 

B): 

Zum Zeitpunkt t = 0 wird die Spannungsquelle durch einen Leiter überbrückt, so daß keine 

Spannung mehr am Kreis anliegt und der Kondensator gemäß U0 aufgeladen ist. Dann liefert 

die Maschenregel: 

Mit Q = C · UC und I = dQ 

dt 

R · I(t) + UC(t) = 0 

folgt die homogene Differentialgleichung: 

R · C · dUC(t) 

dt + UC(t) = 0 (4.5) 

Die Lösung der Differentialgleichung 4.5 erfolgt durch “Separation der Variablen“ unter 

Berücksichtigung der Randbedingung (t = 0 → UC = U0): 

UC 

U0 

dUC 

UC 

= −1 

R · C 

t 

0 

dt → ln 

UC 

U0 

 

= −t 

R · C 

und damit ergibt sich für den zeitabhängigen Spannungsabfall am Kondensator: 

Für den Stromverlauf ergibt sich bei der Entladung: 

I = dQ 

dt 

t 

t 

− − 

UC(t) = U0 · e R·C = U0 · e τ (4.6) 

= C · dUC 

dt = C · U0 · −1 

R · C 

t 

· e− R·C → I(t) = − U0 t 

· e− R·C (4.7) 

R



Der Kondensator und der Ohmsche Widerstand werden gemäß Abbildung 4.4 auf der Rastersteckplatte 

aufgebaut. Als Spannungsquelle dient die Gleichspannungsquelle S (0-16 V) 

des Sensor-CASSY-Interface. Zur Strommessung wird das Amperemeter des Eingangs A 

und zur Spannungsmessung das Voltmeter des Eingangs B benutzt. Zusätzlich wird der 

Spannungsabfall am Kondensator auf dem Kanal 1 und der Strom als Spannungsabfall am 

Ohm’schen Widerstand auf dem Kanal 2 des Oszilloskopes gemessen. Zur Überbrückung der 

Spannungsquelle (Entladevorgang) wird ein Taster parallel zu dem Ohmschen Widerstand 

und dem Kondensator geschaltet. 

Bei dem Aufladevorgang des Kondensators wird die Spannungsquelle im Menü Einstellungen 

CASSY von AUS (0) auf EIN (1) automatisch bei Beginn einer Messung umgeschaltet. 

Bei dem Entladevorgang bleibt die Spannungsquelle eingeschaltet (1), wird aber durch den 

Taster überbrückt, so das sich der Kondensator über den Widerstand entlädt. 

12 V 

INPUT A 

INPUT B 

R 

S 

− + 

I 

U 

U Erde 


Kanal 2 

Kanal 1 

Oszilloskop 



1 TDS 2004B Oszilloskop 



1 Kondensator 10 µF 

1 Kondensator 4,7 µF 



1 Satz Brückenstecker 


3 Kabel, 50 cm rot/blau 

1 Taster 

Abbildung 4.4: Aufbau zur Aufnahme einer Auf- oder Entladekurve eines Kondensators 


a) Aufladung 

– Ladespannung U0 einstellen - dazu Drehknopf an Spannungsquelle S entsprechend 

einstellen und Ladespannung messen. 

– Im Menü Einstellungen CASSY die automatische Umschaltung der Spannungsquelle 

von AUS (0) auf EIN (1) bei Start der Messung markieren 

– Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen das Messintervall auf 10 µs 

und die Anzahl auf 1000 einstellen, entsprechend einer Messzeit von 10ms. Die 

Zeitbasis am Oszilloskop entsprechend einstellen. 

– Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen weiterhin einen geeigneten 

Trigger einstellen! Diesen Trigger auch am Oszilloskop einstellen. 

– Aufladung mit F9 starten, Ladekurven gemäß Gleichungen 4.4, 4.3 und Abb. 4.5a 

aufnehmen


b) Entladung 


einstellen und Ladespannung messen. 

– Im Menü Einstellungen CASSY die Spannungsquelle auf EIN (1) stellen 


und die Anzahl auf 1000 einstellen, entsprechend einer Messzeit von 10 ms. Die 



Trigger einstellen! Diesen Trigger auch am Oszilloskop einstellen. 

– Messung mit F9 starten, Entladekurven gemäß Gleichungen 4.6, 4.7 und Abb. 

4.5b aufnehmen 

– Nach Meldung “Triggersignal fehlt“, den Taster zur Überbrückung der Spannungsquelle 

betätigen 

Achtung: Mögliche Nullpunktsschwankungen der Strom- oder Spannungsmessgeräte (Offsets) 

korrigieren im Menü Einstellungen CASSY oder nachträglich bei der Analyse der 

Daten! Am Oszilloskop müssen die Offsets ebenfalls berücksichtigt werden. 


Messung mit Oszilloskop 

Für die Bestimmung der Kapazität C am Oszilloskop wird bei der Aufladung die Strommessung 

verwendet, bei der Entladung der Spannungsabfall am Kondensator. Gemessen werden 

die Zeiten, nach der ein Startwert U0 auf die Hälfte, ein Viertel, ein Achtel usw. gesunken 

ist. Die Halbwertszeit T1/2 hängt mit der Zeitkonstanten τ = R · C wie folgt zusammen: 

UC(T1/2) = U0 

2 = U0 · e − T 1/2 

τ → T1/2 = τ · ln(2) 

und damit ergibt sich für die Kapazität C und den Fehler σC der Kapazität: 

C = T1/2 

R · ln(2) 

→ 

σC 

C = 

 

σT 2 

1/2 σR 

2 

+ 

R 

Verfahren sie analog mit den Zeiten T1/4, T1/8 usw.. Der systematische Fehler des Ohmschen 

Widerstandes R (erster Vorversuch) setzt sich wie folgt auf den Fehler der Kapazität fort: 

σ R C,sys 

C 

= σR,sys 

R 

Messung mit Cassy 

Für die Bestimmung der Kapazität C werden die Strom- bzw. Spannungsmessreihen logarithmisch 

dargestellt. Die statistischen Fehler der Einzelmesswerte der Strom- und Spannungsmessungen 

wurden bereits im ersten Vorversuch ermittelt und müssen in die logarithmierte 

T1/2


a) 

b) 

Abbildung 4.5: a) Auf- bzw b) Entladekurve eines Kondensators


Darstellung transformiert werden. (Beachte: Vor der Transformation Offsets korrigieren!) 

S = ln(X) → σS = dS 

dX · σX = σX 

X 

An die jeweilige logarithmierte Messreihe wird mittels linearer Regression eine Gerade y = 

a · t + b angepaßt. Für die Kapazität C und den Fehler σC der Kapazität des Kondensators 

gilt dann: 

C = − 1 

a · R 

→ σC 

C = 

 

σa 2 + 

a 

 

σR 

2 

R 

Überprüfen sie anhand der Residuenverteilungen, ob die Offset-Korrektur ausreichend war. 

Überlegen Sie, ob eine Verschiebung der Messpunkte mit ihren statistischen Fehlern um die 

systematischen Fehler sinnvoll ist oder ob man die systematischen Fehler nicht berücksichtigen 

muss. 

Der systematische Fehler des Ohmschen Widerstandes R (erster Vorversuch) setzt sich wie 

folgt auf den Fehler der Kapazität fort: 

σ R C,sys = 1 

· σR,sys 

a · R2 Geben Sie ihre Ergebnisse zusammenfassend an: 

C ± σC,stat ± σ R C,sys 

Bestimmen Sie dann aus den durch Auf- bzw. Entladung gewonnenen Kapazitäten und deren 

statistischen und systematischen Fehlern den Mittelwert und den Fehler der Kapazität mit 

dem Verfahren des gewichteten Mittelwertes: 

C = 

n 

i=1 

n 

i=1 

Ci 

σ 2 i 

1 

σ 2 i 

 

 

 

σC = 

 

Vergleichen Sie ihre Ergebnisse mit der Erwartung aufgrund der Herstellerangaben (Tabelle 

4.2). 

1 

n 

i=1 

1 

σ 2 i 

Kapazität max. zul. Spannung Toleranz 

1 µF 100 V 5 % 

2,2 µF 63 V 5 % 

4,7 µF 63 V 5 % 

10 µF 100 V 5 % 

Tabelle 4.2: Spezifikationen der Kondensatoren laut Herstellerangaben


4.3 Auf- und Entladung einer Spule 

Optional, Rücksprache mit den Versuchsbetreuern! 

Mit diesem Vorversuch sollen die Induktivität L und der innere Ohmsche Widerstand RL der 

Spulen bestimmt werden, die später bei den Hauptversuchen der LC-Schwingkreise eingesetzt 

werden! Des weiteren soll der Innenwiderstand des Strommessgerätes ermittelt werden, da 

dieser später die Dämpfung der freien Schwingung beeinflussen wird. 


Eine Spule wird über einen Widerstand aufgeladen oder entladen. Es werden die Spannungsabfälle 

an der Spule sowie der Lade- oder Entladestrom gemessen. Daraus kann die 

Zeitkonstante τ = L 

R , die Induktivität L und der innere Widerstand RL der Spule bestimmt 

werden. 

+ 

U0 

A 

B 

I 

R 

Abbildung 4.6: Schaltbild zur Aufnahme von Strom- und Spannungskennlinien bei Ladeund 

Entladevorgängen einer Spule 

Ladevorgang einer idealen Spule (Abbildung 4.6, Schalterstellung offen zwischen 

A und B): 

Eine Spule wird über einen Ohmschen Widerstand aufgeladen. Bei der Änderung des Stromes 

im Kreis ändert sich das Magnetfeld und damit auch der magnetische Fluß im Querschnitt der 

Spule. Nach dem Induktionsgesetz wird dann in der Spule selbst eine Induktionsspannung 

Ui = −L · dI induziert (Selbstinduktion). Für den bei Änderung des Stromes im Kreis 

dt 

durch Selbstinduktion auftretenden Spannungsabfall UL an der Spule gilt: UL = L · dI , mit dt 

dem Selbstinduktionskoeffizienten L (auch Induktivität genannt), der von der geometrischen 

Gestalt der Spule abhängt. Für die Induktivität L einer Spule vom Querschnitt A, der Länge 

l und mit N Windungen gilt annähernd: 

L 

L = µ0 · µr · N 2 · A 

l 

U L

4.3. Auf- und Entladung einer Spule 119 

Nach dem Einschalten wächst I(t) von Null an, wird durch U0 angetrieben und durch Ui 

behindert. Die Spannung U0 kann einen maximalen Strom I0 = U0 im Kreis erzeugen. Mit 

R 

der Kirchhoffschen Maschenregel folgt eine inhomogene lineare Differentialgleichung (DGL) 

1. Ordnung: 

U0 = L · dI 

dt 

+ R · I → dI 

dt 

R U0 

+ · I = 

L L 

Die Lösung einer solchen DGL setzt sich zusammen aus der Summe einer allgemeinen homogenen 

Lösung mit einer beliebigen sog. partikulären Lösung der inhomogenen Gleichung: 

I(t) = Ih(t) + Ip(t) 

Für Lösung Ih der homogenen DGL ergibt sich: 

dI 

dt 

R 

+ · I = 0 → 

L 

I(t) 

0 

dI 

I 

= −R 

L 

t 

0 

dt → ln 

 

I(t) 

= − 

I(0) 

R 

L · t → Ih(t) 

R 

− 

= Ih(0) · e L ·t 

Ih(0) ist die Integrationskonstante, die durch die Anfangsbedingung festgelegt wird. Für die 

inhomogene Lösung Ip folgt: 

Damit folgt für die Gesamtlösung: 

L · dI 

dt + I · R = U0 → Ip = U0 

R 

R 

− 

I(t) = Ih(0) · e L ·t + U0 

R 

Mit der Anfangsbedingung I(0) = 0 folgt: I(0) = Ih(0) + U0 

R = 0 und damit Ih(0) = − U0 

R . 

Der Ladestrom ist dann: 

I(t) = U0 

R · 

 

R 

− 

1 − e L ·t 

 

(4.8) 

Dabei ist τ = L die Zeitkonstante des Stromkreises. Für den zeitabhängigen Spannungsabfall 

R 

UL an der Spule folgt damit: 

UL(t) = L · dI 

dt = U0 

R 

− 

· e L ·t 

(4.9) 

Entladevorgang einer idealen Spule (Abbildung 4.6, Schalterstellung geschlossen 

zwischen A und B): 

Zur Zeit t = 0 wird der Schalter zwischen A und B geschlossen und dadurch die Spannungsquelle 

durch Überbrückung abgeschaltet. Im RL-Kreis folgt dann aus der Maschenregel die 

homogene Differentialgleichung: 

L · dI 

dt 

+ R · I = 0 → dI 

dt 

R 

+ · I = 0 

L


mit der Lösung: 

R 

− 

Ih(t) = Ih(0) · e L ·t 

mit der Anfangsbedingung, daß zur Zeit t=0 der maximale Strom I(0) = U0 

R 

I(t) = U0 

R 

Für den Spannungsabfall an der Spule gilt: 

Ladevorgang einer realen Spule: 

· e− R 

L ·t 

R 

− 

UL(t) = −U0 · e L ·t 

fließt, gilt dann: 

(4.10) 

(4.11) 

Eine Spule ist etwas komplizierter zu diskutieren als ein Kondensator. Das liegt an dem nicht 

veschwindenden Ohmschen Widerstand der Spule. 

Ein Ohmscher Widerstand R und eine Spule mit der Induktivität L und einem Ohmschen 

Widerstand RL werden in Reihe geschaltet und an eine Gleichspannung U0 angeschlossen. 

Mit der Kirchhoffschen Maschenregel folgt dann allgemein: 

 

U0 = UR + USp = R · I + RL · I + L · dI 

 

(4.12) 

dt 

In der Klammer steht der Spannungsabfall an der Spule. Die Differentialgleichung wird gelöst, 

indem zunächst die homogene Gleichung (d.h. U0 = 0) untersucht wird: 

L · dI 

dt = −(R + RL) · I 

Unbestimmte Integration dieser Differentialgleichung: 

 

dI + RL 

= −R · dt 

I L 

ergibt mit einer Integrationskonstanten K die homogene Lösung: 

R + RL 

ln Ih = − 

L 

· t + ln K → Ih = K · e − R+RL L ·t 

Die partikuläre Lösung der Differentialgleichung 4.12 (d.h. U0 = 0) ist: 

Damit ergibt sich für den Strom: 

Ip = U0 

R + RL 

I(t) = Ih + Ip = K · e − R+R L 

L ·t + U0 

R + RL


Mit der Anfangsbedingung I(0) = 0 gilt für die Integrationskonstante K = −U0/(R + RL) 

und damit folgt für den Ladestrom der Spule (vergleiche auch mit Gleichung 4.8): 

I(t) = U0 

 

· 

R + RL 

1 − e − R+RL L 

·t 

 

(4.13) 

Die Zeitkonstante τ = L steuert den zeitlichen Verlauf für den Strom und auch für den 

R+RL 

Spannungsabfall an der Spule (vergleiche auch mit Gleichung 4.9): 

 

−RL 

USp(t) = U0 · 

R + RL 

 

+ 1 e − R+RL L ·t + RL 

 

R + RL 

(4.14) 

Entladevorgang einer realen Spule (Abbildung 4.6, Schalterstellung B): 

Beim Entladevorgang wird die Spannungsquelle überbrückt. Dann führt die bereits bekannte 

Lösung der homogenen Differentialgleichung. mit der Anfangsbedingung I(0) = U0 

R+RL auf 

den Entladestrom (vergleiche mit Gleichung 4.10): 

I(t) = U0 

R + RL 

· e − R+RL L ·t 

(4.15) 

Für den Spannungsabfall an der Spule gilt beim Entladevorgang (vergleiche mit Gleichung 

4.11): 

 

RL 

USp(t) = U0 · 

− 1 e 

R + RL 

− R+RL L ·t 

 

(4.16) 

Beim Entladevorgang beginnt der Spannungsabfall nicht bei −U0. 

Spule bei Supraleitung: 

Wenn kein äußerer Widerstand im Stromkreis vorhanden ist und der Ohmsche Spulenwiderstand 

praktisch Null ist (Supraleitung, oder sehr dicker Draht), muss die angelegte Spannung 

am induktiven Widerstand abfallen. Es gilt dann also 

was sich unmittelbar integrieren lässt: 

U0 = L · dI 

dt 

I(t) = U0 

L 

Der Strom steigt also proportional zur Zeit an. Für den Spannungsabfall gilt USp = U0 . 

Dieser Sachverhalt kann auch aus der allgemeinen Lösung für den Ladestrom (Glg. 4.13) 

durch den Grenzübergang R + RL → 0 gefunden werden. 

· t


Wenn man zu einem Zeitpunkt t1 den Ladevorgang stoppt indem man die Spannungsquelle 

überbrückt, fließt ein konstanter ’Entladestrom’, d. h. die Spule entlädt sich nicht. Der Strom 

wird nicht kleiner, weil keine ’Reibung’ ( kein Ohmscher Widerstand) vorhanden ist. Das 

folgt auch mathematisch mit der Anfangsbedingung I(0) = U0 · t1: L 

L · dI 

dt 


= 0 → I(t) = U0 

L · t1 = const. 

Die Spule und der Ohmsche Widerstand werden gemäß Abbildung 4.7 auf der Rastersteckplatte 

aufgebaut. Die Strommessung erfolgt mit dem Amperemeter des Eingangs A und 

die Spannungsmessung mit dem Voltmeter des Eingangs B des Sensor-CASSY-Interface. 

Zusätzlich wird der Spannungsabfall an der Spule auf dem Kanal 1 und der Strom als Spannungsabfall 

am Ohm’schen Widerstand auf dem Kanal 2 des Oszilloskopes gemessen. 

Die Spannungsquelle S des Sensor-Cassy-Interface wird bei dem Ladevorgang im Menü Einstellungen 

CASSY auf AUS (Zustand 0) gestellt und mit Beginn der Messung automatisch 

auf EIN (Zustand 1) geschaltet. 

Beim Entladevorgang wird die Spannungsquelle vom eingeschalteten Zustand 1 automatisch 

bei Beginn der Messung in den ausgeschalteten Zustand 0 umgeschaltet. Die Datenaufnahme 

erfolgt erst nach Erfüllung einer Triggerbedingung. 


a) Aufladung 


einstellen und Ladespannung messen. Achtung: Grenzwerte beachten! 


und die Anzahl auf 250 einstellen, entsprechend einer Messzeit von 2.5 ms. Die 


– Spannungsquelle einschalten - dazu in Einstellungen CASSY, Spannungsquelle 

S die Eingabe von 0 nach 1 ändern durch automatische Umschaltung bei 

Beginn der Messung. 

– Aufladung mit F9 starten, Ladekurven gemäß Gleichungen 4.13, 4.14 und Abb. 

4.8a aufzeichnen. 

b) Entladung 


einstellen und Ladespannung messen. Achtung: Grenzwerte beachten! 


und die Anzahl auf 250 einstellen, entsprechend einer Messzeit von 2.5 ms.Die 



Trigger einstellen! Diesen Trigger auch am Oszilloskop einstellen.


12 V 

INPUT A 

INPUT B 

R 

S 

− + 

I 

U 

U 


a) b) 



1 TDS 2004B Oszilloskop 



1 Spule 250, 500 oder 1000 Windungen 

1 Experimentierkabel, 50 cm, blau 


3 Kabel, 50 cm rot/blau 

12 V 

INPUT A 

INPUT B 

R 

S 

− + 

I 

U 

U 


Abbildung 4.7: Versuchsaufbau zur a) Aufnahme von Auf- und Entladekurven und Bestimmung 

des inneren Ohmschen Widerstandes RL einer Spule und b) Bestimmung des inneren 

Ohmschen Widerstandes des Amperemeters. 

– Spannungsquelle bei Beginn der Messung ausschalten - dazu in Einstellungen 

Spannungsquelle S1 die Eingabe von 1 nach 0 ändern durch automatische 

Umschaltung bei Beginn der Messung. 

– Entladung mit F9 starten, Entladekurven gemäß Gleichungen 4.15, 4.16 und Abb. 

4.8b aufzeichnen. 

c) Innerer Ohmscher Widerstand RL der Spule 

– Spannungsquelle S über das Menü Einstellungen CASSY einschalten (1). 

– Messwertaufnahme in dem Menü Messparameter anzeigen von automatischer 

auf manuelle Aufnahme umschalten (Abb. 4.9a). Es wird ein Messwert pro Start 

einer Messung aufgezeichnet.


– Variation der anliegenden Spannung U0 (manuell am Drehknopf), Aufzeichnung 

des Spannungsabfalls an der Spule und des Stroms (Abb. 4.9a). 

d) Innenwiderstand des Amperemeters des Eingangs A 

– Spannungsquelle S über das Menü Einstellungen CASSY einschalten (1). 

– Messwertaufnahme in dem Menü Messparameter anzeigen von automatischer 

auf manuelle Aufnahme umschalten. Es wird ein Messwert pro Start einer Messung 

aufgezeichnet. 

– Variation der anliegenden Spannung U0 (manuell am Drehknopf), Aufzeichnung 

des Spannungsabfalls am Amperemeter und des Stroms (Abb. 4.7b und 4.9b).


a) 

b) 

Abbildung 4.8: a) Auf- und b) Entladekurven einer Spule


a) 

b) 

Abbildung 4.9: Bestimmung des inneren Ohmschen Widerstandes a) einer Spule, b) des 

Amperemeters mittels Ohmschen Gesetzes.



Induktivität L: 

Messung mit Oszilloskop 

Für die Bestimmung der Induktivität L am Oszilloskop werden die Zeiten, nach der ein Start- 

wert U0 oder I0 auf die Hälfte, ein Viertel, ein Achtel usw. gesunken ist. Die Halbwertszeit 

T1/2 hängt mit der Zeitkonstanten τ = L 

R 

wie folgt zusammen: 

UL(T1/2) = U0 

2 = U0 · e − T 1/2 

τ → T1/2 = τ · ln(2) 

und damit ergibt sich für die Induktivität L und den Fehler σL der Induktivität: 

L = T1/2·R 

ln(2) 

→ 

σL 

L = 

 

σT 2 

1/2 σR 

2 

+ 

R 

Verfahren sie analog mit den Zeiten T1/4, T1/8 usw.. Der systematische Fehler des Ohmschen 

Widerstandes R (erster Vorversuch) setzt sich wie folgt auf den Fehler der Kapazität fort: 

σ R L,sys 

L 

= σR,sys 

R 

Messung mit Cassy 

Für die Bestimmung der Zeitkonstanten τ = L werden die Strom- bzw. Spannungsmess- 

R 

reihen logarithmisch dargestellt. Die statistischen Fehler der Einzelmesswerte der Stromund 

Spannungsmessungen wurden bereits im ersten Vorversuch ermittelt und müssen in die 

logarithmierte Darstellung transformiert werden. (Beachte: Vor der Transformation Offsets 

korrigieren!) 

T1/2 

S = ln(X) → σS = dS 

dX · σX = σX 

X 

An die jeweilige logarithmierte Messreihe wird mittels linearer Regression eine Gerade y = 

a · t + b angepaßt. Damit ergibt sich für die Induktivität L und deren Fehler σL: 

L = − R 

a , 

σL 

L = 

 

σa 2 + 

a 

 

σR 

2 

R 

Überprüfen sie Anhand der Residuenverteilungen, ob die Offsets ausreichend korrigiert wurden. 

Überlegen Sie, ob eine Verschiebung der Messpunkte mit ihren statistischen Fehlern 

um die systematischen Fehler sinnvoll ist oder ob man die systematischen Fehler nicht 

berücksichtigen muss. Der systematische Fehler des Ohmschen Widerstandes R (erster Vorversuch) 

setzt sich wie folgt auf den Fehler der Induktivität fort: 

σ R L,sys = 1 

· σR,sys 

a


Geben Sie ihre Ergebnisse zusammenfassend an L ± σL,stat ± σR L,sys . Bestimmen Sie dann aus 

den durch Auf- bzw. Entladung gewonnenen Induktivitäten und deren Fehlern (statistische 

und systematische) den Mittelwert und den Fehler der Induktivität mit dem Verfahren des 

gewichteten Mittelwertes: 

L = 

n 

i=1 

n 

i=1 

Li 

σ 2 i 

1 

σ 2 i 

 

 

 

σL = 

 

Vergleichen Sie ihre Ergebnisse mit der Erwartung aufgrund der Herstellerangaben. 

Innerer Widerstand RL der Spule 

Methode 1: 

Bei den Aufladekurven in Abbildung 4.8a fällt auf, daß der Spannungsabfall an der Spule 

nicht exponentiell mit der Zeit gegen Null, sondern gegen einen konstanten Anteil geht. 

Der Grund dafür ist der innere Ohmsche Widerstand RL der Spule. Bestimmen Sie aus 

den Aufladekurven den Sättigungsstrom I0 und den konstanten an der Spule abfallenden 

Gleichspannungsanteil UL und berechnen Sie den inneren Ohmschen Widerstand der Spule: 

RL = UL 

 

σUL 

2 2 σRL 

σI0 

= 

+ 

I0 

RL 

Methode 2: 

Stellen Sie die manuell aufgenommene Messreihe in einem U-I-Diagramm dar und bestimmen 

Sie den Wert und Fehler des inneren Ohmschen Widerstandes RL mittels linearer Regression 

(Abb. 4.9a). In die lineare Regression gehen die Fehler der Strom- und Spannungsmessungen 

ein, die im ersten Vorversuch, Messreihe 1, bestimmt worden sind. 

Diskutieren Sie die Ergebnisse der beiden Methoden mitsamt ihrer statistischen und systematischen 

Fehler und vergleichen Sie diese mit den Herstellerangaben. 

Innenwiderstand Ri des Amperemeters 

Stellen Sie die manuell aufgenommene Messreihe in einem U-I-Diagramm dar und bestimmen 

Sie den Wert und Fehler des Innenwiderstandes des Amperemeters Ri mittels linearer 

Regression (Abb. 4.9b). In die lineare Regression gehen die Fehler der Strom- und Spannungsmessungen 

ein, die im ersten Vorversuch, Messreihe 1, bestimmt worden sind. Geben 

Sie das Ergebnis mit statistischen und systematischen Fehlern an. 

UL 

1 

n 

i=1 

1 

σ 2 i 

I0

4.4. Gedämpfter LC-Schwingkreis 129 

4.4 Gedämpfter LC-Schwingkreis 


I 

R 

L 

C 

Abbildung 4.11 LCR-Schwingkreis 

+ 

U 

Wird ein Kondensator C auf die Spannung U0 aufgeladen 

und über eine parallel geschaltete Spule 

entladen, so müssen zu jeder Zeit die Spannungen 

am Kondensator und an der Spule gleich 

groß sein, bzw. die Gesamtenergie bei einer freien, 

ungedämpften Schwingung muß konstant bleiben. 

Die Gesamtenergie ist gleich der Summe der 

elektrischen und magnetischen Feldenergien. Ein 

tatsächlich aufgebauter Schwingkreis besitzt neben 

einer Kapazität C und einer Induktivität L 

immer auch einen unvermeidlichen Ohmschen Widerstand 

R. Kondensatoren und Spulen sind keine 

idealen Bauelemente, sondern weisen neben der 

Kapazität bzw. Induktivität auch Ohmschen Widerstände 

auf (siehe Anhang 4.6). Diese üben eine 

dämpfende Wirkung auf die Schwingung aus und 

am Gesamtwiderstand R wird in der Zeit dt die 

Stromenergie dE = I 2 · R · dt in Wärme umgewandelt. 

Diese wird der Gesamtenergie des Kreises 

entzogen. 

Die elektrischen Schwingungen lassen sich anregen, indem man entweder den Kondensator 

entlädt oder auflädt. Sowohl Auf- wie Entladung werden durch Schwingungsgleichungen 

mit einem Dämpfungsterm beschrieben. Es hängt entscheidend vom Dämpfungsterm ab, 

wie der Einschwingvorgang auf die angelegte Spannung (U0 bzw. Null) verläuft. Bei kleiner 

Dämpfung wird sich die Spannung nach einem Einschwingvorgang am Kondensator einstellen. 

Bei sehr starker Dämpfung kommt es zu keiner Schwingung und der Kondensator 

erreicht sehr langsam die angelegte Spannung. Zwischen diesen beiden Fällen gibt es einen 

Spezialfall, bei dem sich die Spannung ohne Schwingung nach kürzester Zeit auf den richtigen 

Wert einstellt. 

Diese Situationen entsprechen vollkommen den mechanischen freien Schwingungen. Analoge 

Beziehung bzw. Bezeichnungen mechanischer und elektromagnetischer Schwingungen sind in 

Tabelle 4.3 aufgezeigt.


Schwingungen 

mechanische elektromagnetische 

d2y dt2 + b dy c · + · y = 0 

m dt m 

Differentialgleichung DGL: 

d2Q dt2 + R dQ 1 · + · Q = 0 

L dt L·C 

y Elongation Q elektrische Ladung 

m Masse L Induktivität 

b Dämpfungskonstante R Ohmscher Widerstand 

c Federkonstante 1/C inverse Kapazität 

Geschwindigkeit: v = dy 

dt 

Stromstärke: I = dQ 

dt 

Kreisfrequenz ohne Dämpfung: 

ω0 = c/m ω0 = 1/(LC) 

δ = b 

2m 

Abklingkoeffizient, Dämpfungskonstante: 

δ = R 

2L 

Kreisfrequenz: ω = ω 2 0 − δ 2 

= c/m − b 2 /(4m 2 ) = 1/(LC) − R 2 /(4L 2 ) 

D = δ 

ω0 

b = 2 · 

 

1 

mc 

Dämpfungsgrad: 

D = δ 

ω0 

= R 

2 · 

C 

L 

Potentielle Energie: Elektrostatische Energie: 

Epot = 1 

2cy2 EC = 1 

2 

Q 2 

C 

= 1 

2 CU 2 C 

Kinetische Energie: Magnetische Energie: 

Ekin = 1 

2 mv2 EL = 1 

2 LI2 

Güte (wird meist auch mit Q bezeichnet): 

Q = 1 

2D = √ mc/b Q = 1 

2D 

= 1 

R · L/C 

Tabelle 4.3: Analogien zwischen mechanischen und elektromagnetischen Schwingungen


Differentialgleichung für freie elektrische Schwingungen: 

An eine Gleichspannung U0 wird eine Serienschaltung von R, L und C angeschlossen. Nach 

der Kirchhoffschen Maschenregel ist U0 gleich der Summe aller Spannungsabfälle an den 

Komponenten R, L und C: 

U0 = UR + UL + UC = R · I + L dI 

dt 

Wegen I = dQ/dt gilt dann für die elektrische Ladung: 

L · d2Q dQ 

+ R · 

dt2 dt 

+ Q 

C . 

+ Q 

C = U0. (4.17) 

Weil eine so aufgebaute Differentialgleichung (DGL) für alle freien gedämften Schwingungen 

gilt, bei denen die Schwingungsamplituden nicht so groß werden, dass nicht-lineare Terme 

berücksichtigt werden müssen, schreibt man: 

mit 

δ = R 

2L 

d2Q dQ 

+ 2 δ 

dt2 dt + ω2 0 Q = U0 

. (4.18) 

L 

und ω0 = 1 

√ LC 

(4.19) 

δ heißt Abklingkoeffizient, Dämpfungskonstante (in s −1 ) und ist ein Maß für die 

Dämpfung; ω0 ist die Kreisfrequenz der ungedämpften freien Schwingung. 

Das Verhältnis von Abklingkoeffizient und Kreisfrequenz ist dimensionslos und heißt Dämpfungsgrad 

D der gedämpften Schwingung: 

D = δ 

ω0 

= R 

2 · 

 

C 

L . 

d = 2 ·D ist der Verlustfaktor und das Inverse davon die Güte: 

Q = 1 

2D 

= 1 

R · 

 

L 

. (4.20) 

C 

Der gesamte Ohmsche Widerstand R des Schwingkreises, in dem unter anderem auch der 

Ohmsche Widerstand der Spule enthalten ist, trägt zu Energieverlusten bei. Durch diese 

Dämpfung verringern sich die Kreisfrequenz und die Güte des Schwingkreises. 

Gleichung 4.18 ist eine inhomogene lineare DGL 2. Ordnung. Die allgemeine Lösung dieser 

DGL ist die Summe aus der allgemeinen Lösung der homogenen und einer beliebigen Lösung 

der inhomogenen Gleichung: Q(t) = Qh(t) + Qp(t). Qp(t) nennt man partikuläre Lösung. 

Die Gesamtlösung enthält zwei Integrationskonstanten, die durch die Anfangsbedingungen 

des Schwingungsproblems bestimmt werden müssen.


Lösung der homogenen Differentialgleichung 

Die homogene Differentialgleichung 

wird gelöst durch den Ansatz: 

d2Q dQ 

+ 2 δ 

dt2 dt + ω2 0 Q = 0 (4.21) 

Q(t) = Q0 · e λt ˙ Q(t) = λ · Q(t) ¨ Q(t) = λ 2 · Q(t) 

Einsetzen in die Differentialgleichung liefert: 

mit den Lösungen: 

(λ 2 + 2δλ + ω 2 0) · Q(t) = 0 → λ 2 + 2δλ + ω 2 0 = 0 

λ1,2 = −δ ± 

 

δ 2 − ω 2 0 = −δ ± √ − ω 2 = − δ ± iω (4.22) 

mit ω 2 = ω 2 0 − δ 2 . Die allgemeine Lösung der homogenen DGL orientiert sich daran, ob der 

Dämpfungsgrad D größer, gleich oder kleiner als 1 ist. Allgemein gilt: 

Qh(t) = A · e λ1t + B · e λ2t 

Die homogene DGL entspricht dem Fall, dass keine Spannung anliegt. Die Lösungen dieser 

Gleichung beschreiben folglich die Entladung eines bereits aufgeladenen Kondensators. Das 

muss bei den Randbedingungen berücksichtigt werden. Für die drei folgenden Situationen 

haben die Randbedingungen für die exakte Lösung immer die gleiche Form: 

Qh(0) = Q0 = CU0 und 

Kriechfall (δ > ω0, D > 1) 

dQh 

dt |(0) = I(0) = 0 (4.23) 

Beim Kriechfall ist die Dämpfung so stark, dass der Kondensator sehr langsam entladen wird 

und nur asymptotisch seine Spannung verliert. Es findet keine Schwingung statt! 

Mit den beiden Integrationskonstanten folgt: 

Qh(t) = 

“ 

−δ+ 

A · e 

√ δ 2 −ω 2 0 

” 

“ √ ” 

t −δ− δ2−ω2 0 t 

+ B · e 

Mit den Randbedingungen ergibt sich für die Konstanten in Gleichung 4.24: 

A = CU0 · δ + δ2 − ω2 0 

2 δ2 − ω2 , B = CU0 · 

0 

−δ + δ2 − ω2 0 

2 δ2 − ω2 0 

(4.24) 

Abb. 4.10 zeigt für R = 320 Ω, L = 9,0 mH und C = 2,2 µF den Spannungsabfall am Kondensator 

und den Strom I. Der Kondensator war zu Beginn geladen mit einer Spannung von 

10 V. Beim Kriechfall stellt sich die Spannung nur sehr langsam und ohne überzuschwingen


Spannung (V) 

10 

8 

6 

4 

2 

0 

-2 

-4 

-6 

-8 

Aperiodischer Grenzfall 

Schwingfall 

Kriechfall 

-10 

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 

Zeit (s) 

Strom (A) 

0.15 

0.1 

0.05 

0 

-0.05 

-0.1 

Schwingfall 

Kriechfall 


-0.15 

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 

Abbildung 4.10: Kondensatorspannung und Strom beim Entladen (Schwingfall, Kriechfall 

und Aperiodischer Grenzfall) 

ein. Auch der Entladestrom schwingt nicht über und bleibt relativ klein. 

Aperiodischer Grenzfall (δ = ω0, D = 1) 

Beim aperiodischen Grenzfall wird die Dämpfung so gering, dass der Kondensator in der 

kürzesten Zeit entladen wird. Auch in diesem Fall kommt es zu keinen Schwingungen. Der 

Strom zeigt ebenfalls keine Schwingungen, ist aber wegen der kürzeren Entladungszeit größer 

als der im Kriechfall. Wegen δ = ω0 verschwindet in Glg. 4.22 die Wurzel. Damit man für 

die einzustellenden Anfangsbedingungen wieder zwei Integrationskonstanten zur Verfügung 

hat, nimmt die Lösung folgende allgemeine Form an (mit den Anfangsbedingungen folgt: 

A = CU0 und B = δA): 

Qh(t) = e −δt · (A + Bt) → Qh(t) = CU0 · e −δt · (1 + δ · t) (4.25) 

UC(t) = U0 · e −δt · (1 + δ · t) und I(t) = −δ 2 e −δt CU0 · t (4.26) 

Abb. 4.10 zeigt für den gleichen Schwingkreis neben dem Kriechfall auch den aperiodischen 

Grenzfall. Der Ohmsche Widerstand beträgt hier jedoch R = 2· L/C = 127,9 Ω. 

Schwingfall (δ < ω0, D < 1) 

Wenn die Dämpfung noch kleiner wird, stellt sich die Spannung am Kondensator erst nach 

einem Einschwingvorgang auf den endgültigen Wert ein. Die Wurzel im Exponenten von Glg. 

4.22 wird jetzt rein imaginär. Die allgemeine Lösung nimmt dann die folgende Form an: 

Qh(t) = e −δt · A ′ e iωt + B ′ e −iωt 

Zeit (s)


In dieser Relation ist sowohl Real- wie auch Imaginärteil Lösung der DGL. Man kann daher 

mit anderen Integrationskonstanten schreiben: 

Qh(t) = e −δt · (A cos ωt + B sin ωt) 

Mit den bekannten Anfangsbedingungen (Glg. 4.23) findet man A = CU0 und B = Aδ/ω, 

also: 

Qh(t) = CU0 · e −δt 

· cos ωt + δ 

 

sin ωt 

(4.27) 

ω 

Abb. 4.10 zeigt für den gleichen Schwingkreis, jedoch mit einem kleineren Ohmschen Widerstand 

(R = 12, 8Ω) die Situation, bei der es deutlich zu einem Überschwingen kommt. 

Bei kleiner Dämpfung verläuft Qh(t) und damit auch UC(t) annähernd wie ein Cosinus. Der 

Strom ergibt sich durch die Zeitableitung von Glg. 4.27 und hat die Form eines gedämpften 

Sinus: 

UC(t) = U0 · e −δt 


 

sin ωt 

(4.28) 

ω 

I(t) = − CU0 · e −δt 

· ω + δ2 

 

· sin ωt (4.29) 

ω 

Zwischen beiden hat man also ungefähr eine Phasenverschiebung von π/2. Der Strom eilt 

der Spannung voraus. 

Lösung der inhomogenen Differentialgleichung 

Wenn nicht die Entladung sondern die Aufladung des Kondensators in einem Schwingkreis 

untersucht wird, muss die inhomogene DGL 4.18 gelöst werden. Dies geschieht, indem man 

eine beliebige partikuläre Lösung dieser Glg. sucht. Da in diesem Fall der inhomogene Teil 

eine Konstante ist, erfüllt Qp = CU0 die DGL. Zu allen allgemeinen Lösungen der homogenen 

DGL tritt der partikuläre Teil additiv hinzu. Bei allen drei im folgenden aufgeführten Fällen 

sind die Anfangsbedingungen gegeben durch: 

Kriechfall (δ > ω0, D > 1) 

Die allgemeine Lösung lautet: 

Q(0) = 0 und 

Q(t) = 

“ 

−δ+ 

CU0 + A · e 

√ δ 2 −ω 2 0 

dQ(0) 

dt 

= I(0) = 0 

” 

“ √ ” 

t −δ− δ2−ω2 0 t 

+ B · e 

Mit den Anfangsbedingungen findet man für die Integrationskonstanten: 

A = −CU0 · δ + δ 2 − ω 2 0 

2 δ 2 − ω 2 0 

B = CU0 · δ − δ 2 − ω 2 0 

2 δ 2 − ω 2 0


Spannung (V) 

20 

18 

16 

14 

12 

10 

8 

6 

4 

2 

Schwingfall 

Kriechfall 


0 

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 

Zeit (s) 

Strom (A) 

0.15 

0.1 

0.05 

0 

-0.05 

-0.1 

-0.15 


Kriechfall 

Schwingfall 

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 

Abbildung 4.11: Kondensatorspannung und Strom beim Aufladen (Schwingfall, Kriechfall 

und Aperiodischer Grenzfall) 

Aperiodischer Grenzfall (δ = ω0, D = 1) 

Allgemeine Lösung: 

Q(t) = CU0 + e −δt · (A + Bt) 

Mit den Integrationskonstanten A = −CU0 und B = δA folgt für die Lösung: 

Q(t) = CU0 · 1 − e −δt · (1 + δ · t) 

Schwingfall (δ < ω0, D < 1) 

Allgemeine Lösung: 

Q(t) = CU0 + e −δt · (A cos ωt + B sin ωt) 

Mit den Anfangsbedingungen folgt für die Lösung: 

Q(t) = CU0 · 

 

1 − e −δt · 

 

cos ωt + δ 

sin ωt 

ω 

und damit für Spannung UC und Strom I: 

UC(t) = 

 

U0 · 1 − e −δt 


I(t) = 

ω 

CU0 · e −δt 

· ω + δ2 

 

sin ωt 

ω 

 

 

sin ωt 

Zeit (s)


Elektrische und Magnetische Energie 

Der Energiesatz ist ein erstes Integral der zugrunde liegenden Bewegungsgleichung (Differentialgleichung). 

Daher kann man aus dem Energiesatz wieder die DGL herleiten. 

Wenn im Schwingkreis ein Strom fließt, sorgt der Ohmsche Widerstand für Verluste durch 

Umwandlung der Energie in Wärme. Wenn Eges die zur Zeit t noch vorhandene Gesamtenergie 

ist, beträgt die Verlustleistung: − dEges 

dt = I · UR = I2 · R 

Die Gesamtenergie des Schwingkreises setzt sich zu jedem Zeitpunkt aus der Summe der 

magnetischen (Induktivität) und der elektrostatischen Energien (Kapazität) zusammen: 

Eges = 1 

2 LI2 + 1 

2 

Mit der Verlustleistung und mit I = dQ/dt folgt: 

− d 

 

1 

dt 2 LI2 + 1 Q 

2 

2 

= I 

C 

2 R → L · d2Q dQ 

+ R · 

dt2 dt 

Diese Gleichung ist identisch mit Glg. 4.17. 

Q 2 

C 

+ 1 

C 

· Q = 0 

Während des Entladeprozesses, aber auch während des Aufladeprozesses, schwingt die Energie 

zwischen der magnetischen Feldenergie der Spule Emagn = 1 

2LI2 und der elektrischen 

Feldenergie des Kondensators Eel = 1 Q 

2 

2 

hin und her. Bei sehr kleinem Dämpfungsgrad 

C 

(D


mit 

ω = 2π · f = 

 

ω 2 0 − δ 2 , ω0 = 

1 

√ L · C 

und δ = R 

2 · L 

(4.31) 

Wurde der Vorversuch zur Charakterisierung der Spulen nicht durchgeführt, müssen die 

Spulen mit Hilfe der Ergebnisse der Schwingungsversuche charakterisiert werden. Mit den 

Gleichungen 4.31 folgt (siehe auch Abschnitt 4.4.4): 

L = 

1 

(ω 2 + δ 2 ) · C und RL = 

2δ 

(ω 2 + δ 2 ) · C 

− Rgest. 

Wurden die Vorversuche zur Charakterisierung der Spulen und Kondensatoren nicht durchgeführt, 

müssen die Spulen und Kondensatoren mit Hilfe eines R − δ - Diagramms und eines 

ω 2 - δ 2 - Diagramms charakterisiert werden. 


Der Schwingkreis wird gemäß Abbildung 4.12 auf der Rastersteckplatte aufgebaut. Der Strom 

fließt durch Eingang A des Sensor-CASSYs und die Kondensatorspannung wird an Eingang 

B gemessen (ebenfalls am Oszilloskop). Zu Beginn des Experiments wird der Kondensator 

aus der Spannungsquelle S aufgeladen. Zum Start der Schwingung wird der Taster gedrückt, 

welcher dabei die Spannungsquelle S kurzschließt. 

12 V 

INPUT A 

INPUT B 

R 

S 

I 

U 

U 

− + 









1 Spule 250 Windungen 



1 Satz Brückenstecker 


1 Taster 

1 Potentiometer 

Abbildung 4.12: Versuchsaufbau zur Aufnahme von freien, gedämpften Auflade- bzw. 

Entlade-Schwingungen



• Ladespannung U0 am Kondensator einstellen - dazu Spannungsquelle S entsprechend 

einstellen 

• Spannungsquelle S auf EIN (1) bei Messung Entladevorgang, auf AUS (0) mit automatischer 

Umschaltung auf EIN (1) bei Beginn der Messung des Ladevorgangs. 

• Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen das Messintervall auf 10 µs und 

die Anzahl auf 2000 einstellen, entsprechend einer Messzeit von 20 ms. Die Zeitbasis 

am Oszilloskop entsprechend einstellen. 

• Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen weiterhin einen geeigneten 

Trigger für den Entladevorgang bzw. Ladevorgang einstellen! Diesen Trigger auch am 

Oszilloskop einstellen. 

• Messung mit F9 starten (wartet dann auf Triggersignal) 

• Schwingkreis mit Taster schließen (erzeugt Triggersignal) 

• Ohmschen Widerstand R variieren und Messungen wiederholen! 

• Zur Bestimmung des aperiodischen Grenzfalls Potentiometer verwenden (Widerstand 

mit Digitalvoltmeter bei ausgeschalteter Spannungsquelle messen). 


Schwingfall, Frequenzbestimmung 

Erstes Verfahren zur Frequenzbestimmung f: 

Bestimmen sie die mittlere Periodendauer T und dem mittleren Fehler σ T der Schwingung 

aus dem zeitlichen Verhalten der gemessenen Kondensatorspannung UB1 oder des Stromes 

IA1 (Abbildung 4.13b). Benutzen sie dazu entweder die Nulldurchgänge oder die Lage der 

Minima und Maxima der Amplituden. Schätzen sie die Ablesefehler sinnvoll ab. Für die 

Frequenz f gilt dann: 

f = 1 

T 

→ σf 

f = σ T 

T 

Zweites Verfahren zur Frequenzbestimmung f: 

Die Frequenz f der Schwingung lässt sich im Frequenzspektrum ermitteln, welches mittels einer 

Fouriertransformation der gemessenen Kondensatorspannung UB1 bzw. dem gemessenen 

Strom IA1 bestimmt werden kann. Die Frequenz f wird bestimmt mittels Ablesen mit dem 

Auge oder der Peakschwerpunktsmethode und der Fehler muss sinnvoll abgeschätzt werden 

(Abbildung 4.14a). 

Vergleichen sie die beiden Verfahren und bestimmen sie die Frequenzen für verschiedene 

zusätzliche Ohm’sche Widerstände.


b) 

a) 

Abbildung 4.13: a) Auflade- bzw. b) Entlade-Schwingungen


Schwingfall, Bestimmung der Dämpfungskonstanten δ 

Erstes Verfahren: 

Die Amplitude der Kondensatorspannung UC(t) oder des Stroms I(t) nimmt exponentiell 

mit der Zeit ab (Gleichung 4.23) . Für das Verhältnis der Amplituden An gilt: 

An+1 = An · e −δ·(tn+1−tn) → δn = 

 

An ln An+1 

(tn+1 − tn) → δn = 

Schätzen sie den Ablesefehler sinnvoll ab und für den Fehler σδi gilt dann: 

σδn = 1 

 

σAn 

2 2 σAn+1 

· 

+ + (δn · σTn) 2 

Tn 

An 

An+1 

 

An ln An+1 

Bestimmen sie die mittlere Dämpfungskonstante δ und den mittleren Fehler σoverlineδ der 

Dämpfungskonstanten. 

Zweites Verfahren: 

Die Dämpfungskonstante δ und deren Fehler σδ ergeben sich aus der Anpassung einer 

Einhüllenden an die Messung UC(t) (Abbildung 4.14b). 

Vergleichen sie die beiden Verfahren und bestimmen sie die Dämpfungskonstanten für verschiedene 

zusätzliche Ohm’sche Widerstände. 

Wurden der Kondensator und die Spule in den Vorversuchen charakterisiert, dann bestimmen 

Sie die Kreisfrequenz ω, die Dämpfungskonstante δ und vergleichen sie ihre Ergebnisse 

mit den Vorhersagen gemäß den Ergebnissen der Voruntersuchungen, eingesetzt in die Gleichungen 

4.31. 

Wurden die Bauteile nicht in den Vorversuchen charakterisiert, dann wählen sie geeignete 

Auftragungen, um die Spulen (L und RL) und die Kondensatoren (C) aus der Variation der 

Dämpfung zu charakterisieren. 

Die Dämpfungskonstante δ ist linear abhängig von dem Gesamtwiderstand Rges der Schaltung. 

Bei der Autragung des zuätzlich gesteckten Widerstandes R gegen die Dämpfungskonstante 

δ kann aus der Steigung der Geraden die Induktivität L der Spule bestimmt 

werden und aus dem Achsenabschnitt der Restwiderstand der Schaltung (Innenwiderstand 

der Spule RL, Innenwiderstand Amperemeter und Verlustwiderstände). 

Trägt man das Quadrat der Kreisfrequenz ω gegen das Quadrat der Dämpfungskonstanten 

δ auf, so kann aus dem Achsenabschnitt die Kapazität C bestimmt werden. Die Steigung 

der Geraden muss dann auf −1 festgesetzt werden. Alternativ bestimmt man Ci direkt aus 

den Einzelmessungen 

Ci = 

1 

(ω2 i + δ2 i ) · Li 

Tn


und fasst die Einzelergebnisse mit dem gewichteten Mittel zusammen. 

Aufgrund der Umpolarisierung des Dielektrikums des Kondensators und der Ummagnetisierung 

des Spulenmaterials durch die Wechselspannung bzw. Wechselstrom der Schwingung 

treten zusätzliche Verlustwiderstände auf (siehe Anhang 4.6). Berücksichtigen Sie den Beitrag 

der Verlustwiderstände zu den Ergebnissen der Voruntersuchungen und vergleichen Sie 

dies mit ihren Ergebnissen. 

a) b) 

Abbildung 4.14: Beispielmessung einer freien, gedämpften Schwingung (C = 2, 2 µF, Spule 

mit 500 Windungen (L = 9 mH, RL = 2, 2 Ω)). a) Frequenzspektrum mittels Fouriertransformation, 

Anpassung mittels Fanofunktion, b) Anpassung einer Einhüllenden an UC(t) 

Aperiodischer Grenzfall, Bestimmung des Widerstands Rap 

Erhöhen sie den Ohm’schen Widerstand R der Schaltung, bis sich der Kondensator in der 

kürzesten Zeit entlädt. In diesem Fall gilt: 

δ = ω0 → (Rap) 

2 · L = 

 

1 

L 

√ → Rap = 2 · 

L · C C → (R + RL 

 

L 

+ RRest) = 2 · 

C 

Bestimmen sie den Widerstand des aperiodischen Grenzfalls Rap und dessen Fehler σRap und 

vergleichen sie ihr Ergebnis mit den Erwartungen.


4.5 Gekoppelte LC-Schwingkreise 


Ein elektrischer Schwingkreis 1 kann induktiv mit einem zweiten erregten Schwingkreis 2 

koppeln. Der Kreis 1 wird dadurch zu erzwungenen Schwingungen erregt. Die Resonanz tritt 

auf, wenn ω1 = ω2 ist. Dann wird die Erscheinung der Schwebung beobachtet: Die Schwingungsenergie 

pendelt zwischen den Kreisen hin und her (gekoppelte Schwingungen). 

Bei diesem Versuch werden die Fundamentalschwingungen und die Schwebung der gekoppelten 

Schwingkreise aufgezeichnet. Dazu wird das Frequenzspektrum der gekoppelten Schwingkreise 

mit dem Spektrum eines ungekoppelten Schwingkreises verglichen. Das fouriertransformierte 

Signal der gekoppelten Schwingkreise zeigt die Aufspaltung in zwei symmetrisch 

um das ungekoppelte Signal liegende Verteilungen, deren Abstand von der Kopplung der 

Schwingkreise abhängt. 

Ausgehend von den Differentialgleichungen der gekoppelten Schwingkreise: 

Ï1 + k · Ï2 + I1 

L · C 

Ï2 + k · Ï1 + I2 

L · C 

= 0 (4.32) 

= 0 (4.33) 

mit Kopplung k (0 < k < 1) folgen die beiden Eigenfrequenzen ω+ und ω− zu 

ω0 

√ 1 + k = ω+ < ω0 < ω− = ω0 

√ 1 − k . 

Insbesondere ist die Schwingungsfrequenz des gekoppelten Systems gleich (für kleine k). 

→ k1 = 

ω0 

ω+ 

2 − 1, k2 = 1 − 

ω+ + ω− 

2 

ω0 

ω− 

= 

ω0 

√ 1 − k 2 

≈ ω0 

2 

 

2 2 2ω0 σω0 ω0 

, σk = · 

+ · 

1/2 

ω+/− ω+/− ω+/− 

Hinweis: 

Die Aufspaltung in zwei exakt gleich große Signale gelingt nur bei genau gleichen Schwingkreisen. 

Durch Toleranzen der Induktivitäten L und der Kapazitäten C ist das nicht immer 

genau gegeben. Es sollen die Kondensatoren und Spulen verwendet werden, die bei den 

Voruntersuchungen und den freien gedämpften Schwingungen charakterisiert worden sind. 

Die Kopplungen k1 und k2 werden aus den beiden Frequenzen der Fundamentalschwingungen 

(Moden) f1 und f2 berechnet und sollten innerhalb der Fehler den gleichen Zahlenwert für 

die Kopplung ergeben. Für die im weiteren Verlauf gezeigten Messungen trifft das zu, wenn 

σω0 ≈ σω +/− ≈ 10 Hz beträgt. Dann findet man k1 = 0,109, k2 = 0,133 und σk = 0,029. 

σω +/− 

ω+/− 

2

4.5. Gekoppelte LC-Schwingkreise 143 

4.5.2 Analogie zu gekoppelten Pendeln in der Mechanik 

Die Situation der induktiv gekoppelten elektrischen Schwingkreise entspricht der von gekoppelten 

Pendeln (Teil I, Mechanik), mit dem Unterschied, dass die Kopplung bei den 

Schwingkreisen durch Spannungen hervorgerufen wird, die in den Spulen induziert werden. 

In den Differentialgleichungen treten daher Terme der Form kL · ˙ I auf. Die Konstante k 

gibt den Kopplungsgrad an. Das führt im Gegensatz zu gekoppelten Pendeln dazu, dass die 

Kopplungsstärke für beide Fundamentalschwingungen eine Rolle spielt. 

Bei Schwingkreisen, die mit identischen Komponenten aufgebaut werden, gelten die Differentialgleichungen 

(Summen der Spannungen verschwinden): 

I1 

C · dt + L · I1 

˙ + kL · ˙ I2 = 0 (Schwingkreis 1) 

 

I2 

C · dt + L · I2 

˙ + kL · ˙ I1 = 0 (Schwingkreis 2) 

Hier wurden Dämpfungsterme zunächst vernachlässigt. Differentiation nach der Zeit führt 

zu der Standardform der gekoppelten Differentialgleichungen (Gleichungen 4.32, 4.33). Die 

Addition der Gleichungen 4.32 und 4.33 ergibt: 

Durch Umformung findet man: 

( Ï1 + Ï2) + 1 

L C · (I1 + I2) + k · ( Ï1 + Ï2) = 0 

Ï+ + 

1 

LC · (1 + k) · I+ = 0 

wobei I+ = I1 + I2 einer der beiden ’Fundamentalströme’ ist. Daraus erhält man die Kreisfrequenz 

dieser Fundamentalschwingung: 

ω+ = 

1 

LC · (1 + k) = 

ω0 

√ 1 + k 

(4.34) 

ω0 = 1/ √ LC ist dabei die Kreisfrequenz der einzelnen Schwingkreise ohne Kopplung. Diese 

Fundamentalschwingung kann angeregt werden, wenn man in der Schaltung beide Kondensatoren 

in der Art auflädt, dass die Ströme I1 und I2 parallel durch die Spulen fließen 

(Abbildung 4.15a). In gleicher Weise ergibt die Subtraktion der beiden Gleichungen: 

Ï− + 

1 

LC · (1 − k) · I− = 0 

wobei I− = I1 − I2 der zweite ’Fundamentalstrom’ ist. 

Diese Fundamentalschwingung hat die Kreisfrequenz: 

ω− = 

1 

LC · (1 − k) = 

ω0 

√ 1 − k 

(4.35)


a) 

U C1 

C 

1 

+ U0 

L 

C 

L 

1 2 2 

+ 

U 0 

U 

C2 

b) 

U C1 

C 

1 

+ U0 

L 

C 

L 

1 2 2 

Abbildung 4.15: Fundamentalschwingungen zweier gekoppelter Schwingkreise a) gleichsinnige 

und b) gegensinnige Anregung 

Diese Schwingung kann angeregt werden, wenn in der Schaltung die Kondensatoren entgegengesetzt 

aufgeladen werden, so dass die Ströme in entgegengesetzter Richtung durch die 

Spulen fließen (Abbildung 4.15b). 

Beide Fundamentalschwingungen zeigen, wie in der Mechanik, keine Schwebungserscheinungen 

sondern wegen der Dämpfung einen einfachen exponentiellen Abfall der maximalen Amplituden. 

Die Strom-Kombination I+ entspricht dem Fall gleichsinnig ausgelenkter Pendel; 

dies führt zu einer kleinen Schwingungsfrequenz. I− dagegen entspricht den gegensinnig ausgelenkten 

Pendeln (die Kopplung wirkt sich dann stärker aus) und führt zu einer größeren 

Schwingungsfrequenz. 

Wenn man die Frequenzen der Fundamentalschwingungen und vielleicht der nicht-gekoppelten 

Schwingkreise gemessen hat, kann man mit Hilfe der Gleichungen 4.34 und 4.35 den Kopplungsgrad 

der Schwingkreise bestimmen: 

k = f 2 − − f 2 + 

f 2 − + f 2 + 

Wenn durch die Wahl der Anfangsbedingungen ’Schwebung’ eingestellt wird, ergibt sich wie 

in der Mechanik durch die Mittelung der Schwingungsfrequenzen f+ unf f− die Frequenz der 

gekoppelten Schwingung: 

fk = f− + f+ 

2 

≈ f0 , 

und aus der halben Differenz erhält man die Frequenz der Schwebung: 

fschw = f− − f+ 

. 

2 

Berücksichtigung der Dämpfung (einige wichtige Relationen): 

Die Differentialgleichungen für die beiden Fundamentalschwingungen haben dann folgende 

Form: 

Ï+ + 

Ï− + 

R 

· ˙ 

1 

I+ + 

L(1 + k) LC · (1 + k) · I+ = 0 

R 

· ˙ 

1 

I− + 

L(1 − k) LC · (1 − k) · I− = 0 

+ 

U 0 

U 

C2


Mit den Definitionen 

folgt: 

β± = 

R 

2L(1 ± k) , ω2 ±0 = 

Die Lösungen der Gleichungen 4.36 sind: 

1 

LC(1 ± k) 

Ï± + 2β± · ˙ 

I± + ω 2 ±0 · I± = 0 (4.36) 

I± = e −β±t · (a± sin ω±t + b± cos ω±t) 

mit den Kreisfrequenzen ω2 ± = ω2 ±0 − β2 ±. Die Größen a± und b± sind vier Integrationskonstanten, 

die durch die Anfangsbedingungen festgelegt werden. 

Die messbaren Größen sind nicht die Kombinationen I±, sondern die Ströme und z. B. die 

Kondensatorspannungen in den beiden Schwingkreisen. Die Kondensatorspannungen sollen 

jetzt andeutungsweise berechnet werden. Die Ströme in den Schwingkreisen berechnen sich 

durch I1 = (I++I−)/2 bzw. I2 = (I+−I−)/2. Daraus lassen sich die gesuchten Spannungen 

(etwas aufwendig) berechnen: 

U1/2 = 1 

C · 

= 1 

C 

± 1 

C 

 

· e−β+t 

ω 2 +0 

I1/2dt 

· e−β−t 

ω 2 −0 

· { a+ 

2 · (−β+ sin ω+t − ω+ cos ω+t) 

+ b+ 

2 · (−β+ cos ω+t + ω+ sin ω+t)} 

· { a− 

2 · (−β− sin ω−t − ω− cos ω−t) 

+ b− 

2 · (−β− cos ω−t + ω− sin ω−t)} 

Die Anfangsbedingungen werden meist so gewählt, dass die Kondensatoren für t = 0 durch 

die Spannungen U10 und U20 aufgeladen sind und zunächst kein Strom fließt. Aus I1(0) = 

I2(0) = 0 folgt immer b+ = b− = 0. Für die Kondensatorspannungen für t = 0 findet man 

dann 

a+ω+ 

2ω 2 +0 

a+ω+ 

2ω 2 +0 

+ a−ω− 

2ω 2 −0 

− a−ω− 

2ω 2 −0 

= − U10(0) · C 

= − U20(0) · C 

Damit ergeben sich folgende Lösungen für die Kondensatorspannungen: 

• Gleichsinnige Aufladung: U10 = U20 = U0: 

U1 = U2 = U0 · e−β+t 

· (β+ sin ω+t + ω+ cos ω+t) 

Abbildung 4.16a zeigt oben die Spannung am Kondensator 1 und 2. 

ω+


a) 

Spannung (V) 

Spannung (V) 

15 

10 

5 

0 

-5 

-10 

-15 

15 

10 

5 

0 

-5 

-10 

-15 

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 

x 10 -2 

t(s) 

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 

x 10 -2 

t(s) 

b) 

Spannung (V) 

Spannung (V) 

10 

7.5 

5 

2.5 

0 

-2.5 

-5 

-7.5 

-10 

10 

7.5 

5 

2.5 

0 

-2.5 

-5 

-7.5 

-10 

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 

t(s) 

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 

t(s) 

Abbildung 4.16: a) Fundamentalschwingungen und b) Schwebung zweier gekoppelter 

Schwingkreise mit R = 2, 5 Ω, L = 9 mH und C = 1, 0 µF 

• Gegensinnige Aufladung: U10 = −U20 = U0: 

U1 = −U2 = U0 · e−β−t 

· (β− sin ω−t + ω− cos ω−t) 

ω− 

Abbildung 4.16a zeigt unten die Spannung am Kondensator 1. Am 2. Kondensator ist 

die Spannung entgegengesetzt. Die Frequenz ist höher als bei gleichsinniger Aufladung! 

• Schwebung: U10 = U0 und U20 = 0: 

U1/2 = U0 · [e −β+t 1 

· { 

2ω+ 

· (−β+ sin ω+t − ω+ cos ω+t)} 

± e −β−t 1 

· { 

2ω− 

· (−β− sin ω−t − ω− cos ω−t)}] 

Abbildung 4.16b zeigt oben die Spannung am Kondensator 1 und unten am Kondensator 

2. 

Phasenbeziehungen bei gekoppelten Schwingungen 

Um Schwebungsvorgänge aufzuzeichnen, wird der Kondensator des ersten Schwingkreises 

aufgeladen, während der des zweiten Schwingkreises ungeladen bleibt. Wenn beide Schwingkreise 

über die Spulen miteinander gekoppelt sind und der Schwingungsvorgang gestartet 

wird, erwartet man, dass immer dann, wenn z. B. die Kondensatorspannung des ersten 

Kreises einen Nulldurchgang hat, die des zweiten Schwingkreises ein Extremum zeigt und 

umgekehrt.


Beobachtet wird dagegen, dass die Extrema des einen gegen die Nulldurchgänge des anderen 

Schwingkreises verschoben sind. Das liegt an den Dämpfungen in den beiden Kreisen. Bei 

ungedämpften Schwebungen würde die soeben erwähnte Phasenbeziehung exakt gelten. 

Am besten sind die Verschiebungen zu erkannen, wenn man die Einhüllenden der Schwebungsvorgänge 

skizziert. Die Einhüllenden haben die Dämpfung 

β = β− + β+ 

2 

Abbildung 4.17: Schwebung bei gekoppelten Schwingungen 

und die Schwebungskreisfrequenz 

ωschw = ω− − ω+ 

. 

2 

und werden für die hier verwendeten Anfangsbedingungen dargestellt durch: 

U1schm = U0 · e −βt · cos(ωschwt) 

U2schm = −U0 · e −βt · sin(ωschwt) 

Die Nulldurchgänge der Einhüllenden liegen bei: 

t1N = 

1 

· ( 

ωschw 

π 

t2N = 

± nπ) 

2 

1 

· (± nπ) 

ωschw


Differentiation der Einhüllenden nach der Zeit und Nullsetzen liefert für die Extrema der 

Einhüllenden die Zeiten: 

 

1 

−β 

t1E = · arctan ± nπ 

ωschw 

ωschw 

 

1 

ωschw 

t2E = · arctan ± nπ 

β 

ωschw 

Die zeitliche Verschiebung z. B. zwischen den Nullstellen t1N und den Extrema t2E lässt sich 

berechnen und beträgt für Kopplungen k < 0, 2 ungefähr: 

∆t ≈ 

1 

ωschw 

· 

 

π 

2 

− arctan 

 

k 

R · 

 

L 

C 

Für größere Kopplungsstärken wird die Relation komplizierter. Man erkennt bereits hieraus, 

dass für verschwindende Dämpfung (R ≈ 0) der arctan-Term gegen π/2 geht und damit die 

Zeitverschiebung verschwindet. Für große Dämpfung, aber auch für kleine Induktivität und 

große Kapazität, wird die Verschiebung beträchtlich, wie aus Abb. 4.17 zu erkennen ist. 


a) 

12 V 

INPUT A 

INPUT B 

R 

S 

− + 

I 

U 

U 





2 Kondensator 1, 2,2, 4,7, 10 µF 

2 Spulen 250, 500, 1000 Windungen 


1 Taster 

Abbildung 4.18: Aufbau zur Aufnahme der Schwebung von gekoppelten Schwingungen 

Der erste Schwingkreis wird gemäß den Abbildungen 4.18 und 4.19 auf der Rastersteckplatte 

aufgebaut. Die Kondensatorspannung wird an Eingang B des Sensor CASSYs gemessen. Zu 

Beginn des Versuchs wird der Kondensator aus der Spannungsquelle S aufgeladen. Zum Start 

der Schwingung wird der Taster gedrückt, welcher dabei die Spannungsquelle S kurzschließt.

12 V 

INPUT A 

INPUT B 

R 

S 

− 


I 

U 

U 

+ 


12 V 

INPUT A 

INPUT B 

R 

S 

− 

I 

U 

+ 


a) b) 

¡ ¡ 

¡ ¡ 

¡ ¡ 

R 

S 

− 


R 

S 

− 


Abbildung 4.19: Schaltbild zur Aufnahme von gekoppelten Schwingungen bei a) gleichsinniger 

und b) gegensinniger Anregung 

Der zweite Schwingkreis wird separat aufgebaut. Seine Spule wird für die Kopplung der 

Schwingkreise direkt neben die erste Spule gestellt. Es kann die Spannung am zweiten Kondensator 

an Eingang A des Sensor-CASSYs gemessen werden. Bei gleichsinniger bzw. gegensinniger 

Anregung wird ebenfalls der zweite Kondensator aus der Spannungsquelle S 

aufgeladen. Zum Start der Schwingung wird der zweite Taster ebenfalls betätigt, welcher 

dabei die Spannungsquelle S kurzschließt. 


12 V 

INPUT A 

INPUT B 

• Ladespannung U0 einstellen - dazu Spannungsquelle S entsprechend einstellen, Spannungsquelle 

eingeschaltet lassen. 

• Polung der an den Schwingkreisen anliegenden Spannungen bei gleichsinniger bzw. 

gegensinniger Anregung einstellen. 

• Zur Beobachtung der Schwebung nur an einen Schwingkreis Spannung anlegen 

• Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen das Messintervall auf 10 µs 

und die Anzahl auf 2000 einstellen, entsprechend einer Messzeit von 20 ms 

• Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen weiterhin einen geeigneten 

Trigger (z.B. UB1 = 5 V, fallende Tendenz) einstellen! 

• Messung mit F9 starten (wartet dann auf Triggersignal) 

• Schwingkreis mit Taster schließen (erzeugt Triggersignal) 

• Abstand der Spulen und damit die Kopplungsstärke variieren 

I 

U 

U 

+ 

12 V 

INPUT A 

INPUT B 

I 

U 

+ 

¡ ¡ 

¡ ¡ 

¡ ¡



Fall der Schwebung: 

Im ungekoppelten Fall ergibt sich eine gedämpfte harmonische Schwingung (Abbildung 

4.20a). Die gekoppelte Schwingung besitzt die gleiche Einhüllende (Abbildung 4.20a). 

Im ungekoppelten Fall zeigt das Frequenzspektrum nur ein Signal, dessen Frequenz sich 

durch die Berechnung des Signalschwerpunkts ermitteln lässt (Abbildung 4.20b). 

Im gekoppelten Fall spaltet die Frequenz symmetrisch in zwei Frequenzen auf. Die Amplituden 

sind nur halb so groß wie im ungekoppelten Fall und der Abstand hängt von der 

Kopplung ab (Abbildung 4.20b). 

Die Abbildung 4.20c zeigt die gemessenen Spannungsabfälle an den beiden Kondensatoren 

für den Fall der Schwebung bei den gekoppelten Schwingungen. Die Abbildung 4.20d zeigt die 

ungekoppelte und die Fundamentalschwingungen der gekoppelten Schwingungen bei gleichbzw. 

gegensinniger Anregung. 

Bestimmen Sie den Kopplungsgrad k aus diesen verschiedenen Messungen und geben Sie die 

Ergebnisse mit Fehlern an. 

Bestimmen Sie die zeitliche Verschiebung ∆t für den Fall der Schwebung und vergleichen Sie 

dies mit Ihrer Erwartung.


a) 

c) d) 

Abbildung 4.20: a) Ungekoppelter (grüner Verlauf) und gekoppelter Schwingkreis (Schwebung, 

blaue Linie), b) Frequenzspektren der ungekoppelten und der gekoppelten Schwingungen 

c) Spannungsabfälle an den beiden Kondensatoren im Fall der Schwebung, d) Fundamentalschwingungen 

bei gleichbzw. gegensinniger Anregung 

b)


4.6 Anhang 

Verlustfaktoren 

Im Hauptteil des Versuches sollen freie, gedämpfte elektromagnetische Schwingungen untersucht 

werden. Solche Schwingungen in Spannungsabfällen und Strömen gehören streng 

genommen in das Gebiet der Wechselströme, die eingehender im Teil II des Praktikums behandelt 

werden. Um die einzelnen Komponenten besser verstehen zu können, werden Grundlagen 

der Theorie von Teil II bereits hier stark verkürzt zusammen gefasst. 

Wenn eine Reihenschaltung einer idealen Spule (L) und eines idealen Kondensators (C) von 

einem Strom durchflossen wird, gibt es zwischen Strom und Spannungsabfall an L bzw. C 

immer eine Phasenverschiebung von exakt ±90 o . Phasenverschiebungen um beliebige Winkel 

können elegant in der komplexen Gaußschen Zahlenebene (Operatordiagramm) dargestellt 

werden. Reale Komponenten werden auf der Realteil-Achse (x-Achse), imaginäre Anteile auf 

der Imaginärteil-Achse (y-Achse) aufgetragen. Eine genauere Diskussion zeigt folgendes: 

• Bei rein Ohmschen Widerständen sind, wegen der Gültigkeit des Ohmschen Gesetzes, 

Strom und Spannung in Phase. Der Ohmsche Widerstand ist rein reell. Im Operatordiagramm 

wird der Ohmsche Widerstand R auf der reellen Achse aufgetragen. 

• Bei einem idealen Kondensator ist die Situation komplizierter. Solche Kondensatoren 

existieren real nicht! 

Mit den Relationen UC(t) = Q(t)/C bzw. dUC/dt = I/C kann man zeigen, daß der 

Strom der Spannung um π/2 vorauseilt. Dies wird durch den rein imaginären kapazitiven 

Widerstand XC = −i/(ωC) bewirkt. Im Operatordiagramm wird XC auf der 

imaginären Achse in negativer Richtung aufgetragen. 

• Bei einer idealen Spule eilt der Strom wegen UL = L · dI/dt der Spannung um π/2 

nach. Der ideale induktive Widerstand XL = iωL ist ebenfalls rein imaginär und wird 

in positiver Richtung aufgetragen. 

Im Ohmschen Widerstand geht elektrische Energie verloren, da sie in Joulesche Wärme umgewandelt 

wird. Das ist nur möglich, weil hier U und I in Phase sind. Wenn dagegen U und 

I um 90 o gegeneinander phasenverschoben sind, wird im zeitlichen Mittel keine elektrische 

Leistung verbraucht. Ideale Kondensatoren und Spulen haben diese Eigenschaft, sie sind 

verlustfrei. Diese Betrachtungen gelten nur, wenn es zu Schwingungen kommt. 

Reale Kondensatoren und Spulen haben elektrische Verluste. Sie werden in realen oder fiktiven 

sog. Ohmschen Verlustwiderständen zusammen gefaßt. Im folgenden wird eine stark 

vereinfachte Darstellung gezeigt, nach der solche Verlustwiderstände charakterisiert werden 

können. 

Ohmsche Widerstände sollen hier nicht diskutiert werden. Sie haben zwar meist neben den 

rein Ohmschen Anteilen auch kapazitive und induktive Komponenten, diese sind aber bei 

diesem Versuch vernachlässigbar klein.

4.6. Anhang 153 

Spulen: Die Verluste bei Spulen nehmen im allgemeinen mit steigender Frequenz zu. 

Ursachen für Verluste: 

• Ohmscher Widerstand der Spulenwicklung (frequenzunabhängig) 

• Skineffekt (frequenzabhängig), er muss beachtet werden bei 

Drahtdurchmesser = 1 mm ab etwa 100 kHz, 

Drahtdurchmesser = 0,1 mm ab etwa 10 MHz, 

Drahtdurchmesser = 0,01 mm ab etwa 1 GHz. 

spielt daher bei diesem Versuch keine Rolle. 

• Hysteresis- und Wirbelstromverluste im Kernmaterial und Spulendrahtmaterial 

Da der Spulenstrom für die Induktivität der Spule wesentlich ist, wird der Verlustwiderstand 

meist als Reihenwiderstand dargestellt. Kleine Verluste sind dann gleichbedeutend mit kleinen 

Verlustwiderständen. Den Verlustwinkel θL kann man im Zeigerdiagramm ablesen, 

in dem der rein imaginäre induktive Widerstand XL = iωL gegen den reellen Ohmschen 

Widerstand der Spule RL aufgetragen wird. 

Es gilt für den komplexen Widerstand XL = RL + iωL. 

Für den Verlustwinkel gilt: 

= dL. 

ωL 

Dies ist auch gleichzeitig der Verlustfaktor der Spule, den man oft mit dL kennzeichnet. 

Er wird für die meist kleinen Verlustwinkel durch den Winkel selbst angenähert (dL ≈ θL). 

tan θL = RL 

Kondensatoren: Die Verluste bei Kondensatoren nehmen im allgemeinen mit steigender 

Frequenz ab. 

Ursachen für Verluste: 

• Geringe Leitfähigkeit des Dielektrikums und Widerstand der Zuleitungen und Folien 

bei Folienwiderständen, 

• Geringe Wärmeentwicklung im Dielektrikum durch ständige Umpolarisation der Moleküle. 

Da die Kondensatorspannung für die Kapazität des Kondensators wesentlich ist, wird der 

Verlustwiderstand meist als Serienwiderstand dargestellt. Kleine Verluste sind dann gleichbedeutend 

mit kleinen Verlustwiderständen. Den Verlustwinkel θC kann man im Zeiger- 

diagramm ablesen, in dem der rein imaginäre kapazitive Widerstand XC = −i 

ωC 

reellen Ohmschen Widerstand des Kondensators RC aufgetragen wird. 

Es gilt dann für den Verlustwinkel gilt: 

tan θC = ω · C · RC = dC. 

gegen den 

Dies ist auch gleichzeitig der Verlustfaktor des Kondensators, den man oft mit dC 

kennzeichnet. Er wird für die meist sehr kleinen Verlustwinkel durch den Winkel selbst 

angenähert (dC ≈ θC).


Bauteile Verlustfaktor 

100 Hz 1000 Hz 

Kondensatoren tan δC tan δC 

1 µF 2, 0 · 10 −3 2, 9 · 10 −3 

2,2 µF 1, 7 · 10 −3 3, 3 · 10 −3 

4,7 µF 2, 0 · 10 −3 3, 5 · 10 −3 

10 µF 1, 8 · 10 −3 4, 1 · 10 −3 

Spulen tan δL tan δL 

N=250 0,41 0,047 

N=500 0,40 0,049 

N=1000 0,41 0,045 

Tabelle 4.4: Experimentell bestimmte Verlustfaktoren der im Praktikum verwendeten Kondensatoren 

und Spulen 

a) 

ωL 

δ L 

RL 

b) 

−1 

ωC 

δ C 

RC 

Abbildung 4.21: Operatordiagramm für Verlustwiderstand a) einer Spule, b) eines Kondensators

Charakterisierung der Ohmschen Widerstände Auf

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