Praktikums-Anleitung Teil I - I. Physikalisches Institut B

Anfängerpraktikum Physik
Teil I
RWTH Aachen
I. Physikalisches Institut B
Prof. Dr. W. Braunschweig, Prof. Dr. K. Eggert, Prof. Dr. L. Feld,
Dr. S. Fopp, Dr. Th. Kirn, Dr. K. Klein, Dr. S. König,
Priv. Doz. Dr. W. Krenz, Dr. A. Ostaptschouk, Dr. D. Pandoulas,
Prof. Dr. F. Raupach, Prof. Dr. St. Schael, Dr. G. Schwering,
Dr. Th. Siedenburg, Prof. Dr. W. Wallraff
http://www.physik.rwth-aachen.de/phys1b/∼kirn/praktikum
Version vom 10.09.2004
1

Inhaltsverzeichnis
0 Einleitung 5
0.1 Arbeitsablauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
0.2 Benutzung der Notebooks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
0.3 Versuchsvorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
0.4 Bewertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
0.5 Zeitlicher Ablauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1 Mechanik 10
1.1 Bestimmung der Erdbeschleunigung mit dem Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.1 Das mathematische Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.2 Das physikalische Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.3 Versuchsaufbau und Durchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Schwingungen von gekoppelten Pendeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.1 Die Bewegungsgleichung für das gekoppelte Pendel . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.2 Messgrössen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.3 Versuchsaufbau und Durchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3 Trägheitsmomente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.2 Versuchsbeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.3 Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.4 Hinweise zum Experimentieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.3.5 Bestätigung von J = f(r 2 ) und Bestimmung des Direktionsmomentes D . . 31
1.3.6 Vergleich der Trägheitsmomente von Zylindern gleicher Masse mit verschiedener
Massenverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.3.7 Trägheitsmoment der Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.3.8 Bestätigung des Steinerschen Satzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2 Akustik 36
2.1 Schallgeschwindigkeit in Gasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.1.1 Versuchsziel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.1.2 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.1.3 Vorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1.4 Messung und Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2 Schallgeschwindigkeit in Festkörpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2.1 Versuchsziel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2

INHALTSVERZEICHNIS 3
2.2.2 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2.3 Messung und Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3 Schwebungen von Schallwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.3.1 Versuchsziel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.3.2 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.3.3 Messung und Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.4 Doppler-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.4.1 Versuchsziele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.4.2 Physikalische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.4.3 Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.4.4 Versuchsdurchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3 Wärmelehre 72
3.1 Dampfdruckkurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.1.1 Theoretische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.1.2 Versuchsaufbau und Durchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.1.3 Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.2 Adiabatic Coefficient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.2.1 Rüchardt method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.2.2 Setup and Carrying out the Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4 Elektrizitätslehre 97
4.1 Charakterisierung der Ohmschen Widerstände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.1.1 Versuchsbeschreibung: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.1.2 Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.1.3 Versuchsdurchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.1.4 Versuchsauswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.2 Auf- und Entladung eines Kondensators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.2.1 Versuchsbeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.2.2 Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.2.3 Versuchsdurchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.2.4 Versuchsauswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.3 Auf- und Entladung einer Spule (optional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.3.1 Versuchsbeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.3.2 Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.3.3 Versuchsdurchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.3.4 Versuchsauswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.4 Gedämpfter LC-Schwingkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.4.1 Versuchsbeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.4.2 Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.4.3 Versuchsdurchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.4.4 Versuchsauswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.5 Gekoppelte LC-Schwingkreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.5.1 Versuchsbeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.5.2 Analogie zu gekoppelten Pendeln in der Mechanik . . . . . . . . . . . . . . 128

4 INHALTSVERZEICHNIS
4.5.3 Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.5.4 Versuchsdurchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.5.5 Versuchsauswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.6 Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

Kapitel 0
Einleitung
In dem Anfängerpraktikum für Physiker sollen die Studenten moderne Arbeitsmethoden in der
Physik kennen- und anwenden lernen. Dabei sollen folgende Kompetenzen erworben werden:
• Anwendung physikalischen Wissens aus den Vorlesungen
• Aufbau eines Experimentes
• Computerunterstützte Messung und Auswertung
• Präsentation der Ergebnisse
• Arbeiten in der Gruppe
Die Studenten sollen sich intensiv mit dem Versuch, dem physikalischen Hintergrund, den Messmethoden
und der Auswertung der Daten auseinandersetzen. Für jeden Versuch stehen daher 2,5
Tage zur Verfügung.
Das Praktikum wird wie folgt gegliedert:
• Die Studenten erarbeiten insgesamt vier Versuche in vier Wochen aus den Arbeitsgebieten:
Mechanik, Akustik, Wärmelehre und Elektrizitätslehre.
• Der Stoff orientiert sich an der Vorlesung.
• Eine Arbeitsgruppe besteht aus vier Studenten und einem Tutor. Jeder Tutor betreut einen
Versuch während der vier Wochen und jeweils zwei Arbeitsgruppen gleichzeitig.
• Maximal vier Arbeitsgruppen arbeiten in einem Raum unter der Betreuung von zwei Tutoren.
Zu Beginn des Praktikums gibt es eine zweitägige (im WS eintägige) Veranstaltung, in der den
Studenten Grundkenntnisse in Fehlerrechung (Statistik) und in Gerätekunde vermittelt werden.
Diese Lehrveranstaltungen sind kombinierte Vorlesungen und Übungen.
Für jeden der Versuche gibt es einen oder zwei verantwortliche Physiker am I. Physikalischen
Institut an die sich die Studenten mit Problemen, Fragen und Anregungen zur Versuchsbeschreibung
oder Durchführung wenden können (siehe Tabelle 0).
5

6 KAPITEL 0. EINLEITUNG
Versuch Name Telefon Raum
802- 28-
1. Mechanik
1.1 Mathematisches Pendel Prof. W. Braunschweig 7180 A212
1.1 Doppelpendel Prof. W. Braunschweig 7180 A212
1.3 Trägheitsmomente Prof. W. Wallraff 7187 B208
2. Akustik
2.1 Schallgeschwindigkeit in Gasen Dr. Th. Siedenburg 7186 B203
2.2 Schallgeschwindigkeit in Festkörpern Dr. Th. Siedenburg 7186 B203
2.3 Schwebungen von Schallwellen Dr. Th. Siedenburg 7186 B203
2.4 Dopplereffekt Dr. G. Schwering 7202 C208
3. Wärmelehre
3.1 Dampfdruckkurve Dr. K. Klein 7205 C203
3.2 Adiabatenkoeffizienten Dr. A. Ostaptchouk 7182 B209
4. Elektrizitätslehre
4.1 Charakterisierung Ohmscher Widerstände Dr. Th. Kirn 7186 B203
4.2 Auf- und Entladung von Kondensatoren Priv. Doz. Dr. W. Krenz 7206 A214
4.3 Auf- und Entladung von Spulen
4.4 LC-Schwingkreis
4.5 Gekoppelte Schwingungen
Tabelle 1: Verantwortliche Physiker für die Versuche im Anfängerpraktikum Physik, Teil I.

0.1. ARBEITSABLAUF 7
0.1 Arbeitsablauf
Das Praktikum wird im Sommersemester (Wintersemester) für 192 (32) Studenten ausgelegt,
die in 48 (8) Arbeitsgruppen A01-A16 (A01-A04), B01-B16 (B01-B04) und C01-C16 eingeteilt
werden. Die A- und B-Gruppen sind vormittags (von 08:30 Uhr bis 13:00 Uhr) im Wechsel und
die C-Gruppen nachmittags (von 14:00 Uhr bis 18:30 Uhr) jeweils drei Tage aktiv und bereiten
einen Tag die Versuche vor.
• 1. Tag:
Besprechung mit dem Tutor, Erarbeitung eines geeigneten Versuchsaufbaus. Versuchsaufbau,
incl. Inbetriebnahme aller für die Messung erforderlicher Geräte und Computer. Pro
Arbeitsgruppe sollen zwei Versuchsaufbauten in Betrieb genommen werden, die identisch
oder unterschiedlich sein können, je nach Fragestellung. Die Messdaten werden aufgezeichnet
und die Auswertung soweit durchgeführt, dass erste, vorläufige Ergebnisse diskutiert
werden können.
• 2. Tag:
Die Auswertung der Versuche wird im CIP-Pool der Physik oder auf eigenen Computern
zu Hause weitergeführt und abgeschlossen. Das Protokoll und die Abschlusspräsentation
werden von der Arbeitsgruppe gemeinsam erarbeitet.
• 3. Tag:
Die Arbeitsgruppe gibt direkt zu Beginn ein Protokoll ab, welches die Messergebnisse beider
Versuchsaufbauten beschreibt und vergleicht. Die Tutoren lesen und bewerten das Protokoll.
Im Anschluß werden die Versuchsergebnisse in den Arbeitsgruppen präsentiert und
diskutiert. Die Präsentation erfolgt für die maximal vier Arbeitsgruppen, die an dem gleichen
Arbeitsgebiet (Mechanik, Akustik, Wärmelehre, E.-Lehre) experimentiert haben, zusammen
in einem Raum. Die beiden betreuenden Tutoren wählen aus allen Präsentationen
die für ihren Versuch Beste aus.
Die Studenten wählen aus, welchen Versuch aus einem Arbeitsgebiet sie durchführen wollen. Dies
ist natürlich nur in dem Umfang möglich, wie es die vorhandenen Versuchsaufbauten zulassen.
Die Studenten müssen sich daher auf alle Versuche eines Arbeitsgebietes vorbereiten.
Das Praktikum wird mit einem Kolloquium und der Vorstellung der besten Präsentationen durch
die Arbeitsgruppen für jeden Versuch am Ende der vier Wochen abgeschlossen. Die Abschlusspräsentationen
sollen den Studenten noch einmal eine Wiederholung der Lehrinhalte des Praktikums
ermöglichen und damit eine gute Vorbereitung auf das abschliessende Kolloquium sein.
Alle Studenten wählen am vorletzten Tag aus diesen Präsentationen die Beste aus. Dieser Student
und die punktbeste Arbeitsgruppe werden mit einem Sachpreis ausgezeichnet.
Jeder Student aus einer Gruppe muss in den vier Wochen mindestens einmal:
• einen Versuch aufgebaut haben,
• die Ergebnisse der Gruppe präsentiert haben und
• ein Protokoll auf dem Computer erstellt haben.

8 KAPITEL 0. EINLEITUNG
0.2 Benutzung der Notebooks
Für die Durchführung der Versuche erhält jede Arbeitsgruppe zwei Notebooks. Diese stehen nur
für die Arbeiten im Praktikum zur Verfügung und können nicht mit nach Hause genommen
werden. Auf den Notebooks läuft als Betriebssystem Windows XP und UNIX. An Software ist
das CASSY-Messwerterfassungssystem (siehe http://www.leybold-didactic.de), das OpenOffice
1.1.0 und das Numerik Programm Maple 9.0 installiert. Weiterhin steht eine Digitalkamera zur
Verfügung, um die Versuchsaufbauten zu dokumentieren. Protokolle und Präsentationen sollten
mit OpenOffice 1.1.0 erstellt werden. Die statistische Auswertung der Versuche (Mittelwerte,
lineare Regression, etc.) sollen mit MAPLE durchgeführt werden.
Die Studenten haben nur Schreibzugriff auf den User-Bereich. Als ersten Arbeitsschritt legt jeder
Student, sobald er ein Notebook erhält, im User-Bereich ein Verzeichnis mit seinem Namen an. In
diesem Verzeichnis sollten alle Dateien, die zu dem Versuch gehören, abgespeichert werden und
am Ende der eintägigen Arbeitsphase auf Disketten oder USB-Memory-Sticks überspielt werden.
Der User-Bereich wird bei jedem Wechsel zwischen A- , B- und C-Gruppen gelöscht, so dass alle
ungesicherten Daten unwiederbringlich verloren sind.
Alle Notebooks sind über ein WLAN vernetzt und haben somit auch Zugang zum Internet. Alle
Versuchsergebnisse können über scp zum CIP-Pool Bereich oder nach Hause überspielt werden.
Eine ssh Verbindung (Programm Putty) zu dem CIP-Pool können die Studenten herstellen.
Für Experten sind auf den Notebooks zusätzlich die Programmpakete LATEX (TEXnicCenter,
Textverarbeitung) und GHOSTSCRIPT/GHOSTVIEW (Verarbeitung von Post-Script-Dateien)
installiert. Es stehen die Texteditoren GVIm und XEmacs zur Verfügung, um eigene C-Programme
zu erstellen. Mit dem Grafikprogramm GIMP können die Bilder von der Digitalkamera bearbeitet
werden und Screen-Shots erstellt werden. Zusätzlich sind für einige Versuche spezielle Programme
installiert (z.B. Digitaloszilloskope) die in den Anleitungen näher erläutert sind.
0.3 Versuchsvorbereitung
Die Versuchsbeschreibungen sollen den Studenten eine qualifizierte Vorbereitung auf den Versuch
ermöglichen und eine Anleitung für die Versuchdurchführung sein. Die physikalischen Grundlagen
zu den Versuchsthemen werden in den Versuchsanleitungen nur bedingt hergeleitet. Es ist daher
unerlässlich, entsprechende Physikbücher für die Vorbereitung zu verwenden. Besonders geeignet
sind die folgenden Bücher:
• W. Walcher, ”Praktikum der Physik”, Teubner Taschenbuch.
• Demtröder, ”Experimentalphysik”, Band 1 und 2.
• P.A. Tipler, ”Physik”, Spektrum Verlag.
• Gerthsen, Kneser, Vogel, ”Physik”, Springer Verlag

0.4. BEWERTUNG 9
0.4 Bewertung
Die erbrachten Leistungen werden für jeden Versuch durch die Tutoren im Rahmen eines Punktesystems
testiert. Dabei werden die verschiedenen Arbeitsschritte mit 0, 2, 4, 6, 8 oder 10 Punkten
beurteilt. Bei der Durchführung des Versuches wird jeder Student individuell durch den Betreuer
bewertet. Für das Protokoll erhält jeder Student der Gruppe dieselbe Punktzahl. Die Präsentation
wird für denjenigen Studenten einer Gruppe gewertet, der die Präsentation vorträgt. Sie
wird doppelt gewertet, also mit 0, 4, 8, 12, 16 oder 20 Punkten. Ein Student kann somit maximal
100 Punkte in dem Praktikum erreichen, 51 Punkte sind mindestens erforderlich um zum
abschliessenden Kolloquium zugelassen zu werden. Wer mindestens 81 Punkte erreicht, braucht
an dem Kolloquium nicht mehr teilzunehmen. Die Studenten, die am Tag vor dem Kolloquium
eine der Abschlusspräsentationen gehalten haben, brauchen an dem Kolloquium ebenfalls nicht
mehr teilzunehmen.
In besonderen Härtefällen entscheidet der zuständige Praktikumsleiter über die Zulassung zum
Kolloquium. Wird das Kolloquium nicht bestanden, kann es einmal wiederholt werden. Wird
auch das zweite Kolloquium nicht bestanden, muss das Praktikum wiederholt werden.
Studenten die mehr als einmal nicht auf einen Versuch vorbereitet sind, müssen das Praktikum
wiederholen. Aus Krankheitsgründen kann ein Student bei einem Versuch entschuldigt fehlen
(ärztliches Attest muss vorgelegt werden), bei zwei Versuchen muss das Praktikum wiederholt
werden.
Studenten die ihre Versuchsergebnisse, Protokolle oder Präsentationen nicht selber
erarbeiten sondern abschreiben, werden von dem Praktikum unverzüglich ausgeschlossen.
0.5 Zeitlicher Ablauf
Das Praktikum beginnt mit der Einführungsveranstaltung und endet mit der Abschlussbesprechung
und dem Kolloquium. Der zeitliche Ablauf des Praktikums, die Raumeinteilung, sowie die
Einteilung der Studenten in die Arbeitsgruppen wird gesondert bekannt gegeben. Die Einteilung
der Studenten in das Kolloquium wird in der Abschlussbesprechung bekannt gegeben.
Das Praktikum ist von 08:30 Uhr bis 18:30 Uhr für die Studenten geöffnet.

Kapitel 1
Mechanik
1.1 Bestimmung der Erdbeschleunigung mit dem Pendel
Aufgaben
In diesem Experiment werden die Schwingungen eines physikalischen Pendels untersucht. Aus
den Messungen der Schwingungsdauern bei verschiedenen Pendellängen wird die Erdbeschleunigung
ermittelt.
Vorkenntnisse/Grundlagen :
Schwerpunktssatz, Beschreibung von Schwingungen, Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung,
Drehmoment, Trägheitsmoment, Direktionsmoment, einfache lineare Differentialgleichungen.
Literatur :
• Paul A.Tipler : Physik
Spektrum Lehrbuch, ISBN 3-86025-122-8, S.379 - S.399
• W.Walcher : Praktikum der Physik
Teubner Studienbücher Physik, ISBN 3-519-13038-6, S.83 - S.89
• F.Kohlrausch : Praktische Physik 1
ISBN 3-519-23001-1 S.62 - S.64 (Orts-und Zeitabhängigkeit der Erdbeschleunigung)
• F.Kohlrausch : Praktische Physik 3
ISBN 3-519-23000-3 S.293 - S.295 (Tabellenwerte der Erdbeschleunigung)
10

1.1. BESTIMMUNG DER ERDBESCHLEUNIGUNG MIT DEM PENDEL 11
1.1.1 Das mathematische Pendel
Das einfache mathematische Pendel besteht aus einer punktförmigen schweren Masse mS, die an
einem masselosen Faden der Länge l aufgehängt ist. In der Ruhelage bewirkt die Schwerkraft
Fg = mS ·g mit g als Erdbeschleunigung, dass das Pendel senkrecht hängt. Nach Auslenkung aus
der Ruhelage um einen kleinen Winkel ϕmax (klein bedeutet hier sinϕmax ∼ ϕmax) bewirkt xFg
ein rückstellendes Drehmoment, das das Pendel wegen seines Trägheitsmomentes in harmonische
Schwingungen versetzt. Die Bewegungsgleichung lautet
J · ¨ϕ = −mS · g · l · sin(ϕ) ∼ −mS · g · l · ϕ (1.1)
wobei J = mT · l 2 das Trägheitsmoment der trägen Masse mT in der Entfernung l vom Aufhängpunkt
ist und die rechte Seite das rücktreibende Drehmoment darstellt; ϕ ist der momentane
Auslenkwinkel und ¨ϕ = d 2 ϕ/dt 2 die momentane Winkelbeschleunigung. Mit mT = mS (Einstein’sches
Äquivalenzprinzip der Gleichheit von schwerer und träger Masse) wird die Bewegung
unabhängig von den Massen :
¨ϕ = − g
l · ϕ = −ω2 · ϕ (1.2)
Dies ist eine lineare, homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung deren allgemeine Lösung
eine harmonische Schwingung darstellt :
ϕ(t) = A · cos(ωt) + B · sin(ωt) (1.3)
ω = � g
ist die Kreisfrequenz der Schwingung. Die Anfangsbedingungen legen die Integrations-
l
konstanten A und B fest. Mit ϕ(t = 0) = ϕmax und ˙ϕ(t = 0) = 0 (Start der Pendelbewegung
vom Auslenkwinkel ϕmax ohne Anfangswinkelgeschwindigkeit) ergibt sich
Die Schwingungsdauer beträgt
bzw.
ϕ(t) = ϕmax · cos(ωt) (1.4)
T = 2π
ω
= 2π ·
�
l
g
(1.5)
T 2 = 4π 2 · 1
· l (1.6)
g
Das Quadrat der Schwingungsdauer wächst linear mit der Pendellänge l.

12 KAPITEL 1. MECHANIK
1.1.2 Das physikalische Pendel
Die Beqwegungsgleichung für ein physikalisches Pendel, d.h. eines ausgedehnten, massebehafteten
Systems, das um einen Aufhängepunkt bzw. um eine Achse schwingen kann, ist formal mit der
des mathematischen Pendels identisch :
bzw.
Mit ω 2 = ( 2π
T )2 wird die Schwingungsdauer T dann
J · ¨ϕ = −m · g · ls · ϕ = −ω 2 · ϕ (1.7)
· ¨ϕ = −ω 2 · ϕ (1.8)
T 2 = 1
g · 4π2 · J
mls
Das rücktreibende Drehmoment wird wieder von der Schwerkraft erzeugt. Nach dem Schwerpunktssatz
verhält sich das System so, als ob die Gesamtmasse m im Schwerpunkt konzentriert
ist. Demgemäss ist ls die Distanz von Aufhängepunkt bzw. Drehachse zum Schwerpunkt S. Die
Trägheit ist gegeben durch das Gesamtträgheitsmoment J um die Drehachse. Das vorliegende
physikalische Pendel besteht aus dem Winkelaufnehmer-Profil, der Pendelstange und dem
zylindrischen Pendelkörper (Abb. 1.1).
Bestimmung des Schwerpunktes
(1.9)
• Die Pendelstange der Masse mst hat einen über die Gesamtlänge lst konstanten Querschnitt;
ihr Schwerpunkt S liegt in der Stangenmitte. Die Entfernung von S von der Drehachse ist
lst/2 + rw, wobei rw die Distanz von Drehachse zum Anfang der Stange ist.Die Breite der
Stange (senkrecht zur Drehachse) ist bst.
• Der Schwerpunkt des zylindrischen Pendelkörpers der Masse mp liegt im Zentrum des
Zylinders; seine Entfernung von der Drehachse ist lp.
• Das Winkelaufnehmerprofil der Gesamtmasse mw wird als symmetrischer Hohlzylinder angenähert,
wobei die Symmetrieachse die Drehachse ist. Der Schwerpunkt wird also als in
der Drehachse liegend angenommen.
Für die Lage des Gesamtschwerpunktes ergibt sich damit
m · ls = ( 1
2 · lst + rw) · mst + lp · mp
Bestimung des Gesamtträgheitsmomentes
(1.10)
Das Trägheitsmoment J einer Massenverteilung bezüglich einer Drehachse ist gegeben durch den
Ausdruck
�
J = r 2 dm (1.11)
wobei r die Entfernung des Massenelementes dm von der Drehachse ist und über die gesamte
Verteilung integriert wird.

1.1. BESTIMMUNG DER ERDBESCHLEUNIGUNG MIT DEM PENDEL 13
Abbildung 1.1: Pendel im Versuchsaufbau
• Für die Pendelstange ergibt sich für das Trägheitsmoment um ihre Symmetrieachse
Jst,◦ = 1
12 · mst · (l 2 st + b 2 st) (1.12)
• Nach dem Steinerschen Satz folgt für das Trägheitsmoment um die Drehachse
Jst = Jst,◦ + mst · (rw + 1 2
lst)
2
• Für das Trägheitsmoment des Pendelkörpers folgt
Jp = 1
2 mpr 2 p + mpl 2 p
(1.13)
(1.14)
• Für den als Hohlzylinder angenäherten Winkelaufnehmer mit Symmetrieachse in der Drehachse
folgt
Damit wird das Gesamtträgheitsmoment
Jw = mw · r 2 w
J = Jp + Jst + Jw = mp · l 2 p + K1
(1.15)
(1.16)

14 KAPITEL 1. MECHANIK
Der erste Term auf der rechten Seite ist dominant, für K1 ergibt sich
K1 = mst · ( 1
3 l2 st + rwlst + 1
12 b2st + r 2 w) + mw · r 2 w + 1
2 mpr 2 p
Damit ergibt sich für das Quadrat der Schwingungsdauer (s.Gl.(8) und Gl.(9))
mit
T 2 = 4π2
g · mpl 2 p + K1
mplp + K2
K2 = ( 1
2 lst + rw) · mst
Nach Division von Zähler und Nenner in Gl.(17) durch mp wird
Die Grössen K1
mp
und K2
mp
Bestimung der Erdbeschleunigung g
T 2 = 4π2
g · l2 p + K1
mp
lp + K2
sind kleine, aber keineswegs vernachlässigbare Korrekturen.
mp
(1.17)
(1.18)
(1.19)
(1.20)
Die Messung der Erdbeschleunigung g kan auf zweierlei Wegen erfolgen. Zum einen können die
Schwingungsdauern für verschiedene Werte von lp = l0+x+rp (s.Abb. 1.1) gemessen werden. Mit
Hilfe einer sogenannten Tiefenlehre wird zunächst der Abstand l0 genau vermessen und dann der
Abstand x. Zur Auswertung wird der Ausdruck T 2 ·(l0+x+rp+ K2
mp ) gegen (l0+x+rp) 2 aufgetragen.
Aus der Steigung der Geraden wird g ermittelt. Aus dem Achsenabschnitt ergibt sich ein Wert
für K1 der mit dem berechneten verglichen werden kann. Die Massen und die geometrischen
Grössen zur Bestimmung der Korrekturfaktoren K1 und K2 werden zuvor gemessen.
Eine weitere Möglichkeit g zu bestimmen besteht darin, das Pendel als mathematisches Pendel
zu behandeln, und den systematischen Fehler, der durch das Trägheitsmoment JSt und das
Rückstellmoment DSt · ϕ der Stange auftritt, zu minimieren.
Man geht dabei so vor, daß zunächst die Schwingungsfrequenz der Stange allein bestimmt wird.
Danach wird die Masse an der Stelle angebracht, an der die Kombination Stange/Pendel dieselbe
Eigenfrequenz hat wie die Stange allein. In diesem Fall beeinflussen sich Masse und Stange nicht,
und man kann die Formeln für das mathematische Pendel verwenden.
Dies ist auch leicht aus den Gleichungen zu ersehen. Für die Stange allein gilt:
Für die Masse allein gilt:
ω 2 st = Jst
Dst
ω 2 m = Jm
Dm
(1.21)
(1.22)
Man beachte, daß Jm nicht das Trägheitsmoment des mathematischen Pendels mit Masse m ist,
sondern zusätzlich das Trägheitsmoment des Vollzylinders um die Zylinderachse enthält ( Jm =
Jp, s.Gl. 1.14). Das physikalische Pendel, bestehend aus Stange und Masse hat die Eigenfrequenz:
ω 2 p = Jst + Jm
Dst + Dm
= ω 2 m ·
1 + Jst
Jm
1 + Dst
Dm
= ω 2 st ·
1 + Jm
Jst
1 + Dm
Dst
(1.23)

1.1. BESTIMMUNG DER ERDBESCHLEUNIGUNG MIT DEM PENDEL 15
Hat man nun das Pendel so eingestellt, daß ωp = ωst gilt, so sieht man aus Gl.1.23, daß dann
auch gelten muß: Jst
Jm
= Dst
Dm
. Umgeformt ergibt sich:
Jm
Dm
= Jst
Dst
⇔ ω 2 m = ω 2 st = ω 2 p
1.1.3 Versuchsaufbau und Durchführung
(1.24)
Das Pendel besteht aus einer Masse, die verschiebbar an einer Stange angebracht ist. Die Aufhängung
des Pendels ist ein U-Profil mit zwei Spitzen und zwei Permanentmagneten (Abb.
1.3). Die Spitzen bilden das Lager und werden in die Nut des Winkelaufnehmers gesetzt. Der
Winkelaufnehmer enthält eine Hall-Sonde, die das Magnetfeld senkrecht zur Nut misst. Dreht
sich nun die Aufhängung mit den Permanentmagneten um den Winkelaufnehmer, so liefert die
Hallsonde eine Spannung die proportional zum Sinus des Winkels ist. Für kleine Winkel ist diese
Spannung näherungsweise proportional zum Winkel selbst.
Mit Hilfe von Stativstangen, Tischklemmen und Verbindungsmuffen wird ein Gestell konstruiert,
das den Winkelaufnehmer hält (Abb. 1.2). Der Aufbau sollte so stabil sein, daß bei der
Pendelbewegung die Aufhängung nicht mitschwingt.
Der Winkelaufnehmer kann direkt an das CASSY-Modul über zwei Leitungspaare angeschlossen
werden (Abb. 1.4). Das eine dient zur Spannungsversorgung und ist besonders gekennzeichnet,
das zweite liefert die gemessene Hallspannung. Durch Regeln der Versorgungsspannung kann die
Nulllage eingestellt werden.
Bei der Datenaufnahme wird zunächst die Spannung aufgenommen, die die Schwingung des
Pendels wiedergibt. Anschliessend wird die Fouriertransformierte bestimmt, aus der man die
Frequenz des Pendels erhält. Um ein Maß für den Fehler der Frequenzmessung zu erhalten wird
jede Messung mehrmals durchgeführt und die mittlere quadratische Abweichung des Mittelwertes
bestimmt.
Um die Erdbeschleunigung g zu bestimmen wird die Pendelmasse entlang der Stange verschoben
und die Schwingungsdauer an den verschiedenen Positionen gemessen. Aus dem Verlauf der
Schwingungsdauer als Funktion der Position der Masse kann bei geeigneter Auftragung g ermittelt
werden (Gl. 1.18). Alternativ kann auch das zweite Verfahren benutzt werden. Dabei läßt
man zunächst die Stange ohne Pendelmasse schwingen und bestimmt die Frequenz ωst. Danach
bringt man die Pendelmasse an der Stange an und sucht iterativ die Stelle an der ωp = ωst wird.
Man kann nun die Formeln für das mathematische Pendel anwenden.

16 KAPITEL 1. MECHANIK
Abbildung 1.2: Versuchsaufbau

1.1. BESTIMMUNG DER ERDBESCHLEUNIGUNG MIT DEM PENDEL 17
Abbildung 1.3: Aufhängung des Pendels
Abbildung 1.4: Anschluss des Winkelaufnehmers

18 KAPITEL 1. MECHANIK
1.2 Schwingungen von gekoppelten Pendeln
Aufgaben
In diesem Experiment werden die Schwingungen von zwei Pendeln untersucht, die durch eine
Feder miteinander gekoppelt sind. Für verschiedene Kopplungsstärken werden die Schwingungsdauern
der beiden Grundschwingungen sowie der Schwebung des Systems gemessen und die
Schwebungsdauer mit der Erwartung verglichen.
Vorkenntnisse/Grundlagen :
Federverhalten (Hooke’sches Gesetz),Beschreibung von Schwingungen, Winkelgeschwindigkeit,
Winkelbeschleunigung, Drehmoment, Trägheitsmoment, Direktionsmoment, einfache lineare Differentialgleichungen.
Literatur :
• Paul A.Tipler : Physik
Spektrum Lehrbuch, ISBN 3-86025-122-8, S.379 - S.399
• W.Walcher : Praktikum der Physik
Teubner Studienbücher Physik, ISBN 3-519-13038-6, S.89 - S.98
1.2.1 Die Bewegungsgleichung für das gekoppelte Pendel
Die Anordnung ist schematisch dargestellt in Abb. 1.5. Die Kopplungsfeder ist befestigt in der
Entfernung lF von den Drehachsen. Die (identischen) physikalischen Pendel P 1 und P 2 werden
so montiert, dass die Feder bei Ruhestellung der Pendel gespannt ist. Dadurch hängen die Pendel
in der Ruhestellung (im Gleichgewicht) nicht in der vertikalen V , sondern um den Winkel ϕ◦
nach innen. Das durch die Feder erzeugte Drehmoment ist
MF,◦ = −DF · x◦ · lF
(1.25)
wobei DF die Federkonstante und x◦ ihre Verlängerung gegenüber dem entspannten Zustand
ist. In der Ruhestellung ist MF,◦ entgegengesetzt gleich dem durch die Schwerkraft erzeugten
Drehmoment
MS,◦ = m · g · ls · ϕ◦
(1.26)
wobei ls die Entfernung des Schwerpunktes jedes der beiden Pendel von seiner Drehachse und m
die Gesamtmasse jedes Pendels bedeuten. Wird P 2 um ϕ2 aus der Nullage ausgelenkt, so wirkt

1.2. SCHWINGUNGEN VON GEKOPPELTEN PENDELN 19
insgesamt das Drehmoment
oder
Abbildung 1.5: Gekoppelte Pendel
M2 = −m · g · ls · (ϕ2 − ϕ◦) − DF · (x◦ + lF ϕ2) · lF
M2 = − · g · ls · ϕ2 − DF · l 2 F · ϕ2
(1.27)
(1.28)
Wird ausserdem P 1 um −ϕ1 verschoben, so kommt durch die Feder das Drehmoment DF l 2 F ϕ1
hinzu, so dass sich insgesamt ergibt
Analog wird für P 1
Die Bewegungsgleichungen beider Pendel lauten somit
bzw. mit den Abkürzungen
M2 = −m · g · ls · ϕ2 − DF · l 2 F · (ϕ2 − ϕ1) (1.29)
M1 = −m · g · ls · ϕ1 + DF · l 2 F · (ϕ2 − ϕ1) (1.30)
J · ¨ϕ1 = M1 = −m · g · ls · ϕ1 + DF · l 2 F · (ϕ2 − ϕ1) (1.31)
J · ¨ϕ2 = M2 = −m · g · ls · ϕ2 − DF · l 2 F · (ϕ2 − ϕ1) (1.32)
ω 2 s = mgls
J
Ω 2 = DF l 2 F
J
(1.33)
(1.34)
¨ϕ1 = −ω 2 s · ϕ1 + Ω 2 · (ϕ2 − ϕ1) (1.35)
¨ϕ2 = −ω 2 s · ϕ2 + Ω 2 · (ϕ2 − ϕ1) (1.36)

20 KAPITEL 1. MECHANIK
Dies ist ein System gekoppelter linearer Differentialgleichungen. Die Lösung wird mit Hilfe der
Substitutionen α = ϕ2 + ϕ1, β = ϕ2 − ϕ1 erreicht : Summe und Differenz der beiden Gleichungen
(24 ) und (25 ) führen auf die einfachen Differentialgleichungen
mit den Lösungen
¨α = −ω 2 s · α (1.37)
¨β = −(ω 2 s + 2Ω 2 ) · β = −ω 2 sf · β (1.38)
α(t) = ϕ2(t) + ϕ1(t) = A · sin(ωst) + B · cos(ωsft) (1.39)
β(t) = ϕ2(t) − ϕ1(t) = C · sin(ωst) + D · cos(ωsft) (1.40)
Die Konstanten werden durch die Anfangsbedingungen festgelegt. Liegen beim Start der Bewegung
keine Anfangswinkelgeschwindigkeiten vor, d.h. ϕ2(t ˙ = 0) = 0 und ϕ1(t ˙ = 0) = 0, so wird
A = C = 0 und aus der Summe der Gleichungen (32) und (33) wird
2ϕ2(t) = B · cos(ωst) + D · cos(ωsft) (1.41)
2ϕ1(t) = B · cos(ωst) − D · cos(ωsft) (1.42)
Werden die Pendel aus den Positionen ϕ1(t = 0) = ϕmax und ϕ2(t = 0) = ϕmax gestartet, so
wird D = 0 und B = 2ϕmax und die Pendel schwingen gleichsinnig gemäss
ϕ2(t) = ϕmax · cos(ωst) (1.43)
ϕ1(t) = ϕmax · cos(ωst) (1.44)
mit der Kreisfrequenz ωs, d.h. der Kreisfrequenz jedes Pendels ohne Kopplung.
Werden die Pendel aus den entgegengesetzten Positionen ϕ1(t = 0) = −ϕmax, ϕ2(t = 0) = +ϕmax
gestartet, so wird B = 0 und D = 2ϕmax und die Pendel schwingen gegensinnig :
mit der Kreisfrequenz ωsf :
ϕ2(t) = ϕmax · cos(ωsft) (1.45)
ϕ1(t) = −ϕmax · cos(ωsft) (1.46)
ω 2 sf = ω 2 s + 2Ω 2
(1.47)
Wird die Schwingung mit Pendel P 1 mit ϕ1(t = 0) = ϕmax und Pendel P 2 in Ruheposition,
ϕ2(t = 0) = 0 gestartet, so wird B = D = ϕmax und
ϕ2(t) = 1
2 ϕmax · cos(ωst) + 1
2 ϕmax · cos(ωsft) (1.48)
ϕ1(t) = 1
2 ϕmax · cos(ωst) − 1
2 ϕmax · cos(ωsft) (1.49)
Jedes Pendel schwingt mit einer Überlagerung von zwei verschiedenen Frequenzen. Mit Hilfe eines
Additionstheorems für trigonometrische Funktionen lassen sich die Gleichungen umschreiben in
ϕ1(t) = ϕmax · cos( ωsf − ωs
2
t) · cos( ωsf + ωs
t) (1.50)
2

1.2. SCHWINGUNGEN VON GEKOPPELTEN PENDELN 21
Mit den Abkürzungen
wird daraus
ϕ2(t) = ϕmax · sin( ωsf − ωs
2
ωk = ωsf + ωs
2
ωsch = ωsf − ωs
2
t) · sin( ωsf + ωs
t) (1.51)
2
(1.52)
(1.53)
ϕ1(t) = ϕmax · cos(ωscht) · cos(ωkt) (1.54)
ϕ2(t) = ϕmax · sin(ωscht) · sin(ωkt) (1.55)
Die Bewegung jedes der beiden Pendel besteht also aus der Überlagerung zweier Schwingungen
mit den Kreisfrequenzen ωsch und ωk. Sie kann als Schwingung der höheren Frequenz ωk angesehen
werden, die mit der niedrigeren Frequenz ωsch moduliert ist. Diese Erscheinung wird Schwebung
genannt.
1.2.2 Messgrössen
Der Messung zugänglich sind die Schwingungsdauern :
Tk = 2π
Ts = 2π
ωs
Tsf = 2π
ωk
Tsch = 2π
ωsch
=
=
ωsf
4π
ωsf + ωs
4π
ωsf − ωs
(1.56)
(1.57)
(1.58)
(1.59)
Durch Einsetzen von ωs und ωsf ergeben sich folgende Beziehungen zwischen den Schwingungsdauern
:
Tk = 2 · TsTsf
Ts + Tsf
(1.60)
Tsch = 2 · TsTsf
Ts − Tsf
Als Kopplungsgrad κ des Pendelsystems wird das Verhältnis
definiert. Mit ω 2 sf = ω 2 s + 2Ω 2 folgt
κ =
κ =
Ω2
ω2 =
s + Ω2 DF l 2 F
mgls + DF l 2 F
1
2 (ω2 sf − ω2 s)
1
2 (ω2 sf + ω2 s) = T 2 s − T 2 sf
T 2 s + T 2 sf
(1.61)
(1.62)
(1.63)

22 KAPITEL 1. MECHANIK
Abbildung 1.6: Aufbau des gekoppelten Pendels
Der Kopplungsgrad ist umso kleiner (die Kopplung also umso schwächer), je näher die Befesti-
gungspunkte der Feder an den Drehachsen der Pendel liegen. Trägt man 1
κ
als Funktion von 1
l 2 F
auf so ergibt sich eine Gerade, aus deren Steigung die Federkonstante ermittelt werden kann :
1
κ
= 1 + mlsg
DF
· 1
l 2 F
1.2.3 Versuchsaufbau und Durchführung
(1.64)
Der Versuchsaufbau ist ähnlich wie beim einfachen Pendel (Kap. 1.1.3). Es werden nun zwei
Pendel im Abstand von ca. 50 cm an dem Gestell befestigt und über ein Federpaar gekoppelt
(Abb. 1.6). Die Federn können in verschiedenen Höhen an den Pendelstangen befestigt werden,
wodurch unterschiedliche Kopplungskonstanten erzielt werden. Da die Federn nicht gestaucht
werden können, müssen die Pendel so weit auseinander sein, dass die Federn in der Ruhelage
schon gespannt sind. Es muß darauf geachtet werden, daß die Pendelauschläge so klein bleiben,
daß die Federn nie völlig entspannt sind.
Beide Winkelaufnehmer können gleichzeitig mit einem CASSY-Modul ausgelesen werden und
haben einen unabhängigen Nullabgleich. Um eine günstige Darstellung auf dem Bildschirm zu

1.2. SCHWINGUNGEN VON GEKOPPELTEN PENDELN 23
erzielen, kann die Nulllage eines Pendels entweder durch die Versorgungsspannung des Winkelaufnehmers
oder durch Einstellung eines Offsets in der CASSY-Software verschoben werden.
Es werden die Pendelausschläge aufgenommen und die Fouriertransformierten bestimmt. Im
allgemeinen Fall erhält man eine Schwebung, die eine Überlagerung aus zwei Schwingungen
mit dicht benachbarten Frequenzen ist. Im Fourierspektrum erkennt man deshalb zwei Spitzen,
die mit wachsender Kopplungsstärke zusammenrücken. Lässt man die Pendel gleichsinnig (in
Phase) schwingen, so taucht nur die kleinere der beiden Frequenzen auf. Schwingen die Pendel
gegensinnig, so erhält man im Spektrum nur die Spitze der höheren Frequenz. Um den Fehler
der Frequenzmessung zu erhalten wird eine Messung mehrmals durchgeführt und die mittlere
quadratische Abweichung zum Mittelwert bestimmt.
Aus den gemessenen Frequenzen wird der Kopplungsgrad κ bestimmt (Gl.1.63). Außerdem werden
die Abstände lF zwischen dem Aufhängepunkt des Pendels und der Befestigung der Feder
gemessen. Trägt man 1
1 gegen κ l2 auf, so erhält man eine Gerade, aus deren Steigung man die
F
Federkonstante ermitteln kann (Gl. 1.64).

24 KAPITEL 1. MECHANIK
1.3 Trägheitsmomente
Abbildung 1.7: Versuchsaufbau für die Messung von Trägheitsmomenten.
Physikalische Grundlagen
Definition des Trägheitsmomentes, Satz von Steiner, Direktionsmoment, Schwingungen
1.3.1 Einführung
Bei einem beliebigen starren Körper, dessen Massenelemente ∆mi den Abstand ri zur Drehachse
haben, ist das Trägheitsmoment
J = �
(1.65)
i
∆mi · r 2 i
Für eine punktförmige Masse m auf einer Kreisbahn mit dem Radius r gilt:
J = m · r 2

1.3. TRÄGHEITSMOMENTE 25
Das Trägheitsmoment wird aus der Schwingungsdauer
einer Drillachse bestimmt,
�
J
T = 2π
(1.66)
D
auf die der Probekörper gesteckt wird und die
über eine Schneckenfeder elastisch mit dem Stativ
verbunden ist (siehe Abb. 1.7). Das System
wird zu harmonischen Schwingungen angeregt.
Aus der Schwingungsdauer T errechnet man bei
bekanntem Direktionsmoment D das Trägheitsmoment
des Probekörpers gemäß
� �2
T
J = D
2π
(1.67)
Die Messwerte werden mit den theoretischen
Vorhersagen für einen Körper der Masse m, dessen
Massenelemente ∆mi um eine feste Achse
im Abstand ri rotieren, verglichen:
J = �
∆mir 2 �
i = r 2 dm (1.68)
i
Der Schwingungsvorgang wird mit Hilfe eines
Winkelaufnehmers (siehe Abb. 1.8) in elektrische
Signale umgewandelt. Der Aufnehmer liefert
für kleine Auslenkungen eine winkelproportionale
Spannung. Er besteht aus einem vernickelten
Messingrohr (10 mm Durchmesser) mit
angeschraubtem Kleingehäuse für die elektrischen
Bauteile. In dem Messingrohr befindet
sich eine Nut an deren Ende in einem Langloch
eine magnetfeldempfindliche Sonde (Hall-
Sonde) eingeklebt ist. Die Sonde ist so orientiert,
dass sie auf die zur Nut senkrecht stehende
Komponente des Magnetfeldes anspricht.
Die zwei felderzeugenden Permanentmagnete sind
so auf die Innenseiten einer U-förmigen Gabel
geklebt, dass sich Nord- und Südpol gegenüberliegen.
Im Ruhezustand verschwindet daher die
vertikale Feldkomponente; die Ausgangsspan-
nung des Winkelaufnehmers ist somit 0. Wird
nun die Drillachse um den Winkel α aus der horizontalen
Richtung ausgelenkt, tritt eine Feldkomponente
in vertikaler Richtung auf.
Abbildung 1.8: Drillachse mit Winkelaufnehmer.

26 KAPITEL 1. MECHANIK
Die exakte Abhängigkeit wird durch die Gleichung
B⊥ = B · sin α
beschrieben. Im Falle kleiner Winkel kann sin α durch α approximiert werden, so dass die Ausgangsspannung
proportional dem Auslenkwinkel α wird. Die Abweichung von diesem linearen
Verhalten liegt bis zu einem Winkel von α = ±14 Grad (entsprechend sin α = 0, 24) unter 1%.
Die Versorgungsspannung wird über das entsprechend gekennzeichnete Leitungspaar zugeführt
und soll im Bereich 12-16 V liegen. Es ist auf die Polarität gemäß den Farben der Anschlussstecker
(rot-positiv, blau-negativ) zu achten. Bei Fehlbeschaltung tritt keine Ausgangsspannung auf.
Die von dem Winkelaufnehmer gelieferten Spannungssignale werden mit Hilfe des computerunterstützten
Messwerterfassungssystems CASSY aufgezeichnet. Mit Hilfe einer Fourieranalyse
lässt sich aus dem aufgezeichneten Schwingungsvorgang mit großer Genauigkeit die Frequenz
und damit die Schwingungsdauer bestimmen.
Im ersten Teil des Versuches wird das Trägheitsmoment eines ”Massenpunktes” in Abhängigkeit
vom Abstand r zur Drehachse bestimmt. Dazu wird ein Stab mit zwei gleichen Massenstücken
in Querrichtung auf die Drillachse gesteckt. Die Schwerpunkte der beiden Massenstücke haben
den gleichen Abstand r zur Drehachse, so dass das System ohne Unwucht schwingt.
Im zweiten Teil des Versuches werden die Trägheitsmomente eines Hohlzylinders, eines Vollzylinders
und einer Vollkugel miteinander verglichen. Dazu stehen zwei Vollzylinder mit gleicher
Masse jedoch unterschiedlichen Radien zur Verfügung. Weiterhin ein Hohlzylinder, der in Masse
und Radius mit einem Vollzylinder übereinstimmt, und eine Vollkugel, deren Trägheitsmoment
mit einem der Vollzylinder übereinstimmt.
Im dritten Teil des Versuchs wird der Steinersche Satz am Beispiel einer flachen Kreisscheibe
experimentell verifiziert. Dazu werden die Trägheitsmomente Ja einer Kreisscheibe für verschiedene
Abstände a der Drehachse zum Schwerpunkt gemessen und mit dem Trägheitsmoment J0
um die Schwerpunksachse verglichen. Es soll der Steinersche Satz
bestätigt werden.
1.3.2 Versuchsbeschreibung
Ja = J0 + m · a 2
(1.69)
Die Versuchskörper zur Drillachse sind so ausgewählt, dass sich folgende Fragestellungen untersuchen
lassen:
• Messung des Zusammenhangs J = f(r 2 ) für einen ”Massenpunkt”, der im Abstand r um
eine feste Achse rotiert.
• Vergleich der Trägheitsmomente von Zylindern mit nahezu gleicher Masse, aber verschiedener
Massenverteilung.

1.3. TRÄGHEITSMOMENTE 27
• Bestimmung der Trägheitsmomente von Zylindern und Kugeln aus gleichem Material, deren
Massen und Radien so abgestimmt sind, dass sich gleiche Trägheitsmomente ergeben.
• Bestätigung des Steinerschen Satzes.
1.3.3 Versuchsaufbau
Zum Versuchsaufbau gehören
1. Drillachse mit zweifach kugelgelagerter Welle, durch eine Schneckenfeder an eine Gabel
angekoppelt.
Richtmoment der Feder: ca. 0,025 N m
Höhe der Drillachse: ca. 0,2 m
Gewicht der Drillachse: ca. 0,39 kg
2. Stab mit Kupplungsstück zum Aufstecken auf die Drillachse; je 5 Kerben in 0, 05 m
Abständen zu beiden Seiten der ebenfalls gekerbten Stabmitte.
Länge des Stabes: ca. 0,6 m
Masse des Stabes: ca. 0,13 kg
3. Zwei Massen (als Modell von Massenpunkten), längs des Stabes (2) verschiebbar, mit Kugelrasten,
die in die Kerben des Stabes greifen, so dass die Massen in definierten Abständen
von der Stabmitte gehalten werden.
Masse jedes Massenstückes: ca. 0,24 kg
4. Vollzylinder aus Holz (Holzscheibe), Durchmesser ca. 225 mm, mit Buchse zum Aufstecken
auf die Drillachse.
Durchmesser: ca. 0,225 m
Höhe: ca. 0,015 m
Masse: ca. 0,35 kg

28 KAPITEL 1. MECHANIK
5. Vollzylinder aus Holz, Durchmesser ca. 90 mm.
Durchmesser: ca. 0,09 m
Höhe: ca. 0,09 m
Masse: ca. 0,35 kg
6. Hohlzylinder aus Metall, Durchmesser ca. 90 mm.
Durchmesser: ca. 0,09 m
Höhe: ca. 0,09 m
Masse: ca. 0,35 kg
7. Aufnahmeteller aus Metall für die Zylinder (5) und (6) mit Buchse zum Aufstecken auf die
Drillachse und mit Schraube zum fixieren der Zylinder.
Durchmesser: ca. 0,1 m
Masse: ca. 0,12 kg
Durchmesser und Höhe der Zylinder (5) und (6) stimmen überein (nachmessen !), die
Massen der 3 Zylinder (4), (5) und (6) sind näherungsweise gleich (nachmessen !).
8. Kugel aus Holz, Durchmesser ca. 145 mm, mit Buchse zum Aufstecken auf die Drillachse.
Die Trägheitsmomente der Kugel und des Zylinders (4) sind etwa gleich.
Durchmesser: ca. 0,145 m
Masse: ca. 0,99 kg

1.3. TRÄGHEITSMOMENTE 29
9. Kreisscheibe mit Halterung zum Aufstecken auf die Drillachse mit 9 Löchern zum Aufspannen
der Scheibe auf der Halterung in der Scheibenmitte, sowie im Abstand von
0, 02; 0, 04; . . . 0, 14; 0, 16 m von der Scheibenmitte.
Durchmesser: ca. 0,4 m
Masse: ca. 0,74 kg
1.3.4 Hinweise zum Experimentieren
Schrauben (10) welche die federnden Kugelrasten der Massen (3) gen den Stab (2) drücken, nicht
betätigen. Die Schrauben sind so eingestellt, dass man einerseits die Massen entsprechend den
Versuchsbedingungen längs des Stabes verschieben kann, und dass die Massen anderseits gegen
die Zentrifugalkraft auf dem Stab gehalten werden.
Die Anordnung stets so aus der Gleichgewichtslage auslenken, dass die Feder zusammengedrückt
und nicht aufgebogen wird. Die maximale Auslenkung wird druch die Halterungen für die Magnete
auf ca. 60 Grad beschränkt.
Die Schwingungsdauern sollten zweckmäßigerweise durch Mittelwertbildung aus mehreren Messungen
für z.B. 5 Schwingungen bestimmt werden. Aus der Varianz der Messwerte ergibt sich
auch der Fehler für die Schwingungsdauern.
Zusätzlich gibt es Fehler durch die Art und Weise wie mit der CASSY-Software der Schwerpunkt
im Frequenzspektrum bestimmt wird. Um diesen Fehler abzuschätzen, sollte zumindestens eine
Messung mit MAPLE ausgewertet werden, d.h. die mit CASSY aufgzeichneten Spannungswerte
werden in MAPLE eingelesen, die Fouriertransformation mit der Prozedur ”fourier” aus der
MAPLE-Bibliothek ”app maple” durchgeführt und mit der Prozedur ”peak” der Schwerpunkt
der Verteilung bestimmt. Durch Variation des Messbereichs für die Fouriertransformation, durch
Variation des Fensters in dem der Schwerpunkt bestimmt wird und durch Vergleich mit dem
Ergebnis aus der CASSY Software kann der systematische Fehler in der Frequenzbestimmung
abgeschätzt werden.
Ein Beispiel einer solchen Messung mit dem Messwerterfassungssystem CASSY ist in Abb. 1.9
gezeigt. Aus der Fouriertransformation (siehe Abb. 1.10) ergibt sich in diesem Beispiel eine
Schwingungsdauer von 4.88 s. Die gleiche Messung wurde 5 mal wiederholt um die statistischen
Schwankungen zu ermitteln. Es ergaben sich die Messwerte: 4,88s, 4,87s, 4,87s, 4,88s, 4,87s. Für
den Mittelwert also: T = (4, 874 ± 0, 002) s.

30 KAPITEL 1. MECHANIK
Abbildung 1.9: Messreihe eines Schwingungsvorgangs mit der Drillachse.
Abbildung 1.10: Fouriertranformation der in Abb. 1.9 gezeigten Messreihe. Mit dem ”Peakfinder”
aus der CASSY Software ergibt sich eine Schwingungsdauer von 4,87 s.

1.3. TRÄGHEITSMOMENTE 31
Das Trägheitsmoment der Drillachse liegt in der Grössenordung von 10 −5 kgm 2 . Es ist in der
Auswertung nicht berücksichtigt, so dass die experimentell ermittelten Trägheitsmomente stets
etwas größer als die theoretisch erwarteten Werte sind.
1.3.5 Bestätigung von J = f(r 2 ) und Bestimmung des Direktionsmomentes
D
Zunächst wir das Gewicht der Massen mW 1, mW 2 und das Gewicht des Stabes mStab mit einer
Waage gemessen und die Länge des Stabes lStab mit einem Massband bestimmt.
Dann wird der Stab ohne Massen auf die Drillachse gesteckt und die Schwingungsdauer gemessen.
Anschliessend werden die Massen (mW 1, mW 2) symmetrisch im Abstand r = 0, 05; 0,10;
0,15; 0,20; 0,25 m von der Stabmitte angeordnet und ebenfalls die Schwingungsdauern gemessen.
Beispiel einer solchen Messreihe:
Das Trägheitsmoment für den Stab alleine ist
r m 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25
T s 2,52 2,71 3,76 4,86 6,08 7,40
JStab = 1
12 · mStab · l 2 Stab
und für die ”Massenpunkte” im Abstand r von der Drillachse:
JMassen = (mW 1 + mW 2) · r 2 = mW · r 2
Es sollte also folgender funktionaler Zusammenhang gelten:
T 2 = 4π 2 JMassen + JStab
D
= 4π2
D mW · r 2 + 4π2
· JStab
D
Die Messung mit dem Stab alleine entspricht also dem Messwert für r = 0.
Der linearer Zusammenhang zwischen dem Quadrat der Schwingsdauern (T 2 ) und dem Quadrat
des Abstandes (r 2 ) (siehe Abb. 1.11) erlaubt es, mit Hilfe einer linearen Regression,
T 2 = m · r 2 + a
= 737, 34 s2
m 2 · r2 + 6, 36 s 2
aus der Steigung der Geraden m das Direktionsmoment D zu bestimmen:
D = 4π2
· mW
m
=
4π2 · 0, 48 N m
737, 34
= 0, 0257 N m

32 KAPITEL 1. MECHANIK
Abbildung 1.11: Grafische Darstellung der Messwerte T 2 (r 2 ) zusammen mit der Ausgleichsgeraden.
Mit bekanntem Direktionsmoment D kann anschliessend aus dem Achsenabschnitt a das Trägheitsmoment
des Stabes experimentell bestimmt werden
J exp.
Stab
und mit der theoretischen Vorhersage
verglichen werden.
aD
=
4π2 = 6, 36 · 0, 0257
4π2 = 0, 414 · 10 −2 kg m 2
J theo.
Stab = 1
12 · mStab · l 2 Stab
= 1
12 · 0, 132 · 0, 62 kg m 2
= 0, 396 · 10 −2 kgm 2
1.3.6 Vergleich der Trägheitsmomente von Zylindern gleicher Masse
mit verschiedener Massenverteilung
Dünner Vollzylinder aus Holz
Die Masse des Vollzylinders aus Holz (Holzscheibe - HS) mHS wird durch wiegen und sein Durchmesser
dHS mit dem Massband bestimmt. Dann wird die Holzscheibe auf der Drillachse befestigt
und die Schwingungsdauer gemessen.
Beispiel:
THS = 1, 82 s
J exp
HS = 1
4π 2 · D · T 2 HS
= 1
4π 2 · 0, 0257 · 1, 822 Nms 2
= 2, 16 · 10 −3 kg m 2

1.3. TRÄGHEITSMOMENTE 33
Der theoretisch zu erwartende Wert ergibt sich zu:
J theo
HS = 1
2 mHS
� �2 dHS
2
= 2, 05 · 10 −3 kg m 2
Vollzylinder (VZ) und Hohlzylinder (HZ)
Beide Zylinder werden auf einen Aufnahmeteller (T) gesetzt, so dass sich die Trägheitsmomente
JV Z und JHZ nicht unmittelbar experimentell, sondern durch Differenzbildung ermitteln lassen:
Aufnahmeteller:
Aufnahmeteller + Vollzylinder:
JV Z = JV Z+T − JT
JHZ = JHZ+T − JT
T = 0, 564 s
J exp
T = 1
4π 2 · D · T 2 T
= 1
4π 2 · 0, 0257 · 0, 5642 Nms 2
= 0, 207 · 10 −3 kg m 2
T = 0, 92 s
JV Z+T = 1
4π 2 · D · T 2 V Z+T
= 1
4π 2 · 0, 0257 · 0, 922 Nms 2
= 0, 552 · 10 −3 kg m 2
Damit ergibt sich für das Trägheitsmoment des Vollzylinders
J exp
V Z = JV Z+T − JT = 0, 345 · 10 −3 kg m 2
im Vergleich zu dem theoretisch zu erwartenden Wert von
Aufnahmeteller + Hohlzylinder:
J theo
V Z = 1
2 mV Z
� dV Z
2
� 2
= 0, 337 · 10 −3 kg m 2
T = 1, 18 s
JV Z+T = 1
4π 2 · D · T 2 V Z+T
= 1
4π 2 · 0, 0257 · 1, 182 Nms 2
= 0, 907 · 10 −3 kg m 2

34 KAPITEL 1. MECHANIK
Damit ergibt sich für das Trägheitsmoment des Hohlzylinders
J exp
HZ = JHZ+T − JT = 0, 700 · 10 −3 kg m 2
im Vergleich zu dem theoretisch zu erwartenden Wert von
J theo
HZ = mV Z
1.3.7 Trägheitsmoment der Kugel
T = 1, 82 s
� dHZ
2
� 2
= 0, 652 · 10 −3 kg m 2
J exp
K = 1
4π 2 · D · T 2 V Z+T
= 1
4π 2 · 0, 0257 · 1, 822 Nms 2
= 2, 16 · 10 −3 kg m 2
Um das experimentelle Ergebnis mit der theoretischen Vorhersage
J theo
K
= 2
5 mKR 2 K
vergleichen zu können, benötigen wir den Radius der Kugel RK. Dieser lässt sich mit dem
Massband nur sehr ungenau abschätzen. Wesentlich genauer ist es, die Dichte der Kugel ρK
zu verwenden, um über die Beziehung
mK = VK · ρK = 4
3 πR3 KρK
den Radius zu bestimmen. Mit ρK = (0, 63 ± 0, 02) · 103 kg/m3 erhalten wir:
RK =
�
mK
4
3πρK � 1
3
und damit
= 0, 0716 m
J theo
K = 2
5 mKR 2 K
= 2
5 · 0, 99 kg · 0, 07162 m 2
= 2, 03 · 10 −3 kg m 2
Der Vergleich mit der Messung für die Holzscheibe zeigt, dass die Trägheitsmomente übereinstimmen.
Bestimmt man Massen und Radien der Versuchskörper, so lässt sich experimentell bestätigen,
dass Kugel und Holzscheibe das gleiche Trägheitsmoment haben wenn gilt:
mHS · R 2 HS = 4
5 mK · R 2 K

1.3. TRÄGHEITSMOMENTE 35
1.3.8 Bestätigung des Steinerschen Satzes
In diesem Versuchsteil soll die Abhängigkeit des Trägheitsmomentes J vom Abstand a zwischen
Rotations- und Schwerpunktachse untersucht werden. Der Steinersche Satz
Ja = J0 + m · a 2
soll bestätigt werden. J0 ist hierbei das Trägheitsmoment bei Rotation um die Schwerpunktsachse.
Die Kreisscheibe wird zunächst um ihre Schwerpunktsachse rotieren gelassen (a = 0). Zur besseren
Genauigkeit und um die Schwankung der Messwerte abzuschätzen wird die Messung mehrfach
wiederholt und die Schwingungsdauer durch Mittelwertbildung bestimmt.
In gleicher Weise wird die Schwingungsdauer T als Funktion des Abstandes a = 0, 02; 0, 04;
. . . 0, 16 m zwischen Rotations- und Schwerpunktsachse bestimmt.
Wichtig:
Nach jeder Änderung von a den Stativfuss mit Hilfe der Dosenlibelle wieder so ausrichten, dass
die Kreisscheibe in der Horizontalen rotiert.
Ergebnis:
a[m] T[s] J [kg m2 −2 ] 10 J−J0
a2 0,00 4,782 1,490
[kg]
0,02 4,800 1,501
0,04 4,961 1,604
0,06 5,230 1,782
0,08 5,532 1,994 0,75
0,10 5,884 2,256
0,12 6,313 2,597
0,14 6,710 2,951
0,16 7,220 3,400
Für das Trägheitsmoment J eines Körpers der Masse m, dessen Rotationsachse um a von der
Schwerpunktsachse entfernt ist, gilt:
Ja = J0 + const. · a 2
Die Auswertung des Diagramms J = f(a 2 ) liefert für den konstanten Proportionalitätsfaktor in
befriedigender Übereinstimmung mit der Masse der Kreisscheibe von 0, 75 kg. Damit bestätigt
der Versuch den Steinerschen Satz:
Ja = J0 + m · a 2

Kapitel 2
Akustik
Bei den Versuchen zur Akustik kann prinzipiell zwischen 2 Meßprogrammen gewählt werden.
(I und II mit etwa gleichem Meß- und Auswerteaufwand – s.u.)
Da jeweils nur 4 Aufbauten zur Verfügung stehen, sollte vor der Vorbereitung die Aufteilung auf
die Versuche unter den Gruppen koordiniert werden.
Meßprogramm I: V 2.1.A und ein Versuch aus V 2.1.B und entweder V 2.2 oder V 2.3
V 2.1 Schallwellen in Gasen / Ausbeitungsgeschwindigkeit
A Laufende Welle – Laufzeit gegen Laufstrecke
B1 Stehende Welle – Schalldruck gegen Ort
B2 Stehende Welle – Schalldruck gegen Rohrlänge
B3 Stehende Welle – Schalldruck gegen Frequenz
V 2.2 Schallwellen in Festkörpern / Elastizitätsmodul
1 Bestimmung der Stab-Dichte
2 Aufzeichnung der Grundschwingung
V 2.3 Schwebungen von Schallwellen zweier Stimmgabeln
1 Aufzeichnung der Schwingung einzeln und in Schwebung
2 Periodenlängen und Fourier Auswertung
Meßprogramm II: V 2.4 komplett
V 2.4 Doppler-Effekt
1 Schallgeschwindigkeit aus Phasenverschiebung
2 Frequenzverschiebung gegen Quellengeschwindigkeit
3 Echolot
36

2.1. SCHALLGESCHWINDIGKEIT IN GASEN 37
2.1 Schallgeschwindigkeit in Gasen
2.1.1 Versuchsziel
A Bestimmung der Schallgeschwindigkeit in Luft aus Laufzeitmessungen.
B Bestimmung der Schallgeschwindigkeit in Luft mit stehenden Wellen:
– durch Messung des Schalldruckverlaufs
– oder Messung der Resonanzlängen
– oder Messung der Resonanzfrequenzen
Vorkenntnisse: Wellen
Schallausbreitung in Gasen
Überlagerung von Wellen
Stehende Wellen
Schallwandler (Piezo/Lautsprecher/Mikrophon)
Benötigte Geräte: Sensor CASSY 1x
Timer-Box 1x
Stromquellen-Box 1x
Temperatursensor 1x
Plexiglas Rohr ø 10cm L 50cm mit Ständer 1x
Endstück mit Lautsprecher 1x
Endstück mit Durchführung 1x
im Rohr verschiebbare Scheibe 1x
Universalmikrophon mit Stativstange u. Sockel 1x
Piezo Hochtöner mit Stativstange u. Sockel 1x
Wegaufnehmer mit Stativstange 1x
Faden 1m mit Gummiring und Gewicht 1x
Tischklemme 1x
Führungsschiene Alu 30x3mm^2 L 50cm 1x
Funktionsgenerator 0-200 kHz 1x
BNC -> 4mm Übergangsstecker 2x
BNC -> Lemo Übergangsstecker 2x
4mm Laborkabel 25cm/1.0mm Paar rot/blau 1x
4mm Laborkabel 100cm/1.0mm Paar rot/blau 2x
4mm Laborkabel 200cm/1.0mm Paar schwarz 1x

38 KAPITEL 2. AKUSTIK
2.1.2 Grundlagen
Schallgeschwindigkeit in Gasen
Die Ausbreitung von Schallwellen in Gasen ist ein adiabatischer Prozeß. Das Schallfeld ist durch
die Angabe von Schallschnelle u(x, t) (lokale Geschwindigkeit der Gasmoleküle) oder Schalldruck
p(x, t) (lokale Abweichung des Drucks vom Außendruck) beschrieben. Ist der Schalldruck p klein
gegenüber dem Außendruck p0, so gelten die Euler-Gleichungen:
∂
∂
p(x, t) = −ϱ u(x, t) und
∂x ∂t
∂
1
u(x, t) = −
∂x κp0
∂
∂t p(x, t) mit κ = cP /cV (2.1)
Eine Lösung der Wellengleichung ∂2u ∂t2 = v2 ∂2u ∂x2 sind ebene Wellen: u(x, t) = u0sin(ωt ± kx − φ)
mit Kreiswellenzahl k = 2π/λ, Kreisfrequenz ω = 2πf und Phasengeschwindigkeit vph = ω/k.
Ohne Dispersion entsprechen Phasen- und Gruppengeschwindigkeit vgr = ∂ω/∂k der Ausbreitungsgeschwindigkeit
v, die für ein ideales Gas von der Temperatur T allein abhängig ist:
v =
�
�
�
R · κ
p0 · κ/ϱ = v0 T/T0 mit v0 = T0
Mmol
allg. Gaskonstante: R = 8.3145 J/(mol K)
Adiabatenexponent: κ = 7/5 für ein zweiatomiges Gas (N2, O2)
Molmasse von Luft: Mmol = 28.984 · 10 −3 Kg/mol
üblicherweise wählt man: T0 = 273.15 K (=0 ◦ C)
Stehende Wellen
In einem geschlossenen Rohr bilden sich durch Überlagerung von einlaufenden mit reflektierten
periodischen Schallwellen sog. stehende Wellen aus. Im Gegensatz zu frei laufenden (z.B. ebenen)
Wellen gibt es hier Orte, an denen zu jeder Zeit die Schallschnelle oder der Schalldruck
verschwinden (Knoten) und Zeiten, zu denen an jedem Ort Schalldruck oder Schnelle verschwinden.
Befindet sich bei x=0 ein schallharter Abschluß, so ist dort die Schallschnelle zu jeder Zeit
ux=0 = 0 (Schnelleknoten) und die Amplitude des Schalldrucks extremal (Druckbauch).
Allgemein gilt in einem Rohr der Länge L mit schallhartem Abschluß bei x=0 und Schallquelle
bei x=L mit Schallschnelle u(x = L, t) = uL · sin ωt: u(x, t) = uL
Damit ist der Effektivwert
� 1
T
� T
0 p2 (x, t)dt des Schalldrucks ˆp(x) =
sin kx · sin ωt
ϱ · v · uL
√ ·
2
cos kx
sin kL
sin kL
Die Druckknoten haben somit einen Abstand ∆x = λ/2 und liegen bei:
(2.2)
xn = n · λ/2 − λ/4 n = 1, 2, . . . (2.3)
Am schallharten Abschluß bei x=0 ist der Effektivwert des Schalldrucks:
�
ϱ · v · uL 2πf
ˆpx=0 = √ / sin
2 v L
�
d.h. bei fester Rohrlänge L liegen Resonanzen bei fn = n·v/2L n = 1, 2, . . . (2.4)
und bei fester Frequenz f liegen Resonanzen bei Ln = n·v/2f n = 1, 2, . . . (2.5)

2.1. SCHALLGESCHWINDIGKEIT IN GASEN 39
2.1.3 Vorbereitung
Zur Vorbereitung ist es eine gute Übung, die Eulergleichungen 2.1 aus Beschleunigungs- und
Kompressionsvorgängen eines diskreten Gasvolumens herzuleiten. Daraus wird die Wellengleichung
ableitet, und die Ausbreitungsgeschwindigkeit abgelesen. Die Umrechnung in 2.2 sollte
auch linear nach TC in o C entwickelt werden.
Zur Herleitung von Gl. 2.3 sind ein- und auslaufende Wellen nach Diskussion der Randbedingungen
an der reflektierenden Wand phasenrichtig zu überlagern und mit Additionstheoremen
zusammenzufassen. Weiterhin sind p und u über die Euler-Gl. 2.1 verknüpft.
2.1.4 Messung und Auswertung
Vier verschiedene Messungen sind möglich:
A Laufzeit einer Störung in Abhängigkeit der Laufstrecke
Mit dieser Messung wird die Schallgeschwindigkeit bei Raumtemperatur gemessen.
B1 Schalldruck in Abhängigkeit des Ortes entlang des Rohres
Das Schalldruckprofil einer stehenden Welle wird vermessen.
B2 Schalldruck am schallharten Abschluß in Abhängigkeit der Resonatorlänge
Diese Messung zeigt die Resonanzlängen einer stehenden Welle in einem geschlossenen
Rohr. Warum wird am schallharten Abschluß gemessen?
B3 Schalldruck am schallharten Abschluß in Abhängigkeit der Frequenz
Diese Messung zeigt die Resonanzfrequenzen einer stehenden Welle in einem geschlossenen
Rohr.
Aus allen Messungen wird die Schallgeschwindigkeit bestimmt und mit der Erwartung nach Gl.
2.2 verglichen. Dazu ist jedesmal eine Messung der Lufttemperatur nötig, deren Unsicherheit
ebenfalls berücksichtigt werden muß.
Fehlerabschätzung
Die Messungen zur Schallausbreitung in Luft werden mit Sensor-CASSY aufgezeichnet. Dabei
kommen verschiedene Meßaufnehmer zum Einsatz, die teilweise vor der Messung kalibriert werden
(Wegaufnehmer), deren systematische Unsicherheiten ansonsten aber nach Herstellerangaben
abgeschätzt werden müssen (Zeitbasis, Temperatur).
Die Schätzung der statistischen Fehler geschieht durch Mehrfachmessungen (Mittelwert/RMS)
oder durch Variation der Meßwertintervalls z.B. für Peakwertbestimmungen. Mittels Fehlerfortpflanzung
wird schließlich die Güte der Messung (Vertrauensbereich) ermittelt. I. A. reduziert
sich der Fehler durch eine sinnvolle Verteilung der Meßwerte (kleinere Abstände und damit mehr
Meßwerte an kritischen Stellen wie z.B. Resonanzfrequenzen oder Schalldruckknoten).
Um die begrenzte Meßzeit effektiv auszunutzen, ist es sinnvoll, schon während der Messung die
einzelnen Fehlerbeiträge getrennt zu bestimmen. Dominiert ein Beitrag den Meßfehler, sollte der
weitere Aufwand in dessen Reduzierung investiert werden.

40 KAPITEL 2. AKUSTIK
2.1.4.1 Laufzeit gegen Laufstrecke
Wird die Laufzeit t einer Störung a(x − vt) für verschiedene Orte x gemessen, so ergibt sich die
Ausbreitungsgeschwindigkeit v als Steigungsfaktor der Auftragung x gegen t auch ohne absolute
Ortskenntnis der Störquelle.
Hierzu werden Stoßwellen mit dem Piezo-Hochtonlautsprecher erzeugt und mit Sensor-CASSY
aufgezeichnet. Abb. 2.1 zeigt den Aufbau:
Mikrofon
58626
=
~
Trigger
12 V
INPUT A
INPUT B
R
TIMER−BOX
R P +
E
T
F
524034
STROMQUELLEN−BOX
+
T
524031
S
− +
SENSOR−CASSY 524010
Piezo
Hochtöner
Abbildung 2.1: CASSY Meßaufbau Laufzeit gegen Laufstrecke
Am Tischende fixiert die Tischklemme die 50cm lange Alu-Schiene. An ihrem anderen Ende
schließt sich die Rohr-Halterung an. Das Schallrohr wird mittig darauf gelegt und auf der hinteren
Seite mit dem Piezo-Hochtöner abgeschlossen.
Der Rohrabschluß mit Durchführung wird auf die vordere Rohrseite gesteckt. Das eingeschaltete
1 Mikrophon wird im Trigger-Modus ∼ = ⊓ auf mittlere Empfindlichkeit eingestellt und
im Sockel auf der Alu-Schiene verschiebbar durch die mittige Durchführung in das Rohrinnere
geführt.
1 Das Mikrophon schaltet sich nach ca. 10 Min. selbständig aus, um den Akkulaufzeit zu schonen. Bei Verschwinden
des Signals (’kein Trigger’) daher zuerst durch Wiedereinschalten dieses Problem ausschließen.
+
−

2.1. SCHALLGESCHWINDIGKEIT IN GASEN 41
An der Tischklemme wird der Wegaufnehmer befestigt und ein an der Mikrophon-Stativstange
befestigter Faden parallel zur Schiene über das Rad geführt, und mit einem Gewicht beschwert.
An Kanal A wird die Timer-Box angeschlossen. Sie benötigt zur Laufzeitmessung ein Start-
Signal am Eingang E und ein Stop-Signal am Eingang F. An den Eingang E wird der Piezolautsprecher
richtig herum gepolt (E an +/gelb) angeschlossen. Parallel dazu wird das rechte
Relais-Schalterpaar (R2/R3) geschaltet. Schließt das Relais, wird das Piezoelement entladen und
sendet eine Stoßwelle aus. Gleichzeitig fällt die am Eingang E intern anliegende Spannung auf
0V, Startzeit ist somit die negative Flanke an E. Öffnet der Relais Schalter, so wird das Piezoelement
– über den internen 15 kΩ Widerstand RP von Eingang E mit größerer Zeitkonstante
ohne meßbare Schallaussendung – wieder auf +5V aufgeladen. Das Mikrophon im Triggermodus
liefert bei Eintreffen der Stoßwelle das Stop-Signal und wird an Eingang F angeschlossen.
Zur Streckenmessung wird der Wegaufnehmer (Mehrgangpotentiometer) über die Stromquellen-
Box (liefert konstanten Strom) an Kanal B angeschlossen. Die Laufrichtung kann durch die
Wechsel des Potentiometer-Endabgriffs umgekehrt werden. Der Nullpunkt wird so eingestellt
(und während der Messung kontrolliert), daß der gesamte Verschiebebereich des Mikrophons gemessen
werden kann.
Wegen der Bauteiletoleranz des Potentiometers im Prozentbereich muß der Wegaufnehmer in
einem Vorversuch mit dem Bandmaß kalibriert werden. Dazu werden die mit dem Bandmaß gemessenen
Orte S gegen den Widerstand Rb1 des Wegaufnehmers wie in Abb. 2.2 aufgezeichnet.
Bei äquidistanten Kalibrationspunkten mit ähnlichen Einzelfehlern reduziert die Parametrisierung
S −S0 = K ·(R−R0) die Anpassung auf eine Ursprungsgerade (S0 und R0 sind die mittleren
Orte und Widerstände). Die Steigung der Ausgleichsgeraden liefert den Kalibrationsfaktor K, zur
Umrechnung von Widerstandseinheiten auf Längeneinheiten.
CASSY / Kanal B / Strombox
Widerstand Rb1, 0-3kOhm,
gemittelt 1000 ms
Meßparameter / manuell
Formel / neue Größe S = 60-2*n
(Messungen bei 58,56,...)
Darstellung / X-Achse Rb1
Y-Achse S
Abbildung 2.2: CASSY-LAB Kalibration des Wegaufnehmers.
Wie bei allen Ausgleichsrechnungen sind die Einzelfehler auf der x- und y-Achse zu berücksichtigen.
Liefert die Geradenanpassung ein χ 2 von etwa 1 pro Freiheitsgrad, so ist die Fehlerabschätzung
– und damit auch der Fehler des Steigungsfaktors – sinnvoll. Diese Unsicherheit von
K muß bei den folgenden Messungen als systematischer Fehler berücksichtigt werden, d.h. er liefert
unabhängig von den jeweiligen Einzel-Meßwerten einen zusätzlichen Beitrag als Skalenfehler
bei der Umrechnung des Endergebnisses von kΩ auf m.

42 KAPITEL 2. AKUSTIK
Zur Bestimmung der Schallgeschwindigkeit wird die Laufzeit an ca. 8 Orten in Abständen von
ca. 5cm gemessen. Dazu wird das Mikrophon in die gewünschte Position verfahren und die Stabilisierung
der Ortskoordinate abgewartet. Mit Start/Stop [F9] wird für diesen Ort eine Meßreihe
gestartet und nach ca. 10 Werten wieder beendet. Die aufgenommenen Meßreihen werden zur
weiteren Auswertung in einer Datei gespeichert.
CASSY-Lab Tip zur Aufzeichnung der Meßwerte:
CASSY / Kanal A / Laufzeit Dta1 E->F, 0.002s, Flanken invertiert
Kanal B / Widerstand Rb1, 0-3kOhm, gemittelt 1000 ms
Relais / frac(t)

2.1. SCHALLGESCHWINDIGKEIT IN GASEN 43
2.1.4.2 Druckknoten einer stehenden Welle
Gemessen wird das Schalldruckprofil einer stehenden Welle, also die Ortsabhängigkeit der Schalldruckamplitude
entlang des Rohrs. Abb. 2.4 zeigt den Aufbau:
Mikrofon
58626
12 V
INPUT A
INPUT B
=
~
R
p eff
I
U
STROMQUELLEN−BOX
+
T
524031
S
− +
SENSOR−CASSY 524010
Frequenz Bereich Amplitude
0.2
FEIN
− +
FG 200
2.4
x100k
x10k
x1k
x100
x10
x1
Signal Form
min max
DC
AC
low
Offset
0
− +
Abbildung 2.4: CASSY Meßaufbau Schalldruck gegen Ort
AC
high
Lautsprecher
Das Mikrophon im Effektivwertmodus ∼ = ⊓ wird nun direkt an CASSY Kanal A angeschlossen
und ansonsten wie in Versuch 2.1.4.1 durch die mittige Öffung der Abschlußkappe ins
Rohrinnere geführt.
Als Schallquelle dient der Klein-Lautsprecher in der Kappe, die das Rohr am hinteren Ende
abschließt. Mit dem BNC-Lemo-Adapter wird er an den niederohmigen DC-Ausgang des Funktionsgenerators
angeschlossen und dieser wie folgt betrieben, um Sinusschwingungen bei ca. 2400
Hz zu erzeugen:
Signalform ∼ (Sinusschwingung)
Bereich x1k (0.2 - 2.4 x 1 kHz)
Offset 0 (kein Konstantstrom durch den Lautsprecher)
Amplitude mittig (Minimum für sichere Frequenzmessung)
Vor der eigentlichen Messung wird eine Resonanz-Frequenz bei ca. 2400Hz eingestellt und nach
Versuchsaufbau aus Abb. 2.10 mit der Timer-Box an CASSY Kanal B gemessen.

44 KAPITEL 2. AKUSTIK
Im weiteren wird mit CASSY Kanal B die Mikrophonposition gemessen. Wie bei Messung 2.1.4.1
wird dazu der Wegaufnehmer über die Strombox angeschlossen. Am schallharten Rohrende wird
er auf x=0 eingestellt, mit Anstieg zum hinteren Ende hin.
Vor Aufnahme einer Meßreihe sollte der dynamische Bereich des Mikrophonkanals an den Maximalwert
im Druckbauch angepaßt werden.
CASSY-Lab Tip zur Aufzeichnung der Meßwerte:
CASSY / Kanal A / Spannung Ua1 0-Umax Nullpunkt links, gemittelt 1000 ms
Kanal B / Widerstand Rb1 0-3kOhm gemittelt 1000 ms
Meßparameter / manuell
Formel / neue Größe S=Rb1*15.91 (Wegaufnehmer Kalibration)
Darstellung / X-Achse S
Y-Achse Ua1
Nach Einstellen einer Position und Stabilisierung des Ortswertes wird mit Start/Stop [F9] ein
Meßwert aufgenommen. Die Wahl der weiteren Positionen sollte wie in Abb. 2.5 auf die optimale
Bestimmung der Druckknoten und -Bäuche ausgerichtet sein.
Abbildung 2.5: Messung der Schalldruckamplitude gegen den Ort.
Es werden die Positionen xn der
Druckbäuche und -Knoten a bestimmt
und über n aufgetragen. Nach Gl. 2.3
liegen diese Werte auf einer Geraden
mit Steigung λ/2.
Mit v = λf wird aus diesen Messungen
die Schallgeschwindigkeit bestimmt:
a Wird die Knotenlage mit dem Peakfinder
ermittelt, so muß die Kurve invertiert werden!
Warum?
Abbildung 2.6: Schallgeschwindigkeit aus Peaklage der Druckknoten und -Bäuche.

2.1. SCHALLGESCHWINDIGKEIT IN GASEN 45
2.1.4.3 Resonanzlängen einer stehenden Welle
Gemessen wird die Abhängigkeit der Schalldruckamplitude einer stehenden Welle von der Resonatorlänge.
Abb. 2.7 zeigt den Aufbau:
Mikrofon
58626
12 V
INPUT A
INPUT B
=
~
R
p eff
I
U
STROMQUELLEN−BOX
+
T
524031
S
− +
SENSOR−CASSY 524010
Frequenz Bereich Amplitude
0.2
FEIN
− +
FG 200
2.4
x100k
x10k
x1k
x100
x10
x1
Signal Form
min max
DC
AC
low
Offset
0
− +
AC
high
Lautsprecher
Abbildung 2.7: CASSY Meßaufbau Schalldruck gegen Resonatorlänge
Auf das Ende des Mikrophons im Effektivwertmodus ∼ = ⊓ wird vorsichtig die Lochscheibe
geschoben, um an einem im Rohr verschiebbaren schallharten Abschluß im Druckbauch die
Schalldruckamplitude zu messen. Es wird direkt an Sensor-CASSY Kanal A angeschlossen.
Als Schallquelle dient der Lautsprecher in der Kappe, die das Rohr am hinteren Ende abschließt,
um Sinusschwingungen bei ca. 2400 Hz zu erzeugen. Angeregt wird er vom Funktionsgenerator,
mit folgenden Einstellungen:
Signalform ∼ (Sinusschwingung)
Bereich x1k (0.2 - 2.4 x 1 kHz)
Offset 0 (kein Konstantstrom durch den Lautsprecher)
Amplitude mittig (Minimum für sichere Frequenzmessung)
Der Lautsprecher wird mit dem BNC-Lemo-Adapter an den niederohmigen DC-Ausgang angeschlossen.

46 KAPITEL 2. AKUSTIK
Vor der eigentlichen Messung wird die höchste Frequenz (ca. 2400Hz) eingestellt und nach Versuchsaufbau
aus Abb. 2.10 mit der Timer-Box an CASSY Kanal B gemessen.
Im weiteren wird mit CASSY Kanal B die Mikrophonposition gemessen. Wie bei Messung 2.1.4.1
wird dazu der Wegaufnehmer über die Strombox angeschlossen.
Vor der Aufnahme der Meßwerte empfiehlt es sich, den dynamischen Bereich des Mikrophon-
Kanals an die maximale Schalldruckamplitude bei Resonanz anzupassen, d.h. die Empfindlichkeit
des Mikrophons möglichst niedrig einstellen und ggf. die Amplitude am Funktionsgenerator
erhöhen, um den gewählten Meßbereich von CASSY Kanal A optimal auszunutzen.
CASSY-Lab Tip zur Aufzeichnung der Meßwerte:
CASSY / Kanal A / Spannung Ua1 0-Umax Nullpunkt links, gemittelt 1000 ms
Kanal B / Widerstand Rb1 0-3kOhm gemittelt 1000 ms
Meßparameter / manuell
Formel / neue Größe S=Rb1*15.91 (Wegaufnehmer Kalibration)
Darstellung / X-Achse S
Y-Achse Ua1
Nach Einstellen einer Position und Stabilisierung des Ortswertes wird mit Start/Stop [F9] ein
Meßwert aufgenommen. Die Wahl der weiteren Positionen sollte auf die optimale Bestimmung
der Resonanzlängen ausgerichtet sein. Abb. 2.8 zeigt eine solche Messung.
Abbildung 2.8: Messung der Schalldruckamplitude gegen die Resonatorlänge.
Zur quantitativen Auswertung werden die
Messungen in einer Datei abgespeichert. Es
werden die Resonanzlängen Ln bestimmt
und über n aufgetragen. Nach Gl. 2.5 liegen
diese Werte auf einer Geraden mit Steigung
v/2f. Bei bekannter Frequenz f wird mit dieser
Messung die Schallgeschwindigkeit v bestimmt.
Abbildung 2.9: Bestimmung der Schallgeschwindigkeit aus den Resonanzlängen.

2.1. SCHALLGESCHWINDIGKEIT IN GASEN 47
2.1.4.4 Resonanzfrequenzen einer stehenden Welle
Gemessen wird die Frequenz-Abhängigkeit der Schalldruckamplitude einer stehenden Welle am
schallharten Abschluß bei fester Resonatorlänge. Abb. 2.10 zeigt den Aufbau:
Mikrofon
58626
=
~
p eff
12 V
INPUT A
INPUT B
R
TIMER−BOX
R P +
E
T
F
I
U
524034
S
− +
SENSOR−CASSY 524010
Frequenz Bereich Amplitude
0.2
FEIN
− +
FG 200
2.4
x100k
x10k
x1k
x100
x10
x1
Signal Form
min max
DC
AC
low
Offset
0
− +
AC
high
Lautsprecher
Abbildung 2.10: CASSY Meßaufbau Schalldruck gegen Frequenz
Das Mikrophon im Effektivwertmodus ∼ = ⊓ wird an das Rohrende verschoben, um am
schallharten Abschluß im Druckbauch die Schalldruckamplitude zu messen. Es wird direkt an
Sensor-CASSY Kanal A angeschlossen.
Als Schallquelle dient der Lautsprecher in der Kappe, die das Rohr am hinteren Ende abschließt,
um Sinusschwingungen zwischen 200 Hz und 2400 Hz zu erzeugen. Angeregt wird er vom Funktionsgenerator,
der folgendermaßen eingestellt wird:
Signalform ∼ (Sinusschwingung)
Bereich x1k (0.2 - 2.4 x 1 kHz)
Offset 0 (kein Konstantstrom durch den Lautsprecher)
Amplitude mittig (Minimum für sichere Frequenzmessung)
Der Lautsprecher wird mit dem BNC-Lemo-Adapter an den niederohmigen DC-Ausgang angeschlossen.
Zur Frequenzmessung wird der rechte Hochpegel AC-Ausgang an den Eingang E der
CASSY Timer-Box in Sensor-CASSY Kanal B angeschlossen.

48 KAPITEL 2. AKUSTIK
Vor der Aufnahme der Meßwerte empfiehlt es sich, den dynamischen Bereich des Mikrophon-
Kanals an die maximale Schalldruckamplitude bei Resonanz anzupassen, d.h. die Empfindlichkeit
des Mikrophons möglichst niedrig einstellen und ggf. die Amplitude am Funktionsgenerator
erhöhen, um den gewählten Meßbereich von CASSY Kanal A optimal auszunutzen.
CASSY-Lab Tip zur Aufzeichnung der Meßwerte:
CASSY / Kanal A / Spannung Ua1 0-Umax Nullpunkt links, gemittelt 1000 ms
Kanal B / Timerbox / Frequenz fb1(E) 5000 Hz Torzeit 1s
Meßparameter / manuell
Darstellung / X-Achse fb1
Y-Achse Ua1
Nach Einstellen einer Frequenz und Stabilisierung des Frequenzwerts wird mit Start/Stop [F9]
ein Meßwert pro Frequenz aufgenommen. Die Wahl der weiteren Frequenzwerte sollte auf die
optimale Bestimmung der Resonanzfrequenzen ausgerichtet sein. Abb. 2.11 zeigt eine solche
Messung. Wie zu erkennen ist, sind diese Resonanzen recht schmal. Daher empfiehlt es sich,
deren Lage vorher abzuschätzen. Mit der Frequenz-Feineinstellung kann ein Resonanzbereich
dann komplett durchgestimmt werden.
Abbildung 2.11: Messung der Schalldruckamplitude gegen die Frequenz
Zur quantitativen Auswertung werden die
Messungen in einer Datei abgespeichert. Es
werden die Resonanzfrequenzen fn bestimmt
und über n aufgetragen. Nach Gl. 2.4 liegen
diese Werte auf einer Geraden mit Steigung
v/2L. Bei bekannter Resonanzlänge L
des Rohres (zwischen den Endkappen) wird
mit dieser Messung die Schallgeschwindigkeit
v bestimmt:
Abbildung 2.12: Bestimmung der Schallgeschwindigkeit aus den Resonanzfrequenzen.

2.2. SCHALLGESCHWINDIGKEIT IN FESTKÖRPERN 49
2.2 Schallgeschwindigkeit in Festkörpern
2.2.1 Versuchsziel
Messung der Schallgeschwindigkeit in Metallen zur Bestimmung des Elastizitätsmoduls.
Vorkenntnisse: Wellen
Schallausbreitung in Festkörpern
Überlagerung von Wellen
Stehende Wellen
Fourier-Analyse
Benötigte Geräte: Sensor CASSY 1x
Universalmikrophon mit Stativstange 1x
Sockel 1x
Tischklemme 1x
Metallstange 20cm 1x
Kreuzmuffe 1x
Metallstift ø 4mm L 30mm 1x
Gummi-Hammer 1x
Mikrometermaß 0-25mm 1x
Stahl-Bandmaß 2m 1x
Metallstangen 1.3m Cu, Al, Fe, Messing je 1x
Analysewaage im Raum
2.2.2 Grundlagen
Der Elastizitätsmodul E ist eine Materialkonstante und charakterisiert die relative Längenaus-
dehnung eines Materials abhängig von der angreifenden Zugspannung: E := F ∆L / A L .
Für Metalle ist E in der Größenordnung 10 11 N/m 2 und damit nur für dünne Drähte statisch
meßbar. Mit Metallstäben�ist jedoch eine dynamische Messung möglich, indem die Ausbreitungsgeschwindigkeit
vl = E/ϱ von longitudinalen Schallwellen bestimmt wird.
Ein mittig eingespannter Stab der Länge L wird durch geeignetes Anschlagen zur longitudinalen
Grundschwingung der Wellenlänge λ0 = 2L angeregt. Die Frequenz f0 und die Dichte ϱ werden
gemessen und mit vl = f0 · λ0 ergibt sich
E = ϱ · f 2 0 · 4L 2
(2.6)

50 KAPITEL 2. AKUSTIK
2.2.3 Messung und Auswertung
Ausmessen des Stabes zur Dichtebestimmung
a Länge L mit dem Bandmaß
b Durchmesser D mit dem Mikrometermaß, gemittelt über
mehrere Positionen entlang des Stabs (kann variieren)
in mehreren Orientierungen (Elliptizität)
c Masse M auf der Analysewaage
Die Dichte berechnet sich zu ϱ = M/V = M/(L · πD 2 /4)
Einspannen des Stabes
Abb. 2.13 zeigt den mechanischen Aufbau zusammen mit der Sensor-CASSY Datenaufnahme.
Mikrofon
58626
=
~
Ampl.
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
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¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
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¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
Abbildung 2.13: CASSY Meßaufbau Schallgeschwindigkeit in Stäben
12 V
INPUT A
INPUT B
R
S
I
U
U
− +
SENSOR−CASSY 524010
Die Kreuzmuffe wird an der kurzen Metallstange mit der Tischklemme am Tisch befestigt. Der
1.3m Metallstab wird – von einem Metallstift unterstützt – parallel zur Tischfläche so in der
Kreuzmuffe eingespannt, daß er nur an 2 Punkten (Pfeile) gehalten wird und damit frei schwingen
kann.

2.2. SCHALLGESCHWINDIGKEIT IN FESTKÖRPERN 51
Aufnahme der Meßwerte
Als Meßaufnehmer dient das Mikrophon. Es wird im Amplitudenmodus ∼ = ⊓ auf niedrigster
Empfindlichkeit in ca. 5mm Abstand vom Stabende aufgestellt und eingeschaltet 2 . Aufgezeichnet
werden die Meßwerte mit Sensor CASSY. Bei geeigneter Einstellung der Zeitbasis können sowohl
die Schwingungen, als auch deren Fast-Fourier-Frequenzspektren (FFT) dargestellt werden.
CASSY-Lab Tip zur Aufzeichnung der Meßwerte:
CASSY / Kanal A / Spannung Ua1 +-0.3V Momentanwerte
Meßparameter / automatisch Intervall 100 mu s x16000
Darstellung / X-Achse t
Y-Achse Ua1
FFT / Fast Fourier Transformation von Ua1
Angeregt wird die Schwingung durch einen leichten Schlag auf das Stabende mit dem Gummihammer.
Der Anschlag wird solange variiert, bis der Höreindruck bzw. das Frequenzspektrum
eine saubere Anregung der Grundschwingung zeigt. Bessere Ergebnisse werden erzielt, wenn die
Messung mit [F9] ([n]) erst im Ausklingen der Schwingung gestartet wird, da so die Einschwingvorgänge
direkt nach dem Anschlagen nicht mit aufgezeichnet werden. Abb. 2.14 zeigt ein solches
FFT-Spektrum für einen Messingstab.
Abbildung 2.14: FFT-Spektrum mit Oberschwingung in log-Darstellung erkennbar
2 Das Mikrophon schaltet sich nach ca. 10 Min. selbständig aus, um die Akkulaufzeit zu verlängern. Bei
Verschwinden des Signals (’kein Trigger’) daher zuerst durch Wiedereinschalten dieses Problem ausschließen.

52 KAPITEL 2. AKUSTIK
Fünf solcher Schwingungen mit etwa 1000 Perioden sowie deren FFT-Spektren incl. der Bestimmung
des Peakschwerpunktes von f0 werden zur weiteren Auswertung abgespeichert.
Diese Messungen sollten mit den anderen Gruppen im Raum koordiniert werden, denn ein weiterer
zur selben Zeit angeschlagener Metallstab gleichen Materials würde die Messung verfälschen.
Ein zur selben Zeit angeschlagener Metallstab anderern Materials ist im Fourier-Spektrum problemlos
bei seiner Frequenz zu erkennen und beeinträchtigt wegen der schmalen Linienbreite die
Auswertung nicht. Er wäre auch mit wesentlich kleinerer Amplitude zusätzlich auswertbar.
Auswertung der Meßdaten
a Aus einem Ausschnitt der aufgezeichneten Schwingung wird wie z.B. in Abb. 2.15 die
Frequenz f0 aus der Zeitdauer für mindestens 20 Perioden ermittelt.
b Aus dem diskreten FFT-Frequenzspektrum wird f0 wie z.B in Abb. 2.16 aus der Peaklage
der Grundschwingung bestimmt.
c Eine Fouriertransformation der gesamten aufgezeichneten Schwingung ui(ti) liefert eine genauere
Frequenzbestimmung. Dazu wird der Betrag der Fouriertransformierten a in einem
Bereich f = f0 � ± 10 Hz in geeigneter Schrittweite berechnet:
��
� n�
�2 �
n�
�2 |a(f)| ∼ �
ui · cos (2πfti) + ui · sin (2πfti)
i=1
i=1
Die Lage des Maximums von |a(f)| und damit f0 wird durch Anpassung einer Parabelfunktion
oder den Peakfinder bestimmt. Für diese Auswertung gibt es ein Maple-Script
Beispiel.
Fehlerabschätzung
Systematische Fehler resultieren z.B. aus Gerätegenauigkeiten oder Ablesefehlern. Sie werden
für jede Einzelmessung geschätzt. Statistisch verteilte Fehler werden durch die Streuung von
Mehrfachmessungen abgeschätzt. Der Gesamtfehler ergibt sich mittels Fehlerfortplanzung aus
den Einzelfehlern, hier zu: ∆E = E · �
(2 ∆f0
- Zeitbasis und FFT Peaklagen-Fehler für f0
f0 )2 + ( ∆M
M )2 + ( ∆L
L )2 + (2 ∆D
D )2
- Meßfehler für Stab-Länge, -Durchmesser und -Masse
- Temperatur: L = L0(1 + αl(T − T0)) mit Längenausdehnungskoeffizient αl
Wie groß ist dieser Beitrag für f0 und ϱ ?
Bei dieser Messung ist eine Abschätzung der Einzelfehlerbeiträge sehr aufschlußreich.

2.2. SCHALLGESCHWINDIGKEIT IN FESTKÖRPERN 53
Abbildung 2.15: Ausschnitt der aufgezeichneten Messingstab-Schwingungen
Abbildung 2.16: FFT-Peakposition der Messingstab-Grundschwingung

54 KAPITEL 2. AKUSTIK
2.3 Schwebungen von Schallwellen
2.3.1 Versuchsziel
Spektralanalyse von Wellenüberlagerungen
Vorkenntnisse: Wellen
Überlagerung von Wellen
Fourier-Analyse
Benötigte Geräte: Sensor CASSY 1x
Universalmikrophon mit Stativstange 1x
Sockel 1x
Stimmgabel Resonanzkörper Schiebe-Gewicht je 2x
Anschlaghammer 1x
2.3.2 Grundlagen
Schallwellen breiten sich in einem Medium aus. Da z.B. in Luft dieselben Gasmoleküle von verschiedenen
Schallquellen zu Schnelleoszillationen angeregt werden, überlagern sich alle in einem
Punkt eintreffenden Schallwellen. Schalldruck p und Schallschnelle u sind bei ebenen fortlaufenden
Wellen mit u(x, t) = u0 cos (2πft − 2πx/λ) in Phase: p(x, t) = ϱfλ · u(x, t)
Der Schalldruck p am Ort x ergibt sich als Summe aller eintreffenden Wellen: p(x, t) = �
pi(x, t)
Für zwei einander entgegenlaufende Wellen i=1,2 mit Kreisfrequenzen ωi = 2πfi, Kreiswellenzahlen
ki = 2π/λi gleicher Amplitude p0 � und beliebiger Phasendifferenz φ ergibt sich:
ω1 + ω2
p(x = 0, t) = p1 + p2 = 2p0 cos t −
2
φ
� �
ω1 − ω2
· cos t +
2
2
φ
�
,
2
d.h. eine Schwingung mit mittlerer Frequenz ¯ f und Schwebungsfrequenz fs:
¯f = f1 + f2
2
fs = f1 − f2
2
Mit Ts = 1/fs haben zwei aufeinanderfolgende Schwebungsknoten einen Abstand Tk = Ts/2.
2.3.3 Messung und Auswertung
Mit dem eingeschalteten 3 Mikrophon im Amplitudenmodus ∼ = ⊓ auf niedrigster Empfindlichkeit
wird der Schalldruck mittig zwischen den Resonanzkörpern der zwei Stimmgabeln
gemessen, die mit Zusatzmassen unterschiedlich gestimmt werden können. Die Meßwerte werden
mit Sensor-CASSY in geeigneter Schrittweite aufgezeichnet, sodaß sowohl die Schwingungen als
auch deren Fast-Fourier-Frequenzspektren (FFT) sinnvoll dargestellt werden. Abb. 2.17 zeigt den
Aufbau.
3 Das Mikrophon schaltet sich nach ca. 10 Min. selbständig aus, um die Akkulaufzeit zu verlängern. Bei
Verschwinden des Signals (’kein Trigger’) daher zuerst durch Wiedereinschalten dieses Problem ausschließen
i
(2.7)

82 CASSY Lab
Akustische Schwebungen
2.3. SCHWEBUNGEN VON SCHALLWELLEN 55
Abbildung Beispiel laden 2.17: CASSY Meßaufbau Akustische Schwebungen
Versuchsbeschreibung
Es wird die Schwebung aufgezeichnet, die durch zwei geringfügig gegeneinander verstimmte Stimmgabeln
erzeugt wird. Die Einzelfrequenzen f1 und f2, die neue Schwingungsfrequenz fn und die
Schwebungsfrequenz fs werden ermittelt und können mit den theoretischen Werten
Vor der Aufnahme der Meßwerte den dynamischen Bereich des Mikrophon-Kanals an die maximale
Schalldruckamplitude anpassen.
fn = ½ (f1 + f2) und fs = | f1 − f2 |
verglichen werden.
CASSY-Lab Tip zur Aufzeichnung der Meßwerte:
Benötigte Geräte
1 Sensor-CASSY 524 010
1 CASSY Lab 524 200
1 Paar Resonanzstimmgabeln 414 72
1 Trigger Universalmikrofon Ua1 0.1 V steigend 586 26
1 Sockel 300 11
1 PC ab Windows 95/98/NT
CASSY / Kanal A / Spannung Ua1 +- Umax V Momentanwerte
Meßparameter / automatisch Intervall 500 mu s x16000
Darstellung / X-Achse t
Y-Achse Ua1
FFT / Fast Fourier Transformation von Ua1
Versuchsaufbau (siehe Skizze)
Das Universalmikrofon (Funktionsschalter auf Betriebsart “Signal” und Einschalten nicht vergessen)
wird zwischen beiden Stimmgabeln positioniert und an Eingang A des Sensor-CASSYs angeschlossen.
Eine der Stimmgabeln wird durch eine Zusatzmasse geringfügig verstimmt.
Für die Schwebung ist – wie in Abb. 2.18 ausschnittweise zu sehen – auf eine möglichst vollständige
Auslöschung in den Schwebungsknoten zu achten, d.h. die Amplituden der beiden Schallwellen
müssen beim Mikrophon gleich groß sein.
Versuchsdurchführung
Einstellungen laden
• Erste Stimmgabel anstoßen und Messung mit F9 auslösen
• Signalstärke mit Einsteller am Mikrofon optimieren
• Frequenz f1 ermitteln (z. B. durch senkrechte Markierungslinien in der Standard-Darstellung oder
als Peakschwerpunkt im Frequenzspektrum)
Neben der Schwebung für drei verschiedene Frequenzdifferenzen sind auch die Schwingungen
und FFT-Frequenzspektren der einzeln angeschlagenen Stimmgabeln aufzuzeichnen. Diese Messungen
sollten mit den anderen Gruppen im Raum koordiniert werden, um störungsfreie Daten
aufzuzeichnen.

56 KAPITEL 2. AKUSTIK
Abbildung 2.18: Schwebung mit nahezu vollständiger Auslöschung in den Schwebungsknoten
Auswertung der Meßdaten
a Aus einem Ausschnitt der aufgezeichneten Schwingungen werden die Frequenzen f1, f2 und
¯f aus der Zeitdauer für mindestens 20 Perioden ermittelt.
Die Schwebungsfrequenz fs wird aus dem Zeitabstand Tk der Schwebungsknoten bestimmt.
Decken sich die Messungen von ¯ f und fs mit den Vorhersagen aus Gl.2.7?
b Aus den diskreten FFT-Frequenzspektren der einzeln und gemeinsam angeschlagenen Stimmgabeln
werden die Frequenzen f1 und f2 – wie z.B in Abb. 2.19 für die Schwebung gezeigt
– aus den Peaklagen bestimmt.
Abbildung 2.19: Bestimmung der Einzelfrequenzen aus den FFT-Peaklagen
c Die Fouriertransformation der gesamten aufgezeichneten Schwingungen ui(ti) zeigt deren
spektrale Zusammensetzung. Dazu wird der Betrag der komplexen Fouriertransformierten
a(f) ∼ � +∞
−∞ u(t)e−i2πf·tdt in einem Bereich ±2fs um f1, f2 bzw. ¯ f in geeigneter Schrittweite
durch Summen-Näherung �
des Fourierintegrals berechnet:
��
� n�
�2 �
n�
�2 |a(f)| ∼ �
ui · cos (2πfti) + ui · sin (2πfti)
i=1
i=1

2.3. SCHWEBUNGEN VON SCHALLWELLEN 57
Die Lage der Maxima von |a(f)| und damit f1 bzw. f2 werden – wie in Abb. 2.20 gezeigt
– durch Anpassung von Parabelfunktionen bestimmt.
In der Fouriertransformierten der Schwebung können die zwei Frequenzen noch getrennt
werden, wenn ihr Abstand ∆f größer ist, als die eineinhalbfache Halbwerts-Breite σf
der Einzelspektren. Diese Breite fällt mit der Anzahl N der aufgezeichneten Perioden:
σf/f ≈ 1/2N, sodaß sich als Trenn-Bedingung ergibt: Tmess = N ¯ T > 1.5Tk.
Damit ist auch in der Fouriertransformierten eine Trennung der zwei Frequenzen erst
möglich, wenn mindestens zwei Schwebungsknoten aufgezeichnet wurden. Dies kann durch
Einschränkung der verwendeten Meßwerte in den Fouriersummen gezeigt werden.
Fehlerabschätzung
Die Abschätzung der Fehler beschränkt sich hier auf die Genauigkeit mit der die Zeitdauer für
die gemessenen Schwingungsperioden ermittelt werden kann. Wegen der diskreten Abtastung des
Signals ui zu Zeiten ti mit Abstand ∆ti ist selbst durch Interpolation zwischen zwei Meßwerten
keine Verbesserung unter 0.1 ∆ti zu erwarten.
Im Allgemeinen lassen sich Nulldurchgänge präziser ermitteln als die Extrema, dabei ist aber ein
evtl. vorhandener Offset der Schwingung, d.h. eine Abweichung der Nullage von u zu berücksichtigen.
Für die Fouriertransformierten sind die Fehler der Fit-Parameter der Peak-Maxima eine Abschätzung.
Dabei ist auf eine sinnvolle Güte der Anpassung zu achten (χ 2 pro Freiheitsgrad ≈ 1).
Da diese Messung nur ein relativer Vergleich ist, heben sich die systematischen Fehler auf und es
bleiben die statistisch verteilten Fehler. Diese können auch aus der Schwankung von Mehrfachmessungen
abgeschätzt werden.

58 KAPITEL 2. AKUSTIK
u/V
u/V
abs(a)
0.5
0
-0.5
0.05
0
-0.05
0.15
0.1
0.05
0
0 2 4 6 8
t/s
2.45 2.5 2.55 2.6 2.65
t/s
f1 = 439.334 Hz f2 = 439.835 Hz
439 439.5 440
Abbildung 2.20: Fouriertransformation für nah beieinander liegende Einzelfrequenzen
Oben: Die gesamte aufgezeichnete Schwebung
Mitte: Ein Ausschnitt mit Knoten bei t=2.55s
Unten: Die Fouriertransformierte mit Parabelanpassungen für f1 und f2
f/Hz

2.4. DOPPLER-EFFEKT 59
2.4 Doppler-Effekt
a) Messung der Schallgeschwindigkeit in Luft
b) Doppler-Effekt
c) Echolot
2.4.1 Versuchsziele
α) Abstrahlcharakteristik des Senders (Schallumwandler)
Hierbei handelt es sich um einen Vorversuch, um einen guten, langzeitstabilen Senderbetrieb
zu garantieren.
a) Bestimmung der Schallgeschwindigkeit in Luft
Mit einem Oszilloskop wird die Phasenverschiebung bei Veränderung des Abstandes zwischen
Sender und Empfänger sichtbar gemacht. Das Durchfahren von 100 Wellenlängen bei
fester Senderfrequenz ermöglicht die Bestimmung der Schallgeschwindigkeit in Luft.
b) Überprüfung des Doppler-Effektes
Das Frequenzspektrum einer periodisch hin- und herfahrenden Schallquelle wird ausgemessen
und mit der theoretischen Erwartung verglichen.
c) Das Echolot-Prinzip wird an einer reflektierenden Wand erprobt.
2.4.2 Physikalische Grundlagen
Kenntnisse:
Wellengleichungen, Schall als harmonische Welle, Dopplereffekt, Echolot-Prinzip
Schall ist eine longitudinale Welle mit den Feldgrößen Schalldruck p (skalar) und Schallschnelle
u (Bewegung der Einzelteilchen entlang Ausbreitungsrichtung). In diesem Versuch werden Ultraschallwellen
(hörbarer Schall endet – je nach Güte des menschlichen Ohres – bei 15 bis 20 kHz)
benutzt, um die Schallgeschwindigkeit in Luft und den Doppler-Effekt zu messen. Als letzter
Versuchsteil wird das Sender–Empfänger–System ebenfalls in Luft als Echolot betrieben.
Eine ebene Welle, die sich o.B.d.A in x-Richtung ausbreitet, wird durch die Wellengleichung der
Form:
d2a 1
=
dx2 c2 · d2a dt2 beschrieben, wobei a die Feldgröße (p und u) bezeichnet. Zur Herleitung der Wellengleichung in
Gasen benötigt man die Eulerschen Gleichungen für adiabatische Prozesse:
dp
dx
= −ρ · du
dt
,
dp
dt = −p0κ · du
dx
wobei ρ, p0 und κ Dichte, Druck und Adiabatenkoeffizient (= cp/cV = 1,4 bei zweiatomigen
Gasen) des Mediums sind.
(2.8)
(2.9)

60 KAPITEL 2. AKUSTIK
Aufgabe: Man leite die Wellengleichung 2.8 aus 2.9 her und zeige, dass für die Schallgeschwindigkeit
c (im dispersionslosen Fall) gilt:
c =
� κ · p0
Da ρ und p0 temperaturabhängig sind, ist es auch die Schallgeschwindigkeit.
Aufgabe: Man zeige mit Hilfe der idealen Gasgleichung die Beziehung:
c =
ρ
�
R · κ
Mmol
(2.10)
· √ T (2.11)
und entwickle diese für Raumtemperatur ϑ (in ◦ C, d. h. T = 273 + ϑ). Einsetzen der Werte für
Luft (80%N2, 20%O2) ergibt:
c =
�
331, 6 + 0, 6 ϑ
◦ C
� m
s
ϑ in ◦ C (2.12)
Die Lösung der Wellengleichung gibt den zeitlichen und räumlichen Verlauf – z.B. der Druckamplitude
p – wider:
�
p(x, t) = ˆp · sin 2π f0 · t − x
λ0
�
+ Φ
(2.13)
Die Phase Φ kann in unserem Fall o.B.d.A. zu Null gesetzt werden.
Aufgabe: Man zeige durch Einsetzen von 2.13 in 2.8, dass für die Wellenlänge λ0
Frequenz f0 gilt:
und die
c = λ0 · f0
(2.14)
Somit kann die Schallgeschwindigkeit durch gleichzeitige Messung der Wellenlänge und der
Frequenz bestimmt werden. Sendet z. B. ein Sender mit konstanter Frequenz f, so kann ein
Empfänger an einem festen Ort eine zeitliche Schwingung mit dieser Frequenz registrieren:
p(t) = p0 · sin 2π (f0 · t + Φ ′ ) (2.15)
Die Phase Φ ′ ist nun durch den Abstand zwischen Sender und Empfänger in Wellenlängeneinheiten
bestimmt.
Zur Piezo-Elekritzität:
Bestimmte Kristalle können entlang ausgezeichneter (polarer) Symmetreiachsen bei mechanischem
Druck eine elektrische Polarisation erfahren, die eine messbare Spannung an den Außenflächen
des Kristalls erzeugt. Andererseits kann eine angelegte Spannung zu einer mechanischen
Verschiebung der kristallinen Struktur führen. Diese Effekte können wegen der kleinen Auslenkungen
sehr schnell ablaufen. In diesem Versuch werden Piezokristalle als sogenannte Ultraschallwandler
benutzt. Trotz der für ein Material immer gleichen Kristallstruktur, die im Prinzip
immer zu derselben Resonanzfrequenz führen müsste, besitzt jeder Kristall aufgrund seiner geometrischen
Dimensionen eine eigene Resonanzfrequenz, bei der er maximalen Ausschlag zeigt.
Die Resonanzfrequenz der verwendeten Ultraschallwandler liegt bei 40 kHz.

2.4. DOPPLER-EFFEKT 61
Abbildung 2.21: Der Doppler-Effekt bei bewegter Quelle
Zum Doppler-Effekt:
Wenn sich Sender und Empfänger relativ zueinander bewegen, misst der Empfänger eine von
der Senderfrequenz f0 verschiedene Frequenz f. Bewegen sie sich mit einer Geschwindigkeit v
aufeinander zu, so wird die Welle ’zusammengedrückt’, bewegen sie sich voneinander weg, wird
die Welle ’auseinandergezogen’.
Aufgabe: Man leite die unterschiedlichen Bezeihungen für die vom Empfänger registrierte Fre-
quenz f her:
und
f = f0 ·
1
1 ± v/c
f = f0 · (1 ± v/c)
�
�
v
+ : Sender entfernt sich
− : Sender nähert sich
�
+ : Empfänger nähert sich
− : Empfänger entfernt sich
�
(2.16)
(2.17)
Meist ist die Geschwindigkeit des Senders klein gegenüber der Schallgeschwindigkeit c (wir erwarten
in diesem Versuch 1 : 350), sodass die erste Formel gemäß der Taylorentwicklung umgeformt
werden kann in:
f = f0 ·
�
1 ∓ v
c ±
� � �
v 2
�
∓ . . . ≈ f0 ·
c
1 ∓ v
c
�
(2.18)
Aufgabe: Die Schallgeschwindigkeit und die Sendergeschwindigkeit sei jeweils auf 0,1% genau
bestimmt. Ist für v : c = 1 : 350 messbar, ob die exakte oder die genäherte Formel stimmt?
Somit kann man von einem proportionalen Zusammenhang zwischen v und Frequenzverschiebung
∆f ausgehen:
∆f
f0
= f − f0
f0
= ∓ v
c
�
− : Sender entfernt sich
+ : Sender nähert sich
�
(2.19)

62 KAPITEL 2. AKUSTIK
Zum Echolot:
Das Echolotprinzip ist aus dem Alltag wohlbekannt: Schall (und natürlich auch Ultraschall) wird
an Grenzflächen zwischen Medien unterschiedlichen Schallwellenwiderstandes gut reflektiert. Das
Echolot benutzt eine gepulste Schallquelle, um Wellenpakete zu senden, welche reflektiert und
mit einem Empfänger registriert werden.
Aufgabe: Warum muss die Quelle gepulst sein? Warum benutzt man Ultraschall?
Es wird der Zeitunterschied ∆t zwischen Aussendung des Signals und Einlauf des reflektierten
Signals gemessen. Dann ist der Abstand zur Grenzfläche:
d = 1
· ∆t · c (2.20)
2
Zur Erzeugung und Messung der Ultraschallwellen werden sogenannte Ultraschallwandler benutzt.
Die Umwandlung zwischen elektrischer und mechanischer Energie erfolgt durch den piezoelektrischen
Effekt. Im beweglichen Sendergehäuse wird die Piezo-Fläche von einer kontinuierlichen
Rechteckspannung angeregt und sendet eine harmonische Schallwelle (mit nur einer
Frequenz f0) aus.
2.4.3 Versuchsaufbau
Es steht folgendes Material zur Verfügung:
• Pendelbahn mit 16 Schienenabschnitten (≈ 2m, Firma LEGO),
Kontrollelektronik Pendelzug zur automatischen Pendelbewegung und Zeitmessung mit
Netzteil und 4 Lichtschranken.
Es soll eine möglichst lange Messstrecke aufgebaut werden, wobei ein wenig Auslaufreserve
dazugegeben werden muss (probieren bei maximaler Versorgungspannung ≈ 4,5 V).
Die Pendelbahn wird gemäß Abb. 2.22 an das Gerät Pendelzug angeschlossen. Die äuße-
Netzteil
12V
Pendelzug Kontrollelektronik
SDS200
L1 L2 L3 L4
Pendelzug mit Batterie und Sender
Abbildung 2.22: Schematischer Versuchsaufbau
zum PC
¡ ¢ ¡ ¡ ¡
MXG−9802A
,,
Empfanger
ren Lichtschranken L1 und L4 werden zum Stoppen des Triebwagens und Rücksetzen der

2.4. DOPPLER-EFFEKT 63
Stoppuhr, die inneren Lichtschranken L2 und L3 zur Zeitmessung benutzt. Die Pendelzugkontrolle
schaltet automatisch an den Endpunkten von Vor- auf Rücklauf (bzw. umgekehrt)
um, wobei der Triebwagen an den Endpunkten einige Zeit verweilt, damit die Messwerte
notiert werden können und die Senderfrequenz f0 beim Doppler-Effekt gemessen wird.
Die Kontrollelektronik Pendelzug (Abb. 2.23) besitzt folgende Bedienelemente:
– Drehpotentiometer: Versorgungsspannung (0.0 . . . ≈ 4, 5 V)
– linker Schalter: Mit START und STOP wird die Versorgungsspannung des Triebwagens
kontrolliert. Die Stoppuhr ist davon unabhängig. Sie reagiert nur auf Signale
der Lichtschranken L2 und L3. Während des Versuchs wird der Schalter nur für den
Doppler-Effekt in START-Stellung gebracht, ansonsten wird der Triebwagen von Hand
bewegt.
– rechter Schalter: Umschalten zwischen manuellem (MAN) und automatischem Betrieb
(AUTO).
Während des ganzen Versuchs belässt man den Schalter in der Stellung AUTO.
– linke Anzeige: Versorgungsspannung des Pendelzugs in Volt
– rechte Anzeige: Stoppuhr in ms
Netzteil− CANON−D Buchse
anschluss Bahn & Lichtschranke
PENDELZUG
U
2.80
START
SPEED
T
1604.3
MAN
STOP AUTO
Abbildung 2.23: Pendelzug Kontrollelektronik
• piezoelektrischer Schallumwandler als Empfänger mit angeschlossenem LEMO-Kabel.
• Sender-Box (siehe Abb. 2.24) mit batteriebetriebenem piezoelektrischem Schallumwandler,
kontinuierlicher oder gepulster Betrieb.
Ein Frequenzgenerator erzeugt eine Rechteckspannung mit einer Frequenz von ≈ 40 kHz,
die der Schallumwandler in eine harmonische (sinusförmige) Schallwelle umwandelt. Schaut
man von vorne auf den Sender, so befinden sich an der rechten Seite die Batterieanschlüsse
und an der linken Seite ein Drehpotentiometer und eine LEMO-Buchse. Mit dem Drehpotentiometer
ist die Anregerfrequenz in einem Bereich von einigen Hundert Hertz einstellbar.

64 KAPITEL 2. AKUSTIK
gepulstes Signal
Aus/Ein
Poti. fur
Frequenz−
Abstimmung
LEMO−Buchse:
elektr. Erregersignal
PULSE
OFF
BAT
OFF
Abbildung 2.24: Sender-Box
Betriebsschalter
Aus/Ein
Ultraschall−
wandler
An der LEMO-Buchse kann das Erregersignal abgegriffen werden. Oben auf der Sender-Box
befinden sich zwei Kippschalter: der rechte schaltet die Versorgungsspannung (OFF/BAT)
durch, der linke schaltet zwischen kontinuierlichem (OFF) und gepulstem Betrieb (PULSE).
DEN SENDER ERST EINSCHALTEN, WENN DER AUFBAU KOMPLETT IST UND
MIT DEN MESSUNGEN BEGONNEN WERDEN KANN (Kap. 2.4.4).
• Funktionsgenerator/messer CONRAD MXG-9802 A, der als computerauslesbarer Frequenzmesser
betrieben wird, Kabel für serielle Schnittstelle.
Der Schalter FC/FG schaltet die Digitalanzeige zwischen internem (Frequenzgenerator) und
externem Signal um (Frequenzmesser). Der Frequenzmesser misst während einer einstellbaren
Zeit (Gate) die Frequenz und zeigt sie auf dem Display an.
Aufgabe: Mit welcher Genauigkeit lässt sich die Frequenz bestimmen bei Gate-Zeiten von
1/10s, 1s, 10s?
Beim Einschalten des Gerätes wird automatisch das Gate auf 1 Sekunde und der ausgelesene
Kanal (CHAN) A gewählt. Diese Einstellungen sollten für die gesamte Versuchsdauer beibehalten
werden. Überprüfen Sie die Einstellungen auf dem Display (untere LED-Leiste).
Als Kabelanschluss für das Empfängersignal wird der zweite von rechts (CH-A 200MHz)
benutzt. Der Frequenzmesser ist über die serielle Schnittstelle (Anschluss an der Rückseite)
mit dem Praktikums-Computer auslesbar. Das Ausleseprogramm “doppler” mit graphischer
Anzeige wird vom Assistenten bereitgestellt. Eine detaillierte Beschreibung über die Bedienung
findet sich in Kap. 2.4.4. Bitte kopieren Sie dieses Programm in Ihren Bereich, da
sonst alle Datein mit Ihren Messungen auf dem Desktop abgelegt werden.
• LEMO– und BNC–Kabel mit Adaptern (“T”).
• computerausgelesenes, digitales Speicheroszilloskop SDS 200, USB-Kabel.
Das Oszilloskop wird über das USB-Kabel an den Praktikums-Computer angeschlossen.
Die Spannungsversorgung des Gerätes wird über das USB-Kabel geliefert. Das Programm
SoftScope 1.2 zum Auslesen und Darstellen der Messwerte wird vom Desktop des Praktikums-
Computers gestartet.
Beim Starten des Programms schaltet das Oszilloskop einige Relais durch, NICHT ER-
SCHRECKEN!

2.4. DOPPLER-EFFEKT 65
Zum besseren Kennenlernen des Oszilloskops kann das Signal des Frequenzgenerators auf
einen Kanal (z. B. Ch1) gegeben werden. Die verschiedenen Funktionen (Trigger, Delay,
Cursor, Messungen, usw.) können dann sozusagen an einer selbst bestimmbaren “Schwingungsquelle”
ausprobiert werden. Die Beschreibung der einzelnen Bedienelemente würde
den Rahmen dieser Versuchsbeschreibung sprengen. Der Praktikumsassistent wird die wichtigsten
Punkte vorstellen und für weitere Fragen zugegen sein. Es liegt auch eine kurze
Bedienungsanleitung bei.
• 1 Metermaßband.
2.4.4 Versuchsdurchführung
α) Bestimmung der Abstrahlcharakteristik des Senders
• zeitabhängig
Beim Einschalten des Senders wärmt sich die Treiberelektronik langsam auf. Dies kann
zu einer Frequenzverschiebung führen. Messen Sie die Frequenz mit dem Frequenzmesser
CONRAD MXG-9802 A nach dem Einschalten alle 30 Sekunden. Beobachten Sie,
ob die Frequenz ab einer gewissen Zeit stabil bleibt. Danach sollte der Sender nicht
mehr ausgeschaltet werden, um Frequenzschwankungen während der Messungen zu
unterdrücken.
Für diese Messung kann auch das Programm “doppler” benutzt werden, das im Abschnitt
b) genauer beschrieben wird.
• frequenzabhängig Diese Messung erfolgt mit dem Oszilloskop. Die angezeigte Spannung
(linke Menü-Leiste, von Spitze zu Spitze) ist proportional zur Druckamplitude.
Da es sich hier um eine relative Amplitudenmessung handelt, sollte der Messbereich
bzw. Abstand zum Empfänger so gewählt werden, dass der Messbereich vollkommen
ausgenutzt wird (z. B. einmal die Frequenz durchfahren und beim maximalen Messwert
den Abstand entsprechend festsetzen).
Die Schallintensität des Senders variiert etwas. Einige Messwerte im Abstand von einigen
Sekunden notieren und mitteln. Die Messwerte in ein Diagramm U(f) eintragen.
a) Messung der Schallgeschwindigkeit
Über eine Veränderung des Abstandes zwischen Sender und Empfänger wird die Phase der
gemessenen Wellenfront zur ausgesendeten Wellenfront verändert. Aus Gl. 2.13 erkennt
man, dass zwischen den Schwingungen (Gl. 2.15) an zwei verschiedenen Orten mit dem
Abstand d entlang der Ausbreitungsrichtung x der harmonischen Welle ein Phasenunterschied
besteht:
Φ ′ = 2π · d
(2.21)
Fährt man nun den Sender (mit der Hand) vom Empfänger weg, so läuft dieser Phasenunterschied
in der registrierten Schwingung durch. Nach einer komplett zurückgelegten
Wellenlänge λ0 ist die Schwingung wieder deckungsgleich mit der Startschwingung.
Diese Messung wird mit dem Oszilloskop durchgeführt: Auf Kanal 1 (Ch1) wird das elektrische
Ausgangssignal des Senders gegeben. Der Trigger wird auf Ch1 festgesetzt. Der
λ0

66 KAPITEL 2. AKUSTIK
Messbereich sollte so gewählt werden, dass zwei bis drei Rechteckstufen zu sehen sind. Auf
Kanal 2 (Ch2) wird nun das Ausgangssignal des Empfängers gegeben. Bei einer leichten
Verschiebung des Senders ist zu sehen, wie sich das sinusförmige Empfängersignal gegen das
Rechtecksignal verschiebt (siehe Abb. 2.25). Hinweise zur Durchführung und Auswertung:
Chan 2
Chan 1
Abbildung 2.25: Abbildung der Schwingungen mit dem Oszilloskop beim Durchfahren einer Wellenlänge
• Eine eindeutig gut ablesbare Phase als Ausgangspunkt nehmen.
Einen guten Anfangspunkt für die Streckenmessung nehmen (LEGO-Steinchen . . . )
Bei welchem Signal (Rechteckspannung oder Sinusschwingung) ist der Trigger stabiler?
• Langsam fahren, da das Oszilloskop sampled, was bei unregelmäßigem Signal zu breiten
Bändern in der Anzeige führt.
• Um einen möglichst kleinen relativen Fehler in der Streckenbestimmung zu erhalten,
werden 100 Wellenlängen durchgeschoben. Zur besseren Kontrolle des Zählvorgangs
alle 20 Wellenlängen den Wert der zurückgelegten Strecke und der Frequenz aufschreiben.
Sind bei jeder Messung genau 20 Wellenlängen durchfahren worden? Ist
die Senderfrequenz konstant?
• Die Wellenlänge wird durch lineare Regression im (nλ, d)–Diagramm bestimmt.
Wie groß ist der Fehler der Einzelmessung? Wie groß ist der Fehler von λ?
• Vergleichen Sie mit dem theoretisch erwarteten Wert (Gl. 2.12). Ein Thermometer ist
im Versuchsraum aufgehängt.
Wie groß ist der Fehler des erwarteten Wertes?
b) Messung des Doppler-Effekts
Bei verschiedenen Geschwindigkeiten (→ funktionaler Zusammenhang mit Versorgungsspannung)
wird die Frequenzänderung während der Fahrt des Senders auf den Empänger
zu, bzw. von ihm weg, gemessen.
Der Versuch setzt sich aus zwei Messungen zusammen:
(1) Bestimmung der Geschwindigkeit der Pendelbahn (in Abhängigkeit von der Versorgungsspannung)
(2) Bestimmung der Frequenzverschiebungen

2.4. DOPPLER-EFFEKT 67
Die beiden Messungen können kombiniert werden, d. h. es sollte gleichzeitig zur Laufzeitmessung
des Wagens die Freqenzverschiebung mit dem Programm “doppler” bestimmt
werden. Sie sind hier nur getrennt aufgeführt, um zu verdeutlichen, dass sie beide einer
entsprechenden Auswertung und Fehlerbetrachtung bedürfen.
zu (1): Geschwindigkeitsmessung
Bauen Sie die Pendelbahn mit den vier Lichtschranken entsprechend der Abb. 2.22 auf.
Die Funktionsweise der Elektronik wurde in Abschnitt 2.4.3 beschrieben. Für ein besseres
Verständnis der Apparatur lässt man die Pendelbahn einige Mal auf der Schalterstellung
AUTO laufen.
Die Bestimmung des Anfangs- und Endpunktes der Messstrecke bereitet einige Schwierigkeiten.
Die Lichtschranke wird ausgelöst, wenn der kontinuierliche Lichtstrahl aus der
linken Öffnung an dem Reflexionsstreifen auf dem Triebwagen in die rechte Öffnung reflektiert
wird (siehe Abb. 2.26). Dieser Zeitpunkt (und damit Ortspunkt) ist nicht identisch
mit dem Vorbeifahren der Streifenkante an der Lichtschranke. Am besten fährt man sehr
langsam den Wagen mit der Hand durch (Pendelzug-Kontrolle auf STOP) und achtet auf
den Augenblick des Auslösens (bzw. Stoppens) der Stoppuhr. Mit etwas Geschick und
Ausnutzen der LEGO-Rasterstruktur kann durch Verschieben der Lichtschranken eine Genauigkeit
von unter 1 mm errreicht werden! Es ist zu prüfen, ob die Strecken in Hin- und
Rückrichtung gleich lang sind.
Lichtschranke
Reflexionsstreifen
Triebwagen
Lichtsignal
Abbildung 2.26: Funktionsweise der Lichtschranke (Sicht von oben)
Hinweise zur Durchführung und Auswertung:
- Befolgen Sie eine sinnvolle Messreihe: z.B. von 2.5 V an in Schritten von 0.5 V. (Bei
einer Versorgungsspannung unterhalb von 2.5 V reicht das Drehmoment des Triebwagens
nicht für eine gleichmäßige Bewegung aus.)
- Probieren Sie bei maximaler Geschwindigkeit, ob die Auslaufstrecken lang genug sind.
- Die Geschwindigkeit für Hin- und Rückfahrt kann unterschiedlich sein, z. B. durch
nicht horizontalen Aufbau.

68 KAPITEL 2. AKUSTIK
- Wie gut ist die Reproduzierbarkeit, d.h. sind die Messwerte der Laufzeiten statistisch
verteilt? Der Fehler der Laufzeit wird durch einfaches Mittel über jeweils fünf bis zehn
Hin- und Herfahrten bestimmt.
- (Zusatz:) Wie ist der funktionale Zusammenhang zwischen Versorgungsspannung und
Geschwindigkeit? Bei linearem Zusammenhang zwischen Versorgungsspannung und
Geschwindigkeit kann eine Ausgleichsgerade mittels linearer Regression berechnet werden.
zu (2): Frequenzverschiebung
Für die Messung der Frequenzverschiebung wird der Frequenzmesser über die serielle
Schnittstelle des Praktikums-Computers ausgelesen. Das Programm “doppler” kann zwar
vom Desktop aus gestartet werden, jedoch ist es günstiger, es von einem DOS-Fenster
(“Eingabeaufforderung”) mit dem Befehl “doppler” zu aktivieren. Wenn Sie keine weiteren
Parameter angeben, liest das Programm den Frequenzmesser aus. Wenn Sie den Namen
einer alten, gespeicherten Messung anfügen (Dateityp Frequenz, nicht Histogramm), stellt
das Programm diese Werte dar. Verifizieren Sie, dass das Programm die gleiche Empfängerfrequenz
liest wie die Anzeige des Frequenzmessers darstellt. Das Programm liest einmal pro
Sekunde den Frequenzmesser aus und stellt die Daten auf zwei Fenstern dar (Abb. 2.27):
MGX 9802 Frequenzmessung
Statistik
f = 40012 Hz
mean = −0.23 Hz
emean = 0.25 Hz
rms = 2.68 Hz
Abbildung 2.27: Graphische Darstellung des Programms doppler zur Messung des Doppler-Effekts
• Das größere Fenster zeigt den zeitlichen Verlauf der Messungen, wobei der letzte gelesene
Wert oben in der Mitte dargestellt wird. Befindet sich der Cursor in diesem
Fenster, erhält man mit der rechten Klick-Fläche (Maustaste) ein Menü zur Kontrolle
des Programms. Es ist ratsam, das Menüfenster nicht unnötig zu bedienen, da keine
neuen Daten aufgenommen werden, solange das Menü aktiviert ist. Das Programm
kann mit folgenden Optionen kontrolliert werden:
– Start: Weiterführung der Messung, falls vorher gestoppt
– Stop: Stoppen der gegenwärtigen Messung

2.4. DOPPLER-EFFEKT 69
– Reset: Löschen der aktuellen Messung. ACHTUNG: Dieser Befehl löscht nur die
Darstellung. Bei einer späteren Speicherung werden alle Daten ab dem ersten
Start des Programms in eine Datei geschrieben (s.u.). Deswegen ist es besser,
für jede Messung das Programm neu zu starten und gleich mit der Messung zu
beginnen.
– Save: Die Daten werden in einer Datei im aktuellen Verzeichnis abgespeichert,
wobei deren Name automatisch generiert wird
(jahr-monat-tag-stunde-minute-sekunde doppler typ.dat,
mit typ: f=Frequenz, h=Histogramm). Am besten startet man das Programm
für jede Messung neu, da die Reset-Funktion nur den Bildschirminhalt löscht,
aber alle Daten behält und bei einer nachträglichen Auswertung auch diese in die
Berechnungen mit einbezieht.
– Change ymax: Die Obergrenze des angezeigten Frequenzbereichs kann in verschieden
großen Schritten verändert werden.
– Change ymin: Die Untergrenze des angezeigten Frequenzbereichs kann in verschieden
großen Schritten verändert werden.
• Das kleinere Fenster zeigt die Verteilung (das Histogramm) der gemessenen Frequenzen.
Es rechnet automatisch bei jedem dazukommenden Wert den Mittelwert neu aus
und zieht ihn von den Messungen ab. Somit ergeben sich drei Häufungen (Rückfahrt,
Stillstand, Hinfahrt), die um 0 Hz gruppiert sind. Die Werte (mean = Mittelwert,
emean = Fehler des Mittelwertes, rms = Standardabweichung) der einzelnen Häufungen
können mit einem darüber gelegten Fenster angezeigt werden. Wenn das Fenster
nicht aktiviert ist (“Peak finder off”), wird der Mittelwert aller Daten angezeigt (die
Fehler sind somit statistisch unsinnig). Aktivieren Sie die Kontrolle mit der rechten
Klickfläche (der Cursor muss sich natürlich in dem Histogrammfenster befinden), und
wählen Sie den Menü-Punkt “Peak finder on”. Das Fenster wird mit roten senkrechten
Linien angezeigt. Mit den Cursor-Tasten ← und → können die Begrenzungslinien
verschoben werden. Tippt man die Taste U so wird das obere Limit, tippt man die
Taste L so wird das untere Limit verschoben.
Starten Sie nun die Pendelbahn im AUTO-Betrieb und schauen, wie das Programm reagiert.
Nehmen Sie für jede Geschwindigkeit einen eigenen, sinnvoll großen Datensatz auf.
Hinweise zur Durchführung und Auswertung:
- Überprüfen Sie von Zeit zu Zeit die Umgebungstemperatur.
- Wie kommt das eigentümliche Histogramm zustande (es sind mehr als nur drei Häufungen
zu sehen)?
- Achten Sie darauf, dass das richtige ∆f genommen wird! Wie groß ist der Fehler von
∆f (Achtung: Differenzmessung!)?
- Tragen Sie zum Schluss die Ergebnisse der gesamten Messreihe in ein Diagramm ein.
Welche Darstellung ist sinnvoll? Überlegen Sie, welche Fehler in diese Messung eingehen.
Eine Möglichkeit der Auftragung ist in Abb 2.28 zu sehen.

70 KAPITEL 2. AKUSTIK
f / f 0
0,001
Abbildung 2.28: Graphische Darstellung des Ergebnisses des Doppler-Effekts
- Verifizieren sie die theoretische Vorhersage unter Berücksichtigung des Ergebnissis von
Versuchsteil a) mittels linearer Regression (mit Fehler auf der Abszisse und Ordinate).
- Meist sind die beiden äußeren Häufungen des doppler-Histogramms asymmetrisch.
Dies ist durch die Systematik der Messung gegeben. (Warum? Welche?) Dort ist
zu überlegen, ob die angegebene Standardabweichung des Mittelwertes (Grundlage:
statistische Gauß-Verteilung) den tatsächlichen Fehler richtig abschätzt. Man kann
den Fehler auch durch Verändern des Intervalls abschätzen, indem man die Variation
des sich dann verändernden Mittelwertes betrachtet. Zu überlegen ist auch, ob man
den Schwerpunkt (=Mittelwert) der Verteilung nimmt oder den Wert der maximalen
Häufung.
- Alternativ zur genäherten Formel (Gl. 2.18) kann die Auswertung auch über die exakte
Formel durchgeführt werden. Durch leichtes Umformen erhält man die Beziehung:
∆f
f
0,001
= ∓v
c
v / c
(2.22)
c) Echolot
Ultraschallwellen werden an Grenzflächen zwischen Medien unterschiedlichen Schallwellenwiderstandes
reflektiert. Wie in Versuchsteil a) gesehen, kann man mittels der Phasenverschiebung
einer kontinuierlichen Welle nur Strecken vermessen, die kürzer als eine
Wellenlänge sind. Deshalb benutzt man eine gepulste Schallquelle, die kurze Wellenzüge
einiger Wellenlängen aussendet. Der Abstand zum reflektierenden Hindernis wird dann
gemäß Gl. 2.20 bestimmt.
(1) Stellen Sie Empfänger und Sender auf (Fast-)Berührung gegenüber auf (direkter Kontakt
kann zu elektrischem Übersprechen zwischen Sender und Empfänger führen). Geben
Sie analog zur Messung der Schallgeschwindigkeit das Sendersignal auf Kanal 1
und das Empfängersignal auf Kanal 2 des Oszilloskops. Wählen sie die Zeiteinteilung

2.4. DOPPLER-EFFEKT 71
so, dass Sie das gesamte Sender- und Empfängersignal gleichzeitg auf dem Schirm
sehen.
Warum hat das Empfängersignal eine andere Form als das Sendersignal (abgesehen
von der Rechteckspannung)?
Messen sie die Zeit zwischen erster Senderschwingung und erster Empfängerschwingung.
Sie können einen Cursor im Oszilloskop-Bildschirm durch Klicken auf das Pfeil-
Symbol oben links aktivieren. Der Cursor lässt sich mit dem touchpad bei gedrückter
linker Taste verschieben. Der gegenwärtige Wert wird unten angezeigt. Diese Zeitdifferenz
t0 muss bei allen folgenden Versuchen abgezogen werden, da ja der Abstand
zwischen Sender- und Empfängergehäuse gleich Null ist.
Schieben Sie den Sender langsam vom Empfänger weg und schauen Sie sich die beiden
Signale bei groberer Zeitauflösung an. Messen sie den Abstand zum Sender mit dem
Maßband und die Zeitdifferenz mit dem Oszilloskop. Man kann ein wenig mit der
Zeitauflösung, dem Trigger-Delay und dem Cursor spielen, um ein möglichst exaktes
Ergebnis zu erhalten. Führen Sie einige Messungen durch und vergleichen Sie das
Ergebnis mit der in Teil a) gemessenen Schallgeschwindigkeit.
(2) Stellen Sie Empfänger und Sender nebeneinander auf. Schauen sie sich erst das gepulste
Signal bei großer Zeitauflösung an.
Stört das direkte Sendersignal das Empfängersignal (Übersprechen)? Durch eine Trennwand
und leichtes Drehen des Senders oder Empfängers lässt sich womöglich die Situation
verbessern. (Der Sender strahlt nicht unbedingt exakt geradeaus.) Eventuell
andere Störfaktoren (Schienen, nah placierte Geräte) entfernen.
Stellen Sie die Reflexionswand in einem Abstand von ungefähr 50 cm auf. Messen Sie
den Zeitunterschied ∆t zwischen gesendetem und reflektiertem Signal. Berechnen Sie
unter Verwendung des Ergebnisses aus Versuchsteil a) den Abstand zur Reflexionswand
(Gl. 2.20) und vergleichen mit dem Wert, den Sie mit dem Maßband bestimmt
haben. Wiederholen Sie die Messung bei verschiedenen Abständen.
Wie gut ist Ihr Echolot? Schätzen Sie den Fehler der berechneten Lauflänge (Fehler
in ∆t , t0 und c) ab. Wie groß sind die Abweichungen zur Messung mit dem Metermaßstab?

Kapitel 3
Wärmelehre
3.1 Dampfdruckkurve
Aufgaben
In diesem Versuch wird die Dampfdruckkurve von Wasser vermessen und die Verdampfungsenthalpie
bestimmt.
Grundlagen
Wärme, Temperatur, Zustandsgrößen, ideale und reale Gase, ideale Gasgleichung, 1. und 2.
Hauptsatz der Wärmetheorie, Zustandsänderung, Zustandsdiagramm, Phasenübergänge, Verdampfungsenthalpie,
Clausius-Clapeyron-Gleichung, kritische Parameter.
Literatur
• Gerthsen/Vogel, Physik
• Bergmann/Schäfer, Lehrbuch der Experimentalphysik, Band 1, Mechanik Akustik Wärme
• Hänsel/Neumann, Physik
• Tipler, Physik
• Baehr, Thermodynamik
• Stumpf/Rieckers, Thermodynamik
• http://www.physik.rwth-aachen.de/∼hebbeker/lectures/ph1−0102/p112−l07/p112−l07.html
• http://physik1.physik.uni-heidelberg.de/vrlsg/data/home2.htm
• http://www.fm.fh-muenchen.de/labore/waas/skripten/kap10.pdf
• http://www.chm.davidson.edu/ChemistryApplets/PhaseChanges/
72

3.1. DAMPFDRUCKKURVE 73
• Landolt-Börnstein, Zahlenwerte und Funktionen, Band II, 2. Teil, Gleichgewichte außer
Schmelzgleichgewichten
• Landolt-Börnstein, Zahlenwerte und Funktionen, Band II, 4. Teil: Kalorische Zustandsgrößen
3.1.1 Theoretische Grundlagen
Wärme und Temperatur
Wärme ist eine Form von Energie. Wird einem Körper Wärme zugeführt oder wird ihm Wärme
entzogen, ändert sich seine Temperatur (Ausnahme: latente Wärme, siehe Abschnitt “Änderung
von Aggregatszuständen”), wie aus dem Alltag bekannt ist. Die Temperatur ist eine Zustandsgröße.
Hierunter versteht man eine eine Stoffmenge charakterisierende Größe, deren Wert nur
vom momentanen Zustand der Stoffmenge abhängt, es also egal ist, auf welchem Weg dieser
Zustand erreicht wurde. Andere Zustandsgrößen sind Druck, Volumen, innere Energie. Arbeit
und Wärme sind dagegen keine Zustandsgrößen.
Um die Temperatur zu messen, braucht man eine physikalische Größe, die sich mit der Temperatur
ändert, und eine Skala, die über zwei (willkürliche) Fixpunkte festgelegt wird. Falls die
Temperaturabhängigkeit der zur Temperaturmessung verwendeten Größe linear ist, wird der Bereich
zwischen den Fixpunkten gleichmäßig in z.B. 100 Einheiten eingeteilt und die so gewonnene
Skala über die Fixpunkte hinaus verlängert.
Beispiele für Temperatur-Skalen:
• Celsius-Skala (1741): 0 ◦ C = Schmelztemperatur von Eis, 100 ◦ C = Siedetemperatur von
Wasser.
• Die offizielle Temperaturskala ist die Kelvin-Skala, in der als einziger Fixpunkt seit 1954
der mit großer Genauigkeit bestimmbare Tripelpunkt (siehe später) des Wassers (T =
0.0098 ◦ C) verwendet wird: 0 K = tiefste theoretisch denkbare Temperatur (absoluter Nullpunkt),
273.16 K = Tripelpunkt von Wasser. Die Kelvinskala bezieht sich also auf den
absoluten Nullpunkt. Die in Kelvin gemessene Temperatur wird als absolute Temperatur
bezeichnet. Das Kelvin ist auch die Einheit für Temperaturdifferenzen.
Ein Beispiel für einen häufig für Temperaturmessungen ausgenutzten physikalischen Effekt ist
die Ausdehnung von Stoffen (meist Flüssigkeiten) mit steigender Temperatur. Eine Besonderheit
ergibt sich für Wasser: normalerweise hat der feste Aggregatszustand eines Stoffes eine höhere
Dichte als der flüssige. Wasser hat aber bei T = 4 ◦ C seine größte Dichte (Eis schwimmt auf
Wasser). Für Wasser ist γ also negativ für T < 4 ◦ C, positiv für T > 4 ◦ C.
Gesetze für ideale Gase
In einem idealen Gas werden die Moluküle als punktförmig angenommen (kein Eigenvolumen)
und die Wechselwirkung zwischen den Molekülen vernachlässigt.

74 KAPITEL 3. WÄRMELEHRE
Das Volumen eines Gases hängt vom Druck ab. Bei gleicher Masse (geschlossenes Gefäß) erhöht
sich bei Kompression die Dichte des Gases:
p = ρ · const.
Daraus folgt das Boyle-Mariottsche Gesetz, welches für ideale Gase bei konstanter Temperatur
gilt:
p · V = const.
Der Zusammenhang zwischen den drei Zustandsgrößen Druck, Volumen und Temperatur wird
durch die Zustandsgleichung idealer Gase (ideale Gasgleichung) beschrieben:
pV = νRTabs
Hierbei ist ν die Stoffmenge (Anzahl der Mole). R wird als allgemeine Gaskonstande bezeichnet.
Mit dem Molvolumen V0 = 22.4 l/Mol, dem Normaldruck p0 = 1.013 bar und T0 = 273.15 K gilt:
R = p0V0/T0 = 8.31 J/(mol · K).
Mit der Avogadrozahl NA = Teilchenzahl pro Mol = 6.022 · 10 23 und ν = N/NA lässt sich
Gleichung 3.1 auch schreiben als
pV = NkTabs
mit der Boltzmann-Konstanten k = R/NA = 1.38 · 10 −23 J/K.
Die Isothermen, d.h. p-V-Kurven für T=const., sind demnach für ein ideales Gas Hyperbeln,
wie in Abb. 3.1 links exemplarisch für ein Gas, welches bei 0 ◦ C und Athmosphärendruck ein
Volumen von 1 l einnimmt, gezeigt ist.
Abbildung 3.1: Links: Isothermen eines idealen Gases. Rechts: Van der Waals-Isothermen von
CO2.
(3.1)

3.1. DAMPFDRUCKKURVE 75
Reale Gase
In realen Gasen haben die Moleküle ein endliches Eigenvolumen. Dies führt zum sogenannten
Kovolumen b, welches wegen der Packungslücken ungefähr dem vierfachen Eigenvolumen
der Moleküle entspricht. Desweiteren wechselwirken die Teilchen untereinander durch Van der
Waals-Kräfte, wodurch zum äußeren Druck ein innerer Druck addiert werden muß. Die ideale
Gasgleichung geht über in die Van der Waals-Gleichung:
(p + a/V 2 )(V − b) = νRTabs
Die Isothermen sehen damit anders aus als für ein ideales Gas, wie man in Abb. 3.1 rechts am
Beispiel von Kohlendioxid sieht. Außerdem ist zu beachten, daß für ein reales Gas die Wechselwirkung
der Teilchen so stark werden kann, daß es seinen Aggregatszustand ändert und sich
verflüssigt. Dies wird später behandelt.
Spezifische Wärmekapazität
Wenn zwei Körper mit den Temperaturen T1 und T2 < T1 in Kontakt gebracht werden, stellt
sich eine gemeinsame Temperatur T mit T1 < T < T2 ein. Es wird also Wärme von Körper 1 auf
den Körper 2 übertragen. Die übertragene Wärmemenge ∆Q ist
∆Q = c1m1∆T = c2m2∆T
c ist dabei eine materialabhängige Größe und wird als spezifische Wärmekapazität bezeichnet.
Die Einheit für die Wärmemenge ist das Joule. Im Alltag noch gebräuchlich ist die Kalorie (cal),
wobei 1 cal = 4.1868 Joule die Wärmemenge ist, die man benötigt, um 1 g Wasser von 14.5 ◦ C auf
15.5 ◦ C zu erwärmen. Die Einheit der spezifischen Wärmekapazität ist [c] = J/(gK).
Weiterhin ist definiert die Wärmekapazität C:
C = mc = ∆Q/∆T
mit [C] = J/K, sowie die molare Wärmekapazität
Cm = Mc
mit [Cm] = J/(Mol · K).
Bei tiefen Temperaturen ist c allerdings selbst temperaturabhängig.
Außerdem hängt die spezifische Wärmekapazität davon ab, ob man sie bei konstantem Druck
(cp) oder konstanten Volumen (cV ) bestimmt. Bei konstantem Druck führt die zugeführte Wärme
nicht nur zu einer Erwärmung, sondern auch zu einer Ausdehnung der Körpers. Es ist also immer
cP > cV . Wegen der kleinen Ausdehnung von Festkörpern und Flüssigkeiten mit der Temperatur
fällt dies praktisch nur bei Gasen ins Gewicht. Das Verhältnis der beiden spezifischen Wärmen
wird als Adiabatenexponent κ bezeichnet (warum wird später klar werden):
κ = cp/cV
Diese Größe spielt auch in der Akustik (Schallwellen, siehe Versuche zur Akustik) eine Rolle.
(3.2)

76 KAPITEL 3. WÄRMELEHRE
1. Hauptsatz
Wie schon erwähnt wurde, ist Wärme eine Form von Energie, sie kann z.B. durch Reibung mechanisch
erzeugt werden.
Der Energieerhaltungssatz besagt, daß die Gesamtenergie innerhalb eines abgeschlossenen Systems
durch beliebige (mechanische, thermische, elektrische, chemische) Vorgänge nicht erhöht
werden kann. Es gibt also kein Perpetuum Mobile.
In einem abgeschlossenen System findet weder Materie- noch Energieaustausch mit der Umgebung
statt. Von einem geschlossenen System spricht man, wenn nur Energieaustausch stattfindet,
und in einem offenem System wird sowohl Energie als auch Materie mit der Umgebung ausgetauscht.
In der Thermodynamik werden i.A. geschlossene Systeme behandelt.
Als innere Energie U eines Systemes bezeichnet man seine Energie im Schwerpunktsystem,
also die Summe von thermischer, chemischer und elektrischer Energie, d.h. die Gesamtenergie
abzüglich äußerer mechanischer (kinetischer, potentieller) Energie. Es gilt:
∆U = ∆Q + ∆A (3.3)
mit ∆Q = zugeführter Wärme und ∆A = zugeführter Arbeit. Die Vorzeichenkonvention ist
die folgende: für ∆Q > 0 wird Wärme zugeführt, für ∆A > 0 Arbeit am System verrichtet.
Ist dagegen ∆Q < 0, wird die Wärme ∆Q ′ = −∆Q abgeführt, für ∆A < 0 wird die Arbeit
∆A ′ = −∆A vom System verrichtet. In einem sogenannten Kreisprozeß landet man nach Zu-
/Abführung von Wärme und Arbeit wieder beim Ausgangszustand, es gilt also U1 = U2 und
damit:
∆U = ∆Q + ∆A = 0 (3.4)
also entweder ∆Q > 0 (Wärme wird zugeführt) und ∆A < 0 (Arbeit wird vom System verrichtet)
oder umgekehrt. Die Gleichungen 3.3 und 3.4 bilden zusammen den 1. Hauptsatz der
Wärmetheorie.
Die Arbeit A ist die Arbeit, die von äußeren Kräften geleistet wird. Im Allgemeinen führt der
Außendruck pa zu einer Volumenänderung dV :
dA = −padV
Falls dV < 0, verübt der Druck Arbeit am System (dA > 0), im anderen Fall dehnt sich das
System aus und verrichtet dabei Arbeit. Die Arbeit ist dann − � pdV und damit die Fläche unter
einer Zustandsänderung im p-V-Diagramm, siehe Abb. 3.2. In einem Kreisprozeß wird eine geschlossene
Kurve im p-V-Diagramm durchlaufen, ihr Flächeninhalt entspricht der freigewordenen
oder geleisteten Arbeit (je nach Umlaufrichtung).
Im Allgemeinen kann man den äußeren, vom Experimentator frei wählbaren Druck nicht durch
den inneren, durch die Zustandsgleichung vorgegebenen Druck ersetzen. Dies ist nur in sogenannten
quasi-statischen Prozessen erlaubt, in denen der äußere Druck dem inneren Druck numerisch
immer fast gleich gewählt ist, wobei die Prozesse dann unendlich langsam ablaufen. Dies hat den
Vorteil, daß man für pi die ideale Gasgleichung verwenden kann: piV = νRT .

3.1. DAMPFDRUCKKURVE 77
Abbildung 3.2: Arbeitsdiagramme von quasi-statischen Prozessen. Im rechten Bild ist ein
Kreisprozeß gezeigt.
Zustandsänderungen
1.) Isochore Zustandsänderung: V = const.
dU = dQ = mcV dT
U = mcV T + U0
Die innere Energie hängt für eine feste Masse also nur von T ab.
2.) Isobare Zustandsänderung: p = const.
Hieraus folgt Cmp − CmV
= R.
3.) Isotherme Zustandsänderung: T = const.
dU = mcpdT − pdV = mcV dT
U = mcV T + U0 ⇒ dU = 0 ⇒ dQ = pdV
Zugeführte Wärme wird komplett in Arbeit umgesetzt.
4.) Adiabatische Zustandsänderung: Q = const.
dU = −pdV = mcV dT
Läuft der Prozeß quasi-statisch ab, gilt p = pi = νRT/V .
mcV dT = −νRT dV/V
McV dT/T + RdV/V = 0

78 KAPITEL 3. WÄRMELEHRE
Abbildung 3.3: Isothermen (gestrichelte Linien) und Adiabaten (durchgezogene Linien) eines
idealen Gases.
CmV
�
�
dT/T + R
dV/V = 0
CmV ln T/T0 + R ln V/V0 = 0
ln T/T0 + ln V/V0 R/Cm V = 0
⇒ T
� �R/Cm V
V
= 1
T0
Mit den Gleichungen 3.2 und Cmp − CmV
Mit der idealen Gasgleichung folgt:
V0
= R folgt daher:
T V κ−1 = const. (3.5)
pV κ = const. (3.6)
pT κ
1−κ = const. (3.7)
Dies sind die drei Poissonschen Gleichungen. Eine Druckänderung führt also zu einer Temperaturänderung
(Beispiele für adiabatische Prozesse: Luftpumpe, Schallwellen). Im p-V-Diagramm
verlaufen die Adiabaten steiler als die Isothermen und schneiden diese daher, wie in Abb. 3.3 zu
sehen ist.
Änderung von Aggregatszuständen
Wenn man einem Festkörper Wärme mit einer konstanten Rate zuführt, ändert sich die Temperatur
wie in Abb. 3.4 exemplarisch für 1 g Wasser gezeigt. Zuerst steigt die Temperatur wie
erwartet an: ∆Q = cpEis m(T − T0). Bei 0 ◦ C allerdings passiert etwas Neues: trotz Wärmezufuhr
bleibt die Temperatur konstant. Beim Übergang vom festen zum flüssigen Aggregatszustand muß
die kristalline Anordnung der Moleküle mit ihrer räumlich stabilen Struktur von Ionen und Elektronen
aufgebrochen werden. Die zugeführte Wärmemenge von 335 J wird gebraucht, um 1 g Eis

3.1. DAMPFDRUCKKURVE 79
zu schmelzen. Die Schmelzwärme beträgt also
λSchmelz = 334.9 J/g
ΛSchmelz = 6.03 kJ/Mol
Zwischen 0 ◦ C und 100 ◦ C steigt die Temperatur nach ∆Q = cpW asser m(T −TSchmelz) weiter an. Bei
der Siedetemperatur Ts = 100 ◦ C muß wieder eine Umwandlungswärme, die Verdampfungswärme,
zugeführt werden:
λVerd = 2256.7 J/g
ΛVerd = 40.6 kJ/Mol
denn beim Übergang vom flüssigen zum gasförmigen Aggregatszustand wird die durch Van
der Waals-Kräfte vermittelte Nahordnung zerstört. Solche Umwandlungswärmen zwischen Aggregatszustanden
oder Phasen (z.B. verschiedenen Kristallstrukturen) werden auch als latente
Wärmen bezeichnet. Beim Umkehrvorgang, also Kondensation und Erstarrung, werden die gleichen
Energiemengen frei. Wie in der Chemie spricht man, je nachdem ob Wärme verbraucht oder
frei wird, von endothermen oder exothermen Prozessen.
Abbildung 3.4: Temperaturverlauf bei konstanter Erwärmung von 1 g Wasser.
Ein Teil der Umwandlungswärme geht in Volumenarbeit über, denn das Volumen der Aggregatszustände
ist i.A. unterschiedlich. Beim Übergang vom flüssigen zum gasförmigen Aggregatszustand
muß eine dem Differenzvolumen entsprechende Menge Luft verdrängt werden: dA = −pdV .
Die Änderung der inneren Energie ist also dU = dQ − pdV < λVerdm. In den obigen Zahlen ist

80 KAPITEL 3. WÄRMELEHRE
die Volumenarbeit schon enthalten. Zur Verdeutlichung spricht man statt von Wärme auch von
Enthalpie H, wenn die Volumenarbeit schon addiert ist:
H = U + pV
∆H = ∆U + ∆(pV ) = ∆Q − V dp
Für dp = 0 ist die Enthalpie also mit der Wärme identisch.
Im Folgenden soll der Übergang vom flüssigen zum gasförmigen Aggregatszustand betrachtet
werden. Hat man eine Flüssigkeit in einem evakuierten geschlossenen Gefäß, so verdampfen und
kondensieren Moleküle, bis sich ein Gleichgewicht einstellt. Der Dampf hat dann einen von der
Temperatur und Stoffart abhängigen Druck, den Dampfdruck oder Sättigungsdruck. Der Zusammenhang
zwischen Sättigungsdampfdruck und Temperatur wird durch die Dampfdruckkurve beschrieben.
Abb. 3.5 zeigt die Dampfdruckkurve von Wasser. Ist das Gefäß nicht evakuiert, müssen
die Moleküle durch z.B. Luft diffundieren. Das Gleichgewicht stellt sich langsamer ein, aber der
Dampfdruck ist der gleiche, denn nach Dalton ändert sich an den Partialdrücken der einzelnen
Gase durch die Anwesenheit anderer Gase nichts. Ist zu wenig Flüssigkeit vorhanden, verdampft
alles und es kann sich kein Gleichgewicht einstellen. Flüssigkeit in einem offenen Gefäß wird also
unabhängig von Druck und Temperatur immer vollständig verdampfen (Verdunstung).
Abbildung 3.5: Dampfdruckkurve von Wasser.
Die Isothermen des Flüssigkeit-Gas-Systemes von CO2 sind auf der linken Seite von Abb. 3.6
gezeigt. Sie folgen nicht mehr dem Boyle-Mariottschen Gesetz für ideale Gase, sondern zeigen

3.1. DAMPFDRUCKKURVE 81
einen komplizierteren Verlauf. Wir betrachten die Isotherme bei T1 = 10 ◦ C. Rechts vom Punkt
A ist das CO2 gasförmig, Kompression führt also zu einem Druckanstieg. Am Punkt A setzt
Sättigung ein, Kompression führt zu Kondensation bei konstantem Druck. Schließlich ist bei B
nur noch Flüssigkeit vorhanden, weitere Kompression führt zu starkem Druckanstieg. Das durch
die Punkte A und B der Isothermen definierte Gebiet wird als Sättigungsgebiet bezeichnet. Für
T2 = 31 ◦ C sind am Punkt C die Volumina von Gas und Flüssigkeit gleich, beide Aggregatszustände
haben die gleiche Dichte. Dieser Punkt wird als kritischer Punkt bezeichnet, entprechend
die zugehörigen Zustandsgrößen als kritische Temperatur, kritische Dichte etc.. Oberhalb
der kritischen Temperatur kann ein Gas auch durch beliebig hohen Druck nicht verflüssigt werden.
Nur für Zustände weit entfernt vom kritischen Punkt gilt die Thermodynamik eines idealen
Gases.
Die aus der Van der Waals-Gleichung berechneten Isothermen (Van der Waals-Isothermen) sehen
anders aus als die im Experiment gewonnen Kurven (Abb. 3.6, rechte Seite). Man erhält die den
Punkten A und B von oben entprechenden Punkte A und C, wenn man eine Gerade so durch
die Van der Waals-Isotherme legt, daß die schraffierten Flächen gleich groß sind.
Wird die Wärmezufuhr einer Flüssigkeit so groß, daß die Wärme nur durch inneres Verdampfen
(Vergrösserung der Oberfläche) mittels Gasblasen, welche an die Oberfläche steigen, abgeführt
werden kann, spricht man vom Sieden. Die Temperatur ist dann konstant (Siedetemperatur),
d.h. ein stationärer Zustand erreicht, wenn der Druck in den Blasen dem äußeren Druck entspricht.
Die Siedetemperatur hängt also vom Außendruck ab (Abb. 3.8.) Die Blasen entstehen
an “Keimen”, z.B. gelösten Gasen, Spitzen, Ionen, ... In sehr sauberen Flüssigkeiten gibt es daher
Siedeverzug.
Abbildung 3.6: Links: Isothermen von CO2 mit Sättigungsgebiet. Rechts: Van der Waals-
Isothermen von CO2 mit Sättigungsgebiet.

82 KAPITEL 3. WÄRMELEHRE
Clausius-Clapeyronsche Gleichung
Die quantitative Beschreibung des Sättigungsdampfdruckes leistet die Clausius-Clapeyronsche
Gleichung. Zur Herleitung betrachten wir den in Abb. 3.7 gezeigten Kreisprozeß im p-V-Diagramm.
• Start bei A mit ν, V2, T , c2
• A → B: ∆Q = νCm2dT wird zugeführt
• B → C: Verdampfen, ∆Q = νΛ ′ wird zugeführt
• C → D: ∆Q = νCm1dT wird entzogen
• D → A: Kondensieren, ∆Q = νΛ wird frei
Es gilt also mit Λ ′ = Λ + dΛdT
und dem ersten Hauptsatz:
dT
Der zweite Hauptsatz ( � δQ
T
∆Q = ν(Cm2dT + Λ ′ − Cm1dT − Λ)
= ν((Cm2 − Cm1)dT + dΛ
dT dT
= ∆A
= dp(V1 − V2)
⇒ ν((Cm2 − Cm1)dT + dΛ
dT dT = dp(V1 − V2) (3.8)
ν
= 0) liefert die Gleichung:
� Cm2dT
T
+ Λ′
T + dT
− Cm1dT
T
− Λ
�
= 0
T
Abbildung 3.7: Kreisprozeß zur Herleitung der Clausius-Clapeyron-Gleichung.

3.1. DAMPFDRUCKKURVE 83
102 Siedetemperatur von Wasser als Funktion des Druckes
100
98
96
Siedetemperatur [degC]
94
102 102
92
101.5
101 101
90
100.5
100 100
88
99.5 99.5
99 99
86
98.5 98.5
98 98
84
97.5 97.5
950 950 960 960 970 970 980 980 990 990 1000 1010 1020 1030 1040 1050 1060
97 97
82
500 600 700 800 900 1000 1100
Umgebungsdruck [hPa]
Abbildung 3.8: Temperaturabhängigkeit des Siedepunktes von Wasser.
80

84 KAPITEL 3. WÄRMELEHRE
Hierbei wurde 1
1+ dT
T
Λ + dΛ
dT dT
(Cm2 − Cm1)
Λ
dT + − = 0
T
T (1 + dT/T ) T
�
(Cm2 − Cm1)dT + Λ + dΛ
dT dT
�
(1 − dT/T ) − Λ = 0
= 1 − dT
T
Gleichungen 3.8 und 3.9 ergibt sich:
(Cm2 − Cm1)dT + dΛ
dT − ΛdT/T = 0 (3.9)
dT
gesetzt und der quadratische Term in dT vernachlässigt. Aus
dp
ν (V1 − V2) = Λ dT
T
⇒ Λ(T ) = T dp
dT (V1 − V2)/ν
⇒ dp
dT =
νΛ
T (V1 − V2)
Dies ist die Clausius-Clapeyronsche Gleichung. Sie gilt für beliebige Phasenübergänge. Eine
Integration, wobei die Temperaturabhängigkeiten von Λ und dV bekannt sein müssen, ergibt
p(T ).
Beim Verdampfen, wenn Vgas >> Vfl, gilt:
Integration ergibt
ΛV erd(T ) = T dp
dT (Vgas − Vfl)/ν
� p
dp
dT =
p0
=
νΛV erd
T (Vgas − Vfl)
νΛ
T Vgas
�
1 Λ V
dp =
p R V0
ln(p/p0) = − Λ 1
(
R T
= pΛ
RT 2
1
dT
T 2
1
− )
T0
Bei entsprechender Auftragungsweise kann die Verdampfungswärme also direkt aus der Steigung
bestimmt werden, wobei wegen der Temperaturabhängigkeit von Λ streng genommen nur kurze
Temperaturbereiche genommen werden dürfen.
Zustandsdiagramm
Für alle Phasenübergange wird p(T ) im Zustandsdiagramm dargestellt. Abb. 3.9 zeigt die Zustandsdiagramme
für CO2 (links) und Wasser (rechts) mit den Phasenübergängen Sublimation,

3.1. DAMPFDRUCKKURVE 85
Schmelzen und dem ausführlich behandelten Verdampfen. Die Steigung von dp/dT ist i.A. positiv.
Eine Ausnahme bildet die Schmelzkurve von Wasser, deren Steigung negativ ist. Der Grund
ist die schon behandelte Anomalie des Wassers, also VEis > Vfl. Man kann also durch Druck Eis
schmelzen (Anwendung: Schlittschuhlaufen). Der Punkt, an dem sich alle drei Kurven treffen,
wird Tripelpunkt genannt. Hier herrscht Koexistenz aller drei Aggregatszustände.
Abbildung 3.9: Links: Zustandsdiagramm von Kohlendioxid. Rechts: Zustandsdiagramm von
Wasser.
3.1.2 Versuchsaufbau und Durchführung
Benötigte Geräte
Sensor-CASSY;
Heizhaube;
Absolutdrucksensor mit Stativstange;
6-poliges Verbindungskabel;
B-Box;
Temperatursensor;
Temperaturbox;
Kolben;
Messbecher;
Glasventil;
Handpumpe;
Stativ mit Stange;
Schläuche;
Verbindungsstücke;
Muffen.
Ein Piezowiderstand auf Siliziumbasis (Motorola MPX2100AP) ist als Drucksensor (p < 1500
hPa) in das Gehäuse des Leybold-Absolutdrucksensors eingebaut. Der Sensor ist zwischen 0 ◦ und
85 ◦ C temperaturkompensiert und kann von −40 ◦ C bis 125 ◦ C betrieben werden. Um zu verhin-

86 KAPITEL 3. WÄRMELEHRE
dern, daß Kondensat in den Sensor zurückfließt, ist der Sensor mit der Messöffnung abwärts zu
montieren. Das analoge Drucksignal (40mV/1000hPa, ±1% Linearitätsfehler) des Piezo-Sensors
wird verstärkt (Output des Absolutdrucksensors: 1V/1500hPa), der Fehler des Sensors wird mit
< 1% angegeben. Dann wird das Signal über einen Pegelkonverter (B-Box, Verstärkungsfehler
1%) an die Digitalisierung (CASSY, 12bit A/D Wandler) weitergereicht.
Der Temperaturfühler (Betriebsbereich −200 ◦ C< T < 400 ◦ C, Fehler für −40 ◦ C< T < 335 ◦ C:
±2.5 ◦ C) basiert auf einem NiCr-Ni-Thermoelement. Dieser Sensor ist an der Spitze eines hermetisch
verschlossenen dünnen Edelstahlrohres montiert (Vorsicht beim Einführen in die mit
einem durchbohrten Stopfen verschlossene Messöffnung). Die Ansprechzeit (99% des Temperaturendwertes)
in Gasen ist 2s. Das analoge Temperatursignal (4.1mV/100 ◦ C) wird über einen
Pegelkonverter (Temperatur-Box, Messfehler < 1 %) an die Digitalisierung (CASSY, 12bit A/D
Wandler) weitergereicht. CASSY kann Messwerte mit bis zu 100kHz Wiederholrate aufnehmen
und puffern.
Allgemeines
• Bei allen Messungen darf die Funktion “Meßwerte mitteln” in der CASSY-Software nicht
verwendet werden, da sie die Bestimmung der Meßfehler stark verfälscht!
• Sorgfältig protokollieren! Wichtig sind insbesondere die Zeitpunkte und Dauer der Messungen,
die Nummer der verwendeten Apparatur, Ergebnisse der Vorversuche und jeder
Handgriff an der Apparatur.
• Immer die Rohdaten mit abspeichern. Z.B. gehören neben ln(p) und 1/T auch p und
T selbst mit in den CASSY-Datensatz. Das spätere Zurückrechnen ist, wenn überhaupt
möglich, eine ergiebige Fehlerquelle.
Die unten angegebenen Zeitdauern pro Messung sollen nur ein Anhaltspunkt für
Sie sein. Falls Sie allerdings wesentlich länger brauchen, könnten Sie am Ende in
Zeitdruck geraten.
Messung des Rauschens der Sensoren
Dauer der Messung: ca. 15 Minuten
Um die statistische Messgenauigkeit abzuschätzen, kann man die Sensoren über ein kurzes Zeitintervall
mit hoher Rate auslesen (Raumtemperatur bzw. Normaldruck). Unter der Annahme
eines stabilen Messwertes in diesem Zeitintervall ergibt die Streuung der beobachteten Daten die
statistische Messungenauigkeit (Digitalisierungsartefakte). Aus diesen Messwerten anschließend
in Maple mit der Routine mean aus der Praktikumsbibliothek das RMS bestimmen. Dies ist der
gesuchte Messfehler der Sensoren. Die von Leybold angegebenen Fehler können als systematische
Fehler betrachtet und behandelt werden. Die Messwerte sollen zusätzlich in ein Histogramm
eingetragen werden, um einen Überblick über ihre Verteilung zu erhalten.

3.1. DAMPFDRUCKKURVE 87
Kalibrierung des Temperatursensors
Dauer der Messung: ca. 15 Minuten
Der Temperatursensor wird mit Eiswasser und kochendem Wasser kalibriert. Eiswürfel erhalten
Sie vom Assistenten. Die Kalibration mit kochendem Wasser führen Sie später während des
Haupversuches durch. Die gemessenen Temperaturwerte sollen nachträglich in der Auswertung
mit Hilfe der Kalibrationsmessung korrigiert werden, falls signifikante Abweichungen bestehen.
Messung der Gasdichtigkeit
Dauer der Messung: ca. 30 Minuten
In einer Vormessung soll die Gasdichtigkeit geprüft werden. Hierzu wird im Kolben mittels einer
Handpumpe ein Unterdruck (p < 200 hPa) erzeugt, welcher durch Undichtigkeiten mit der Zeit
ausgeglichen wird. Der Druckverlauf sollte über ca. 10 Minuten gemessen werden.
Der prinzipielle Versuchsaufbau ist in Abb. 3.10 gezeigt. Zu Beginn des Versuches wird der Kolben
entleert und wenn nötig getrocknet. Verbinden Sie die Pumpe über das Ventil mit dem
Kolben und montieren Sie den Drucksensor. Erzeugen Sie einen möglichst großen Unterdruck
und messen Sie den Druckverlauf. Die Kompensation des Drucksensors sollte in allen Messungen
ausgeschaltet sein (die LED auf der B-Box also nicht leuchten). Falls nötig, kann zur Verbesserung
der Dichtigkeit der Anordnung die Schlauchschelle vorsichtig weiter angezogen werden. Außerdem
steht ein Dichtungsmittel zur Verfügung, das auf die Normschliffe der Glasbehälter/Ventile aufgetragen
werden kann. Allgemein ist zu empfehlen, das Öffnen der einmal abgedichteten Glas- und
Schlauchverbindungen möglichst zu vermeiden. Der Aufbau sollte nach dieser Messung möglichst
nicht mehr geändert werden (Schraubverschlüsse nicht mehr auf und zu drehen, Temperatursensor
nicht entfernen etc.).
Messung der Dampfdruckkurve
Dauer der Messung: ca. 1 1/2 Stunden
Im Hauptversuch soll die Dampfdruckkurve von Wasser aufgenommen werden.
Gefüllt wird das Gefäß durch Ansaugen aus einem Messglas (Eintauchen des Schlauches in das
Messglas bei geschlossenem Ventil, kurzzeitiges Öffnen des Ventils, eventuell erneutes Abpumpen).
Es sollte soviel Wasser angesaugt werden, daß die Temperatur des Wassers als auch des
Dampfes gemessen werden kann.
Sodann wird das Wasser mit Hilfe der elektrischen Heizhaube zum Sieden gebracht, und dabei
der Temperaturverlauf aufgezeichnet. Während der Aufwärmphase bleibt der Auslaß geöffnet
(wieso?). Lassen Sie den erzeugten Dampf in einem Glas kondensieren. Vergleichen Sie die Temperatur
in als auch oberhalb der Flüssigkeit. Nutzen Sie die Aufwärmphase, um sich von der
starken Druckabhängigkeit der Siedetemperatur zu überzeugen. Nach Einstellung des Gleichgewichtes
sollte das Wasser noch einige Minuten sieden, damit die Luft weitgehend aus dem Gefäß
entweichen kann. Ihr Partialdruck führt sonst zu einer Verfälschung der Druckmessung. Der Anteil
der Luft im austretenden Gas läßt sich recht gut abschätzen, indem der Abgasschlauch einige
Zentimeter unter den Flüssigkeitsspiegel – z.B. in einem Meßglas – getaucht wird. Während der
Dampfanteil sofort kondensiert, treten nur die Luftblasen bis an die Oberfläche.
Der Dampfdruck wird beim Abkühlen bei verschlossenem Gefäß gemessen. Unbedingt den Hahn

88 KAPITEL 3. WÄRMELEHRE
am Auslaßschlauch schließen, kurz bevor die Heizhaube abgeschaltet oder entfernt wird. Der entstehende
Druckabfall führt sonst sofort zum Ansaugen von Luft oder Wasser in das Gefäß. Nach
dem Schließen des Hahns nicht zu lange warten, der Überdruck kann sonst den Glasstopfen aus
dem Rundkolben herausdrücken. Wählen sie eine geeignete Auftragungsweise und berechnen Sie
zu Ihrer Kontrolle sofort die Verdampfungswärme.
Zweite Dichtigkeitsmessung (nur, falls genügend Zeit vorhanden ist)
Um eine eventuelle Änderung der Gasdichtigkeit während des Versuches auszuschliessen, wiederholen
Sie die Dichtigkeitsmessung nach der Aufnahme der Dampfdruckkurve. Hierfür muß das
Wasser vollständig auf Raumtemperatur abgekühlt sein, da die Temperaturänderung sonst den
Druck beeinflußt.
3.1.3 Auswertung
• Bestimmung des statistischen Fehlers der Druck- und Temperaturmessung.
• Eventuell Korrektur der Temperaturdaten mit Hilfe der Kalibrationsmessung.
• Bestimmung der Leckraten vor (und eventuell nach) der Haupmessung, Abschätzung des
für die Enthalpiebestimmung verwendbaren Zeitraumes.
• Bestimmung der Verdampfungsenthalpie aus der Verteilung von ln(p) gegen 1/T mittels
linearer Regression. Für den Drucksensor wurde keine Kalibrationsmessung durchgeführt.
Berüchsichtigen Sie daher den von Leybold angegebenen Fehler als systematischen Fehler.
Wie ändert sich die Verdampfungsenthalpie, wenn alle Druckwerte um den systematischen
Fehler zu niedrig oder zu hoch gemessen wären? Für die lineare Regression
kann die Funktion “LineareRegressionXY” der Praktikumsbibliothek “MapleLibs” verwendet
werden. Sie berücksichtigt Fehler in der x- und y-Koordinate (Dokumentation unter
http://accms04.physik.rwth-aachen.de/%7Ekirn/praktikum/ maple−new/maple−new.html).
Weiterhin sind die Funktionen “plot−data−xy” sowie “plot−data−xy−fun” sehr nützlich.
• Alle Werte/Resultate sollen mit Fehlern angegeben, die Punkte in den Plots mit Fehlerbalken
gezeichnet werden!
• Vergleichen Sie Ihr Resultat mit dem Literaturwert, stimmt es im Rahmen des Fehlers
überein?
• Eigentlich ist die Verdampfungsenthalpie temperaturabhängig, wie in Abb. 3.11 gezeigt
ist. Verwenden Sie für die Geradenanpassung nur kurze Ausschnitte der Geraden. Sind die
Werte signifikant unterschiedlich, stimmen sie mit den Theoriewerten überein?
• Diskutieren Sie in Ihrer Zusammenfassung die Resultate, systematische Fehlerquellen sowie
Mängel des angewendeten Verfahrens.

3.1. DAMPFDRUCKKURVE 89
Abbildung 3.10: Versuchsaufbau zur Messung der Dampfdruckkurve.

90 KAPITEL 3. WÄRMELEHRE
44
Molare Verdampfungsenthalpie von Wasser
43.5
43
42.5
42
41.5
41
40.5
Verdampfungsenthalpie [kJ/mol]
40
39.5
300 320 340 360 380 400
Temperatur [K]
Abbildung 3.11: Temperaturabhängigkeit der Verdampfungsenthalpie von Wasser.

3.2. ADIABATIC COEFFICIENT 91
Rubber
bung
Marriot’s
flask
Ball
F = AΔp
D
Gas
pV κ = const
Differential
manometer
Δp
Hand
pump
Abbildung 3.12: Scheme of the Rüchardt method for the ratio cp
cv measurement
3.2 Adiabatic Coefficient
Purposes
In this experiment the ratio cp
Keywords
cv
is measured by the Rüchardt method.
Specific heat, equation of state, processes of state transformation (adiabatic, isothermic, isobaric),
pressure oscillations
Literature
See list of sources in Section 3.1
3.2.1 Rüchardt method
The Rüchardt method to determine the ratio cp
for a gas is based on the measurement of
cv
oscillations of a steel ball supported by a column of the gas in a precision glass tube.
Scheme of the experiment is shown in Fig. 3.12.

92 KAPITEL 3. WÄRMELEHRE
The ball fits exactly into the tube having a diameter of about 16 mm. The precision glass tube
is inserted vertically into a glass bottle (Marriot’s flask) which has a rubber stopper with a hole
fitting the glass tube. Gas pressure inside the bottle is measured by a differential manometer.
A hand pump can provide a slow influx of air into the bottle. The increased air pressure raises
the ball along the tube. After air influx is stopped the ball will sink down very slowly. It takes
considerable time to fall through the tube, for the air enclosed in the tube below the ball escapes
very slowly through the narrow gap between ball and tube walls.
If the ball hight is increased sharply by the use of two small permanent magnets the ball starts
to oscillate up and down a few times before continuing to sink down slowly. The oscillations are
damped due to the unavoidable losses of energy by friction. Variations of the air pressure inside
the bottle during these oscillations have to be measured and stored. Analysis of these data in
accordance with a theory described below allows to determine the air adiabatic coefficient κ.
The parameters relevant for the analysis are
• m - mass of the ball
• A = πD 2 /4 - cross-section area of the glass tube
• V - volume of enclosed air
• p0 - atmospheric pressure
• p - pressure inside the bottle
• cp - specific heat at constant pressure
• cv - specific heat at constant volume
• κ = cp
cv
- adiabatic coefficient
The ball is in equilibrium if the pressure p inside the bottle is equal to the sum of the atmospheric
pressure p0 and the pressure due to the weight of the ball:
p = p0 + mg
A
(3.10)
When the ball moves a distance x beyond its equilibrium position, the pressure changes by dp.
By this a force Adp is exerted on the ball. Friction force is proportional to the ball velocity
. Then by Newton’s second law:
Ffr = −αfr dx
dt
m d2x dx
= Adp − αfr
dt2 dt
(3.11)
The process may be considered practically adiabatic. Therefore, according to 3.15 (Section 3.1.1)
By differentiation:
pV κ = const (3.12)
V κ dp + pκV κ−1 dV = 0 (3.13)

3.2. ADIABATIC COEFFICIENT 93
dp = pκ
dV (3.14)
V
The ball was supposed to move a distance x in the glass tube; this gives a change of volume
By substituting 3.15 in 3.14
dp = − pκAx
V
The equation of motion 3.11 takes now the form
dV = Ax (3.15)
(3.16)
d2x dx pκA2
− αfr + x = 0
dt2 dt mV
(3.17)
This is the differential equation of harmonic oscillations with damping from which the angular
frequency of the ball oscillations can be deduced, which is
�
ω =
pκA2 mV
(3.18)
from this follows for κ = cp
cv :
2 mV
κ = ω
pA2 (3.19)
All the quantities on the right side of equation 3.19 are accessible to measurements, therefore κ
can be determined in this way.
3.2.2 Setup and Carrying out the Experiment
Apparatus
Oscillation tube;
Stand base, V-shape;
Stand rod, 50 cm;
Clamp with jaw clamp;
Two Marriot’s flasks of different volumes;
Hand vacuum and pressure pump;
Differential pressure sensor;
Absolute pressure sensor;
Sensor-CASSY;
PVC tubes;
Connectors;
Permanent magnets;
Digital balance;
Precision micrometer.
The pressure sensor enables differential pressures ∆p = p1 − p2 between 0 and ±70 hP a to be
measured. It can be connected directly to the Sensor-CASSY.
Technical data:

94 KAPITEL 3. WÄRMELEHRE
• Measuring ranges: ±0.7 hP a, ±7 hP a, ±70 hP a
• Resolution: 0.05% of measuring range
The technical data of the absolute pressure sensor are described in Section 3.1.2.
Setup
Set up the experiment as shown in Fig.3.13:
• Insert the oscillation tube vertically into the dry Marriot’s flask. Both sides of the tube
should be closed to avoid fast movements of the ball inside the tube.
• Fix the vertical position of the tube by clamping it with the jaw clamp connected with the
stand.
• Connect the outlet of the Marriot’s flask with the hand pump and with the differential
pressure sensor using the PVC tubes and T-connector.
• Insert the pressure sensor in the INPUT A channel of the CASSY box.
• Open the upper end of the oscillation tube.
The setup is ready for the oscillation measurements.
Carrying out the experiment
The parameters which define the value of the adiabatic coefficient κ, namely
• ω - the ball oscillation frequency
• A = πD2
4 - cross-section of the tube
• m - mass of the ball
• V - volume of the bottle
• p - gas pressure in the equilibrium state of the ball
have to be measured using the provided tools:
• relative pressure sensor
• absolute pressure sensor
• precise micrometer
• digital balance

3.2. ADIABATIC COEFFICIENT 95
Abbildung 3.13: Experiment setup for measuring the ratio cp
cv

96 KAPITEL 3. WÄRMELEHRE
The measurement of the parameter V can be performed by weighing of the empty bottle and of
the bottle filled with water. This can be done only after performing the oscillation measurement
because the air inside the Marriot’s flask has to be dry then.
Ball oscillation frequencies for different ball positions (heights) inside the tube have to be measured
for both Marriot’s flasks.
All the measurements have to be done several times. Evaluation of sources and values of systematic
and stochastic errors for all the measured parameters should be presented.
The values of the adiabatic coefficient κ together with its measurement errors should be calculated
using all the measurements done. The resulting κ value measured in the experiment have to be
calculated using either weighted mean or linear regression method (or both).
Analysis of the κ error budget (sources of the dominant errors, possible ways to improve the
experiment performance, etc.) has to be presented.

Kapitel 4
Elektrizitätslehre
Vorversuche:
4.1 Charakterisierung der Ohmschen Widerstände
4.2 Auf- und Entladung eines Kondensators
4.3 Auf- und Entladung einer Spule
Hauptversuche:
4.4 LC-Schwingkreise
4.5 gekoppelte Schwingungen
Physikalische Grundlagen
Ohmsches Gesetz, Kirchhoffsche Regeln, Schaltungen von Widerständen, Kondensatoren, Spulen,
Auf- bzw. Entladevorgänge, Schwingungen, gedämpfte Schwingungen, gekoppelte Schwingungen,
Wechselströme, Wechselstromwiderstände, Verlustwiderstände
97

98 KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄTSLEHRE
4.1 Charakterisierung der Ohmschen Widerstände
4.1.1 Versuchsbeschreibung:
Es soll der Betrag der Ohmschen Widerstände bestimmt werden, die bei den folgenden Versuchsteilen
zur Charakterisierung der Kondensatoren und der Spulen benutzt werden. Des weiteren
sollen die Messfehler der Strom- und Spannungsmessungen bestimmt werden. Dazu werden zwei
Messreihen benötigt:
1.) Es wird eine Gleichspannung eingestellt und der Spannungsabfall an dem Ohmschen Widerstand
und der im Kreis fließende Strom gegen die Zeit gemessen. Aus der Häufigkeitsverteilung
der Strom- bzw. Spannungsmessung wird der jeweilige Mittelwert, die Standardabweichung
(Fehler des Einzelwertes) und der mittlere Fehler des Mittelwertes bestimmt.
X = 1
�
n�
�
�
Xi, σX = �
n i=1
1
n�
(Xi − X)
n − 1 i=1
2 , σX = σX
√n
2.) Die anliegende Gleichspannung wird variiert, der Spannungsabfall am Ohmschen Widerstand
und der fließende Strom gemessen. Die Fehler der Einzelmessungen wurden mit
Messreihe 1.) vorher bestimmt. Mittels linearer Regression wird die Steigung und damit
der Wert des Ohmschen Widerstandes gemäß dem Ohmschen Gesetz bestimmt.
4.1.2 Versuchsaufbau
U = I · R
Die verschiedenen Ohmschen Widerstände werden gemäß Abbildung 4.1 auf der Rastersteckplatte
aufgebaut und an Spannung gelegt. Als Spannungsquelle dient die Gleichspannungsquelle S (0-
16 V) des Sensor CASSY-Interface. Zur Strommessung wird das Amperemeter des Eingangs A
und zur Spannungsmessung das Voltmeter des Eingangs B benutzt.
4.1.3 Versuchsdurchführung
Messreihe 1
Die Spannungsquelle kann über das Menü Einstellungen CASSY automatisch bei Beginn
der Messung eingeschaltet werden (Änderung des Zustands 0 auf 1). Die Messzeit wird im
Menü Messparameter anzeigen (Abb. 4.1b) eingestellt, die Messgrößen werden als Momentanwerte
(Intervall 10 µs) aufgezeichnet. Die an dem Ohmschen Widerstand abfallende Spannung
wird mit dem Spannungsmessgerät des Eingangs B, der im Kreis fließende Strom wird mit dem
Amperemeter des Eingangs A gemessen.
Achtung: Auf Grenzwerte und Messbereiche achten!
Messreihe 2
Die Spannungsquelle wird über das Menü Einstellungen CASSY eingeschaltet (Zustand 1).
Die Messwertaufnahme wird in dem Menü Messparameter anzeigen von automatischer auf
manuelle Aufnahme umgeschaltet (Abb. 4.1c). Es wird ein Messwert pro Start einer Messung
(4.1)

4.1. CHARAKTERISIERUNG DER OHMSCHEN WIDERSTÄNDE 99
aufgezeichnet. Variiert wird manuell am Drehknopf die anliegende Spannung und es werden
der Spannungsabfall am Ohmschen Widerstand und der Strom aufgezeichnet in einem U-I-
Diagramm. Achtung: Auf Grenzwerte und Messbereiche achten!
a)
12 V
INPUT A
INPUT B
R
S
− +
I
U
U
SENSOR−CASSY 524010
b) c)
Benötigte Geräte:
1 Sensor-CASSY
1 CASSY Lab
1 Rastersteckplatte, DIN A4
1 STE Widerstand 100 Ω !
1 STE Widerstand 47 Ω
1 STE Widerstand 20 Ω
1 STE Widerstand 10 Ω
1 STE Widerstand 5,1 Ω
1 STE Widerstand 1 Ω
3 Paar Kabel, 50 cm rot/blau
Abbildung 4.1: a) Versuchsaufbau zur Charakterisierung des Ohmschen Widerstandes. b)
Messreihe 1. c) Messreihe 2
4.1.4 Versuchsauswertung
Messreihe 1
Bestimmen Sie aus der Häufigkeitsverteilung der Strom- bzw. Spannungsmessung (Abb. 4.1b)
den jeweiligen Mittelwert, die Standardabweichung (statistischer Fehler des Einzelwertes), den
mittleren Fehler des Mittelwertes (Gleichungen 4.1) und berechnen sie den Ohmschen Widerstand

100 KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄTSLEHRE
sowie den Fehler mittels Fehlerfortpflanzung.
R = U
I , σR
�
�
�
�
=
� �2 1
· σ
I
2 �
U
U +
I 2
�2 · σ2 I,
σR
R =
�
�σU �2 U
+
� �
σI
2
I
Variieren Sie die Anzahl der Messpunkte, wiederholen Sie die Messung und fassen Sie die Ergebnisse
tabellarisch zusammen (Tabelle 4.1)!
Berücksichtigen Sie ebenfalls den systematischen Fehler mittels Fehlerfortpflanzung:
σU,sys = 0, 01 · Ui + 0, 005 · UBereichsendwert
σI,sys = 0, 02 · Ii + 0, 005 · IBereichsendwert
Messpunkte 1000 16000
Messbereich
I (A)
σ I (A)
σI (A)
Messbereich
U (V)
σ U (V)
σU (V)
R ± ∆Rstat ± ∆Rsys (Ω)
Tabelle 4.1: Beispiel einer Ergebnistabelle.
Messreihe 2
Stellen Sie die Messreihe in einem U-I-Diagramm dar und bestimmen Sie mittels linearer Regression
den Wert und Fehler des Ohmschen Widerstandes (Abb. 4.2). In die lineare Regression gehen
die statistischen Fehler der Strom- und Spannungsmessungen ein, die in Messreihe 1 bestimmt
worden sind. Um den systematischen Fehler in R abzuschätzen, verschieben Sie die Messpunkte
mit ihren statistischen Fehlern um die systematischen Fehlern, so dass der Einfluss auf die
Steigung der Ausgleichsgeraden maximal wird (Abbildung 4.2). Systematische Verschiebungen:
bzw.:
Ui,verschoben = Ui − (0, 01 · Ui + 0, 005 · UBereichsendwert)
Ii,verschoben = Ii + (0, 02 · Ii + 0, 005 · IBereichsendwert)
Ui,verschoben = Ui + (0, 01 · Ui + 0, 005 · UBereichsendwert)
Ii,verschoben = Ii − (0, 02 · Ii + 0, 005 · IBereichsendwert)
Geben Sie ihre Ergebnisse zusammenfassend an.
Diskutieren Sie die Ergebnisse der beiden Messreihen und vergleichen Sie diese mit den Herstellerangaben
(Tabelle 4.2).

4.2. AUF- UND ENTLADUNG EINES KONDENSATORS 101
Abbildung 4.2: Messreihe 2: Bestimmung des Ohmschen Widerstandes mittels linearer Regression
(rote, mittlere Kurve) und des systematischen Fehlers (blaue und grüne Kurven).
Ohmscher Widerstand Belastbarkeit Toleranz
1 Ω 2 W 5 %
5,1 Ω 2 W 5 %
10 Ω 2 W 5 %
20 Ω 2 W 5 %
47 Ω 2 W 5 %
100 Ω 2 W 5 %
Tabelle 4.2: Spezifikationen der Ohmschen Widerstände nach Herstellerangaben
4.2 Auf- und Entladung eines Kondensators
4.2.1 Versuchsbeschreibung
Mit diesem Vorversuch sollen die Kapazitäten der Kondensatoren bestimmt werden, die später
bei den Hauptversuchen der LC-Schwingkreise eingesetzt werden! Der bei diesem Vorversuch
verwendete Ohmsche Widerstand muß im vorherigen Vorversuch charakterisiert worden sein!
Wird ein Kondensator an eine Spannungsquelle angeschlossen (Abb. 4.3), so wird er geladen.
Innerhalb einer gewissen Zeit fließen Ladungen auf die Platten (Ladestrom), bis der Kondensator
die gleiche Spannung wie die Quelle hat. Wird dann die Spannungsquelle abgetrennt und die
Kondensatorplatten leitend miteinander verbunden, so entlädt sich der Kondensator, im Kreis
fließt dann für eine gewisse Zeit ein Entladestrom.
Im folgenden wird ein Kondensator über einen Widerstand aufgeladen oder entladen. Es wird

102 KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄTSLEHRE
der Spannungsabfall am Kondensator sowie der Lade- bzw. Entladestrom gemessen. Daraus kann
die Zeitkonstante τ = R · C bestimmt werden.
+
U0
B
A
I
R
Abbildung 4.3: Schaltung zur Aufnahme von Strom- und Spannungskennlinien bei Lade- und
Entladevorgängen eines Kondensators
Ladevorgang des Kondensators (Schalterstellung A):
Der Ladevorgang beginnt beim Zeitpunkt t = 0, zu diesem Zeitpunkt fließt der maximale Strom
I0 = U0 . Dann wird der Kondensator immer mehr geladen, die sich dabei aufbauende Spannung
R
UC wirkt als Gegenspannung zu U0, so daß der Ladestrom I immer kleiner wird. Wenn UC = U0
geworden ist, kommt der Strom zum Erliegen (I = 0).
Wird von einem beliebigen Punkt ausgehend der Kreis (Abb. 4.3) einmal vollständig umfahren,
muß die Summe aller Spannungen Null ergeben gemäß der Kirchhoffschen Maschenregel. Eine
andere Formulierung der Maschenregel lautet, daß die Summe der anliegenden Spannungen gleich
der Summe der abfallenden Spannungen ist. Es gilt also zu jedem Zeitpunkt:
Wegen C · UC = Q und I = dQ
dt
C
U
C
U0 − UR(t) − UC(t) = 0 → U0 − UC(t) = I(t) · R
gilt dann:
U0 − UC(t) = R · C dUC
(4.2)
dt
Die Differentialgleichung 4.2 wird integriert mit der Randbedingung, daß beim Zeitpunkt t = 0
keine Ladung auf dem Kondensator ist und daher UC(t = 0) = 0 ist. Für den Spannungsabfall
am Kondensator zu einer beliebigen Zeit t gilt dann:
UC(t)
�
0
dUC
U0 − UC
= 1
R · C
�t
0
dt → ln
� �
U0 − UC(t)
U0
= −t
R · C → UC(t) = U0 · � � t
−
1 − e R·C (4.3)
also steigt die Spannung am Kondensator exponentiell mit der Zeit auf U0 an. Damit ergibt sich
für den Ladestrom:
I(t) = dQ
dt
= C · dUC
dt
= U0
R
t
· e− R·C = U0 t
t
−
· e− τ = I0 · e R·C (4.4)
R

4.2. AUF- UND ENTLADUNG EINES KONDENSATORS 103
mit der Zeitkonstanten des RC-Kreises τ = R · C.
Entladevorgang des Kondensators (Schalterstellung B):
Zum Zeitpunkt t = 0 wird die Spannungsquelle durch einen Leiter überbrückt, so daß keine
Spannung mehr am Kreis anliegt und der Kondensator gemäß U0 aufgeladen ist. Dann liefert die
Maschenregel:
Mit Q = C · UC und I = dQ
dt
R · I(t) + UC(t) = 0
folgt die homogene Differentialgleichung:
R · C · dUC(t)
dt + UC(t) = 0 (4.5)
Die Lösung der Differentialgleichung 4.5 erfolgt durch “Separation der Variablen“ unter Berücksichtigung
der Randbedingung (t = 0 → UC = U0):
�UC
U0
dUC
UC
= −1
R · C
�t
0
dt → ln
� �
UC
U0
= −t
R · C
und damit ergibt sich für den zeitabhängigen Spannungsabfall am Kondensator:
Für den Stromverlauf ergibt sich bei der Entladung:
I = dQ
dt
4.2.2 Versuchsaufbau
t
t
− −
UC(t) = U0 · e R·C = U0 · e τ (4.6)
= C · dUC
dt = C · U0 · −1
R · C
t
· e− R·C → I(t) = − U0 t
· e− R·C (4.7)
R
Der Kondensator und der Ohmsche Widerstand werden gemäß Abbildung 4.4 auf der Rastersteckplatte
aufgebaut. Als Spannungsquelle dient die Gleichspannungsquelle S (0-16 V) des Sensor-
CASSY-Interface. Zur Strommessung wird das Amperemeter des Eingangs A und zur Spannungsmessung
das Voltmeter des Eingangs B benutzt. Zur Überbrückung der Spannungsquelle
(Entladevorgang) wird ein Taster parallel zu dem Ohmschen Widerstand und dem Kondensator
geschaltet.
Bei dem Aufladevorgang des Kondensators wird die Spannungsquelle im Menü Einstellungen
CASSY von AUS (0) auf EIN (1) automatisch bei Beginn einer Messung umgeschaltet.
Bei dem Entladevorgang bleibt die Spannungsquelle eingeschaltet (1), wird aber durch den Taster
überbrückt, so das sich der Kondensator über den Widerstand entlädt.

104 KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄTSLEHRE
12 V
INPUT A
INPUT B
R
S
− +
I
U
U
SENSOR−CASSY 524010
Benötigte Geräte:
1 Sensor-CASSY
1 CASSY Lab
1 Rastersteckplatte, DIN A4
1 STE Widerstand 100 Ω
1 Kondensator 10 µF
1 Kondensator 4,7 µF
1 Kondensator 2,2 µF
1 Kondensator 1 µF
1 Satz Brückenstecker
3 Paar Kabel, 50 cm rot/blau
1 Taster
Abbildung 4.4: Schaltbild zur Aufnahme einer Auf- oder Entladekurve eines Kondensators
4.2.3 Versuchsdurchführung
a) Aufladung
– Ladespannung U0 auf z.B. 5 V einstellen - dazu Drehknopf an Spannungsquelle S
entsprechend einstellen und Ladespannung messen.
– Im Menü Einstellungen CASSY die automatische Umschaltung der Spannungsquelle
von AUS (0) auf EIN (1) bei Start der Messung markieren
– Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen das Messintervall auf 10 µs
und die Anzahl auf 500 einstellen, entsprechend einer Messzeit von 5ms
– Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen weiterhin einen Trigger auf
z.B. IA1 = 0, 04 A, fallende Tendenz einstellen!
– Aufladung mit F9 starten, Ladekurven gemäß Gleichungen 4.4, 4.3 und Abb. 4.5a
aufnehmen
b) Entladung
– Ladespannung U0 auf z.B. 6 V einstellen - dazu Drehknopf an Spannungsquelle S
entsprechend einstellen und Ladespannung messen.
– Im Menü Einstellungen CASSY die Spannungsquelle auf EIN (1) stellen
– Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen das Messintervall auf 10 µs
und die Anzahl auf 1000 einstellen, entsprechend einer Messzeit von 10 ms
– Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen weiterhin einen Trigger auf
UB1 = 5 V, fallende Tendenz einstellen!
– Messung mit F9 starten, Entladekurven gemäß Gleichungen 4.6, 4.7 und Abb. 4.5b
aufnehmen
– Nach Meldung “Triggersignal fehlt“, den Taster zur Überbrückung der Spannungsquelle
betätigen
Achtung: Mögliche Nullpunktsschwankungen der Strom- oder Spannungsmessgeräte korrigieren
im Menü Einstellungen CASSY!

4.2. AUF- UND ENTLADUNG EINES KONDENSATORS 105
a)
b)
Abbildung 4.5: a) Auf- bzw b) Entladekurve eines Kondensators

106 KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄTSLEHRE
4.2.4 Versuchsauswertung
Für die Bestimmung der Kapazität C werden die Strom- bzw. Spannungsmessreihen logarithmisch
dargestellt. Die statistischen Fehler der Einzelmesswerte der Strom- und Spannungsmessungen
wurden bereits im ersten Vorversuch ermittelt und müssen in die logarithmierte Darstellung
transformiert werden.
S = ln(X) → σS = dS
dX · σX = σX
X
An die jeweilige logarithmierte Messreihe wird mittels linearer Regression eine Gerade y = a·t+b
angepaßt. Für die Kapazität C und den Fehler σC der Kapazität des Kondensators gilt dann:
C = − 1
a · R
→ σC
C =
�
�σa �2 a
+
� �
σR
2
R
Um den systematischen Fehler in C abzuschätzen, verschieben Sie die Messpunkte mit ihren
statistischen Fehlern um die systematischen Fehlern.
σUi,sys = 0, 01 · Ui + 0, 005 · UBereichsendwert
damit ergibt sich für die verschobenen Messwerte:
σIi,sys = 0, 02 · Ii + 0, 005 · IBereichsendwert
Ui,+ = Ui + σUi,sys bzw. Ui,− = Ui − σUi,sys
Ii,+ = Ii + σIi,sys bzw. Ii,− = Ii − σIi,sys
An die nun jeweilige logarithmierte Messreihe wird mittles linearer Regression eine Gerade angepaßt
und die Steigung (a+ bzw. a−) bestimmt (Abbildung 4.6). Es gilt dann:
σsys,+ = a+ − a bzw. σsys,− = a− − a → σa,sys = σsys,+ + σsys,−
2
Der systematische Fehler der Steigung und der des Ohmschen Widerstandes R (erster Vorversuch)
setzen sich wie folgt auf den Fehler der Kapazität fort:
σ a C,sys = 1
a2 · R · σa,sys σ R C,sys = 1
· σR,sys
a · R2 Geben Sie ihre Ergebnisse zusammenfassend an:
C ± σC,stat ± σ a C,sys ± σ R C,sys
Bestimmen Sie dann aus den durch Auf- bzw. Entladung gewonnenen Kapazitäten und deren
statistischen und systematischen Fehlern den Mittelwert und den Fehler der Kapazität mit dem
Verfahren des gewichteten Mittelwertes:
C =
n�
Ci
σ
i=1
2 i
n� 1
σ
i=1
2 i
�
�
� 1
σC = �
� n�
Vergleichen Sie ihre Ergebnisse mit der Erwartung aufgrund der Herstellerangaben (Tabelle 4.3).
i=1
1
σ 2 i

4.3. AUF- UND ENTLADUNG EINER SPULE (OPTIONAL) 107
Abbildung 4.6: Bestimmung der Kapazität mittels linearer Regression (rote, mittlere) Kurve und
des systematischen Fehlers (blaue und grüne Kurven)
Kapazität max. zul. Spannung Toleranz
1 µF 100 V 5 %
2,2 µF 63 V 5 %
4,7 µF 63 V 5 %
10 µF 100 V 5 %
Tabelle 4.3: Spezifikationen der Kondensatoren laut Herstellerangaben
4.3 Auf- und Entladung einer Spule (optional)
Mit diesem Vorversuch sollen die Induktivität L und der innere Ohmsche Widerstand RL der
Spulen bestimmt werden, die später bei den Hauptversuchen der LC-Schwingkreise eingesetzt
werden! Des weiteren soll der Innenwiderstand des Strommessgerätes ermittelt werden, da dieser
später die Dämpfung der freien Schwingung beeinflussen wird.
4.3.1 Versuchsbeschreibung
Eine Spule wird über einen Widerstand aufgeladen oder entladen. Es werden die Spannungsabfälle
an der Spule sowie der Lade- oder Entladestrom gemessen. Daraus kann die Zeitkonstante τ = L
R ,
die Induktivität L und der innere Widerstand RL der Spule bestimmt werden.

108 KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄTSLEHRE
+
U0
B
A
I
R
Abbildung 4.7: Schaltung zur Aufnahme von Strom- und Spannungskennlinien bei Lade- und
Entladevorgängen einer Spule
L
U
L
Ladevorgang einer Spule (Abbildung 4.7, Schalterstellung A):
Eine Spule wird über einen Ohmschen Widerstand aufgeladen. Bei der Änderung des Stromes im
Kreis ändert sich das Magnetfeld und damit auch der magnetische Fluß im Querschnitt der Spule.
Nach dem Induktionsgesetz wird dann in der Spule selbst eine Induktionsspannung Ui = −L · dI
dt
induziert (Selbstinduktion). Für den bei Änderung des Stromes im Kreis durch Selbstinduktion
auftretenden Spannungsabfall UL an der Spule gilt: UL = L · dI , mit dem Selbstinduktionskoef-
dt
fizienten L (auch Induktivität genannt), der von der geometrischen Gestalt der Spule abhängt.
Für die Induktivität L einer Spule vom Querschnitt A, der Länge l und mit N Windungen gilt
annähernd:
L = µ0 · µr · N 2 · A
l
Nach dem Einschalten wächst I(t) von Null an, wird durch U0 angetrieben und durch Ui behindert.
Die Spannung U0 kann einen maximalen Strom I0 = U0 im Kreis erzeugen. Mit der
R
Kirchhoffschen Maschenregel folgt eine inhomogene lineare Differentialgleichung (DGL) 1. Ordnung:
U0 = L · dI
dt
+ R · I → dI
dt
R U0
+ · I =
L L
Die Lösung einer solchen DGL setzt sich zusammen aus der Summe einer allgemeinen homogenen
Lösung mit einer beliebigen sog. partikulären Lösung der inhomogenen Gleichung:
I(t) = Ih(t) + Ip(t)
Für Lösung Ih der homogenen DGL ergibt sich:
dI
dt
R
+ · I = 0 →
L
I(t)
�
0
dI
I
= −R
L
�t
0
dt → ln
(4.8)
� �
I(t)
= −
I(0)
R
L · t → Ih(t)
R
−
= Ih(0) · e L ·t

4.3. AUF- UND ENTLADUNG EINER SPULE (OPTIONAL) 109
Ih(0) ist die Integrationskonstante, die durch die Anfangsbedingung festgelegt wird. Für die
inhomogene Lösung Ip folgt:
L · dI
dt + I · R = U0 → Ip = U0
Damit folgt für die Gesamtlösung:
R
R
−
I(t) = Ih(0) · e L ·t + U0
R
Mit der Anfangsbedingung I(0) = 0 folgt: I(0) = Ih(0) + U0
R = 0 und damit Ih(0) = − U0
R .
Der Ladestrom ist dann:
I(t) = U0
R
�
R
−
· 1 − e L ·t�
Dabei ist τ = L die Zeitkonstante des Stromkreises. Für den zeitabhängigen Spannungsabfall UL
R
an der Spule folgt damit:
UL(t) = L · dI
dt = U0
R
−
· e L ·t
Entladevorgang einer Spule (Abbildung 4.7, Schalterstellung B):
(4.9)
(4.10)
Zur Zeit t = 0 wird der Schalter von A nach B gelegt und dadurch die Spannungsquelle durch
Überbrückung abgeschaltet. Im RL-Kreis folgt dann aus der Maschenregel die homogene Differentialgleichung:
mit der Lösung:
L · dI
dt
+ R · I = 0 → dI
dt
R
−
Ih(t) = Ih(0) · e L ·t
R
+ · I = 0 (4.11)
L
mit der Anfangsbedingung, daß zur Zeit t=0 der maximale Strom I(0) = U0
R
I(t) = U0
R
Für den Spannungsabfall an der Spule gilt:
4.3.2 Versuchsaufbau
· e− R
L ·t
R
−
UL(t) = −U0 · e L ·t
fließt, gilt dann:
(4.12)
(4.13)
Die Spule und der Ohmsche Widerstand werden gemäß Abbildung 4.8 auf der Rastersteckplatte
aufgebaut. Die Strommessung erfolgt mit dem Amperemeter des Eingangs A und die Spannungsmessung
mit dem Voltmeter des Eingangs B des Sensor-CASSY-Interface.
Die Spannungsquelle S des Sensor-Cassy-Interface wird bei dem Ladevorgang im Menü Einstellungen
CASSY auf AUS (Zustand 0) gestellt und mit Beginn der Messung automatisch auf
EIN (Zustand 1) geschaltet.
Beim Entladevorgang wird die Spannungsquelle vom eingeschalteten Zustand 1 automatisch bei
Beginn der Messung in den ausgeschalteten Zustand 0 umgeschaltet. Die Datenaufnahme erfolgt
erst nach Erfüllung einer Triggerbedingung.

110 KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄTSLEHRE
12 V
INPUT A
INPUT B
R
S
− +
I
U
U
SENSOR−CASSY 524010
a) b)
Benötigte Geräte:
1 Sensor-CASSY
1 CASSY Lab
1 Rastersteckplatte, DIN A4
1 STE Widerstand 100 Ω
1 Spule 250, 500 oder 1000 Windungen
1 Experimentierkabel, 50 cm, blau
3 Paar Kabel, 50 cm rot/blau
12 V
INPUT A
INPUT B
R
S
− +
I
U
U
SENSOR−CASSY 524010
Abbildung 4.8: Schaltbild zur a) Aufnahme von Auf- und Entladekurven und Bestimmung des
inneren Ohmschen Widerstandes RL einer Spule und b) Bestimmung des inneren Ohmschen
Widerstandes des Amperemeters.
4.3.3 Versuchsdurchführung
a) Aufladung
– Ladespannung U0 auf etwa 5 V einstellen - dazu Drehknopf an Spannungsquelle S entsprechend
einstellen und Ladespannung messen. Achtung: Grenzwerte beachten!
– Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen das Messintervall auf 10 µs
und die Anzahl auf 250 einstellen, entsprechend einer Messzeit von 2.5 ms
– Spannungsquelle einschalten - dazu in Einstellungen CASSY, Spannungsquelle
S die Eingabe von 0 nach 1 ändern durch automatische Umschaltung bei Beginn der
Messung.
– Aufladung mit F9 starten, Ladekurven gemäß Gleichungen 4.9,4.10 und Abb. 4.9a
aufzeichnen.

4.3. AUF- UND ENTLADUNG EINER SPULE (OPTIONAL) 111
a)
b)
Abbildung 4.9: a) Auf- und b) Entladekurven einer Spule

112 KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄTSLEHRE
b) Entladung
– Ladespannung U0 auf etwa 5 V einstellen - dazu Drehknopf an Spannungsquelle S entsprechend
einstellen und Ladespannung messen. Achtung: Grenzwerte beachten!
– Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen das Messintervall auf 10 µs
und die Anzahl auf 250 einstellen, entsprechend einer Messzeit von 2.5 ms.
– Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen weiterhin einen Trigger auf
z.B. UB1 = −3 V, steigende Tendenz einstellen!
– Spannungsquelle bei Beginn der Messung ausschalten - dazu in Einstellungen Spannungsquelle
S1 die Eingabe von 1 nach 0 ändern durch automatische Umschaltung
bei Beginn der Messung.
– Entladung mit F9 starten, Entladekurven gemäß Gleichungen 4.12, 4.13 und Abb.
4.9b aufzeichnen.
c) Innerer Ohmscher Widerstand RL der Spule (zusätzliche Widerstände entfernen)
– Spannungsquelle S über das Menü Einstellungen CASSY einschalten (Zustand 1).
– Messwertaufnahme in dem Menü Messparameter anzeigen von automatischer auf
manuelle Aufnahme umschalten (Abb. 4.10a). Es wird ein Messwert pro Start einer
Messung aufgezeichnet.
– Variation der anliegenden Spannung U0 (manuell am Drehknopf), Aufzeichnung des
Spannungsabfalls an der Spule und des Stroms (Abb. 4.10a).
d) Innenwiderstand des Amperemeters des Eingangs A
– Spannungsquelle S über das Menü Einstellungen CASSY einschalten (Zustand 1).
– Messwertaufnahme in dem Menü Messparameter anzeigen von automatischer auf
manuelle Aufnahme umschalten. Es wird ein Messwert pro Start einer Messung aufgezeichnet.
– Variation der anliegenden Spannung U0 (manuell am Drehknopf), Aufzeichnung des
Spannungsabfalls am Amperemeter und des Stroms (Abb. 4.8b und 4.10b).

4.3. AUF- UND ENTLADUNG EINER SPULE (OPTIONAL) 113
a)
b)
Abbildung 4.10: Bestimmung des inneren Ohmschen Widerstandes a) einer Spule, b) des Amperemeters
mittels Ohmschen Gesetzes.

114 KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄTSLEHRE
4.3.4 Versuchsauswertung
Induktivität L:
Für die Bestimmung der Zeitkonstanten τ = L werden die Strom- bzw. Spannungsmessreihen
R
logarithmisch dargestellt. Die statistischen Fehler der Einzelmesswerte der Strom- und Spannungsmessungen
wurden bereits im ersten Vorversuch ermittelt und müssen in die logarithmierte
Darstellung transformiert werden.
S = ln(X) → σS = dS
dX · σX = σX
X
An die jeweilige logarithmierte Messreihe wird mittels linearer Regression eine Gerade y = a·t+b
angepaßt. Damit ergibt sich für die Induktivität L und deren Fehler σL:
L = − R
a ,
σL
L =
�
�σa �2 a
+
� �
σR
2
R
Um den systematischen Fehler in L abzuschätzen, verschieben Sie die Messpunkte mit ihren
statistischen Fehlern um die systematischen Fehlern.
σUi,sys = 0, 01 · Ui + 0, 005 · UBereichsendwert
damit ergibt sich für die verschobenen Messwerte:
σIi,sys = 0, 02 · Ii + 0, 005 · IBereichsendwert
Ui,+ = Ui + σUi,sys bzw. Ui,− = Ui − σUi,sys
Ii,+ = Ii + σIi,sys bzw. Ii,− = Ii − σIi,sys
An die nun jeweilige logarithmierte Messreihe wird mittles linearer Regression eine Gerade angepaßt
und die Steigung (a+ bzw. a−) bestimmt. Es gilt dann:
σsys,+ = a+ − a bzw. σsys,− = a− − a → σa,sys = σsys,+ + σsys,−
2
Der systematische Fehler der Steigung und der des Ohmschen Widerstandes R (erster Vorversuch)
setzen sich wie folgt auf den Fehler der Induktivität fort:
σ a L,sys = R
· σa,sys σ
a2 R L,sys = 1
· σR,sys
a
Geben Sie ihre Ergebnisse zusammenfassend an L ± σL,stat ± σ a L,sys ± σ R L,sys. Bestimmen Sie dann
aus den durch Auf- bzw. Entladung gewonnenen Induktivitäten und deren Fehlern (statistische
und systematische) den Mittelwert und den Fehler der Induktivität mit dem Verfahren des gewichteten
Mittelwertes:
L =
n�
Li
σ
i=1
2 i
n� 1
σ
i=1
2 i
�
�
� 1
σL = �
� n�
Vergleichen Sie ihre Ergebnisse mit der Erwartung aufgrund der Herstellerangaben.
i=1
1
σ 2 i

4.3. AUF- UND ENTLADUNG EINER SPULE (OPTIONAL) 115
Innerer Widerstand RL der Spule
Methode 1:
Bei den Aufladekurven in Abbildung 4.9a fällt auf, daß der Spannungsabfall an der Spule nicht
exponentiell mit der Zeit gegen Null, sondern gegen einen konstanten Anteil geht. Der Grund
dafür ist der innere Ohmsche Widerstand RL der Spule. Bestimmen Sie aus den Aufladekurven
den Sättigungsstrom I0 und den konstanten an der Spule abfallenden Gleichspannungsanteil UL
und berechnen Sie den inneren Ohmschen Widerstand der Spule:
RL = UL
I0
σRL
RL
�
�
�
�
=
� σUL
Methode 2:
Stellen Sie die manuell aufgenommene Messreihe in einem U-I-Diagramm dar und bestimmen Sie
den Wert und Fehler des inneren Ohmschen Widerstandes RL mittels linearer Regression (Abb.
4.10a). In die lineare Regression gehen die Fehler der Strom- und Spannungsmessungen ein, die
im ersten Vorversuch, Messreihe 1, bestimmt worden sind.
Diskutieren Sie die Ergebnisse der beiden Methoden mitsamt ihrer statistischen und systematischen
Fehler und vergleichen Sie diese mit den Herstellerangaben.
Innenwiderstand Ri des Amperemeters
Stellen Sie die manuell aufgenommene Messreihe in einem U-I-Diagramm dar und bestimmen
Sie den Wert und Fehler des Innenwiderstandes des Amperemeters Ri mittels linearer Regression
(Abb. 4.10b). In die lineare Regression gehen die Fehler der Strom- und Spannungsmessungen
ein, die im ersten Vorversuch, Messreihe 1, bestimmt worden sind. Geben Sie das Ergebnis mit
statistischen und systematischen Fehlern an.
UL
� 2
+
� σI0
I0
� 2

116 KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄTSLEHRE
4.4 Gedämpfter LC-Schwingkreis
4.4.1 Versuchsbeschreibung
I
R
L
C
Abbildung 4.11 LCR-Schwingkreis
+
U
Wird ein Kondensator C auf die Spannung U0 aufgeladen
und über eine parallel geschaltete Spule
entladen, so müssen zu jeder Zeit die Spannungen
am Kondensator und an der Spule gleich
groß sein, bzw. die Gesamtenergie bei einer freien,
ungedämpften Schwingung muß konstant bleiben.
Die Gesamtenergie ist gleich der Summe der
elektrischen und magnetischen Feldenergien. Ein
tatsächlich aufgebauter Schwingkreis besitzt neben
einer Kapazität C und einer Induktivität L
immer auch einen unvermeidlichen Ohmschen Widerstand
R. Kondensatoren und Spulen sind keine
idealen Bauelemente, sondern weisen neben der
Kapazität bzw. Induktivität auch Ohmschen Widerstände
auf (siehe Anhang 4.6). Diese üben eine
dämpfende Wirkung auf die Schwingung aus und
am Gesamtwiderstand R wird in der Zeit dt die
Stromenergie dE = I 2 · R · dt in Wärme umgewandelt.
Diese wird der Gesamtenergie des Kreises
entzogen.
Die elektrischen Schwingungen lassen sich anregen, indem man entweder den Kondensator entlädt
oder auflädt. Sowohl Auf- wie Entladung werden durch Schwingungsgleichungen mit einem
Dämpfungsterm beschrieben. Es hängt entscheidend vom Dämpfungsterm ab, wie der Einschwingvorgang
auf die angelegte Spannung (U0 bzw. Null) verläuft. Bei kleiner Dämpfung wird
sich die Spannung nach einem Einschwingvorgang am Kondensator einstellen. Bei sehr starker
Dämpfung kommt es zu keiner Schwingung und der Kondensator erreicht sehr langsam die
angelegte Spannung. Zwischen diesen beiden Fällen gibt es einen Spezialfall, bei dem sich die
Spannung ohne Schwingung nach kürzester Zeit auf den richtigen Wert einstellt.
Diese Situationen entsprechen vollkommen den mechanischen freien Schwingungen. Analoge Beziehung
bzw. Bezeichnungen mechanischer und elektromagnetischer Schwingungen sind in Tabelle
4.4 aufgezeigt.

4.4. GEDÄMPFTER LC-SCHWINGKREIS 117
Schwingungen
mechanische elektromagnetische
d2y dt2 + b dy c · + · y = 0
m dt m
Differentialgleichung DGL:
d2Q dt2 + R dQ 1 · + · Q = 0
L dt L·C
y Elongation Q elektrische Ladung
m Masse L Induktivität
b Dämpfungskonstante R Ohmscher Widerstand
c Federkonstante 1/C inverse Kapazität
Geschwindigkeit: v = dy
dt
ω0 =
δ = b
2m
=
Stromstärke: I = dQ
dt
Kreisfrequenz ohne Dämpfung:
�
c/m ω0 =
�
1/(LC)
Abklingkoeffizient, Dämpfungskonstante:
δ = R
Kreisfrequenz: ω =
�
c/m − b 2 /(4m 2 ) =
D = δ
ω0
= b
2 · � 1
mc
2L
Dämpfungsgrad:
�
ω 2 0 − δ 2
�
1/(LC) − R 2 /(4L 2 )
D = δ
ω0
= R
2 ·
� C
L
Potentielle Energie: Elektrostatische Energie:
Epot = 1
2cy2 EC = 1
2
Q 2
C
= 1
2 CU 2 C
Kinetische Energie: Magnetische Energie:
Ekin = 1
2 mv2 EL = 1
2 LI2
Güte (wird meist auch mit Q bezeichnet):
Q = 1
2D = √ mc/b Q = 1
2D
= 1
R ·
�
L/C
Tabelle 4.4: Analogien zwischen mechanischen und elektromagnetischen Schwingungen

118 KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄTSLEHRE
Differentialgleichung für freie elektrische Schwingung:
An eine Gleichspannung U0 wird eine Serienschaltung von R, L und C angeschlossen. Nach der
Kirchhoffschen Maschenregel ist U0 gleich der Summe aller Spannungsabfälle an den Komponenten
R, L und C:
U0 = UR + UL + UC = R · I + L dI
dt
Wegen I = dQ/dt gilt dann für die elektrische Ladung:
L · d2Q dQ
+ R ·
dt2 dt
+ Q
C .
+ Q
C = U0. (4.14)
Weil eine so aufgebaute Differentialgleichung (DGL) für alle freien gedämften Schwingungen gilt,
bei denen die Schwingungsamplituden nicht so groß werden, dass nicht-lineare Terme berücksichtigt
werden müssen, schreibt man:
mit
δ = R
2L
d2Q dQ
+ 2 δ
dt2 dt + ω2 0 Q = U0
. (4.15)
L
und ω0 = 1
√ LC
(4.16)
δ heißt Abklingkoeffizient, Dämpfungskonstante (in s −1 ) und ist ein Maß für die Dämpfung;
ω0 ist die Kreisfrequenz der ungedämpften freien Schwingung.
Das Verhältnis von Abklingkoeffizient und Kreisfrequenz ist dimensionslos und heißt Dämpfungsgrad
D der gedämpften Schwingung:
D = δ
ω0
= R
2 ·
�
C
L .
d = 2 ·D ist der Verlustfaktor und das Inverse davon die Güte:
Q = 1 1
=
2D R ·
�
L
. (4.17)
C
Der gesamte Ohmsche Widerstand R des Schwingkreises, in dem unter anderem auch der Ohmsche
Widerstand der Spule enthalten ist, trägt zu Energieverlusten bei. Durch diese Dämpfung
verringern sich die Kreisfrequenz und die Güte des Schwingkreises.
Gleichung 4.15 ist eine inhomogene lineare DGL 2. Ordnung. Die allgemeine Lösung dieser DGL
ist die Summe aus der allgemeinen Lösung der homogenen und einer beliebigen Lösung der
inhomogenen Gleichung: Q(t) = Qh(t) + Qp(t). Qp(t) nennt man partikuläre Lösung. Die Gesamtlösung
enthält zwei Integrationskonstanten, die durch die Anfangsbedingungen des Schwingungsproblems
bestimmt werden müssen.

4.4. GEDÄMPFTER LC-SCHWINGKREIS 119
Lösung der homogenen Differentialgleichung
Die homogene Differentialgleichung
wird gelöst durch den Ansatz:
d2Q dQ
+ 2 δ
dt2 dt + ω2 0 Q = 0 (4.18)
Q(t) = Q0 · e λt ˙ Q(t) = λ · Q(t) ¨ Q(t) = λ 2 · Q(t)
Einsetzen in die Differentialgleichung liefert:
mit den Lösungen:
(λ 2 + 2δλ + ω 2 0) · Q(t) = 0 → λ 2 + 2δλ + ω 2 0 = 0
λ1,2 = −δ ±
�
δ 2 − ω 2 0 = −δ ± √ − ω 2 = − δ ± iω (4.19)
mit ω 2 = ω 2 0 − δ 2 . Die allgemeine Lösung der homogenen DGL orientiert sich daran, ob der
Dämpfungsgrad D größer, gleich oder kleiner als 1 ist. Allgemein gilt:
Qh(t) = A · e λ1t + B · e λ2t
Die homogene DGL entspricht dem Fall, dass keine Spannung anliegt. Die Lösungen dieser Gleichung
beschreiben folglich die Entladung eines bereits aufgeladenen Kondensators. Das muss
bei den Randbedingungen berücksichtigt werden. Für die drei folgenden Situationen haben die
Randbedingungen für die exakte Lösung immer die gleiche Form:
Kriechfall (δ > ω0, D > 1)
Qh(0) = Q0 = CU0 und
dQh
dt |(0) = I(0) = 0 (4.20)
Beim Kriechfall ist die Dämpfung so stark, dass der Kondensator sehr langsam entladen wird
und nur asymptotisch seine Spannung verliert. Es findet keine Schwingung statt!
Mit den beiden Integrationskonstanten folgt:
Qh(t) = A · e
�
−δ+ √ δ 2 −ω 2 0
�
t
+ B · e
�
−δ− √ δ 2 −ω 2 0
Mit den Randbedingungen ergibt sich für die Konstanten in Gleichung 4.21:
�
δ +
A = CU0 · �
2
δ 2 − ω 2 0
δ 2 − ω 2 0
−δ +
, B = CU0 · �
2
�
t
�
δ 2 − ω 2 0
δ 2 − ω 2 0
(4.21)
Abb. 4.11 zeigt für R = 320 Ω, L = 9,0 mH und C = 2,2 µF den Spannungsabfall am Kondensator
und den Strom I. Der Kondensator war zu Beginn geladen mit einer Spannung von 10 V.
Beim Kriechfall stellt sich die Spannung nur sehr langsam und ohne überzuschwingen ein. Auch

120 KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄTSLEHRE
Spannung (V)
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
Aperiodischer Grenzfall
Schwingfall
Kriechfall
-10
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005
Zeit (s)
Strom (A)
0.15
0.1
0.05
0
-0.05
-0.1
Schwingfall
Kriechfall
Aperiodischer Grenzfall
-0.15
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005
Abbildung 4.11: Kondensatorspannung und Strom beim Entladen (Schwingfall, Kriechfall und
Aperiodischer Grenzfall)
der Entladestrom schwingt nicht über und bleibt relativ klein.
Aperiodischer Grenzfall (δ = ω0, D = 1)
Beim aperiodischen Grenzfall wird die Dämpfung so gering, dass der Kondensator in der kürzesten
Zeit entladen wird. Auch in diesem Fall kommt es zu keinen Schwingungen. Der Strom zeigt ebenfalls
keine Schwingungen, ist aber wegen der kürzeren Entladungszeit größer als der im Kriechfall.
Wegen δ = ω0 verschwindet in Glg. 4.19 die Wurzel. Damit man für die einzustellenden Anfangsbedingungen
wieder zwei Integrationskonstanten zur Verfügung hat, nimmt die Lösung folgende
allgemeine Form an (mit den Anfangsbedingungen folgt: A = CU0 und B = δA):
Qh(t) = e −δt · (A + Bt) → Qh(t) = CU0 · e −δt · (1 + δ · t) (4.22)
UC(t) = U0 · e −δt · (1 + δ · t) und I(t) = −δ 2 e −δt CU0 · t (4.23)
Abb. 4.11 zeigt für den gleichen Schwingkreis neben dem Kriechfall � auch den aperiodischen
Grenzfall. Der Ohmsche Widerstand beträgt hier jedoch R = 2· L/C = 127,9 Ω.
Schwingfall (δ < ω0, D < 1)
Wenn die Dämpfung noch kleiner wird, stellt sich die Spannung am Kondensator erst nach einem
Einschwingvorgang auf den endgültigen Wert ein. Die Wurzel im Exponenten von Glg. 4.19 wird
jetzt rein imaginär. Die allgemeine Lösung nimmt dann die folgende Form an:
Qh(t) = e −δt · �
A ′ e iωt + B ′ e −iωt�
Zeit (s)

4.4. GEDÄMPFTER LC-SCHWINGKREIS 121
In dieser Relation ist sowohl Real- wie auch Imaginärteil Lösung der DGL. Man kann daher mit
anderen Integrationskonstanten schreiben:
Qh(t) = e −δt · (A cos ωt + B sin ωt)
Mit den bekannten Anfangsbedingungen (Glg. 4.20) findet man A = CU0 und B = Aδ/ω, also:
Qh(t) = CU0 · e −δt ·
�
cos ωt + δ
�
sin ωt
ω
(4.24)
Abb. 4.11 zeigt für den gleichen Schwingkreis, jedoch mit einem kleineren Ohmschen Widerstand
(R = 12, 8Ω) die Situation, bei der es deutlich zu einem Überschwingen kommt.
Bei kleiner Dämpfung verläuft Qh(t) und damit auch UC(t) annähernd wie ein Cosinus. Der
Strom ergibt sich durch die Zeitableitung von Glg. 4.24 und hat die Form eines gedämpften
Sinus:
UC(t) = U0 · e −δt �
· cos ωt + δ
�
sin ωt
(4.25)
ω
I(t) = − CU0 · e −δt ·
�
ω + δ2
ω
�
· sin ωt (4.26)
Zwischen beiden hat man also ungefähr eine Phasenverschiebung von π/2. Der Strom eilt der
Spannung voraus.
Lösung der inhomogenen Differentialgleichung
Wenn nicht die Entladung sondern die Aufladung des Kondensators in einem Schwingkreis untersucht
wird, muss die inhomogene DGL 4.15 gelöst werden. Dies geschieht, indem man eine
beliebige partikuläre Lösung dieser Glg. sucht. Da in diesem Fall der inhomogene Teil eine
Konstante ist, erfüllt Qp = CU0 die DGL. Zu allen allgemeinen Lösungen der homogenen DGL
tritt der partikuläre Teil additiv hinzu. Bei allen drei im folgenden aufgeführten Fällen sind die
Anfangsbedingungen gegeben durch:
Kriechfall (δ > ω0, D > 1)
Die allgemeine Lösung lautet:
Q(0) = 0 und
Q(t) = CU0 + A · e
�
−δ+ √ δ 2 −ω 2 0
�
t
dQ(0)
dt
+ B · e
= I(0) = 0
�
−δ− √ δ 2 −ω 2 0
Mit den Anfangsbedingungen findet man für die Integrationskonstanten:
�
δ +
A = −CU0 · �
2
δ 2 − ω 2 0
δ 2 − ω 2 0
�
δ −
B = CU0 · �
2
�
t
δ 2 − ω 2 0
δ 2 − ω 2 0

122 KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄTSLEHRE
Spannung (V)
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
Schwingfall
Kriechfall
Aperiodischer Grenzfall
0
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005
Zeit (s)
Strom (A)
0.15
0.1
0.05
0
-0.05
-0.1
-0.15
Aperiodischer Grenzfall
Kriechfall
Schwingfall
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005
Abbildung 4.12: Kondensatorspannung und Strom beim Aufladen (Schwingfall, Kriechfall und
Aperiodischer Grenzfall)
Aperiodischer Grenzfall (δ = ω0, D = 1)
Allgemeine Lösung:
Q(t) = CU0 + e −δt · (A + Bt)
Mit den Integrationskonstanten A = −CU0 und B = δA folgt für die Lösung:
Schwingfall (δ < ω0, D < 1)
Allgemeine Lösung:
Q(t) = CU0 · �
1 − e −δt · (1 + δ · t) �
Q(t) = CU0 + e −δt · (A cos ωt + B sin ωt)
Mit den Anfangsbedingungen folgt für die Lösung:
Q(t) = CU0 ·
und damit für Spannung UC und Strom I:
�
1 − e −δt ·
�
cos ωt + δ
��
sin ωt
ω
�
UC(t) = U0 · 1 − e −δt �
· cos ωt + δ
��
sin ωt
ω
I(t) = CU0 · e −δt �
· ω + δ2
�
sin ωt
ω
Zeit (s)

4.4. GEDÄMPFTER LC-SCHWINGKREIS 123
Elektrische und Magnetische Energie
Der Energiesatz ist ein erstes Integral der zugrunde liegenden Bewegungsgleichung (Differentialgleichung).
Daher kann man aus dem Energiesatz wieder die DGL herleiten.
Wenn im Schwingkreis ein Strom fließt, sorgt der Ohmsche Widerstand für Verluste durch Umwandlung
der Energie in Wärme. Wenn Eges die zur Zeit t noch vorhandene Gesamtenergie ist,
beträgt die Verlustleistung: − dEges
dt = I · UR = I2 · R
Die Gesamtenergie des Schwingkreises setzt sich zu jedem Zeitpunkt aus der Summe der magnetischen
(Induktivität) und der elektrostatischen Energien (Kapazität) zusammen:
Eges = 1
2 LI2 + 1
2
Mit der Verlustleistung und mit I = dQ/dt folgt:
− d
�
1
dt
2 LI2 + 1
2
Q2 �
C
Diese Gleichung ist identisch mit Glg. 4.14.
Q 2
C
= I 2 R → L · d2Q dQ
+ R ·
dt2 dt
+ 1
C
· Q = 0
Während des Entladeprozesses, aber auch während des Aufladeprozesses, schwingt die Energie
zwischen der magnetischen Feldenergie der Spule Emagn = 1
2LI2 und der elektrischen Feldenergie
des Kondensators Eel = 1 Q
2
2
hin und her. Bei sehr kleinem Dämpfungsgrad (D

124 KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄTSLEHRE
mit
ω = 2π · f =
�
ω 2 0 − δ 2 , ω0 =
1
√ L · C
und δ = R
2 · L
(4.28)
Wurde der Vorversuch zur Charakterisierung der Spulen nicht durchgeführt, müssen die Spulen
mit Hilfe der Ergebnisse der Schwingungsversuche charakterisiert werden. Mit den Gleichungen
4.28 folgt:
L =
4.4.2 Versuchsaufbau
1
(ω 2 + δ 2 ) · C
und R =
2δ
(ω 2 + δ 2 ) · C
Der Schwingkreis wird gemäß Abbildung 4.13 auf der Rastersteckplatte aufgebaut. Der Strom
fließt durch Eingang A des Sensor-CASSYs und die Kondensatorspannung wird an Eingang B
gemessen. Zu Beginn des Experiments wird der Kondensator aus der Spannungsquelle S aufgeladen.
Zum Start der Schwingung wird der Taster gedrückt, welcher dabei die Spannungsquelle
S kurzschließt.
12 V
INPUT A
INPUT B
R
S
− +
I
U
U
SENSOR−CASSY 524010
Benötigte Geräte:
1 Sensor-CASSY
1 CASSY Lab
1 Rastersteckplatte, DIN A4
1 Kondensator 1 µF
1 Kondensator 2,2 µF
1 Kondensator 4,7 µF
1 Kondensator 10 µF
1 Spule 250 Windungen
1 Spule 500 Windungen
1 Spule 1000 Windungen
1 Satz Brückenstecker
3 Paar Kabel, 50 cm rot/blau
1 Taster
Abbildung 4.13: Schaltbild zur Aufnahme von freien, gedämpften Auflade- bzw. Entlade-
Schwingungen
4.4.3 Versuchsdurchführung
• Ladespannung U0 am Kondensator auf etwa 6 V einstellen - dazu Spannungsquelle S entsprechend
einstellen
• Spannungsquelle S auf EIN (1) bei Messung Entladevorgang, auf AUS (0) mit automatischer
Umschaltung auf EIN (1) bei Beginn der Messung des Ladevorgangs.

4.4. GEDÄMPFTER LC-SCHWINGKREIS 125
a)
b)
Abbildung 4.14: a) Auflade- bzw. b) Entlade-Schwingungen

126 KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄTSLEHRE
• Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen das Messintervall auf 10 µs und die
Anzahl auf 2000 einstellen, entsprechend einer Messzeit von 20 ms
• Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen weiterhin einen Trigger auf z.B.
UB1 = 5 V, fallende Tendenz (Entladevorgang) bzw. UB1 = 0, 5 V, steigende Tendenz
(Ladevorgang) einstellen!
• Messung mit F9 starten (wartet dann auf Triggersignal)
• Schwingkreis mit Taster schließen (erzeugt Triggersignal)
4.4.4 Versuchsauswertung
Zur Sichtbarmachung der Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung normiert man die
beiden gemessenen Verläufe I(t) und UC(t) und stellt sie graphisch in einem Diagramm dar oder
vergleicht z.B. die Nulldurchgänge der Spannungsmesung mit der Lage der Maxima der Strommessung
(Abbildung 4.14b).
Die Frequenz f der Schwingung lässt sich am leichtesten im Frequenzspektrum ermitteln, welches
mittels einer Fouriertransformation der gemessenen Kondensatorspannung UB1 bzw. dem
gemessenen Strom IA1 bestimmt werden kann und dann die Frequenz f z.B. mit der Peakschwerpunktsmethode
oder mit der PeakfinderFanomethode berechnet wird (Abbildung 4.15a).
Die Dämpfungskonstante δ ergibt sich aus der Anpassung einer Einhüllenden an die Messung
UC(t) (Abbildung 4.15b).
Bestimmen Sie die Kreisfrequenz ω, die Dämpfungskonstante δ und vergleichen Sie ihre Ergebnisse
mit den Vorhersagen gemäß den Ergebnissen der Voruntersuchungen, eingesetzt in
die Gleichungen 4.28. Aufgrund der Umpolarisierung des Dielektrikums des Kondensators und
der Ummagnetisierung des Spulenmaterials durch die Wechselspannung bzw. Wechselstrom der
Schwingung treten zusätzliche Verlustwiderstände auf (siehe Anhang 4.6). Berücksichtigen Sie
den Beitrag der Verlustwiderstände zu den Ergebnissen der Voruntersuchungen und vergleichen
Sie dies mit ihren Ergebnissen.
a) b)
Abbildung 4.15: Beispielmessung einer freien, gedämpften Schwingung (C = 2, 2 µF, Spule mit
500 Windungen (L = 9 mH, RL = 2, 2 Ω)). a) Frequenzspektrum mittels Fouriertransformation,
Anpassung mittels Fanofunktion, b) Anpassung einer Einhüllenden an UC(t)

4.5. GEKOPPELTE LC-SCHWINGKREISE 127
4.5 Gekoppelte LC-Schwingkreise
4.5.1 Versuchsbeschreibung
Ein elektrischer Schwingkreis 1 kann induktiv mit einem zweiten erregten Schwingkreis 2 koppeln.
Der Kreis 1 wird dadurch zu erzwungenen Schwingungen erregt. Die Resonanz tritt auf,
wenn ω1 = ω2 ist. Dann wird die Erscheinung der Schwebung beobachtet: Die Schwingungsenergie
pendelt zwischen den Kreisen hin und her (gekoppelte Schwingungen).
Bei diesem Versuch werden die Fundamentalschwingungen und die Schwebung der gekoppelten
Schwingkreise aufgezeichnet. Dazu wird das Frequenzspektrum der gekoppelten Schwingkreise
mit dem Spektrum eines ungekoppelten Schwingkreises verglichen. Das fouriertransformierte
Signal der gekoppelten Schwingkreise zeigt die Aufspaltung in zwei symmetrisch um das ungekoppelte
Signal liegende Verteilungen, deren Abstand von der Kopplung der Schwingkreise
abhängt.
Ausgehend von den Differentialgleichungen der gekoppelten Schwingkreise:
Ï1 + k · Ï2 + I1
L · C
Ï2 + k · Ï1 + I2
L · C
= 0 (4.29)
= 0 (4.30)
mit Kopplung k (0 < k < 1) folgen die beiden Eigenfrequenzen ω+ und ω− zu
ω0
√ 1 + k = ω+ < ω0 < ω− = ω0
√ 1 − k .
Insbesondere ist die Schwingungsfrequenz des gekoppelten Systems gleich (für kleine k).
→ k1 =
� �2 ω0
ω+
− 1, k2 = 1 −
ω+ + ω−
2
� ω0
ω−
=
ω0
√ 1 − k 2
≈ ω0
�2 � �
2ω0
, σk = ·
1/2
ω+/−
�
�
�
�
� σω0
ω+/−
� 2
+
� ω0
ω+/−
� 2
·
� σω +/−
Hinweis:
Die Aufspaltung in zwei exakt gleich große Signale gelingt nur bei genau gleichen Schwingkreisen.
Durch Toleranzen der Induktivitäten L und der Kapazitäten C ist das nicht immer genau gegeben.
Es sollen die Kondensatoren und Spulen verwendet werden, die bei den Voruntersuchungen
und den freien gedämpften Schwingungen charakterisiert worden sind.
Die Kopplungen k1 und k2 werden aus den beiden Frequenzen der Fundamentalschwingungen
(Moden) f1 und f2 berechnet und sollten innerhalb der Fehler den gleichen Zahlenwert für die
Kopplung ergeben. Für die im weiteren Verlauf gezeigten Messungen trifft das zu, wenn σω0 ≈
σω +/− ≈ 10 Hz beträgt. Dann findet man k1 = 0,109, k2 = 0,133 und σk = 0,029.
ω+/−
� 2

128 KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄTSLEHRE
4.5.2 Analogie zu gekoppelten Pendeln in der Mechanik
Die Situation der induktiv gekoppelten elektrischen Schwingkreise entspricht der von gekoppelten
Pendeln (Teil I, Mechanik), mit dem Unterschied, dass die Kopplung bei den Schwingkreisen
durch Spannungen hervorgerufen wird, die in den Spulen induziert werden. In den Differentialgleichungen
treten daher Terme der Form kL · ˙ I auf. Die Konstante k gibt den Kopplungsgrad
an. Das führt im Gegensatz zu gekoppelten Pendeln dazu, dass die Kopplungsstärke für beide
Fundamentalschwingungen eine Rolle spielt.
Bei Schwingkreisen, die mit identischen Komponenten aufgebaut werden, gelten die Differentialgleichungen
(Summen der Spannungen verschwinden):
� I1
C · dt + L · I1
˙ + kL · ˙ I2 = 0 (Schwingkreis 1)
�
I2
C · dt + L · I2
˙ + kL · ˙ I1 = 0 (Schwingkreis 2)
Hier wurden Dämpfungsterme zunächst vernachlässigt. Differentiation nach der Zeit führt zu
der Standardform der gekoppelten Differentialgleichungen (Gleichungen 4.29, 4.30). Addition
der Gleichungen 4.29 und 4.30 ergibt:
Durch Umformung findet man:
( Ï1 + Ï2) + 1
L C · (I1 + I2) + k · ( Ï1 + Ï2) = 0
Ï+ +
1
LC · (1 + k) · I+ = 0
wobei I+ = I1 + I2 einer der beiden ’Fundamentalströme’ ist. Daraus erhält man die Kreisfrequenz
dieser Fundamentalschwingung:
ω+ =
1
�
LC · (1 + k) =
ω0
√ 1 + k
(4.31)
ω0 = 1/ √ LC ist dabei die Kreisfrequenz jedes der Schwingkreise ohne Kopplung. Diese Fundamentalschwingung
kann angeregt werden, wenn man in der Schaltung beide Kondensatoren in
der Art auflädt, dass die Ströme I1 und I2 parallel durch die Spulen fließen (Abbildung 4.16a).
In gleicher Weise ergibt Subtraktion der beiden Gleichungen:
Ï− +
1
LC · (1 − k) · I− = 0
wobei I− = I1 − I2 der zweite ’Fundamentalstrom’ ist.
Diese Fundamentalschwingung hat die Kreisfrequenz:
ω− =
1
�
LC · (1 − k) =
ω0
√ 1 − k
(4.32)

4.5. GEKOPPELTE LC-SCHWINGKREISE 129
a)
U C1
C
1
+ U0
L
C
L
1 2 2
+
U 0
U
C2
b)
U C1
C
1
+ U0
L
C
L
1 2 2
Abbildung 4.16: Fundamentalschwingungen zweier gekoppelter Schwingkreise a) gleichsinnige
und b) gegensinnige Anregung
Diese Schwingung kann angeregt werden, wenn man in der Schaltung die Kondensatoren entgegengesetzt
aufgeladen werden, so dass die Ströme in entgegengesetzter Richtung durch die Spulen
fließen (Abbildung 4.16b).
Beide Fundamentalschwingungen zeigen, wie in der Mechanik, keine Schwebungserscheinungen
sondern wegen der Dämpfung einen einfachen exponentiellen Abfall der maximalen Amplituden.
Die Strom-Kombination I+ entspricht dem Fall gleichsinnig ausgelenkter Pendel; dies führt zu
einer kleinen Schwingungsfrequenz. I− dagegen entspricht den gegensinnig ausgelenkten Pendeln
(die Kopplung wirkt sich dann stärker aus) und führt zu einer größeren Schwingungsfrequenz.
Wenn man die Frequenzen der Fundamentalschwingungen und vielleicht der nicht-gekoppelten
Schwingkreise gemessen hat, kann man mit Hilfe der Gleichungen 4.31 und 4.32 den Kopplungsgrad
der Schwingkreise bestimmen:
k = f 2 − − f 2 +
f 2 − + f 2 +
= ω2 − + ω 2 + − 2 · ω 2 0
ω 2 − − ω 2 +
Wenn durch die Wahl der Anfangsbedingungen ’Schwebung’ eingestellt wird, ergibt sich wie
in der Mechanik durch die Mittelung der Schwingungsfrequenzen f+ unf f− die Frequenz der
gekoppelten Schwingung:
fk = f− + f+
2
≈ f0 ,
und aus der halben Differenz erhält man die Frequenz der Schwebung:
fschw = f− − f+
.
2
Berücksichtigung der Dämpfung (einige wichtige Relationen):
Die Differentialgleichungen für die beiden Fundamentalschwingungen haben dann folgende Form:
Mit den Definitionen
Ï+ +
Ï− +
β± =
R
· ˙
1
I+ +
L(1 + k) LC · (1 + k) · I+ = 0
R
· ˙
1
I− +
L(1 − k) LC · (1 − k) · I− = 0
R
2L(1 ± k) , ω2 ±0 =
1
LC(1 ± k)
+
U 0
U
C2

130 KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄTSLEHRE
folgt:
Die Lösungen der Gleichungen 4.33 sind:
ϱ + 2β± · ˙
I± + ω 2 ±0 · I± = 0 (4.33)
I± = e −β±t · (a± sin ω±t + b± cos ω±t)
mit den Kreisfrequenzen ω2 ± = ω2 ±0 −β 2 ±. Die Größen a± und b± sind vier Integrationskonstanten,
die durch die Anfangsbedingungen festgelegt werden.
Die messbaren Größen sind nicht die Kombinationen I±, sondern die Ströme und z. B. Kondensatorspannungen
in den beiden Schwingkreisen. Die Kondensatorspannungen sollen jetzt
andeutungsweise berechnet werden. Die Ströme in den Schwingkreisen berechnen sich durch
I1 = (I+ + I−)/2 bzw. I2 = (I+ − I−)/2. Daraus lassen sich die gesuchten Spannungen (etwas
aufwendig) berechnen:
U1/2 = 1
C ·
= 1
C
± 1
C
�
I1/2dt
· e−β+t
ω 2 +0
· e−β−t
ω 2 −0
· { a+
2 · (−β+ sin ω+t − ω+ cos ω+t)
+ b+
2 · (−β+ cos ω+t + ω+ sin ω+t)}
· { a−
2 · (−β− sin ω−t − ω− cos ω−t)
+ b−
2 · (−β− cos ω−t + ω− sin ω−t)}
Die Anfangsbedingungen werden meist so gewählt, dass die Kondensatoren für t = 0 durch
Spannungen U10 und U20 aufgeladen sind und zunächst kein Strom fließt. Aus I1(0) = I2(0) = 0
folgt immer b+ = b− = 0. Für die Kondensatorspannungen für t = 0 findet man dann
a+ω+
2ω 2 +0
a+ω+
2ω 2 +0
+ a−ω−
2ω 2 −0
− a−ω−
2ω 2 −0
= − U10(0) · C
= − U20(0) · C
Damit ergeben sich folgende Lösungen für die Kondensatorspannungen:
• Gleichsinnige Aufladung: U10 = U20 = U0:
U1 = U2 = U0 · e−β+t
ω+
· (β+ sin ω+t + ω+ cos ω+t)
Abbildung 4.17a zeigt oben die Spannung am Kondensator 1 und 2.
• Gegensinnige Aufladung: U10 = −U20 = U0:
U1 = −U2 = U0 · e−β−t
ω−
· (β− sin ω−t + ω− cos ω−t)
Abbildung 4.17a zeigt unten die Spannung am Kondensator 1. Am 2. Kondensator ist die
Spannung entgegengesetzt. Die Frequenz ist höher, als bei gleichsinniger Aufladung!

4.5. GEKOPPELTE LC-SCHWINGKREISE 131
a)
Spannung (V)
Spannung (V)
15
10
5
0
-5
-10
-15
15
10
5
0
-5
-10
-15
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
x 10 -2
t(s)
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
x 10 -2
t(s)
b)
Spannung (V)
Spannung (V)
10
7.5
5
2.5
0
-2.5
-5
-7.5
-10
10
7.5
5
2.5
0
-2.5
-5
-7.5
-10
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02
t(s)
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02
t(s)
Abbildung 4.17: a) Fundamentalschwingungen und b) Schwebung zweier gekoppelter Schwingkreise
mit R = 2, 5 Ω, L = 9 mH und C = 1, 0 µF
• Schwebung: U10 = U0 und U20 = 0:
· (−β+ sin ω+t − ω+ cos ω+t)}
2ω+
± e −β−t 1
· { · (−β− sin ω−t − ω− cos ω−t)}]
2ω−
U1/2 = U0 · [e −β+t · { 1
Abbildung 4.17b zeigt oben die Spannung am Kondensator 1 und unten am Kondensator
2.
4.5.3 Versuchsaufbau
Der erste Schwingkreis wird gemäß den Abbildungen 4.18 und 4.19 auf der Rastersteckplatte
aufgebaut. Die Kondensatorspannung wird an Eingang B des Sensor CASSYs gemessen. Zu Beginn
des Versuchs wird der Kondensator aus der Spannungsquelle S aufgeladen. Zum Start der
Schwingung wird der Taster gedrückt, welcher dabei die Spannungsquelle S kurzschließt.
Der zweite Schwingkreis wird separat aufgebaut. Seine Spule wird für die Kopplung der Schwingkreise
direkt neben die erste Spule gestellt. Es kann die Spannung am zweiten Kondensator an
Eingang A des Sensor-CASSYs gemessen werden. Bei gleichsinniger bzw. gegensinniger Anregung
wird ebenfalls der zweite Kondensator aus der Spannungsquelle S aufgeladen. Zum Start
der Schwingung wird der zweite Taster ebenfalls betätigt, welcher dabei die Spannungsquelle S
kurzschließt.

12 V
132 KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄTSLEHRE
a)
INPUT A
INPUT B
R
S
−
12 V
INPUT A
INPUT B
R
S
− +
I
U
U
SENSOR−CASSY 524010
Benötigte Geräte:
1 Sensor-CASSY
1 CASSY Lab
1 Rastersteckplatte, DIN A4
2 Kondensator 1, 2,2, 4,7, 10 µF
2 Spulen 250, 500, 1000 Windungen
5 Paar Kabel, 50 cm rot/blau
1 Taster
Abbildung 4.18: Schaltbild zur Aufnahme der Schwebung von gekoppelten Schwingungen
I
U
U
+
SENSOR−CASSY 524010
a) b)
¡ ¡
¡ ¡
¡ ¡
R
S
−
SENSOR−CASSY 524010
Abbildung 4.19: Schaltbild zur Aufnahme von gekoppelten Schwingungen bei a) gleichsinniger
und b) gegensinniger Anregung
12 V
INPUT A
INPUT B
I
U
U
+
¡ ¡
¡ ¡
¡ ¡

4.5. GEKOPPELTE LC-SCHWINGKREISE 133
4.5.4 Versuchsdurchführung
• Ladespannung U0 auf etwa 9 V einstellen - dazu Spannungsquelle S entsprechend einstellen,
Spannungsquelle eingeschaltet lassen.
• Polung der an den Schwingkreisen anliegenden Spannungen bei gleichsinniger bzw. gegensinniger
Anregung einstellen.
• Zur Beobachtung der Schwebung nur an einen Schwingkreis Spannung anlegen
• Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen das Messintervall auf 10 µs und die
Anzahl auf 2000 einstellen, entsprechend einer Messzeit von 20 ms
• Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen weiterhin einen Trigger auf z.B.
UB1 = 5 V, fallende Tendenz einstellen!
• Messung mit F9 starten (wartet dann auf Triggersignal)
• Schwingkreis mit Taster schließen (erzeugt Triggersignal)
• Abstand der Spulen und damit die Kopplungsstärke variieren
4.5.5 Versuchsauswertung
Fall der Schwebung:
Im ungekoppelten Fall ergibt sich eine gedämpfte harmonische Schwingung (Abbildung 4.20a).
Die gekoppelte Schwingung besitzt die gleiche Einhüllende (Abbildung 4.20a).
Im ungekoppelten Fall zeigt das Frequenzspektrum nur ein Signal, dessen Frequenz sich durch
die Berechnung des Signalschwerpunkts ermitteln lässt (Abbildung 4.20b).
Im gekoppelten Fall spaltet die Frequenz symmetrisch in zwei Frequenzen auf. Die Amplituden
sind nur halb so groß wie im ungekoppelten Fall und der Abstand hängt von der Kopplung ab
(Abbildung 4.20b).
Die Abbildung 4.20c zeigt die gemessenen Spannungsabfälle an den beiden Kondensatoren für
den Fall der Schwebung bei den gekoppelten Schwingungen. Die Abbildung 4.20d zeigt die ungekoppelte
und die Fundamentalschwingungen der gekoppelten Schwingungen bei gleich- bzw.
gegensinniger Anregung.
Bestimmen Sie den Kopplungsgrad k aus diesen verschiedenen Messungen und geben Sie die
Ergebnisse mit Fehlern an.

134 KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄTSLEHRE
a)
c) d)
Abbildung 4.20: a) Ungekoppelter (grüner Verlauf) und gekoppelter Schwingkreis (Schwebung,
blaue Linie), b) Frequenzspektren der ungekoppelten und der gekoppelten Schwingungen c) Spannungsabfälle
an den beiden Kondensatoren im Fall der Schwebung, d) Fundamentalschwingungen
bei gleich- bzw. gegensinniger Anregung
b)

4.6. ANHANG 135
4.6 Anhang
Verlustfaktoren
Im Hauptteil des Versuches sollen freie, gedämpfte elektromagnetische Schwingungen untersucht
werden. Solche Schwingungen in Spannungsabfällen und Strömen gehören streng genommen in
das Gebiet der Wechselströme, die eingehender im Teil II des Praktikums behandelt werden. Um
die einzelnen Komponenten besser verstehen zu können, werden Grundlagen der Theorie von
Teil II bereits hier stark verkürzt zusammen gefasst.
Wenn eine Reihenschaltung einer idealen Spule (L) und eines idealen Kondensators (C) von
einem Strom durchflossen wird, gibt es zwischen Strom und Spannungsabfall an L bzw. C immer
eine Phasenverschiebung von exakt ±90 o . Phasenverschiebungen um beliebige Winkel können
elegant in der komplexen Gaußschen Zahlenebene (Operatordiagramm) dargestellt werden. Reale
Komponenten werden auf der Realteil-Achse (x-Achse), imaginäre Anteile auf der Imaginärteil-
Achse (y-Achse) aufgetragen. Eine genauere Diskussion zeigt folgendes:
• Bei rein Ohmschen Widerständen sind, wegen der Gültigkeit des Ohmschen Gesetzes, Strom
und Spannung in Pase. Der Ohmsche Widerstand ist rein reell. Im Operatordiagramm wird
der Ohmsche Widerstand R auf der reellen Achse aufgetragen.
• Bei einem idealen Kondensator ist die Situation komplizierter. Solche Kondensatoren existieren
real nicht!
Mit den Relationen UC(t) = Q(t)/C bzw. dUC/dt = I/C kann man zeigen, daß der Strom
der Spannung um π/2 vorauseilt. Dies wird durch den rein imaginären kapazitiven Widerstand
XC = −i/(ωC) bewirkt. Im Operatordiagramm wird XC auf der imaginären Achse
in negaiver Richtung aufgetragen.
• Bei einer idealen Spule eilt der Strom wegen UL = L · dI/dt der Spannung um π/2 nach.
Der ideale induktive Widerstand XL = iωL ist ebenfalls rein imaginär und wird in positiver
Richtung aufgetragen.
Im Ohmschen Widerstand geht elektrische Energie verloren, da sie in Joulesche Wärme umgewandelt
wird. Das ist nur möglich, weil hier U und I in Phase sind. Wenn dagegen U und I um
90 o gegeneinander phasenverschoben sind, wird im zeitlichen Mittel keine elektrische Leistung
verbraucht. Ideale Kondensatoren und Spulen haben diese Eigenschaft, sie sind verlustfrei. Diese
Betrachtungen gelten nur, wenn es zu Schwingungen kommt.
Reale Kondensatoren und Spulen haben elektrische Verluste. Sie werden in realen oder fiktiven
sog. Ohmschen Verlustwiderständen zusammen gefaßt. Im folgenden wird eine stark vereinfachte
Darstellung gezeigt, nach der solche Verlustwiderstände charakterisiert werden können.
Ohmsche Widerstände sollen hier nicht diskutiert werden. Sie haben zwar meist neben den rein
Ohmschen Anteilen auch kapazitive und induktive Komponenten, diese sind aber bei diesem
Versuch vernachlässigbar klein.

136 KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄTSLEHRE
Spulen: Die Verluste bei Spulen nehmen im allgemeinen mit steigender Frequenz zu.
Ursachen für Verluste:
• Ohmscher Widerstand der Spulenwicklung (frequenzunabhängig)
• Skineffekt (frequenzabhängig), er muss beachtet werden bei
Drahtdurchmesser = 1 mm ab etwa 100 kHz,
Drahtdurchmesser = 0,1 mm ab etwa 10 MHz,
Drahtdurchmesser = 0,01 mm ab etwa 1 GHz.
spielt daher bei diesem Versuch keine Rolle.
• Hysteresis- und Wirbelstromverluste im Kernmaterial und Spulendrahtmaterial
Da der Spulenstrom für die Induktivität der Spule wesentlich ist, wird der Verlustwiderstand
meist als Reihenwiderstand dargestellt. Kleine Verluste sind dann gleichbedeutend mit kleinen
Verlustwiderständen. Den Verlustwinkel θL kann man im Zeigerdiagramm ablesen, in dem der
rein imaginäre induktive Widerstand XL = iωL gegen den reellen Ohmschen Widerstand der
Spule RL aufgetragen wird.
Es gilt für den komplexen Widerstand XL = RL + iωL.
Für den Verlustwinkel gilt:
= dL.
ωL
Dies ist auch gleichzeitig der Verlustfaktor der Spule, den man oft mit dL kennzeichnet. Er
wird für die meist kleinen Verlustwinkel durch den Winkel selbst angenähert (dL ≈ θL).
tan θL = RL
Kondensatoren: Die Verluste bei Kondensatoren nehmen im allgemeinen mit steigender Frequenz
ab.
Ursachen für Verluste:
• Geringe Leitfähigkeit des Dielektrikums und Widerstand der Zuleitungen und Folien bei
Folienwiderständen,
• Geringe Wärmeentwicklung im Dielektrikum durch ständige Umpolarisation der Moleküle.
Da die Kondensatorspannung für die Kapazität des Kondensators wesentlich ist, wird der Verlustwiderstand
meist als Serienwiderstand dargestellt. Kleine Verluste sind dann gleichbedeutend
mit kleinen Verlustwiderständen. Den Verlustwinkel θC kann man im Zeigerdiagramm ablesen,
in dem der rein imaginäre induktive Widerstand XC = −i
ωC
stand des Kondensators RC aufgetragen wird.
Es gilt dann für den Verlustwinkel gilt:
tan θC = ω · C · RC = dC.
gegen den reellen Ohmschen Wider-
Dies ist auch gleichzeitig der Verlustfaktor des Kondensators, den man oft mit dC kennzeichnet.
Er wird für die meist sehr kleinen Verlustwinkel durch den Winkel selbst angenähert
(dC ≈ θC).

4.6. ANHANG 137
a)
ωL
δ L
RL
b)
−1
ωC
δ C
RC
Abbildung 4.21: Operatordiagramm für Verlustwiderstand a) einer Spule, b) eines Kondensators
Bauteile Verlustfaktor
100 Hz 1000 Hz
Kondensatoren tan δC tan δC
1 µF 2, 0 · 10 −3 2, 9 · 10 −3
2,2 µF 1, 7 · 10 −3 3, 3 · 10 −3
4,7 µF 2, 0 · 10 −3 3, 5 · 10 −3
10 µF 1, 8 · 10 −3 4, 1 · 10 −3
Spulen tan δL tan δL
N=250 0,41 0,047
N=500 0,40 0,049
N=1000 0,41 0,045
Tabelle 4.5: Experimentell bestimmte Verlustfaktoren der im Praktikum verwendeten Kondensatoren
und Spulen