34. Internationale Physik-Olympiade 2003 Lösungen zur 2 ... - JavaPsi

34. Internationale Physik-Olympiade 2003 

Lösungen zur 2. Runde 

Marcel Schmittfull 

November 2002

Teilnehmer: 

Name Marcel Schmittfull 

Adresse Salierstr. 10 

97505 Geldersheim 

Telefon (0 97 21) 8 27 27 

e-Mail marcel-sl@gmx.de 

Geb.datum 10.08.1987 

Klasse 10a 

Schule Celtis Gymnasium 

Adresse Gymnasiumstr. 16 

97421 Schweinfurt 

Telefon (0 97 21) 67 50 60 

Betr.lehrer Peter Krahmer 

i

Inhaltsverzeichnis 

1 Oberflächenbeschichtung 1 

1.1 Mittlere Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 

1.2 Auftreffrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 

1.3 Dauer bis zu monomolekularer Sauerstoffschicht . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 

1.4 Dauer unter Berücksichtigung einer Mindestenergie . . . . . . . . . . . . . . . 3 

2 Rotierender Oszillator 5 

2.1 Maximale Stauchung der Feder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 

2.1.1 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 

2.1.2 Zeitpunkt der maximalen Stauchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 

2.1.3 Berechnung der maximalen Stauchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 

2.1.4 Zeitpunkt der maximalen Stauchung 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 

2.2 Untersuchung der Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 

2.2.1 Fall 1: m1 > m2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 

2.2.2 Fall 2: m1 ≤ m2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 

2.3 Winkelgeschwindigkeit der Scheibe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 

3 Reale Spule 11 

3.1 Originalschaltbild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 

3.2 Ersatzschaltbild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

3.3 Berechnung des Widerstands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 

3.4 Vergleich zwischen Verlustfaktor und Güte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 

4 Experimente mit dem Kugelschreiber 15 

4.1 Anfangsgeschwindigkeit des Kugelschreibers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 

4.1.1 Theoretische Überlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 

4.1.2 Experiment 1: Messung der maximalen Höhe . . . . . . . . . . . . . . 15 

4.2 Kraft für maximale Stauchung der Feder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 


4.2.2 Experiment 2: Messung der Masse der Mine . . . . . . . . . . . . . . . 16 

4.3 Federkonstante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 


4.3.2 Experiment 3: Messung der maximalen Stauchung der Feder . . . . . 18 

4.4 Trägheitsmoment des Kugelschreibers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 

4.4.1 Theoretische Lösungsidee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 

4.4.2 Aufbau des Experimentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 

4.4.3 Rotationsenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 

4.4.4 Winkelgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 

4.4.5 Messwerte und Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 

A Hinweis zu den Abbildungen 22 

B Abbildungen 23 

ii

1 OBERFLÄCHENBESCHICHTUNG 1 

1 Oberflächenbeschichtung 

1.1 Mittlere Geschwindigkeit 

Allgemein ist ein Mittelwert der Quotient aus der Summe aller Bestandteile und der Anzahl 

aller Bestandteile. Demnach erhält man den Mittelwert ¯v aller Geschwindigkeiten, indem 

man alle Geschwindigkeiten der N Gasmoleküle addiert bzw. integriert und dann durch N 

dividiert: 

∞ 

v dN 

0 

¯v = 

N 

Wegen 

gilt also 

dN 

N 

¯v = 

= P (v) dv 

∞ 

0 

vP (v) dv (1.1) 

Drückt man P (v) durch die in der Aufgabenstellung angegebene Funktion aus, so ergibt 

sich: 

3/2 ∞ 

M 

¯v = 4π 

v 

2πRT 

0 

3 Mv2 

− 

e 2RT dv 

Dem Hinweis am Ende der Aufgabenstellung zu Folge lautet mit der Abkürzung k = M 

2RT die 

Lösung für dieses Integral: 

¯v = 4π 

 

3/2 

k 

− 

π 

1 

2 e−kv2 

∞ 1 v2 

+ + C 

k2 k 

0 

(1.2) 

Da allgemein e −∞ schneller gegen 0 strebt als irgendeine Funktion x n gegen ∞, kann man 

e −∞ · v ∞ → 0 schreiben. Weil außerdem e −0 = 1 und 0 2 = 0 gilt, wird Gleichung (1.2) zu 

1.2 Auftreffrate 

¯v = 4π 

3/2 

k 

C + 

π 

1 

 

− C 

2k2 = 2π −1/2 k −1/2 

= 

 

8 RT 

π M 

Setzt man Gleichung (1.3) in die gegebene Gleichung A = 1 

4n¯v ein, so erhält man: 

(1.3) 

A = 1 

n¯v 

4 

(1.4) 

= 1 

2 n 

 

2 RT 

π M 

(1.5) 

Nun müssen laut Aufgabenstellung die molare Masse M und die Gaskonstante R durch die 

Masse eines Gasmoleküls m, den Druck P , und die Boltzmann-Konstante kB ersetzt werden. 

Marcel Schmittfull · Salierstr. 10 · 97505 Geldersheim · marcel-sl@gmx.de


Für die molare Masse M gilt: 

Das bekannte Gesetz von Gay-Lussac ist: 

Laut [2] ergibt sich für C: 

M = NA · m (1.6) 

P v = CT, C Konstante (1.7) 

C = kBN (1.8) 

wobei hier N die Anzahl der Gasmoleküle darstellt und kB die sog. Boltzmann-Konstante ist. 

Setzt man Gleichung (1.8) in Gleichung (1.7) ein, erhält man: 

Durch die Beziehung 

ergibt sich für Gleichung (1.9): 

P v = kBNT (1.9) 

n = N 

v 

n = P 

kBT 

(1.10) 

(1.11) 

Durch Einsetzen der Gleichungen (1.6) und (1.11) in Gleichung (1.5) ergibt sich für die 

Auftreffrate A: 

A = P 

 

2kBT 

2 RT 

π NAm 

(1.12) 

Weil 

gilt, erhält man für Gleichung (1.12): 

R = kBNA 

A = P 

2kBT 

Diese Gleichung lässt sich noch vereinfachen: 

 

A = P 

 

2 kBT 

π m 

1 

2πkB T m 

Wie man sieht wird A lediglich durch P, T, m und kB ausgedrückt. 

1.3 Dauer bis zu monomolekularer Sauerstoffschicht 

(1.13) 

(1.14) 

(1.15) 

Wenn sich allgemein auf einer Fläche S eine monomolekulare Sauerstoffschicht gebildet hat, 

gilt: 

S = N · (r 2 O2π) (1.16) 

wobei rO2 der gegebene Radius eines Sauerstoffmoleküls ist und N die Anzahl aller Moleküle 

auf S darstellt. 

Die Auftreffrate A sagt aus, wie viele Moleküle N in einer bestimmten Zeit t auf eine 

bestimmte Fläche S auftreffen: 

A = N 

(1.17) 

tS 



Für die Anzahl der Moleküle N gilt demnach also: 

N = AtS (1.18) 

Setzt man Gleichung (1.18) in Gleichung (1.16) ein, so ergibt sich: 

Durch Kürzen von S und Umstellen nach t erhält man 1 : 

S = AtS · r 2 O2π (1.19) 

t = 

1 

πr 2 O2 A 

(1.20) 

Durch Einsetzen von Gleichung (1.15) in Gleichung (1.20) ergibt sich für die Dauer t: 

 

2πkB T mO2 

t = 

πr2 O2 P 

(1.21) 

Setzt man in diese Gleichung nun die in der Aufgabenstellung gegebenen Werte ein, so erhält 

man2 : 

 

2π · 1, 38 · 10−23 J/K · 573 K · 32, 0 · 1, 66 · 10−27 kg 

t = 

π · (3, 6 · 10−10 m) 2 · 133 Pa 

= 9, 49 · 10 −7 s 

≈ 95 µs (1.22) 

1.4 Dauer unter Berücksichtigung einer Mindestenergie 

Die mittlere Bewegungsenergie ¯ 

Ekin eines Teilchens ist allgemein gegeben durch: 

Ekin 

¯ = 1 

2 m¯v2 

(1.23) 

wobei m die Masse des jeweiligen Teilchens bezeichnet und ¯v die mittlere Geschwindigkeit dieses 

Teilchens darstellt. Für die minimale Energie Ekin,min, die für das Festsetzen des Teilchens 

auf der Oberfläche notwendig ist, gilt: 

Ekin,min = 1 eV = 1 

2 mv2 min 

(1.24) 

vmin ist hier die minimale Geschwindigkeit, die das Teilchen haben muss um sich auf der 

Oberfläche festzusetzen. Setzt man die Masse des O2-Moleküls 32,0 u in Gleichung (1.24) ein 

und stellt nach vmin um, so erhält man für vmin: 

 

vmin = 

= 

 

2 · 

2 · 

1 eV 

32 u 

1, 602 · 10 −19 J 

32 · 1, 661 · 10 −27 kg 

(1.25) 

≈ 2455 m/s (1.26) 

1 

Es scheint so, dass die Dauer t unabhängig von der Fläche S ist. Wegen Gleichung (1.17) beeinflusst die 

Größe der Oberfläche S die Dauer t jedoch sehr wohl. 

2 

Die Masse eines Sauerstoffmoleküls mO2 ist nicht gegeben, beträgt aber allgemein 32, 0 u. 



Mit Hilfe der in der Aufgabenstellung angegebenen Geschwindigkeitsverteilung P (v) kann 

nun berechnet werden, wie groß der Anteil der O2-Moleküle ist, die die Geschwindigkeit vmin 

besitzen: 

3/2 M 

P (vmin) = 4π 

v 

2πRT 

2 min e − Mv2 min 

2RT (1.27) 

Die molare Masse M beträgt laut Gleichung (1.6) mNA, d.h. sie ist wegen m = 32, 0 u bekannt. 

Alle anderen in Gleichung (1.27) vorkommenden Variablen sind ebenfalls bereits bekannt. Um 

das Einsetzen der bekannten Werte nicht zu unübersichtlich zu machen, wird zunächst der 

Term M 

2RT berechnet: 

M 

2RT = 32 · 1, 661 · 10−27 kg · 6, 022 · 1023 mol−1 2 · 8, 315 JK−1mol−1 · 573 K 

≈ 3, 36 · 10 −6 s 2 /m 2 

(1.28) 

Setzt man jetzt diesen Wert und alle anderen bekannten Werte in Gleichung (1.27) ein, 

so ergibt sich P (vmin) zu: 

P (2455 ms −1 ) = 4π 

3, 36 · 10 −6 s 2 m −2 

≈ 1, 34 · 10 −10 

π 

3/2 · 2455 2 m 2 s −2 e −3,36·10−6 s2m−2 ·24552 m2s−2 Die Zeit t2, die vergeht bis die gesamte Oberfläche beschichtet ist, erhält man durch: 

(1.29) 

t2 = (1 − P (vmin)) · t (1.22) (1.30) 

= (1 − 1, 34 · 10 −10 ) · 95 µs 

≈ 94, 99 µs (1.31) 

Dieses Ergebnis ist leider nicht korrekt, weil ja t2 > t (1.22) gelten muss. Vermutlich liegt 

der Fehler bereits in Gleichung (1.29). Auf Grund sehr großer Zeitnot kann ich den Fehler 

jedoch leider nicht mehr finden und ausbessern. . . 


2 ROTIERENDER OSZILLATOR 5 

2 Rotierender Oszillator 

2.1 Maximale Stauchung der Feder 

2.1.1 Vorbemerkungen 

Für die Energien in dem beschriebenen System gilt: 

Masse m2: Ekin = 1 

2 mv2 

Feder: Epot = 1 

2 kx2 

Scheibe m1: Erot = 1 

2 Iω2 

(2.1) 

(2.2) 

(2.3) 

wobei in Gleichung (2.3) ω für die Winkelgeschwindigkeit steht und I das Trägheitsmoment 

darstellt. Das polare 1 Trägheitsmoment einer Scheibe ist allgemein gegeben durch 

Für Erot erhält man demnach also: 

I = mr 2 

Erot = 1 

2 mr2 ω 2 

(2.4) 

(2.5) 

Da laut Aufgabenstellung während des gesamten Vorgangs keine Verformungsarbeit an 

der Platte und der Masse m2 geleistet und keine Wärmeenergie erzeugt wird, bleibt die Gesamtenergie 

Eges des Systems erhalten. Es gilt also zu jedem Zeitpunkt: 

Eges = 1 

2 m2v 2 0 = Ekin + Epot + Erot 

(2.6) 

Weil es sich außerdem um ein abgeschlossenes System handelt, bleibt der Gesamtdrehimpuls 

Lges ebenfalls erhalten. Es gilt daher zu jedem Zeitpunkt: 

Lges = L1 + L2 

(2.7) 

wobei L1 den Drehimpuls der Scheibe m1 bezeichnet und L2 für den Drehimpuls der Masse 

m2 steht. Allgemein gilt für den Drehimpuls: 

Translation: L = mvr (2.8) 

Rotation: L = Iω 

= mr 2 ω (2.9) 

Bei Gleichung (2.8) ist bemerkenswert, dass auch wenn eine Masse keine Drehbewegung 

ausführt, sie doch einen Drehimpuls L relativ zur Drehachse hat. Der Gesamtdrehimpuls Lges 

des betrachteten Systems ist auf Grund der Gleichungen (2.7) und (2.8) bestimmt durch: 

Lges = L1 + L2 = m2v0r (2.10) 

1 Da die Drehachse laut Aufgabenstellung normal zu der von der Scheibe aufgespannten Ebene ist, muss 

man das polare (und nicht das äquatoriale) Trägheitsmoment verwenden. 



2.1.2 Zeitpunkt der maximalen Stauchung 

Die auf die Feder geschossene Masse m2 staucht die Feder so lange, bis die Geschwindigkeit v2 

von m2 0 wird. Weil genau dieser Zeitpunkt den Übergang zwischen Stauchung und Dehnung 2 

der Feder ist, ist in genau diesem Augenblick – der von nun an Z genannt werden soll – die 

Stauchung x der Feder maximal. Die Bewegung von m2 läuft also wie folgt ab: Zunächst wird 

m2 auf die Feder geschossen. Dann staucht m2 die Feder bis zum Zeitpunkt Z, d.h. bis zur 

maximalen Stauchung xmax der Feder. Schließlich dehnt sich die Feder wieder aus, wodurch 

m2 wieder zurückbewegt wird. Zusammengefasst gilt also zum Zeitpunkt Z: 

v2,Z = 0 (2.11) 

xZ = xmax (2.12) 

Setzt man Gleichung (2.11) in Gleichung (2.1) ein, so ergibt sich die kinetische Energie Ekin,Z 

der Masse m2 zum Zeitpunkt Z zu: 

Ekin,Z = 1 

2 m2v 2 2,Z = 0 (2.13) 

Setzt man Gleichung (2.11) außerdem in Gleichung (2.8) ein, so erhält man für den Drehimpuls 

L2,Z der Masse m2 zum Zeitpunkt Z: 

L2,Z = m2v2,Zr = 0 (2.14) 

Genau genommen staucht m2 die Feder gar nicht. Vielmehr bremst die Feder die Masse m2 

und durch dieses Bremsen wird die Länge der Feder kleiner bzw. die Auslenkung x größer. Die 

Bezeichnung ” Bremsen“ wird in der Physik durch eine negative Beschleunigung a ausgedrückt, 

d.h. am Anfang ist die Beschleunigung a2 von m2 negativ. Dann wird – wie oben geschildert 

– die Geschwindigkeit v2 von m2 irgendwann 3 0 und die Feder hört auf m2 zu bremsen. 

Kurz danach geht die Feder wieder auseinander und beschleunigt somit also m2, d.h. die 

Beschleunigung a2 wird positiv. Genau zu dem Zeitpunkt des Überganges zwischen negativer 

und positiver Beschleunigung a2 muss a2 logischerweise 0 sein. Dieser Übergangszeitpunkt ist 

derselbe Zeitpunkt zu dem auch die Geschwindigkeit v2 0 ist, d.h. Z. Zum Zeitpunkt Z gilt 

nun also außerdem: 

a2,Z = 0 (2.15) 

2.1.3 Berechnung der maximalen Stauchung 

Da der Drehimpuls L2,Z von m2 zum Zeitpunkt Z laut Gleichung (2.14) 0 ist, wird aus 

Gleichung (2.10): 

L1,Z = Lges = m2v0r (2.16) 

Da für den Drehimpuls L1 der Scheibe außerdem noch Gleichung (2.9) gilt, erhält man: 

L1,Z = m2v0r = m1r 2 ωZ 

Durch Auflösen nach ωZ ergibt sich für die Winkelgeschwindigkeit ωZ der Scheibe zum Zeit- 

punkt Z: 

ωZ = m2v0 

m1r 

2 D.h. zwischen größer werdender Auslenkung und kleiner werdender Auslenkung. 

3 Besser: Zum Zeitpunkt Z. 

Marcel Schmittfull · Salierstr. 10 · 97505 Geldersheim · marcel-sl@gmx.de 

(2.17)


Gleichzeitig erhält man ω durch Betrachtung der Energien. Da die kinetische Energie 

Ekin,Z von m2 zum Zeitpunkt Z laut Gleichung (2.13) 0 ist, wird aus Gleichung (2.6): 

Erot,Z = Eges − Epot,Z 

Durch die Gleichungen (2.5), (2.6) und (2.2) erhält man aus Gleichung (2.18): 

1 

2 m1r 2 ω 2 Z = 1 

2 m2v 2 0 − 1 

2 kx2Z (2.18) 

Durch Auflösen nach ωZ ergibt sich für die Winkelgeschwindigkeit ωZ der Scheibe zum Zeit- 

punkt Z: 

ωZ = 

Aus den Gleichungen (2.17) und (2.19) folgt: 

Quadrieren auf beiden Seiten liefert: 

Auflösen nach xZ ergibt: 

m2v0 

m1r = 

 

m2v 2 0 − kx2 Z 

m1r 2 

 

m2v 2 0 − kx2 Z 

m1r 2 

m2 2v2 0 

m2 1r2 = m2v2 0 − kx2Z m1r2 kx 2 Z 

m1r 2 = m2v 2 0 

m1r 2 − m2 2 v2 0 

m 2 1 r2 

 

 

 

xZ = m1r 2 m2v 

k 

2 0 

Diese Gleichung lässt sich noch vereinfachen: 

xZ = v0 

 

m2 

k 

m1 

 

− m2 2 v2 0 

m 2 1 

1 − m2 

 

m1 

 

(2.19) 

(2.20) 

Wie man sofort sieht gilt diese Gleichung nur für m2 

m1 ≤ 1 bzw. m2 ≤ m1, weil der Term unter 

der Wurzel sonst negativ werden würde, was eine komplexe und somit physikalisch unmögliche 

Lösung zur Folge hätte: 

xZ = xmax = v0 

 

m2 

k 

 

1 − m2 

 

m1 

2.1.4 Zeitpunkt der maximalen Stauchung 2 

für m2 ≤ m1 

(2.21) 

Nun stellt sich natürlich die Frage, warum Gleichung (2.21) lediglich für m2 ≤ m1 gilt. 

Gesamtenergie und Gesamtdrehimpuls bleiben auf jeden Fall erhalten; daran kann es also 

nicht liegen. Aber die Annahme, dass die Geschwindigkeit v2 der Masse m2 irgendwann 0 

werden müsse, könnte falsch sein. Wenn jedoch die Feder und mit ihr m2 schwingen, muss v2 

irgendwann 0 werden, da ansonsten kein Übergang von negativer zu positiver Beschleunigung 

möglich wäre. Die einzige Lösung des Problems liegt also darin, dass bei m2 > m1 die Feder 

und mit ihr die Masse m2 und die Scheibe m1 nicht schwingen ! 



Zunächst verwundert dieses Ergebnis natürlich sehr. Zum Verständnis des Vorgangs überlege 

man sich folgendes: Eine sehr schwere Masse m2 wird auf eine sehr leichte Scheibe m1 

geschossen. Weil das Trägheitsmoment I1 von m1 direkt proportional zu m1 ist (vgl. Gleichung 

(2.4)), muss es ebenfalls sehr klein sein. Weil außerdem m2 sehr groß ist, muss auch 

das Drehmoment M2 der Masse m2 sehr groß sein. 4 D.h. nun, dass die Feder am freien Ende 

(in der Abbildung der Aufgabenstellung also am linken Ende) sehr stark gedrückt wird und 

dass sie gleichzeitig aber an dem an der Scheibe befestigten Ende kaum 5 aufgehalten wird 

sich zu dehnen bzw. sich zu bewegen. Die logische Schlussfolgerung ist, dass die Feder jede 

Kraft, die auf ihr freies Ende wirkt, unmittelbar an die Scheibe weiter gibt – und zwar fast 

ohne Stauchung ! Je größer nun das Verhältnis m2/m1 ist, desto mehr geht dieses ” fast ohne“ 

über in ein ” ohne“. ” Ohne Stauchung“ bedeutet jetzt eine Auslenkung der Feder während der 

gesamten Bewegung 6 von 0 ! Mit Mathematik formuliert gilt also: 

xmax ≈ 0 für m2 ≫ m1 (2.22) 

Dieses Ergebnis lässt sich durch folgende Überlegung noch verfeinern: Man denke sich 

ein System mit dem Massen-Verhältnis m2/m1 = 1. Für diesen Fall gilt Gleichung (2.21) 

noch gerade so. Setzt man m2/m1 = 1 in Gleichung (2.21) ein, so erhält man für xmax 0 ! 

Das bedeutet, dass xmax bereits bei m1 = m2 0 ist. Daraus folgt, dass xmax auch bei allen 

Massenverhältnissen m2 > m1 genau 0 ist. Dies begründet sich dadurch, dass bei m2 > m1 

die Scheibe ja noch leichter gedreht werden kann als bei m2 = m1. Gleichung (2.22) wird also 

zu: 

xmax = 0 für m2 ≥ m1 (2.23) 

Dieses Ergebnis ist ebenso erstaunlich wie schön. Es zeigt, dass man manchmal durch 

einfache Anwendung von gesundem Menschenverstand schneller zu seinem Ziel kommen kann, 

als durch seitenlange mathematische Rechnungen. 

2.2 Untersuchung der Bewegung 

Bereits in Abschnitt 2.1 wurde die Bewegung der beiden Massen recht ausführlich untersucht 

und diskutiert. In diesem Abschnitt soll trotzdem noch einmal etwas genauer auf die Bewegung 

eingegangen werden. Die Untersuchung ist analog zu Abschnitt 2.1 in zwei Fälle unterteilt: 

m1 > m2 und m1 ≤ m2. 

2.2.1 Fall 1: m1 > m2 

In diesem Fall führt das System eine Schwingung aus. Die zeitliche Veränderung der Bewegung, 

die ja allgemein wegen ˙x = v durch die Geschwindigkeit beschrieben wird, sieht im 

Detail wie folgt aus 7 : 

4 Bei gleich bleibender Anfangsgeschwindigkeit v0 ist das Drehmoment umso größer, je schwerer m2 ist. 

5 Verglichen mit dem Drehmoment am befestigten Ende. 

6 Wie oben bereits erwähnt schwingt die Feder ja nicht, was bedeutet, dass die Auslenkung der Feder 

während der gesamten Bewegung des Systems immer gleich ist. 

7 Wenn die Feder gestaucht ist, soll ihre Auslenkung x positiv gezählt werden. Wenn die Feder gedehnt ist, 

ist x dementsprechend negativ. Grund für diese Zählweise ist die Abbildung in der Aufgabenstellung; ” nach 

rechts“ bedeutet also immer positiv. 



Anfang Bevor die Masse m2 auf die Scheibe auftrifft, ist die Geschwindigkeit v2 

der Masse m2 gleich v0, wegen den Energiegleichungen also maximal, und 

die Winkelgeschwindigkeit ω der Scheibe ist 0. 

0 < x < xmax 

x = xmax 

0 < x < xmax 

m2 wird von der Feder gebremst, d.h. die Beschleunigung a2 von m2 ist 

negativ, also nimmt die Geschwindigkeit v2 ab. Gleichzeitig versucht die 

Feder die Energie, die sie von m2 bekommen hat, an die Scheibe weiterzugeben. 

D.h. die Beschleunigung a1 der Scheibe m1 ist positiv, was 

bedeutet, dass die Winkelgeschwindigkeit ω der Scheibe zunimmt. 

Zu diesem Zeitpunkt ist v2 0, wie in Abschnitt 2.1 gezeigt wurde. Die 

Winkelgeschwindigkeit ω der Scheibe ist außerdem maximal, weil sich wegen 

L2 = m2v2r = 0 der gesamte Drehimpuls des Systems in der Scheibe 

befindet und weil der Drehimpuls L1 der Scheibe wegen Gleichung (2.9) 

direkt proportional ist zu ω. 

Die Feder zieht sich wieder zusammen und beschleunigt dadurch m2, d.h. 

die Geschwindigkeit v2 nimmt wieder zu. Dies hat zunächst keine Auswirkung 

auf ω. 

x = 0 Die Feder ist für einen kurzen Augenblick in ihrer Ruhelage. Weil m2 kurz 

danach wieder gebremst wird, ist v2 zu genau diesem Zeitpunkt maximal. 

Auch dies hat keinerlei Auswirkung auf ω. 

−xmax < x < 0 Die Geschwindigkeit v2 nimmt wieder ab, weil die Feder sich jetzt wieder 

in die andere Richtung, also nach rechts, zusammenzieht. Weil gleichzeitig 

m2 an der Feder zieht, wird die Scheibe m1 gebremst. Auf Grund der 

Beziehung m1 > m2 ist dieses Bremsen nur recht schwach. Also nimmt 

die Geschwindigkeit ω der Scheibe leicht ab. 

x = −xmax 

Jetzt ist die Feder maximal gedehnt. Das bedeutet analog zu Absatz 

0 < x < xmax, dass v2 0 ist. Weil die ” leichte Abnahme der Geschwindigkeit“ 

(vgl. vorhergehender Absatz) zu diesem Zeitpunkt aufhört, ist die 

Geschwindigkeit ω der Scheibe minimal. (Auf die gesamte Bewegung bezogen 

ist ω eigentlich nicht minimal, weil sie am Anfang ja 0 war. Bezogen 

auf die schwingende Bewegung alleine, ist ω jedoch schon minimal.) 

−xmax < x < 0 Die Feder zieht sich wieder zusammen und beschleunigt dadurch m2, d.h. 

die Geschwindigkeit v2 nimmt wieder zu. Auf ω hat dies zunächst keine 

Auswirkung. 

x = 0 Die Feder ist für einen kurzen Augenblick in ihrer Ruhelage. Weil m2 kurz 

danach wieder gebremst wird, ist v2 zu genau diesem Zeitpunkt maximal. 

Auch dies hat keinerlei Auswirkung auf ω. 

0 < x < xmax 

Dieser Fall wurde bereits oben diskutiert. 

Diese zeitliche Abfolge von 0 < x < xmax zu 0 < x < xmax wiederholt sich nun also immer 

wieder – sie ist also periodisch bzw. sinusförmig. Wie genau die Funktion für diesen Ablauf 

aussehen muss, wird in Abschnitt 4.4.4 gezeigt werden. 



2.2.2 Fall 2: m1 ≤ m2 

Die Bewegung in diesem Fall wurde bereits in Abschnitt 2.1 recht ausführlich behandelt und 

diskutiert. Trotzdem soll hier noch einmal analog zu Fall 1 die zeitliche Veränderung der 

Bewegung kurz aufgezeigt werden: 

Anfang Bevor die Masse m2 auf die Scheibe auftrifft, ist die Geschwindigkeit v2 

der Masse m2 gleich v0, wegen den Energiegleichungen also maximal, und 

die Winkelgeschwindigkeit ω der Scheibe ist 0. 

x = 0 Wie am Ende von Abschnitt 2.1 gezeigt, wird die Feder nicht gestaucht. 

Die Masse m2 trifft auf die Feder auf und versucht diese zu stauchen. Die 

Feder weicht jedoch sofort über das andere Ende aus und gibt die Energie, 

die sie von m2 erhalten hatte, vollständig an die Scheibe m1 ab. D.h. die 

Geschwindigkeit v2 von m2 nimmt ein klein wenig ab (wegen m1 ≤ m2 

nur ” ein klein wenig“) und die Geschwindigkeit ω der Scheibe nimmt ein 

klein wenig zu. 

Laut Abschnitt 2.1 gilt während der gesamten Bewegung x = 0. Also sind v2 und ω 

während der gesamten Bewegung konstant. 

2.3 Winkelgeschwindigkeit der Scheibe 


3 REALE SPULE 11 

3 Reale Spule 

3.1 Originalschaltbild 

Um die einzelnen Teilaufgaben lösen zu können, benötigt man zunächst das Originalschaltbild. 

Bei einer Serienschaltung A einer Spule L mit einem Widerstand RL gilt laut [1] für die 

Phasenverschiebung ϕA: 

tan ϕA = ωL 

(3.1) 

Außerdem gilt bei einer Parallelschaltung B einer Spule (L1, RL1) mit einem Widerstand R 

für die Phasenverschiebung ϕB: 

tan ϕB = R 

(3.2) 

ωL1 

Schaltet man nun diese beiden Schaltungen A und B parallel, so ergibt sich folgendes 

Schaltbild: 

RL 

Abbildung 3.1: Original-Schaltbild C 

Die Phasenverschiebung ϕC dieser Schaltung C lässt sich mit den Gleichungen (3.1) und 

(3.2) berechnen. Hierzu muss man zunächst die Scheinwiderstände 1 ZA und ZB der beiden 

Schaltungen A und B berechnen. Die Scheinwiderstände sind allgemein gegeben durch: 

ZA = 

1 

ZB 

Den Scheinwiderstand ZC der Schaltung C ergibt sich zu: 

ZC = 

= (a − jω b) (A − jω B) 

= 

 

R2 L + ω2L2 (3.3) 

 

1 1 

+ 

R2 ω2L2 (3.4) 

1 

a 

 

−ω 2 LL1R1 − jω 

b 

 

RR1L1 

R1 − ω 2 LL1 + jω ((R1 + R) L1 + R1L) 

 

A 

B 

A2 + B2 = (aA − ω2 bB) − jω (Ab + aB) 

A 2 + B 2 

Dieses Ergebnis lässt sich in einen Realteil ZC,reel und einen Imaginärteil ZC,img aufspalten: 

1 Auch: Impedanzen 

ZC,reel = aA − ω2 bB 

ZC,img = − jω 

A2B2 Ab + aB 

A2 + B2 Marcel Schmittfull · Salierstr. 10 · 97505 Geldersheim · marcel-sl@gmx.de 

(3.5) 

(3.6) 

(3.7)


Daraus erhält man nun die Phasenverschiebung ϕC: 

tan ϕC = 

−ωAb + aB 

aA − ω 2 bB 

(3.8) 

Wegen tan 90 ◦ = ∞, muss der rechte Term von Gleichung (3.8) ∞ sein, damit eine Phasenverschiebung 

von 90 ◦ erreicht werden kann. Der Term 

wird ∞, wenn sein Nenner 0 ist. Also: 

Oder umgestellt: 

−ωAb + aB 

aA − ω 2 bB 

aA − ω 2 bB = 0 (3.9) 

aA = ω 2 bB (3.10) 

Bei einer bestimmten Dimensionierung der Schaltung ist Gleichung (3.10) durchaus möglich. 

Schaltung C stellt also die Originalschaltung dar. 

3.2 Ersatzschaltbild 

Zunächst hofft man natürlich, dass das gesuchte Ersatzschaltbild eine sehr leicht berechenbare 

Serienschaltung ist. Dies kann jedoch ausgeschlossen werden, wie folgende Überlegung zeigt: 

Laut Aufgabenstellung muss das Ersatzschaltbild eine reale Spule (L, RL) enthalten. Schaltet 

man nun eine Spule L und einen ohmschen Widerstand RL in Serie, so bleibt der Strom I 

gleich und lediglich die Spannung U verändert sich: 

Abbildung 3.2: Zeigerdiagramm für Serienschaltung 

Aus dieser Zeichnung kann man sofort erkennen, dass der Winkel ϕ zwischen den Zeigern 

I und U bzw. die Phasenverschiebung ϕ zwischen Strom I und Klemmenspannung U immer 

kleiner als π 

2 sein muss, weil weder Spule noch Kondensator einen Zeiger nach links“ dar- 

” 

stellen können, der dann URL ausgleichen würde. Eine einfache Serienschaltung kann also als 

Lösung ausgeschlossen werden. 

Man muss nun also versuchen, den Spannungszeiger U in Abbildung 3.2 senkrecht auf den 

Stromzeiger IL stehen zu lassen. Hierzu führe mache man folgende geometrischen Überlegungen: 

So lange I parallel zur x-Achse bleibt, kann weder eine Spule noch ein Kondensator 

noch ein ohmscher Widerstand den Spannungszeiger U nach links oben drehen, d.h. so dass 

ϕ π 

2 wird. Also bleibt nichts anderes übrig, als den Stromzeiger I ein wenig nach links oben 

zu drehen. Denn dann könnte man an diesen nach rechts oben zeigenden Stromzeiger einen 

weiteren, nach links oben zeigenden Spannungszeiger antragen, was zur Folge hätte, dass der 

Winkel ϕ zwischen dem Summenzeiger U aller Spannungszeiger und dem Stromzeiger IL π 

2 

groß werden könnte. 

Nun gilt es, diese einfache geometrische Überlegung in ein Schaltbild umzusetzen. Zunächst 

muss man den Stromzeiger I ein wenig nach links oben drehen“. Um I verändern zu können, 

” 

benötigt man in jedem Fall eine Parallelschaltung. Damit der Stromzeiger, der am Ende aus 

dieser Parallelschaltung herauskommt“, im Zeigerdiagramm nach rechts oben zeigt, muss die 

” 



Parallelschaltung aus einem ohmschen Widerstand RC und einem Kondensator C bestehen. 2 

Das Zeigerdiagramm und die Schaltung sehen nun also wie folgt aus: 

Jetzt muss man an den erhaltenen Stromzeiger noch einen weiteren, nach links oben 

” 

zeigenden Spannungszeiger antragen“. Ein Spannungszeiger, der dem Stromzeiger vorauseilt 

(d.h. links von ihm ist) kann nur von einer in Serie geschalteten Spule stammen. Also muss 

hinter die oben gezeigte Parallschaltung noch eine weitere Spule (L1, RL1 ) geschaltet werden: 

Abbildung 3.3: Gesamtes Ersatzschaltbild 

Das dazugehörige Zeigerdiagramm ergibt sich zu: 

Abbildung 3.4: Zeigerdiagramm zu der Ersatzschaltung 

Wie in Abbildung 3.4 zu erkennen ist, ist es egal, ob es sich bei L1 um eine Spule mit 

Eisenkern oder um eine reale Spule handelt. Der Spannungszeiger URL 1 hat keine besonde- 

re Auswirkung auf den Gesamt-Spannungszeiger U, weil er zwischen den beiden für U so 

wichtigen äußersten Zeigern UL1 und URL liegt. 

Bei einer bestimmten Dimensionierung der einzelnen Teilspannungen und -ströme, ist 

es nun möglich, dass der Winkel ϕ in Abbildung 3.4 π 

2 groß wird. Das bedeutet, dass die 

Phasenverschiebung ϕ zwischen Klemmenspannung U und Strom durch Spule (L, RL) bei 

betragen könnte. 

einer bestimmten Dimensionierung der Schaltung π 

2 

Anmerkung 1: Die von mir recht häufig verwendeten Bezeichnungen ” links“ und ” rechts“ können 

natürlich durch die Fachbegriffe ” vorauseilen“ und ” hinterhereilen“ ersetzt werden. Mit den Bezeichnungen 

” links“ und ” rechts“ ist es meiner Meinung jedoch wesentlich einfacher dem Leser die geführten 

Überlegungen verständlich zu erklären. 

Anmerkung 2: Dass der Winkel ϕ in Abbildung 3.4 tatsächlich π 

2 

werden kann, zeigt auch die 

Zeichnung selbst. Sie wurde nämlich mit dem dynamischen Geometrie-Programm ” Dynageo Euklid“ 

erzeugt. Alle Linien wurden nicht einfach willkürlich eingezeichnet, sondern streng geometrisch konstruiert. 

3.3 Berechnung des Widerstands 

Zur Berechnung des ohmschen Widerstands RL helfen nun die bereits in Abschnitt 3.1 durchgeführten 

Überlegungen und Rechnungen. Resubstituiert man Gleichung (3.10), so erhält 

man: 

ω 2 LL1R1(ω 2 LL1 − RLR1) = ω 2 − RLR1L1(L1(R1 + RL) + R1L) (3.11) 

Umstellen ergibt: 

0 = R 2 L (R1L 2 1) + RL (L 2 1R 2 1 − LR1 + R 2 LLL1) + ω 2 (1 − L 2 L1) (3.12) 

Mit der Lösungsformel ergibt sich aus Gleichung (3.12) folgende Lösung für RL: 

RL1/2 = −R1L2 1 ± 

 

R2 1L41 − 4 · ω2 (1 − L2L1) 2 R1L 2 1 

(3.13) 

2 Evtl. sind auch noch weitere Schaltungen möglich, die den Stromzeiger nach links oben verschieben; aber 

die Lösung mit einem ohmschen Widerstand und einem Kondensator ist auf jeden Fall die einfachste. 



Gleichung (3.13) lässt sich noch vereinfachen: 

RL1/2 = − 1 

2 ± 

 

R2 1L41 − 4 · ω2 (1 − L2L1) 2 R1L1 

3.4 Vergleich zwischen Verlustfaktor und Güte 

Extremer Zeitnot wegen konnte ich diese Teilaufgabe leider nicht bearbeiten . . . 

Marcel Schmittfull · Salierstr. 10 · 97505 Geldersheim · marcel-sl@gmx.de 

(3.14)

4 EXPERIMENTE MIT DEM KUGELSCHREIBER 15 

4 Experimente mit dem Kugelschreiber 

Im Folgenden sind die Teilaufgaben jeweils in einen Abschnitt mit einer theoretischen Überlegung 

und einen Abschnitt mit der experimentellen Ausführung unterteilt. Die verwendeten 

Hilfsmittel aus Haushalt und Büro werden hervorgehoben. 

4.1 Anfangsgeschwindigkeit des Kugelschreibers 

4.1.1 Theoretische Überlegung 

Allgemein gilt: 

Translation Ekin = 1 

m v2 

2 

(4.1) 

Lage ELage = mgh (4.2) 

Die Lageenergie der Mine im höchsten Punkt ihrer Flugbahn ELage,oben muss wegen dem 

Energieerhaltungssatz genau so groß sein wie die Bewegungsenergie am Anfang der Bewegung 

Ekin,unten: 

4.1.2 Experiment 1: Messung der maximalen Höhe 

ELage,oben = Ekin,unten 

mghmax = 1 

2 m v2 0 

⇒ v0 = 2 g hmax (4.3) 

Wegen Gleichung (4.3) muss also lediglich die maximale Höhe der Wurfbahn der Mine hmax 

mit z.B. einem Zollstock gemessen werden. Von mir durchgeführte Messungen ergaben folgende 

Werte: 

Messung 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

hmax in m 1,7 1,9 1,6 1,8 1,8 1,9 1,7 1,6 1,7 1,9 

hmax ist also ≈ 1, 9 m, weil 1,9 der höchste Wert meiner Messungen ist 1 . 

Für v0 ergibt sich dann: 

v0 = 2 g hmax 

= 6, 10 m/s 

1 Es muss der höchste Wert und nicht etwa der Durchschnittswert der Messwerte verwendet werden, weil 

bei Messungen mit einer Maximalhöhe hmax niedrigerer als 1,9 die Feder offenbar nicht vollständig bis zum 

Anschlag nach unten gedrückt war oder (wahrscheinlicher) beim Loslassen der Mine ein Teil der Bewegungsenergie 

der Mine auf die Hand übertragen wurde. Je größer hmax ist, desto kleiner war der Energieverlust, d.h. 

desto besser ist das Ergebnis. 



4.2 Kraft für maximale Stauchung der Feder 


Allgemein gilt: 

FF eder = −Dx (4.4) 

Epot,F eder = 1 

D x2 

2 

(4.5) 

wobei x die Abweichung der Länge der Feder von der ungedehnten bzw. ungestauchten Länge 

der Feder und D die Federkonstante darstellt. 

Auflösen der Gleichungen (4.4) und (4.5) nach x liefert: 

Für FF eder ergibt sich: 

x = − FF eder 

D 

− FF eder 

D = 

FF eder = −D 

und x = 

⇓ 

 

 

 

2 Epot,F eder 

D 

2 Epot,F eder 

D 

2 Epot,F eder 

D 

(4.6) 

In Abschnitt 4.1 wurde die Feder bis zum Anschlag, d.h. ganz, zusammengedrückt. Die 

potentielle Energie der Feder ist zu diesem Zeitpunkt maximal. Wegen dem Energieerhaltungssatz 

muss diese maximale potentielle Energie Epot,F eder der Feder gleich der maximalen 

Bewegungsenergie der Mine Ekin,unten und gleich der maximalen Lageenergie der Mine 

ELage,oben sein: 

Epot,F eder = Ekin,unten = ELage,oben 

= m g hmax 

Durch Einsetzen in Gleichung (4.7) erhält man für FF eder: 

FF eder = −D 

 

2 

m g hmax 

D 

4.2.2 Experiment 2: Messung der Masse der Mine 

(4.7) 

In Gleichung (4.7) sind die maximale Höhe hmax und die Federkonstante D aus Abschnitt 

4.1 bzw. 4.3 bekannt. D.h. die einzige noch unbekannte Variable von Gleichung (4.7) ist die 

Masse der Mine m. 

Zunächst wird das in Abschnitt 4.4.2 beschriebene Experiment aufgebaut 2 . Der Kugelschreiber 

kann jetzt als Wage verwendet werden, indem an beiden Enden des Kugelschreibers 

entweder jeweils ein Kartonkärtchen oder ein kleines Körbchen, z.B. von einer ” Snack Cocktail 

Knabbergebäck“-Verpackung, mit Klebeband befestigt wird. Hierbei ist darauf zu achten, 



Abbildung 4.1: Aufbau der ” Kugelschreiber-Wage“ 

dass der Abstand der Befestigung auf beiden Seiten gleich weit vom Schwerpunkt des Kugelschreibers 

entfernt sein muss, dass exakt dieselben Gegenstände an beiden Enden angebracht 

werden und dass die Längen der Bindfaden an denen die Körbchen hängen gleich groß sind. 3 

Nun legt man in das eine Körbchen die Kugelschreiber-Mine, deren Masse ja gemessen 

werden soll. Sofort schlägt die Wage aus. Um diesen Ausschlag wieder auszugleichen müssen 

irgendwelche Gewichte in das andere Körbchen gelegt werden. Diese Gewichte müssen nun 

die Eigenschaften haben, dass ihre Massen sehr genau bekannt sind und dass sie sehr leicht 

in Bruchteile ihrer eigentlichen Form unterteilt werden können. Hierfür eignen sich DIN-A4- 

Bogen Papier ideal. Die Masse eines einzelnen DIN-A4-Bogen Bogens Papier lässt sich wie 

folgt berechnen: Auf der Verpackung von dem jeweiligen Papier steht üblicherweise so etwas 

wie ” 50 g/m 2 “ oder ” 90 g/m 2 “. Dieser Wert steht für die Qualität des Papiers; je größer er 

ist, desto hochwertiger ist das Papier. Auf der Verpackung des von mir verwendeten Papiers 

steht der Wert ” 80 g/m 2 “. Die Masse mBlatt eines einzelnen Bogens Papier erhält man mit 

den Seitenlängen 210 mm und 297 mm eines DIN-A4-Blattes: 

mBlatt = 80 g/m 2 · 210 mm · 297 mm 

= 4.9392 g 

≈ 5, 0 g 

Mit einer Schere lässt sich der Bogen sehr leicht halbieren4 . Durch mehrmaliges Halbieren 

erhält man immer kleinere Bruchteile des Bogens und somit immer kleinere Gewichte. Es 

ist sehr hilfreich die erhaltenen Bruchteile mit 1 1 1 

2 , 4 , 8 . . . zu beschriften. Man legt nun also 

einige Bruchteile des Bogens in den noch leeren Korb, bis sich die Wage etwa im Gleichgewicht 

befindet, d.h. bis der Kugelschreiber etwa parallel zum Himmelshorizont steht. Jetzt ersetzt 

man größere Bruchteile durch kleinere Bruchteile, wodurch sich die Wage immer besser dem 

Gleichgewicht nähert. Wenn man der Meinung ist, dass sich die Wage nun im Gleichgewicht 

befindet, also dass die Masse der Mine gleich der Masse der Papier-Schnitzel ist, nimmt 

man die Papier-Schnitzel aus dem Körbchen heraus und zählt die auf den Papier-Schnitzel 

stehenden Bruchteile zusammen. Multipliziert man diese Summe mit der Masse des DIN-A4- 

Bogens 5, 0 g, so erhält man die Masse der Mine. 

Von mir durchgeführte Messungen ergaben, dass 5 1 

32-Papierschnitzel genauso schwer sind 

wie die von mir verwendete Mine: 

m = 5 

· 5, 0 g 

32 

≈ 0, 78 g 

2 Der untere Bindfaden darf hier weggelassen werden. 

3 Wäre dies nicht der Fall, so würde der Kugelschreiber keine funktionierende Wage darstellen. 

4 Man faltet den Bogen normal zur längeren Seite des Bogens und schneidet den Bogen entlang der entstan- 

denen Linie auseinander. 



4.3 Federkonstante 


Durch Auflösen der Energiegleichung für die Feder bei maximaler Stauchung Epot,max = 

1 

2 Dx2 max nach D erhält man: 

D = Epot,max 

x 2 max 

(4.8) 

Die maximale potentielle Energie der Feder Epot,max ist laut Abschnitt 4.2 mghmax, wobei 

m laut Experiment 4.2.2 0, 78 g beträgt und hmax laut Experiment 4.1.2 1, 9 m groß ist. Für 

Epot,max ergibt sich also: 

Epot,max = 0, 78 g · 9, 8 N/kg · 1, 9 m 

≈ 14, 5 mJ 

Setzt man diesen Wert nun in Gleichung (4.8) ein, ergibt sich für die gesuchte Federkonstante 

D: 

D = 

14, 5 mJ 

x 2 max 

4.3.2 Experiment 3: Messung der maximalen Stauchung der Feder 

(4.9) 

Wegen Gleichung (4.9) muss zur Bestimmung der Federkonstanten D lediglich noch die maximale 

Stauchung der Feder xmax gemessen werden. xmax ist die Länge, die man erhält, wenn 

man die Gesamtlänge der Feder in Ruhelage 5 lRuhe von der Länge der Feder bei maximaler 

Stauchung lgestaucht,max abzieht 6 : 

xmax = lgestaucht,max − lRuhe 

(4.10) 

Da es sehr schwierig ist die Feder mit der Hand alleine zusammenzudrücken, wird die 

Feder wieder auf die Mine gesteckt und die Mine mit der Feder wird in den oberen Teil 

des Kugelschreibers eingesetzt 7 . Jetzt misst man die Länge dieses erhaltenen Teiles lT eil,Ruhe, 

drückt die Mine danach bis zum Anschlag und misst hierauf wieder die Länge lT eil,gestaucht,max. 

Nach Gleichung (4.10) erhält man für xmax: 

xmax = lT eil,gestaucht,max − lT eil,Ruhe 

Von mir durchgeführte Messungen ergaben: 

Einsetzen in obige Gleichung ergibt: 

lT eil,gestaucht,max = 115 mm 

lgestaucht,max = 98 mm 

xmax = 98 mm − 115 mm 

= −17 mm 

5 D.h. die Feder ist weder gedehnt noch gestaucht. 

6 Es muss lgestaucht,max − lRuhe (und nicht lRuhe − lgestaucht,max) heißen, weil per Konvention die Differenz 

x der beiden Längen bei einer Stauchung negativ ist. D.h. dass nach oben positiv und nach unten negativ 

gezählt wird. Dies wird später bei der Berechnung der Kraft wieder von Bedeutung sein. 

7 Weil bei der Berechnung von xmax die Differenz der beiden gemessenen Längen gebildet wird, ist es für 

die Messung vollkommen gleichgültig, ob an die Feder noch eine Verlängerung angebracht wird oder nicht. 



Durch Einsetzen dieses Wertes in Gleichung (4.9) erhält man: 

D = 

14, 5 mJ 

(−17 mm) 2 

≈ 50 N/m 

4.4 Trägheitsmoment des Kugelschreibers 

4.4.1 Theoretische Lösungsidee 

Die Lösungsidee besteht darin, den Kugelschreiber um eine Schwerpunktachse senkrecht zu 

seiner Lage drehen zu lassen und dabei die Winkelgeschwindigkeit ω zu messen. Die Rotationsenergie 

des Kugelschreibers Erot beträgt 

Erot = 1 

I ω2 

2 

(4.11) 

wobei I das Trägheitsmoment des Kugelschreibers um eine Schwerpunktachse senkrecht zu 

seiner Lage darstellt. Wenn nun sowohl die Winkelgeschwindigkeit ω als auch die Rotationsenergie 

Erot bekannt sind, kann Gleichung (4.11) nach I umgestellt werden: 

I = 2 Erot 

ω 2 

(4.12) 

In Abschnitt 4.4.4 wird gezeigt, wie man die Winkelgeschwindigkeit ω messen kann. In 

Abschnitt 4.4.3 wird gezeigt, wie man Erot bestimmen kann. 

4.4.2 Aufbau des Experimentes 

Drehung des Kugelschreibers 

Zunächst stellt sich das Problem, den Kugelschreiber um eine Schwerpunktachse senkrecht zu 

seiner Lage drehen zu lassen. Dies wird erreicht, indem man mit Klebeband zwei Bindfaden 

am Kugelschreiber wie folgt befestigt: 

Abbildung 4.2: Befestigung der Bindfaden am Kugelschreiber 

Den Schwerpunkt M erhält man im Normalfall durch Abmessen (Lineal) der halben Länge 

des Kugelschreibers. Sollte die Verteilung der Masse jedoch nicht gleichmäßig sein, so findet 

man den Schwerpunkt indem man den Kugelschreiber zunächst an einem Ende frei aufhängt 

und eine Senkrechte zum Himmelshorizont auf den Kugelschreiber zeichnet. Danach nimmt 

man das andere Ende und zeichnet wieder die Senkrechte zum Himmelshorizont auf. Der 

Schnittpunkt der beiden Senkrechten ist nun der gesuchte Schwerpunkt M. 

Jetzt werden die Enden der beiden Bindfaden wie folgt mit Klebeband befestigt: 

Abbildung 4.3: Befestigung der Bindfaden am Boden und an einer Kante 

Das eine Ende wird also an einer festen Kante, z.B. der eines Schreibtisches, befestigt; das 

andere wird mit einem nicht zu leichten kleinen Gegenstand, z.B. einer Armbanduhr oder 

einem Geldbeutel, verbunden. Damit der Kugelschreiber später neben der Rotation nicht noch 

eine Translation ausführt, muss der Gegenstand am unteren Ende fixiert sein, d.h. z.B. auf 



dem Boden oder auf ein paar Büchern stehen. Würde man jetzt den Kugelschreiber anstoßen, 

so würde er sich nahezu ohne irgendeine Verlangsamung 8 um eine Schwerpunktachse senkrecht 

zu seiner Lage drehen. 

4.4.3 Rotationsenergie 

Das nächste Problem besteht darin, eine messbare Energie auf den Kugelschreiber zu übertragen. 

Hier hilft die Kugelschreiberfeder weiter, weil ihre potentielle Energie Epot bei maximaler 

Stauchung xmax bereits aus Abschnitt 4.1 bekannt ist. D.h. dass die Feder aus dem Kugelschreiber 

herausgenommen werden muss, bevor dieser mit den Bindfaden verbunden wird. Als 

Ausgleich benötigen wir einen weiteren Kugelschreiber K2. Die Feder von K2 wird nun in den 

eigentlichen Kugelschreiber K1 eingesetzt, wodurch K1 wieder vollständig ist. Danach wird 

mit der Spitze von K2 und der Feder von K1 die Mine von K2 auf ein Ende des eigentlichen 

Kugelschreibers K1 geschossen: 

Abbildung 4.4: Schuss auf den Kugelschreiber 

Wenn wie in der Abbildung gezeigt an die Spitze der Kugelschreiberspitze ein Kartonkärtchen 

geklebt wird, geht die kinetische Energie der Mine Ekin beinahe verlustfrei über in Rotationsenergie 

des Kugelschreibers K1 Erot. Da ja die kinetische Energie der Mine nach dem Schuss 

Ekin gleich der potentiellen Energie der Feder vor dem Schuss Epot ist, gilt: 

ErotK 1 = EkinMine = EpotF eder (4.13) 

Bei maximaler Stauchung xmax = −17 mm erhält man für ErotK 1 : 

4.4.4 Winkelgeschwindigkeit 

ErotK 1 = EpotF eder 

= 1 

2 Dx2 max 

= 1 

2 · 50 N/m · (−17)2 mm 2 

≈ 7, 2 mJ (4.14) 

Um die Winkelgeschwindigkeit des Kugelschreibers ω zu messen, schießt man die Mine von 

K2 wie in Abschnitt 4.4.3 beschrieben auf den Kugelschreiber K1, so dass sich K1 dreht. ω 

erhält man, indem man zählt, wie viele Umdrehungen K1 in einer bestimmten Zeit durchführt. 

Dabei sollte jedoch die Zeit, in der die Umdrehungen gezählt werden, nicht zu groß gewählt 

werden, weil ω nach einer gewissen Zeit kleiner wird 9 . Angemessen sind meiner Meinung nach 

ungefähr fünf Sekunden. 

Anmerkung: Es ist möglich, dass sich der Kugelschreiber sehr schnell dreht und das Zählen der 

Umdrehungen deshalb womöglich Probleme hervorrufen könnte. In diesem Fall ist es sehr hilfreich, ein 

Ende des Kugelschreibers farbig zu markieren (z.B. mit einem ” Edding“) und dieses farbige Ende mit 

dem Auge zu fixieren. Dann sollte das Zählen keinerlei Probleme mehr bereiten. 

8 Die einzige Verlangsamung wird vom Drehen der Bindfaden hervorgerufen. Je mehr die Bindfaden ” aufgedreht“ 

werden, desto mehr versuchen sie, wieder in ihre ursprüngliche Position zurückzudrehen. Bei den ersten 

wenigen Drehungen ist dieser Effekt jedoch vernachlässigbar. 

9 Die Bindfaden werden ” aufgedreht“, vgl. Abschnitt 4.4.2. 



4.4.5 Messwerte und Auswertung 

Die einzige noch unbekannte Variable aus den vorhergehenden Abschnitten ist die Winkelgeschwindigkeit 

des Kugelschreibers ω. Durch die oben beschriebene Vorgehensweise habe ich 

folgende Reihe von Messwerten erhalten: 

Messung 1 2 3 4 5 6 7 8 

ω in U/5s 8,5 10,5 9 11 9,5 10 10,5 9 

Die größte10 gemessene Winkelgeschwindigkeit ω ist 5 sec = 4, 4 π rad/ sec. Setzt man dieses 

Ergebnis und Gleichung (4.14) nun in Gleichung (4.12) ein, so erhält man für das Trägheitsmoment 

I: 

11 U 

I = 2 Erot 

ω2 = 

2 · 7, 2 mJ 

4, 4π rad/ sec 

≈ 7, 5 g · dm 2 

(4.15) 

Dieses Ergebnis kann man jetzt noch mit einer Formel11 prüfen, die allgemein das Trägheitsmoment 

eines dünnen Stabes bei einer Drehachse durch den Mittelpunkt senkrecht zur Körperachse 

angibt: 

I = 1 2 

mgesl (4.16) 

12 

wobei l die Länge des Stabes bezeichnet. Mit I = 75 g · dm 2 und l = 13, 2 cm erhält man aus 

Gleichung (4.16): 

mges ≈ 52 g 

Der Kugelschreiber müsste also etwa 50 g schwer sein. Diese Größenordnung ist bei meinem 

Kugelschreiber auf jeden Fall sehr realistisch und unterstreicht die Richtigkeit der Lösung. 

10 Analog zur Fußnote am Ende von Abschnitt 4.1.1 muss auch hier der größte gemessene Wert verwendet 

werden. 

11 Siehe [2], Seite 231. 


A HINWEIS ZU DEN ABBILDUNGEN 22 

A Hinweis zu den Abbildungen 

Leider habe ich es zeitlich nicht geschafft, alle Grafiken dieser Arbeit noch rechtzeitig vor 

Abgabetermin am Computer zu erstellen. Aus diesem Grund habe ich die Abbildungen mit 

der Hand angefertigt. Das Blatt mit den Zeichnungen befindet sich am Ende der vorliegenden 

Arbeit in Abschnitt B. 


B ABBILDUNGEN 23 

B Abbildungen 


LITERATUR 24 

Literatur 

[1] Fricke, Hans: Leitfaden der Elektrotechnik - Band I Grundlagen der Elektrotechnik, B.G. 

Teubner, Stuttgart 1982 

[2] Tipler, Paul A.: Physik, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1994

34. Internationale Physik-Olympiade 2003 Lösungen zur 2 ... - JavaPsi

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