TE – Thermische Emission - JavaPsi

Inhaltsverzeichnis
TE – Thermische Emission
Blockpraktikum Herbst 2007
Moritz Stoll, Marcel Schmittfull (Gruppe 2b)
24. Oktober 2007
1 Grundlagen 2
1.1 Kennlinie einer Glühdiode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Versuch und Auswertung 4
2.1 Temperatur der Kathode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Austrittsarbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 Schottky-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.4 Emissionswirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1 GRUNDLAGEN TE 2
1 Grundlagen
1.1 Kennlinie einer Glühdiode
Eine Glühdiode (Kathode) emittiert beim Erhitzen Elektronen, die zur Anode fliegen. Misst
man die an der Anode ankommenden Elektronen IA in Abhängigkeit von der zwischen Kathode
und Anode anliegenden Spannung UG, so erhält man eine Kennlinie IA(UG). Diese lässt
sich in drei Bereiche unterteilen.
Abbildung 1: Anodenstrom in Abhängigkeit von der Spannung zwischen Kathode und Anode (Literaturmappe
S. 24).
Anlaufstrombereich, UG < 0 (Gegenspannung): Nur Elektronen mit hinreichend hoher
thermischer Energie erreichen die Anode:
IA(UG, T ) = IA(0, T ) · e
eUeff
− G
kB T , (1)
wobei kB die Boltzmann-Konstante, T die Temperatur, e die Elementarladung und U eff
G
die effektive Spannung zwischen Anode und Kathode (siehe unten) bezeichnen.
Raumladungsbereich: Elektronen zwischen Kathode und Anode wirken als Potentialwall
auf die von der Kathode emittierten Elektronen, d.h. ein Teil der emittierten Elektronen
wird reflektiert und gelangt nicht zur Anode.
Sättigungsbereich: Die Spannung zwischen Anode und Kathode UG ist so groß, dass alle
von der Kathode emittierten Elektronen an der Anode ankommen. Der an der Anode
ankommende Sättigungsstrom IS ändert sich in diesem Bereich bei weiterem Erhöhen
von UG nicht mehr, er ist lediglich von der Anzahl der von der Kathode emittierten
Elektronen abhängig, d.h. von der Kathodentemperatur T . Es gilt nach Richardson
IS(T ) = ARF T 2 e − W K
k B T , (2)
Version: 24. Oktober 2007 Moritz Stoll, Marcel Schmittfull

1 GRUNDLAGEN TE 3
wobei AR die sog. Richardson-Konstante ist.
Abbildung 2: Kontaktpotential zwischen Kathode und Anode (Literaturmappe S. 27).
Neben der angelegten Potentialdifferenz bzw. Spannung UG zwischen Kathode und Anode
ist eine zusätzliche Potentialdifferenz zwischen Kathode und Anode zu berücksichtigen. Sind
Kathode und Anode weit voneinander entfernt (Abb. a), so haben sie in der Regel verschiedene
Fermienergien EF,K, EF,A und Austrittsarbeiten WK, WA. Dies führt zu einer zusätzlichen
Potentialdifferenz bzw. Spannung zwischen Kathode und Anode, die neben der angelegten
Spannung UG berücksichtigt werden muss. Bei geringem Abstand zwischen Kathode und
Anode werden die Fermienergien angeglichen (EF,K = EF,A), da Elektronen vom Metall mit
höherer Fermienergie zum Metall niedrigerer Fermienergie wandern bis sich ein Gleichgewicht
einstellt. Dann beträgt die Kontaktspannung 1
e (WA − WK), so dass die effektive Spannung
zwischen Kathode und Anode zu
U eff
G = UG + 1
e (WA − WK) (3)
wird.
Setzt man IS(T ) aus Gleichung (2) für IA(0, T ) in (1) ein 1 und vereinfacht mittels (3), so
erhält man
IA(UG, T ) = ARF T 2 e − W K
Logarithmieren ergibt eine Gerade in Abhängigkeit von UG
− kB T · e eUeff
G
kB T = ARF T 2 e −WA−eUG kB T (4)
ln(IA(UG)) = − e
kBT UG + ln(A0F T 2 ) − WA
kBT = mUG + b, (5)
aus deren Steigung m und Achsenabschnitt b sich die Temperatur T und die Anodenaustrittsarbeit
WA berechnen lassen:
1 Eigentlich sollte IS(T ) = IA(0, T ) gelten. . .
T = − e
kBm , WA = kBT (ln A0F T 2 ) − b) (6)
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2 VERSUCH UND AUSWERTUNG TE 4
2 Versuch und Auswertung
2.1 Temperatur der Kathode
Der Anodenstrom IA(UG) wird für verschiedene Heizströme IH gemessen. Fittet man ln IA(UG)
durch eine Gerade, so erhält man aus (6) die Kathodentemperatur T und die Anoden-
Austrittsarbeit WA. Dabei werden nur die Messwerte im Anlaufstrombereich für die lineare
Regression verwendet (vgl. Abb. 4).
Heizstrom IH = 450mA:
ln(IA(UG)) = −0, 01097UG + 4.22112
⇒ T = − e
kBm =
−eK
8, 617343 · 10 −5 · 0, 01097C
= 1057K
Heizstrom IH = 500mA: ln(IA(UG)) = −0, 01002UG + 6, 10365 ⇒ T = 1158K
Heizstrom IH = 550mA: ln(IA(UG)) = −0, 00941UG + 7, 83451 ⇒ T = 1233K
2.2 Austrittsarbeit
Aus Gleichung (6) erhält man für die Austrittsarbeiten bei den verschiedenen Heizströmen:
IH
WA
450mA 0,695eV
500mA 0,592eV
550mA 0,460eV
Abbildung 3: Anoden-Austrittsarbeit WA(T ) in Abhängigkeit von der Kathodentemperatur T .
Die Austrittsarbeiten hängen also geringfügig vom Heizstrom ab.
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2 VERSUCH UND AUSWERTUNG TE 5
2.3 Schottky-Effekt
Als Schottky-Effekt bezeichnet die Veringerung der Austrittsarbeit aus einem Metall bei sehr
starken elektrischen Feldern.
Wenn ein Elektron das Metall verlässt, induziert das Elektron auf der Oberfläche eine
positive Ladung. Die Coulomb-Kraft die durch diese ausgeht lässt sich mit Hilfe einer positiven
Spiegelladung im Abstand −x von der Oberfläche beschreiben:
Daraus erhält man das Potential
W (x) = W0 +
e
F = −
2
.
4πɛ0(2x) 2
x
Dazu kommt die Kraft des externen Feldes F = eE
∞
e 2 dx ′
4πɛ0(2x ′ ) 2 = W0 − e2
16πɛ0x .
W (x) = W0 − e2
+ eEx.
16πɛ0x
Durch Ableiten nach x und Nullsetzen erhält man die maximale Austrittsarbeit
e
xmax =
16πɛ0E ⇒ Wmax
e
= W (xmax) = W0 −
3E .
4πɛ0
Die veränderte Austrittsarbeit führt zu einem neuen Sättigungsstrom
IS = AF T 2
exp − WA
=
kBT
AF T 2 ⎛
exp ⎝− W0
⎞
e3E − 4πɛ0 ⎠
kBT
2.4 Emissionswirkungsgrad
Der Emissionswirkungsgrad η ist folgendermaßen definiert
η := Emissionsstrom
Heizleistung
IS
= .
PH
Damit wollen wir nun den Emissionswirkungsgard einer Kathode aus Wolfram und einer Oxidkathode
bestimmen. Mit der Richardson-Gleichung IS(T ) = ARF T 2 exp (−WK/(kBT )) und
dem Boltzman-Gesetz PH = ɛσF T 4 (ɛ spektraler Emissionsgrad, σ Konstante des Boltzman-
Gesetzes) kommt man zu
η = ARe −WK kB T
ɛσT 2 .
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2 VERSUCH UND AUSWERTUNG TE 6
Da die Stromdichte jS = 0, 5A/cm 2 gegeben ist, lässt sich aus
jS = ART 2 e − W K
k B T
die Temperatur als letzte zur Berechnung von η fehlende Größe bestimmen. Logarithmieren
ergibt
0 = − ln jS + ln AR + 2 ln T − WK
kBT .
Diese transzendente Gleichung lässt sich numerisch (z.B. mit Maple oder Matlab) lösen. Wir
erhalten für die Wolframkathode TW = 2565, 85K und für die Oxidkathode TO = 1183, 48K.
Dies ergibt Emissionswirkungsgrade
ηW = 7, 015 · 10 −3 A/W, ηO = 236, 569 · 10 −3 A/W.
Version: 24. Oktober 2007 Moritz Stoll, Marcel Schmittfull

2 VERSUCH UND AUSWERTUNG TE 7
(a)
(b)
Version: 24. Oktober 2007 Moritz Stoll, Marcel Schmittfull
(c)
Abbildung 4: ln(IA(UG)) für Heizströme a) 450mA, b) 500mA und c) 550mA.