MS – Michelson-Interferometer - JavaPsi

MS – Michelson-Interferometer
Blockpraktikum Herbst 2007
Moritz Stoll, Marcel Schmittfull, Melanie Jetter (Gruppe 2b)
Inhaltsverzeichnis
24. Oktober 2007
1 Grundlagen 2
1.1 Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Interferenzmuster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Messung von Gangunterschieden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Brechungsindex eines Glasplättchens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Auswertung 6
2.1 Wellenlänge des Lasers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Brechungsindex von Luft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Brechungsindex von Glas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1 GRUNDLAGEN MS 2
1 Grundlagen
1.1 Aufbau
Ein Michelson-Interferometer besteht aus einem Strahlteiler und zwei Spiegeln, die wie
in Abb. 1 abgebildet angeordnet sind. Ein Teil des ursprünglichen Laserlichts trans-
Abbildung 1: Aufbau eines Michelson-Interferometers (Quelle: Anleitung).
mittiert den Strahlteiler, wird von einem Spiegel auf den Strahlteiler zurück reflektiert,
um dort zur Beobachtungsebene reflektiert zu werden. Ein anderer Teil des ursprünglichen
Laserlichts wird am Strahlteiler reflektiert, gelangt anschließend von einem Spiegel
zurück zum Strahlteiler und wird dort transmittiert, um ebenfalls auf dem Beobachtungsschirm
zu landen. Wenn der Gangunterscheid der beiden Strahlen, die das Interferometer
verlassen, kleiner als die Kohärenzlänge des verwendeten Laserlichts ist, kann
man ein Interferenzmuster beobachten.
1.2 Interferenzmuster
Wenn man davon ausgeht, dass der Laser paralleles Licht aussendet (d.h. ebene Wellen),
sind die beiden auf dem Schirm ankommenden Strahlen nach wie vor ebene Wellen, da
die Reflexion ebener Wellen an ebenen Spiegeln wieder ebene Wellen ergibt. Wie üblich
interferieren diese ebenen Wellen mit einem Gangunterschied ∆s zu einem Streifenmuster.
Die Bedingung für Maxima ist dabei
∆s = kλ, k ∈ Z.
Divergiert hingegen das Licht der Lichtquelle, so kann man virtuelle Gegenstandspunkte
konstruieren, von denen Kugelwellen ausgehen. Da ebene Spiegel Kugelwellen
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1 GRUNDLAGEN MS 3
zu Kugelwellen reflektieren, sind die beiden interferierenden Lichtbündel nach dem Interferometer
nach wie vor Kugelwellen und interferieren deshalb zu einem Ringmuster
auf der Mattscheibe (vgl. Abb. 2). Auch hier gilt für Maxima die Bedingung ∆s = kλ.
Abbildung 2: Interferenz der von zwei Punktquellen ausgesendeten Kugelwellen. An Schnittpunkten
gleichfarbiger Linien entsteht konstruktive Interferenz (blau), an Schnittpunkten ungleichfarbiger
Linien destruktive Interferenz (rot). Die Rotationssymmetrie erklärt das Zustandekommen
von Ringen auf der ebenen Mattscheibe. (Quelle: http: // www. walter-fendt. de/
ph14e/ interference. htm )
Sind die Spiegel des Interferometers gegeneinander mit einem kleinen Winkel geneigt,
so beobachtet man auch bei divergenter Lichtquelle ein Streifenmuster (Fizeau-
Streifen).
1.3 Messung von Gangunterschieden
Eine sehr kleine Änderung ∆s der Länge eines Interferometerarms hat zur Folge, dass
der Strahl, der durch diesen Interferometerarm verläuft einen zusätzlichen Weg 2∆s
zurücklegen muss (hin- und zurücklaufender Strahl jeweils ∆s). Das Interferenzmuster
verschiebt sich deshalb um 2∆s, d.h. in einem festen Punkt in der Beobachtungsebene
wird ein Gangunterschied von s zu einem Gangunterschied von s + 2∆s. Ändert man
die Armlänge des Interferometers langsam, so kann man beobachten, wie die Streifen
bzw. Ringe gleicher Phase ” wandern“. Die Anzahl N der Maxima, die über einen bestimmten
Punkt wandern (z.B. über die Mitte der Ringe), kann zur Berechnung der
Längenänderung ∆s des Interferometerarms benutzt werden,
∆s = Nλ
. (1)
2
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1 GRUNDLAGEN MS 4
1.4 Brechungsindex eines Glasplättchens
Der Brechungsindex eines Glasplättchens lässt sich bestimmen, indem das Plättchen
zunächst senkrecht zum Lichtstrahl in einen Interferometerarm gebracht wird und anschließend
der Winkel zum Lichtstrahl langsam verändert wird, wobei die Anzahl N
der aus der Mitte quellenden Ringe mitgezählt wird. Der Wegunterschied ∆s, den das
Licht durch das Plättchen zurücklegt, in Abhängigkeit vom Drehwinkel ε kann wie folgt
berechnet werden (vgl. Facharbeit von Felix Dorband).
Abbildung 3: Strahlengang durch ein um den Winkel ε dedrehtes Glasplättchen (Quelle: Facharbeit
Felix Dorband).
In Abb. 3 ist der Strahlengang durch ein um ε gedrehtes Glasplättchen abgebildet.
Seien s0 die ursprüngliche optische Weglänge (ohne Plättchen), d die Dicke und n die
Brechzahl des Plättchens. Dann folgt für die optische Weglänge bei ε = 0 (d.h. Plättchen
senkrecht zum Laserstrahl)
s1 = s0 − d + nd. (2)
Die optische Weglänge bei gedrehtem Plättchen ist
wobei aus Abb. 3
s2 = s0 − x + n · MN, (3)
MN = d
cos ε ′ , x = MN cos(ε − ε′ )
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1 GRUNDLAGEN MS 5
abzulesen ist. Der Ausdruck für x lässt sich weiter umformen:
x =
=
Einsetzen in Gleichung (3) ergibt
d
cos ε ′ cos(ε − ε′ )
d
cos ε ′
′ ′
cos ε · cos ε + sin ε · sin ε .
s2 = s0 − d
cos ε ′
′ ′
cos ε · cos ε + sin ε · sin ε + n d
= s0 − d
cos ε ′
cos ε ′
cos ε · cos ε ′ + sin2
ε
+ n
n
d
. (4)
cos ε ′
Im letzten Schritt wurde dabei das Brechungsgesetz sin ε ′ = sin ε/n verwendet. Für die
Differenz ∆s = s2 − s1 der optischen Weglängen erhält man
∆s = d · − cos ε − sin2
ε n
+ + 1 − n
n cos ε ′ cos ε ′
= d · 1 − n − cos ε + n2 − sin2 ε
n cos ε ′
.
Einsetzen von
ergibt
cos ε ′ =
1 − sin2 ε ′
= 1 − sin2 ε
n2 ⎛
∆s = d ⎝1 − n − cos ε + n2 − sin2 ε
n 1 − sin2 ε
n2 ⎞
=
⎠
d 1 − n − cos ε + n2 − sin2
ε .
Diese Gleichung kann man nun nach der gesuchten Brechzahl n auflösen:
n 2 − sin 2 ε 2
=
∆s
d
⇒ n 2 − sin 2 ε = n 2 + 2n
2 − 1 + n + cos ε
∆s
d
2 ∆s
+ cos ε − 1 + + cos ε − 1
d
⇒ n = − sin2 ε − ∆s
d + cos ε − 1 2
2 . (5)
∆s
d + cos ε − 1
Die erhaltene Gleichung lässt sich noch etwas umformen, wird dadurch jedoch nicht
einfacher.
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2 AUSWERTUNG MS 6
Der Wegunterschied ∆s durch Drehen des Plättchens aus der Ausgangslage lässt sich
aus der Anzahl N der ” herausgequollenen“ Interferenzringe berechnen. Da der Strahl
das Plättchen zwei Mal durchläuft, gilt
∆s = Nλ
2 .
Setzt man dies in Gleichung (5) ein, so folgt als endgültige Formel für die Brechzahl n
in Abhängigkeit von Drehwinkel ε, Ringanzahl N und Plättchendicke d
2 Auswertung
2.1 Wellenlänge des Lasers
n = − sin2 ε − Nλ
2d + cos ε − 1 2
2 . (6)
Nλ
2d + cos ε − 1
Um die Wellenlänge des verwendeten Lasers zu bestimmen, wurde ein Spiegel um eine
bekannte Länge ∆s verschoben und die Anzahl N der neu entstandenen Ringe im Interferenzmuster
gezählt. Eine Mikrometerschraube mit einer Übersetzung von 118 : 1
wurde um 360 ◦ , d.h. eine Umdrehung, gedreht. Da eine Umdrehung der an der Spiegelhalterung
befestigten Schraube 0, 5mm entspricht, beträgt die Verschiebung des Spiegels
∆s =
0, 5mm
118
≈ 4, 24µm.
Bei der Verschiebung wurden im Mittel N = 43 neue Ringe gezählt. 1 Aus ∆s = Nλ/2
(1) folgt für die Wellenlänge
λ = 2∆s
N
= 2 · 0, 5mm
118 · 43
= 197, 1nm.
Die Anzahl der Minima ließ sich schwer zählen, da es während des Zählens mehrere
Male zu Erschütterungen des Tisches kam. Die große Abweichung vom erwarteten Wert
von λ = 633nm für rotes Laserlicht kann dadurch jedoch kaum erklärt werden. Möglicherweise
verwendeten wir aus Versehen eine Mikrometerschraube mit einem anderen
Übersetzungsverhältnis oder eine Umdrehung an der Spiegelhalterung entsprach nicht
0, 5mm.
2.2 Brechungsindex von Luft
Eine Röhre wird zunächst evakuiert und anschließend langsam mit Luft gefüllt. Es
wurden N = 71 neue Ringe während der Wiederbefüllung der Röhre gezählt. Aus der
Bedingung für Maxima
nLuftl − nVakuuml = kλ
2
1 Zwei Messungen, Ringe jeweils von drei Leuten gezählt.
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2 AUSWERTUNG MS 7
mit l = 10cm als Röhrenlänge erhält man für die Brechzahl von Luft
nLuft = kλ
+ 1 = 1, 00022
s12
für λ = 632, 8nm. Dies stimmt sehr gut mit dem Literaturwert von n = 1, 00029 überein.
2.3 Brechungsindex von Glas
Um den Brechungsindex eines Deckgläschens für übliche Mikroskope zu messen, wurde
das Plättchen im Strahlengang gedreht und die Anzahl der neuen Ringe N in Abhängigkeit
vom Drehwinkel ε gemessen. Wir zählten bei einem Drehwinkel von
ε = 360◦ · 118
10
= 30, 5 ◦
N = 28 Ringe. Da die Deckgläser für Mikroskope nach ISO 8255-1:1986 international
auf eine Dicke von d = 0, 17mm genormt sind, nehmen wir diesen Wert für die Plättchendicke
an. 2 Für die Wellenlänge benutzen wir wieder λ = 633nm. Einsetzen in (6)
ergibt dann
nGlas = 1, 5357 ≈ 1, 5.
Dies stimmt sehr gut mit dem in ISO 8255-1:1986 angegebenen Wert von n = 1, 5255
überein.
2 Alternativ könnte man die Dicke auch mit einer elektronischen Schieblehre messen.
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