MW – Maxwellrad - JavaPsi

Inhaltsverzeichnis
MW – Maxwellrad
Blockpraktikum Frühjahr 2007
Moritz Stoll, Marcel Schmittfull
25. April 2007
1 Einführung 2
2 Theoretische Grundlagen 2
2.1 Trägheitsmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 Maxwellrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3 Versuchsdurchführung 3
4 Messergebnisse, Auswertung, Diskussion 3

2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN MW 2
1 Einführung
In diesem Versuch soll das Trägheitsmoment eines Maxwellrads experimentell
bestimmt werden.
2 Theoretische Grundlagen
2.1 Trägheitsmoment
Dreht sich ein starrer Körper um eine Achse ω = (0,0,ω) mit Winkelgeschwindigkeit
ω, dann gilt für die kinetische Energie T
T = 1
2
i
mi ˙ r 2 i = 1
2
i
mi (ω × ri) 2 = 1
2
ω2
i
2
mi xi + y 2 1
i =
2 Θω2 ,
da (0,0,ω) ×(x,y,z) = ω (−y,x,0). Also ist Θ := mi∆ 2 i , wenn ∆i
der Abstand von der Rotationsachse ist. Schreibt man die Summe als
Integral, so gilt
Θ =
∆ 2
dm =
̺∆ 2 dV.
Zum Beispiel gilt für eine Kreisscheibe mit homogener Dichte ̺0, Radius
R und Höhe h
ΘO = ̺0
V
∆ 2 dV = ̺0
2.2 Maxwellrad
h
0
0
2π
0
R
r 2 R
· r dr dϕdz = 2πh̺0
4
4
(1)
= 1
2 MR2 .
Ein Maxwellrad ist eine Art Jojo, das an zwei Achsen durch zwei
Fäden aufgehängt ist und beim Loslassen aus einer bestimmten Höhe
h bis zum Umkehrpunkt den Faden abrollt, um wieder nach oben zu
rollen und den Faden aufzuwickeln. Es wird also potentielle Energie
in Translations- und Rotationsenergie umgewandelt und umegekehrt.
Da sich die Translationsbewegung des Abrollvorgangs als eine Bewegung
mit konstanter Beschleunigung a < g beschreiben lässt, gilt
h = (1/2)aT 2 und v = aT = aT 2 /T = 2h/T, wenn T die Fallzeit bis
zum Umkehrpunkt und v die Geschwindigkeit im Umkehrpunkt ist.
Version: 25. April 2007 Moritz Stoll, Marcel Schmittfull

4 MESSERGEBNISSE, AUSWERTUNG, DISKUSSION MW 3
Wegen Energieerhaltung gilt zudem (ω = v/R)
mgh = 1
2 mv2 + 1
2 Θω2
⇒ Θ = 2
ω2
mgh − 1
2 mv2
= 2mR2
v2
gh − 1
2 v2
= mR 2
2gh
− 1 = mR
v2 2
2ghT 2
− 1
4h2 = mR 2
gT 2
− 1 . (2)
2h
Das Trägheitsmoment Θ lässt sich also durch Messung von T und h
bestimmen, wenn m und R bekannt sind. Da Θ = const. folgt
T 2 = h 2
1 +
g
Θ
mR2
, (3)
d.h. T 2 (h) ist eine Ursprungsgerade mit Steigung s = T 2 /h. Aus
dieser Steigung s lässt sich Θ bestimmen
Θ = mR 2 gs
− 1 . (4)
2
Alternativ kann Θ auch bestimmt werden, indem bei konstanter Höhe
h die Falldauer T sehr oft gemessen wird und alle Werte in (2) eingesetzt
werden.
3 Versuchsdurchführung
Ein Maxwellrad wird von verschiedenen Höhen h losgelassen und die
Zeit T bis zum Umkehrpunkt wird mit einer Stoppuhr gemessen. Die
Masse des Rads ist bekannt m = 440g. Den wirksamen Radius R
erhält man durch Aufwickeln des Fadens und Messen der gewickelten
Fadenlänge l und der Anzahl der Wicklungen n, denn
l = nU = n2πR ⇒ R = l
2πn .
Aus den Messwerten von h und T lässt sich das Trägheitsmoment Θ
wie oben beschrieben berechnen.
4 Messergebnisse, Auswertung, Diskussion
In Abb. 1 ist die Funktion T 2 (h) mit zugehörigen Fehlern geplottet
und linear gefittet. Wie erwartet (siehe Gleichung (3)) erhält man
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4 MESSERGEBNISSE, AUSWERTUNG, DISKUSSION MW 4
eine Ursprungsgerade. Aus der Steigung s = 0,494 ± 0,146 erhält
man nach (4)
Θ1 = (12,71 ± 0,38) kg cm 2 .
Abbildung 1: Funktion T 2 (h), T Falldauer, h Höhe.
Zusätzlich ermittelten wir die Falldauer T für eine konstante Fallhöhe
von h = 50cm 20 Mal. Einsetzen in Gleichung (2) ergibt
Θ2 = (12,82 ± 0,24) kg cm 2 .
Der Fehler wurde dabei durch Gaußsche Fehlerfortpflanzung
(∆Θ) 2
= ∆mR 2
gT 2 2
gT 2 2
− 1 + 2mR∆R − 1 + mR
2h 2h 2 ∆T gT
h
berechnet. Die Werte Θ1 und Θ2 für das Trägheitsmoment stimmen
im Rahmen der Messunsicherheit miteinander überein.
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2
+
mR 2 gT 2
∆h
2h2 2