MR – Mechanische Resonanz - JavaPsi

Inhaltsverzeichnis
MR – Mechanische Resonanz
Blockpraktikum Herbst 2007
Moritz Stoll, Marcel Schmittfull (Gruppe 2b)
24. Oktober 2007
1 Grundlagen 2
1.1 Freie, ungedämpfte Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Freie, gedämpfte Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Erzwungene, gedämpfte Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Auswertung 4
2.1 Messung 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Messung 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1 GRUNDLAGEN MR 2
1 Grundlagen
1.1 Freie, ungedämpfte Schwingung
Die DGL der freien, ungedämpften Schwingung
m¨x + kx = 0
lässt sich mit dem (für lineare DGLs üblichen) Ansatz x(t) = e λt lösen:
mλ 2 e λt + ke λt = 0
k
⇒ λ = ±i =: ±iω0
m
⇒ x(t) = A+e iω0t
+ A−e −iωt = x0 cos(ω0t − φ0).
ω0 := k/m ist dabei die Eigenfrequenz der Schwingung.
1.2 Freie, gedämpfte Schwingung
Fügt man der DGL einen Dämpfungsterm η ˙x hinzu,
so erhält man aus dem Ansatz x(t) = e λt
Setzt man als Güte
m¨x + η ˙x + kx = 0,
(mλ 2 + ηλ + k)e λt = 0
⇒ λ1,2 = −η ± η2 − 4mk
.
2m
Q :=
√ km
(hohe Güte bei wenig Reibung) und verwendet die Eigenfrequenz ω0 = k/m der
ungedämpften Schwingung, so folgt durch Umformungen
λ1,2 = − ω0
1
± ω0 − 1.
2Q 4Q2 Das Vorzeichen des Terms unter der Wurzel entscheidet über das Verhalten der Lösung.
Für
1
4Q2 − 1 > 0 ⇔ 4Q2 < 1 ⇔ Q < 1
2
ist die Lösung x(t) = e λt eine abfallende Exponentialfunktion (Kriechfall). Für
1
1
− 1 = 0 ⇔ Q =
4Q2 2
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η

1 GRUNDLAGEN MR 3
liegt der sog. aperiodische Grenzfall vor (genau zwischen Kriechfall und periodischer
Lösung). Bei
1
1
− 1 < 0 ⇔ Q >
4Q2 2
wird die Wurzel imaginär, d.h.
λ1,2 = − ω0
± iω0
2Q
und somit ist die Lösung eine gedämpfte Schwingung
Die Kreisfrequenz
1 − 1 ω0
=: − ± iω
4Q2 2Q
x(t) = x(0)e − ω 0
2Q t cos(ωt − φ0).
ω := ω0
1 − 1
4Q 2
der Schwingung ist dabei stets kleiner als die Frequenz im ungedämpften Fall und umso
größer, je höher die Güte bzw. je kleiner die Dämpfung ist. Im Grenzfall Dämpfung
η → 0 bzw. Güte Q → ∞ erreicht sie den Wert ω0 der Kreisfrequenz im ungedämpften
Fall. Bei der kritischen Güte Q = 1/2 ist die Kreisfequenz ω = 0, d.h. es liegt keine
Schwingung mehr vor (aperiodischer Grenzfall).
Logarithmisches Dekrement
Den exponentiellen Abfall der Amplitude im Schwingfall kann man durch den Logarithmus
linear darstellen. Solange man ω ≈ ω0 annehmen darf (d.h. hohe Güte Q) und
φ = 0 setzt, gilt für die Amplitude nach n Perioden T
A(nT ) = A(0)e − ω0 2Q nT 2πn
−
= A(0)e 2Q
⇒ ln
A(nT )
A(0)
1.3 Erzwungene, gedämpfte Schwingung
= − π
Q n.
Die Schwingung sei nun nicht mehr frei, sondern von einer periodischen externen Kraft
mit Frequenz ω erzwungen, d.h.
m¨x + η ˙x + kx = F0 cos ωt.
Die Lösung setzt sich aus der Lösung der homogenen Lösung (siehe oben) und einer
speziellen Lösung der inhomogenen Gleichung zusammen. Für die spezielle Lösung kann
man ansetzen, dass das System irgendwann mit der anregenden Frequenz ω schwingt,
d.h. x(t) = Ae iωt . Man erhält dann nach Einsetzen in die DGL als Lösung
x(t) = A(ω) cos (ωt − Φ(ω)) ,
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2 AUSWERTUNG MR 4
wobei die Amplitude
A(ω) = F0
k
1
1 − ω2
ω2 2 0
+ ω2
Q 2 ω 2 0
und die Phasenverschiebung zwischen Schwingung und Erregung
ω0ω
Φ(ω) = arctan
Q(ω2 0 − ω2
)
von der Erregerfrequenz ω abhängen. Wie man in Abb. 1 sehen kann gibt es eine
Abbildung 1: Amplitude und Phase in Abhängigkeit von der Erregerfrequenz ω für verschieden
starke Dämpfungen (Quelle: Anleitung).
Amplitudenresonanzfrequenz ωr. Für sie erhält man durch Ableiten von A(ω)
ωr = ω0 1 − 1
.
2Q2 Im ungedämpften Fall (Q → ∞) stimmt die Resonanzfrequenz ωr mit der Eigenfrequenz
ω0 des ungedämpften, nicht angetriebenen Systems überein, ansonsten ist die
Resonanzfrequenz kleiner als ω0. Die Phasenresonanz (Φ = π/2) wird mit oder ohne
Dämpfung bei ω = ω0 erreicht.
2 Auswertung
2.1 Messung 1
Da unsere Werte leider unbrauchbar sind, da der Wagen vermutlich am Untergrund
gerieben ist, verwendeten wir für die Auswertung die Werte unserer Gruppenmitglieder.
Das Diagramm für Ri = ln Ai
A0
ist in Abb. 2 gezeigt. In Abb. 3 ist das Diagramm
für die Kehrwerte der Güte in Abhängigkeit von der Anzahl m der für die Dämpfung
verwendeten Magnetpaare dargestellt. Aus der Extrapolation folgt, dass die kritische
Dämpfung mit 90 Magnetpaaren erreicht wird.
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2 AUSWERTUNG MR 5
Abbildung 2: Logarithmisches Dekrement der Amplitude in Abhängigkeit von der Anzahl der
durchlaufenen Perioden der Schwingung.
2.2 Messung 2
Mit zwei weiteren Methoden wurde nun bei dieser Messung nochmals die Güte bestimmt.
Die Resonanzamplitude A(ω0) wurde auf 17cm geschätzt, so dass
Q = A(ω0)
A0
= 19
und
Q = ω0
= 24, 5.
∆ω
Mit Messung 1 wurde eine Güte von 26 ermittelt. Der Unterschied lässt sich leicht durch
die schwer zu bestimmende Resonanzamplitude erklären.
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2 AUSWERTUNG MR 6
Abbildung 3: Kehrwert 1/Q der Güte als Funktion der Anzahl der Magnetpaare.
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2 AUSWERTUNG MR 7
(a)
(b)
Abbildung 4: a) Amplitude und b) Phasenverschiebung in Abhängigkeit von der Erregerfrequenz
ω.
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