MR – Mechanische Resonanz - JavaPsi

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1 GRUNDLAGEN <strong>MR</strong> 2 1 Grundlagen 1.1 Freie, ungedämpfte Schwingung Die DGL der freien, ungedämpften Schwingung m¨x + kx = 0 lässt sich mit dem (für lineare DGLs üblichen) Ansatz x(t) = e λt lösen: mλ 2 e λt + ke λt = 0 k ⇒ λ = ±i =: ±iω0 m ⇒ x(t) = A+e iω0t + A−e −iωt = x0 cos(ω0t − φ0). ω0 := k/m ist dabei die Eigenfrequenz der Schwingung. 1.2 Freie, gedämpfte Schwingung Fügt man der DGL einen Dämpfungsterm η ˙x hinzu, so erhält man aus dem Ansatz x(t) = e λt Setzt man als Güte m¨x + η ˙x + kx = 0, (mλ 2 + ηλ + k)e λt = 0 ⇒ λ1,2 = −η ± η2 − 4mk . 2m Q := √ km (hohe Güte bei wenig Reibung) und verwendet die Eigenfrequenz ω0 = k/m der ungedämpften Schwingung, so folgt durch Umformungen λ1,2 = − ω0 1 ± ω0 − 1. 2Q 4Q2 Das Vorzeichen des Terms unter der Wurzel entscheidet über das Verhalten der Lösung. Für 1 4Q2 − 1 > 0 ⇔ 4Q2 < 1 ⇔ Q < 1 2 ist die Lösung x(t) = e λt eine abfallende Exponentialfunktion (Kriechfall). Für 1 1 − 1 = 0 ⇔ Q = 4Q2 2 Version: 24. Oktober 2007 Moritz Stoll, Marcel Schmittfull η
1 GRUNDLAGEN <strong>MR</strong> 3 liegt der sog. aperiodische Grenzfall vor (genau zwischen Kriechfall und periodischer Lösung). Bei 1 1 − 1 < 0 ⇔ Q > 4Q2 2 wird die Wurzel imaginär, d.h. λ1,2 = − ω0 ± iω0 2Q und somit ist die Lösung eine gedämpfte Schwingung Die Kreisfrequenz 1 − 1 ω0 =: − ± iω 4Q2 2Q x(t) = x(0)e − ω 0 2Q t cos(ωt − φ0). ω := ω0 1 − 1 4Q 2 der Schwingung ist dabei stets kleiner als die Frequenz im ungedämpften Fall und umso größer, je höher die Güte bzw. je kleiner die Dämpfung ist. Im Grenzfall Dämpfung η → 0 bzw. Güte Q → ∞ erreicht sie den Wert ω0 der Kreisfrequenz im ungedämpften Fall. Bei der kritischen Güte Q = 1/2 ist die Kreisfequenz ω = 0, d.h. es liegt keine Schwingung mehr vor (aperiodischer Grenzfall). Logarithmisches Dekrement Den exponentiellen Abfall der Amplitude im Schwingfall kann man durch den Logarithmus linear darstellen. Solange man ω ≈ ω0 annehmen darf (d.h. hohe Güte Q) und φ = 0 setzt, gilt für die Amplitude nach n Perioden T A(nT ) = A(0)e − ω0 2Q nT 2πn − = A(0)e 2Q ⇒ ln A(nT ) A(0) 1.3 Erzwungene, gedämpfte Schwingung = − π Q n. Die Schwingung sei nun nicht mehr frei, sondern von einer periodischen externen Kraft mit Frequenz ω erzwungen, d.h. m¨x + η ˙x + kx = F0 cos ωt. Die Lösung setzt sich aus der Lösung der homogenen Lösung (siehe oben) und einer speziellen Lösung der inhomogenen Gleichung zusammen. Für die spezielle Lösung kann man ansetzen, dass das System irgendwann mit der anregenden Frequenz ω schwingt, d.h. x(t) = Ae iωt . Man erhält dann nach Einsetzen in die DGL als Lösung x(t) = A(ω) cos (ωt − Φ(ω)) , Version: 24. Oktober 2007 Moritz Stoll, Marcel Schmittfull
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