MW – Maxwellrad - JavaPsi

2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN MW 2
1 Einführung
In diesem Versuch soll das Trägheitsmoment eines Maxwellrads experimentell
bestimmt werden.
2 Theoretische Grundlagen
2.1 Trägheitsmoment
Dreht sich ein starrer Körper um eine Achse ω = (0,0,ω) mit Winkelgeschwindigkeit
ω, dann gilt für die kinetische Energie T
T = 1
2
i
mi ˙ r 2 i = 1
2
i
mi (ω × ri) 2 = 1
2
ω2
i
2
mi xi + y 2 1
i =
2 Θω2 ,
da (0,0,ω) ×(x,y,z) = ω (−y,x,0). Also ist Θ := mi∆ 2 i , wenn ∆i
der Abstand von der Rotationsachse ist. Schreibt man die Summe als
Integral, so gilt
Θ =
∆ 2
dm =
̺∆ 2 dV.
Zum Beispiel gilt für eine Kreisscheibe mit homogener Dichte ̺0, Radius
R und Höhe h
ΘO = ̺0
V
∆ 2 dV = ̺0
2.2 Maxwellrad
h
0
0
2π
0
R
r 2 R
· r dr dϕdz = 2πh̺0
4
4
(1)
= 1
2 MR2 .
Ein Maxwellrad ist eine Art Jojo, das an zwei Achsen durch zwei
Fäden aufgehängt ist und beim Loslassen aus einer bestimmten Höhe
h bis zum Umkehrpunkt den Faden abrollt, um wieder nach oben zu
rollen und den Faden aufzuwickeln. Es wird also potentielle Energie
in Translations- und Rotationsenergie umgewandelt und umegekehrt.
Da sich die Translationsbewegung des Abrollvorgangs als eine Bewegung
mit konstanter Beschleunigung a < g beschreiben lässt, gilt
h = (1/2)aT 2 und v = aT = aT 2 /T = 2h/T, wenn T die Fallzeit bis
zum Umkehrpunkt und v die Geschwindigkeit im Umkehrpunkt ist.
Version: 25. April 2007 Moritz Stoll, Marcel Schmittfull