MW – Maxwellrad - JavaPsi

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2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN MW 2 1 Einführung In diesem Versuch soll das Trägheitsmoment eines Maxwellrads experimentell bestimmt werden. 2 Theoretische Grundlagen 2.1 Trägheitsmoment Dreht sich ein starrer Körper um eine Achse ω = (0,0,ω) mit Winkelgeschwindigkeit ω, dann gilt für die kinetische Energie T T = 1 2 i mi ˙ r 2 i = 1 2 i mi (ω × ri) 2 = 1 2 ω2 i 2 mi xi + y 2 1 i = 2 Θω2 , da (0,0,ω) ×(x,y,z) = ω (−y,x,0). Also ist Θ := mi∆ 2 i , wenn ∆i der Abstand von der Rotationsachse ist. Schreibt man die Summe als Integral, so gilt Θ = ∆ 2 dm = ̺∆ 2 dV. Zum Beispiel gilt für eine Kreisscheibe mit homogener Dichte ̺0, Radius R und Höhe h ΘO = ̺0 V ∆ 2 dV = ̺0 2.2 Maxwellrad h 0 0 2π 0 R r 2 R · r dr dϕdz = 2πh̺0 4 4 (1) = 1 2 MR2 . Ein Maxwellrad ist eine Art Jojo, das an zwei Achsen durch zwei Fäden aufgehängt ist und beim Loslassen aus einer bestimmten Höhe h bis zum Umkehrpunkt den Faden abrollt, um wieder nach oben zu rollen und den Faden aufzuwickeln. Es wird also potentielle Energie in Translations- und Rotationsenergie umgewandelt und umegekehrt. Da sich die Translationsbewegung des Abrollvorgangs als eine Bewegung mit konstanter Beschleunigung a < g beschreiben lässt, gilt h = (1/2)aT 2 und v = aT = aT 2 /T = 2h/T, wenn T die Fallzeit bis zum Umkehrpunkt und v die Geschwindigkeit im Umkehrpunkt ist. Version: 25. April 2007 Moritz Stoll, Marcel Schmittfull
4 MESSERGEBNISSE, AUSWERTUNG, DISKUSSION MW 3 Wegen Energieerhaltung gilt zudem (ω = v/R) mgh = 1 2 mv2 + 1 2 Θω2 ⇒ Θ = 2 ω2 mgh − 1 2 mv2 = 2mR2 v2 gh − 1 2 v2 = mR 2 2gh − 1 = mR v2 2 2ghT 2 − 1 4h2 = mR 2 gT 2 − 1 . (2) 2h Das Trägheitsmoment Θ lässt sich also durch Messung von T und h bestimmen, wenn m und R bekannt sind. Da Θ = const. folgt T 2 = h 2 1 + g Θ mR2 , (3) d.h. T 2 (h) ist eine Ursprungsgerade mit Steigung s = T 2 /h. Aus dieser Steigung s lässt sich Θ bestimmen Θ = mR 2 gs − 1 . (4) 2 Alternativ kann Θ auch bestimmt werden, indem bei konstanter Höhe h die Falldauer T sehr oft gemessen wird und alle Werte in (2) eingesetzt werden. 3 Versuchsdurchführung Ein Maxwellrad wird von verschiedenen Höhen h losgelassen und die Zeit T bis zum Umkehrpunkt wird mit einer Stoppuhr gemessen. Die Masse des Rads ist bekannt m = 440g. Den wirksamen Radius R erhält man durch Aufwickeln des Fadens und Messen der gewickelten Fadenlänge l und der Anzahl der Wicklungen n, denn l = nU = n2πR ⇒ R = l 2πn . Aus den Messwerten von h und T lässt sich das Trägheitsmoment Θ wie oben beschrieben berechnen. 4 Messergebnisse, Auswertung, Diskussion In Abb. 1 ist die Funktion T 2 (h) mit zugehörigen Fehlern geplottet und linear gefittet. Wie erwartet (siehe Gleichung (3)) erhält man Version: 25. April 2007 Moritz Stoll, Marcel Schmittfull
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