mathemasordinate - Fachgruppe Computeralgebra

Abb. 1: Das rechte Bild zeigt in grün die Kurve V (x 2 − y 5 ) ⊂ C 2 (d.h. das Nullstellengebilde des Polynoms
x 2 − y 5 ), dessen einziger singulärer Punkt die Spitze im Koordinatenursprung ist. Um die Singularität dieser
Kurve aufzulösen, ist das Zentrum der ersten Aufblasung offensichtlich der einzige singuläre Punkt, der beim
Aufblasen durch eine projektive Gerade (rot in den Bildern der mittleren Spalte) ersetzt wird, wobei gerade die
verschiedenen Richtungen durch den Punkt getrennt werden. Im oberen dieser beiden Bilder erkennt man, dass die
Spitze zwar verbessert wurde, aber noch immer singulär ist; das untere der Bilder zeigt die andere, uninteressante
Karte. Erneutes Aufblasen im einzigen singulären Punkt liefert nun (zusätzlich zu dem unveränderten unteren Bild
der mittleren Spalte) die Bilder der linken Spalte, wobei die neue projektive Gerade in violett eingezeichnet ist. Die
grüne Kurve besitzt keine Singularitäten mehr, der Schnittpunkt der beiden exzeptionellen Divisoren (rot, violett)
liegt aufgrund der Richtungstrennung beim Einführen der violetten Gerade nicht auf der Kurve.
Abb. 2: Im linken Bild ist die aus zwei Komponenten bestehende Fläche V (z 2 −x 2 y 2 ) abgebildet, deren singulärer
Ort gerade die beiden rot eingezeichneten Linien sind, in denen sich die Komponenten schneiden. Die Fläche
V (zx 2 − zy 3 ) im rechten Bild besteht ebenfalls aus 2 Komponenten. Jedoch trägt nicht nur deren Schnittort zum
singulären Ort bei, sondern auch der singuläre Ort der Komponente V (x 2 − y 3 ), der selbst wieder eine Gerade
ist und den Schnittort der beiden Komponenten in einem Punkt trifft.
Die Grundidee dabei ist folgende: Wie schon aus den
recht einfachen Beispielen in Abbildung 2 klar wird,
reicht es in der Praxis nicht aus, den singulären Ort
der gegebenen Varietät zu betrachten, auch dessen singulärer
Ort kann selbst wieder von komplizierter Struktur
sein, so dass sich ein iterierter Abstieg in der Dimension
des umgebenden Raumes anbietet. Dadurch erhält
die Invariante eine Struktur (invd; invd−1; . . . ), wobei
invi gerade einen Baustein der Invariante bzgl. des umgebenden
Raumes der Dimension i beschreibt. Leider
lässt sich im Allgemeinen jedoch keine glatte Hyperfläche
im umgebenden Raum (der Dimension i) finden,
die den gesamten Maximalort von (invd; . . . ; invi)
enthält; eine solche existiert nur lokal. Darüber hinaus
enthielte die Einschränkung des Ideals des Maximalortes
nicht alle notwendigen Informationen, weshalb für
2 Die Hyperfläche, die hier als neuer umgebender Raum nach Dimensionsabstieg zu finden ist, muss noch weitere gute Eigenschaften
bzgl. Schnittverhalten und Verhalten unter Aufblasungen erfüllen. Sie wird im allgemeinen als Hyperfläche maximalen Kontaktes bezeichnet.
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