überlegungen zu einem fairen risikomanagement-mix in ...

ÜBERLEGUNGEN ZU EINEM FAIREN
RISIKOMANAGEMENT-MIX
IN VERSICHERUNGSUNTERNEHMEN
Von
D r. H a t o S c h m e i s e r, Berlin*
AUGUST 2003, ÜBERARBEITETE VERSION
JEL-KLASSIFICATION: G13, G23, G28
SCHLAGWORTE: RISIKOMANAGEMENT, PRÄMIENKALKULATION, KAPITALSTRUKTUR
KEYNOTES: RISK MANAGEMENT, INSURANCE PRICING, CAPITAL STRUCTURE
_____________________________________________________________
* Institut für Bank-, Börsen- und Versicherungswesen
Dr. Wolfgang Schieren-Lehrstuhl für Versicherungs- und Risikomanagement
Humboldt-Universität zu Berlin

1. Einführung
Die Literatur zum Risikomanagement in Versicherungsunternehmen betrachtet
vorrangig die Steuerung und Kontrolle der Risikopositionen im Unternehmen
sowie die Wirkungsweise verschiedenartiger Risikomanagement-Instrumente
1 . Bisher ungelöst erscheint allerdings die Frage, wie bei einer Versicherungs-Aktiengesellschaft
ein fairer Risikomanagement-Mix, der zu keinem
Vermögenstransfer zwischen Eigen- und Fremdkapitalgebern (Versicherungsnehmern)
führt, ausgestaltet sein muss.
Zur Klärung dieser Frage wird im Folgenden ein finanzwirtschaftlicher Modellansatz
herangezogen, mit dessen Hilfe sich zunächst faire Versicherungsprämien
in Abhängigkeit der Erfüllungssicherheit des Kontraktes ermitteln lassen.
2 Dabei zeigt sich interessanterweise, dass es bei der Aufnahme eines neuen
Vertrags (für den eine faire Prämie gezahlt wurde) in ein bestehendes Portfolio
(das ebenfalls fair kalkuliert ist) in aller Regel zu einem finanzwirtschaftlichen
Ungleichgewicht kommt. D.h., trotz einer fairen Risikomanagement-Aufteilung
von Eigen- und Fremdkapital im Alt-Portfolio kommt es nach der Hinzunahme
eines neuen fair kalkulierten Versicherungsvertrags typischerweise zu einem
Vermögenstransfer zwischen Eigenkapitalgebern und Versicherungsnehmern.
Diese neu entstandene, faktisch „nicht-faire“ Konstellation drückt sich in einem
positiven oder negativen Kapitalwert für die Eigentümer des Versicherungsunternehmens
aus. Dieser Kapitalwert stellt zugleich den fairen Preis einer zusätzlichen
Risiko-Management-Maßnahme zur (Wieder-)Herstellung eines fairen
Risikomanagement-Mix dar und ist in einem arbitragefreien Markt ohne Transaktionskosten
unabhängig von den zu verwendenden Risikomanagement-Instrumenten.
Der faire Preis einer zu ergreifenden Risikomanagement-Maßnahme
besitzt u.E. eine ebenso hohe Bedeutung wie die in der Literatur fokussierte Be-
1 Vgl. hierzu grundlegend Vaughan, E. / Vaughan, Th. (2002), S. 34-56, Vaughan, E. /
Vaughan, Th. (2002 a), Harrington, S. / Niehaus, G. (1999) sowie Doherty, N. (2000).
2 Wir beziehen uns hierbei auf eine Arbeit von Doherty, N. / Garven, J. (1986). Unter „fair“
wird im Folgenden eine Konstellation verstanden, die keinen Vermögenstransfer − gemessen
anhand des Kapitalwerts − zwischen den Eigentümern des Versicherungsunternehmens
und den Versicherungsnehmern beinhaltet.
2

stimmung des Umfangs einer spezifischen Risikomanagement-Maßnahme (z.B.
die Berechnung der notwendigen Anpassung des Eigenkapitals) 3 . Der faire Preis
der zusätzlichen Risikomanagement-Maßnahme wird dabei – im Gegensatz zur
fairen Prämie des neu hinzukommenden Versicherungsvertrags – erheblich von
den Korrelationsbeziehungen zwischen dem Alt-Portfolio des Versicherungsunternehmens
und dem neuem Versicherungskontrakt beeinflusst.
2. Faire Versicherungsprämien und Eigenkapitalausstattung
des Versicherungsunternehmens
Die Basis zur Ermittlung von fairen Versicherungsprämien in Abhängigkeit
des Sicherheitsniveaus des Versicherers bildet im Folgenden ein einperiodiger
Optionspreisansatz. 4 Nimmt man an, dass Prämienzahlungen im Zeitpunkt t = 0
und Schäden in t = 1 zahlungswirksam werden, ergibt sich die faire Prämie πˆ
eines nicht durch eine mögliche Insolvenz des Versicherers bedrohten Versiche-
~
rungsportfolios als Barwert (Bw) des Schadens ( S)
: 5/6
~ ( S)
π ˆ = Bw
(1)
Bezeichnet π die faire Prämie eines ausfallbedrohten Versicherungsportfolios
und d die sogenannte „default-value-to-liability“ ratio, lässt sich die folgende
Beziehung herstellen:
( 1 d)
π = πˆ
⋅ −
(2)
3 Vgl. hierzu aktuell Myers, S. / Read, J. (2001).
4
Vgl. Doherty, N. / Garven, J. (1986) sowie Butsic, R. (1994), Myers, S. / Read, J. (2001) und
Gründl, H. / Schmeiser, H. (2002, 2003).
5
Stochastische Größen sind mit einer Tilde „~“ gekennzeichnet.
6
Durch die im Rahmen der optionspreistheoretischen Bestimmung von Versicherungsprämien
getroffenen Annahmen „Arbitragefreiheit der Finanztitelmärkte“, “Information“,
“Spanning“ und “Competitivity“ ist die Existenz eines linearen Bewertungsfunktionals
Bw(⋅) gesichert, das künftige Zahlungsströme im Zeitpunkt t = 0 bewertet. Vgl. hierzu
grundlegend Ross, S. (1978), S. 456 ff.
3

Die default-value-to-liability ratio d des Portfolios des Versicherers ist dabei
definiert als Barwert der „default put option“ 7 ( D ) ~
Bw geteilt durch πˆ , formal
( ) ( ( − ( + π)
⋅Q
, 0 ) ~
S U
~
D Bw max
~
Bw
d = =
, (3)
πˆ
πˆ
wobei U für das vorhandene Eigenkapital und Q ~ für den einperiodigen Aufzinsungsfaktor
(1 + Kapitalanlagerendite) steht. 8 Wie aus Gleichung (3) ersichtlich
wird, ergibt sich der Barwert der default put option ( D ) ~
Bw auf Basis der bewerteten
Zahlungen, auf die die Versicherungsnehmer im Fall einer Insolvenz des
Versicherers verzichten müssen. 9 Die Verwendung des relativen Risikomaßes d
anstelle des absoluten Wertes ( D ) ~
Bw bietet vor allem den Vorteil, Sicherheitsniveaus
unterschiedlich großer Versicherungsunternehmen miteinander verglei-
chen zu können.
Bei gegebener Schadenverteilung und gemäß Formel (2) ermittelter Prämie
kann das zur Einhaltung der Sicherheitsniveau-Vorgabe notwendige Eigenkapital
U aus der Bedingung (3) oder alternativ auf Basis einer Berechnung des
Kapitalwerts aus der Eigentümerperspektive ( C E ), formal
C E
( ( ) S , 0 ) U 0
~
Q ~
max U + π ⋅ − − =
= Bw
(4)
ermittelt werden. 10
Die bisherigen Überlegungen verdeutlichen, dass im Rahmen des betrachteten
finanzwirtschaftlichen Modellansatzes die faire Prämie π eines Versiche-
7
Synonym: Wert der „insolvency put option“; vgl. etwa Butsic, R. (1994) und Barth, M.
(2000).
8
Vgl. beispielsweise Myers, S. / Read, J. (2001), S. 557.
9
Die Barwert der default put option lässt sich demzufolge auch als (fairer) Preis einer
vollständigen Absicherung der Versicherungsnehmeransprüche interpretieren; vgl. Merton,
R. / Perold, A. (1993), S. 17 ff.
10
Eine geschlossene Lösung für Formel (4) (bzw. Formel (3)) ist nur unter bestimmten Verteilungsannahmen
möglich (z.B. Q ~ und S ~ sind gemeinsam normalverteilt oder gemeinsam
logarithmisch-normalverteilt).
4

ungskontraktes bzw. Versicherungsportfolios ausschließlich vom Barwert des
Schadens und dem Sicherheitsniveau des Unternehmens (spezifiziert durch die
default-value-to-liability ratio d) beeinflusst wird. π stellt für die Eigentümer
des Versicherungsunternehmens die Preisuntergrenze bzw. für „finanzwirtschaftlich
denkende“ Versicherungsnehmer die Preisobergrenze dar. Die in versicherungsmathematischen
(aktuariellen) Prämienkalkulationsverfahren häufig
vorzufindende Substitutivität von Prämien und Eigenkapital bei fixiertem Sicherheitsniveau
des Versicherers 11 liegt im Rahmen des hier betrachteten
finanzwirtschaftlichen Modellansatzes nicht vor. Gemäß Formel (2) steigt die
Prämie π c.p. bei einer Zunahme des Sicherheitsniveaus (d.h. d nimmt ab), wo-
bei die maximale Zahlungsbereitschaft mit πˆ gegeben ist. 12 Die Verbesserung
des Sicherheitsniveaus lässt sich durch eine Erhöhung des Eigenkapitals U
erzielen (vgl. Formel (3) und (4)). Demzufolge liegt also Komplementarität
zwischen π und U vor.
Gemäß Formel (3) fixiert eine bestimmte Eigenkapitalausstattung U c.p. das
Sicherheitsniveau d. Damit liegt auch die faire Prämie π , die für die Eigentümer
des Versicherungsunternehmens die Preisuntergrenze bzw. für „finanzwirtschaftlich
denkende“ Versicherungsnehmer die Preisobergrenze darstellt, fest
(vgl. Formel (2)). Die Prämie π nimmt c.p. bei einer Zunahme der Eigenkapitalausstattung
U ebenfalls zu, wobei die maximale Zahlungsbereitschaft mit πˆ
gegeben ist. 13
Betrachten wir nun einen neuen Versicherungsvertrag mit einer Schadenver-
~ n
teilung S und untersuchen, in welchem Verhältnis die Prämienkalkulation des
neuen Vertrages zum existierenden Portfolio des Versicherers steht. Bezeichnet
n
dabei ˆπ den fairen Preis eines nicht-ausfallbedrohten Kontrakts und n
d die
default-value-to-liability ratio des Vertrags, lässt sich der faire Preis für einen
n
ausfallbedrohten Kontrakt ˆπ analog zu Beziehung (2) formulieren:
11
Vgl. z.B. Bühlmann, H. (1985), S. 91 ff.
12
Vgl. hierzu Gründl, H. / Schmeiser, H. (2002), S. 460 ff.
13
Vgl. hierzu Gründl, H. / Schmeiser, H. (2002), S. 460 ff.
5

n ( 1 d )
n n
π = πˆ
⋅ −
(5)
n
Da grundsätzlich 1 ≥ d ≥ 0 gilt, kann für den neuen Versicherungsvertrag
prinzipiell jede beliebige Erfüllungssicherheit angeboten werden. Ein Abweichen
des Sicherheitsniveaus des neuen Vertrags vom Sicherheitsniveau des be-
stehenden Portfolios des Versicherers (also: d d
n ≠ ) setzt allerdings grundsätz-
lich voraus, dass für diesen neuen Versicherungskontrakt spezifische Risikomanagement-Maßnahmen
ergriffen werden können, die das Sicherheitsniveau d
des Alt-Portfolios nicht beeinflussen. Alternativ müsste es bei einer Veränderung
des Sicherheitsniveau d durch Abschluss eines neuen Vertrags zu (in der
Praxis unüblichen) Ausgleichszahlungen zwischen den Eignern des Versicherungsunternehmens
und den Versicherungsnehmern des Alt-Portfolios kommen.
14 Will das Versicherungsunternehmen nach Zeichnung des neuen
Versicherungsvertrags das bisherige Sicherheitsniveau beibehalten, gilt nun wegen
15
n n
πˆ
− π πˆ
− π
= = = d
(6)
πˆ
πˆ
n
d n
die Beziehung
ˆ
ˆ π
π
π
n n
⋅ π =
(7)
Bedingt durch die Linearität des Bewertungsfunktionals ( ⋅ )
Bw wird der
Preis des Versicherungsvertrages
modellen – nicht durch Interdependenzen zu den Risiken im Alt-Portfolio des
Versicherers beeinflusst.
n
π – wie in allen arbitragefreien Bewertungs-
14 Gemäß Formel (2) muss es bei einer Verschlechterung des Sicherheitsniveaus des Alt-
Portfolios (d nimmt zu) zu Zahlungen des Versicherers an die Versicherungsnehmer des
Altbestands kommen (et vice versa).
15 Vgl. Gründl, H. / Schmeiser, H. (2002), S. 455 ff. und Myers, S. / Read, J. (2001), S. 557 ff.
6

Wird ein neuer Versicherungsvertrag zu einem Preis, der geringer ist als die
gemäß Formel (5) ermittelte faire Prämie, in das bestehende Portfolio aufgenommen,
kommt es grundsätzlich sowohl für die Eigentümer des Unternehmens
als auch für die Versicherungsnehmer des Altbestands zu einem Vermögensverlust.
Betrachtet man beispielsweise den (hypothetischen) Fall, in dem der
~ n
neue Versicherungsvertrag mit der Schadenverteilung S vom Versicherer gezeichnet
wird, ohne dass eine Prämienzahlung erfolgt, tritt für die Aktionäre und
für die Versicherungsnehmer des Alt-Portfolios ein Vermögensverlust in Höhe
der eigentlich gemäß Formel (5) vom neuen Versicherungsnehmer zu zahlenden
Prämie
rungsnehmern des Alt-Portfolios einerseits und der Aktionäre andererseits wird
bei gegebenen Verteilungsannahmen für die stochastischen Größen erheblich
von deren Korrelationsbeziehungen zueinander beeinflusst.
n
π ein. Die Aufteilung des Vermögensverlusts zwischen den Versiche-
Beispielrechnung 1:
Im Folgenden sollen die bisherigen Überlegungen anhand eines einfachen
Zahlenbeispiels unter Risikoneutralität verdeutlicht werden. Das Sicherheitsniveau
des Versicherers – gemessen anhand der default-value-to-lia-
n
bility ratio – beträgt dabei 0,05 % (es gilt: d = d ). Die Kapitalanlage erfolgt
zu einem sicheren Zinssatz von 3 % (d.h. Q = 1,03). Die Schäden
~
~
des Alt-Portfolios seien normalverteilt mit E ( S)
= 1.000.000 € und std ( S)
= 150.000 €.
Für die faire Prämie π des bestehenden Portfolios gilt (vgl. hierzu Formel
(1) und (2)):
( ) ( S ) π = π⋅
− = ⋅(
1−
d)≈
Q
~
E
ˆ 1 d
970.388,35 € (B. 1)
Bezeichnet A ( = ( U + π)
⋅Q
) den Wert der Kapitalanlage zum Zeitpunkt
1, lässt sich aufgrund der Normalverteilungsannahme für S ~ Formel (4)
mit
7

( S )
~ ( S)
~
E
A −
z = (B. 2)
std
in
C E
E
=
=
~ ( max(
A − S,
0 )
Q
~
~
( A − E(
S ) ⋅ N()
z + std(
S)
⋅ N'()
z
Q
− U =
überführen, wobei N ( ⋅ ) bzw. '(
⋅ )
− U = 0
(B. 3)
N die Verteilungsfunktion bzw. die
Dichte einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen kennzeichnet. 16
Demnach kann nun diejenige Eigenausstattung U bestimmt werden, die
exakt mit einem vorgegebenen Sicherheitsniveau d einhergeht. Im Beispielfall
ergibt sich für die Höhe des Eigenkapitals U ein Wert von rund
340.086,51 €.
Betrachten wir nun einen neuen Versicherungsvertrag mit gleichfalls
~ n
~ n
normalverteilten Schäden und E ( S ) = 1.000 € sowie std ( S ) = 300 €.
Für die dazugehörige faire Prämie πˆ gilt nun mit Formel (5) und (7):
π
n
n π n
( 1−
d ) = ⋅ πˆ
≈
= πˆ
⋅
970,39 € (B. 4)
πˆ
Sobald das Versicherungsunternehmen den neuen Vertrag für einen Preis
unterhalb der fairen Prämie in das bestehende Portfolio aufnimmt, kommt
es zu einer (im finanzwirtschaftlichen Sinne) Schädigung der Eigentümer
des Versicherungsunternehmens und der Versicherungsnehmer des Altbestands.
Dies kann beispielhaft an einem Extremfall verdeutlicht werden,
bei dem ein fairer Risikomanagement-Mix für das Alt-Portfolio vor-
16
Vgl. hierzu Winkler, R. / Roodman, G. / Britney, R. (1972), S. 292 sowie Albrecht, P. (1994),
S. 592 und Gründl, H. / Schmeiser, H. (2003), S. 8.
8

liegt und ein weiterer Versicherungsvertrag mit einer Schadenverteilung
~ n
S hinzugenommen wird, ohne dass es zu einer weiteren Prämienzahlung
kommt. 17
~ ~ n
~ ~ n
Bei einer Korrelation von ρ ( S,
S ) = 0 (bzw. ( S,
S )
ρ = 1) ergibt sich aus
der Perspektive der Eigentümer des Versicherers ein Kapitalwert in Höhe
von rund -961,21 € (bzw. rund -953,40 €). Im Fall unkorrelierter Schäden
(bzw. vollständig positiv korrelierter Schäden) hat sich das Sicherheitsniveau
des Versicherungsunternehmens (gemessen anhand der defaultvalue-to-liability
ratio) auf rund 0,05094 % (bzw. rund 0,05175 %) verschlechtert.
Für den Vermögensverlust der Versicherungsnehmer des Alt-
Portfolios erhält man im Beispielfall einen Wert von rund -9,16 € (für
~ ~ n
~ ~ n
ρ ( S,
S ) = 0) bzw. von rund -16,97 € ( ρ ( S,
S ) = 1). Eine Addition der
Vermögensverluste von Aktionären und Versicherungsnehmern des Alt-
bestands ergibt die Prämie n
π , die eigentlich von dem neu hinzukom-
menden Versicherungsnehmer hätte aufgebracht werden müssen:
n
~ ~ n
π ≈ 970,
38 € ≈ 961,
21 € + 9,
16 € für ρ ( S,
S ) = 0 (B. 5)
bzw.
n
~ ~ n
π ≈ 970,
37 € = 953,
40 € + 16,
97 € für ρ ( S,
S ) = 1 (B. 6)
3. Fairer Risikomanagement-Mix: zum Verhältnis
von Risikomanagement-Kosten und Versicherungsprämien
Im Folgenden soll eine Situation betrachtet werden, in der eine gemäß Gleichung
(2) ermittelte faire Prämie π für ein Versicherungs-Portfolio vereinnahmt
wurde und die Gleichgewichtsbedingung „Kapitalwert = 0“ aus Formel (4) gilt.
D.h., wir gehen von einem fairen Risikomanagement-Mix für das Alt-Portfolio
aus. Des Weiteren sei angenommen, das Versicherungsunternehmen nehme bei
fixiertem Sicherheitsniveau (d.h.:
n
d = d ) zum bestehenden Versicherungs-
17 Zu Details der folgenden Beispielrechnung sei auf den Anhang verwiesen.
9

Portfolio einen neuen Versicherungsvertrag zu dem sich gemäß Gleichung (5)
n
n
ergebenden Preis π auf. Die geleistete Prämienzahlung π stellt eine spezifische
Risikomanagement-Maßnahme (Einlage von Fremdkapital) dar. Im Allgemeinen
ergibt sich ohne weitere Risikomanagement-Maßnahmen des Versiche-
n
rers nicht das gewünschte Sicherheitsniveau d = d , d.h. es kommt typischerweise
zu einer „nicht-fairen“ Konstellation (Vermögenstransfer zwischen den
Eigenkapital- und Fremdkapitalgebern (Versicherungsnehmern)). Dieses finanz-
n
wirtschaftliche Ungleichgewicht drückt sich in einem positiven Kapitalwert C E
für die Eigentümer (Vermögensverlust für die Versicherungsnehmer) oder auch
negativen Kapitalwert aus. Dieser Kapitalwert stellt zugleich den fairen Preis
einer zusätzlichen Risikomanagement-Maßnahme W ( RM)
dar, der eine Gleichgewichtssituation
zwischen Eigen- und Fremdkapitalgebern herstellt:
W
~ ~
( ) ( ( ) Q S S , 0 ) U
~
n
n
n
RM : C = Bw max U + π + π ⋅ − − −
= (8)
E
Unter einer zusätzlichen Risikomanagement-Maßnahme wird in diesem Zusammenhang
eine über die Einbettung des Vertrags in das bestehende Portfolio
hinausgehende Risikomanagement-Maßnahme des Unternehmens verstanden. 18
In einem arbitragefreien Markt ohne Transaktionskosten steht mit W ( RM)
der
faire Preis für eine zusätzliche Risikomanagement-Maßnahme (z.B. Rückversi-
cherung, Veränderung der Eigenkapitalausstattung etc.) fest, der exakt zu einem
Sicherheitsniveau
n
d = d führt. Der Preis für die Risikomanagement-Maßnahme
W ( RM)
wird dabei – im Gegensatz zur fairen Prämie des neuen Versicherungsvertrags
– insbesondere von den individuellen Gegebenheiten des Versicherers
und dabei speziell von den Korrelationsbeziehungen zwischen Alt-Portfolio und
neuem Versicherungsvertrag determiniert. 19
Betrachtet man die spezifische Risikomanagement-Maßnahme „Veränderung
der Eigenkapitalausstattung des Versicherers“, kann sehr plastisch der Unter-
18 In Anlehnung an Albrecht, P. (1992) kann die Einbettung des neuen Vertrags in das existente
Portfolio des Versicherers als Risikotransformation 1. Ordnung und die Ergreifung
einer zusätzlichen Risikomanagement-Maßnahme als Risikotransformation 2. Ordnung bezeichnet
werden.
19 Vgl. auch Gründl, H. / Schmeiser, H. (2002), S. 457-458.
10

schied zwischen dem Wert einer Risikomanagement-Maßnahme W ( RM)
und
der Höhe der Veränderung der Eigenkapitalausstattung ∆ U herausgearbeitet
werden. Die Anpassung der Eigenkapitalausstattung ∆ U , die exakt eine risikoadäquate
Verzinsung der Kapitaleinlage der Aktionäre herstellt, kann (implizit)
aus der Bedingung
C
n
E
~ ~
( ( ) Q S S , 0 ) U U 0
~ n
n
max U + ∆U
+ π + π ⋅ − − − − ∆ =
= Bw
(9)
ermittelt werden. Dasa risikoadäquate Entgelt für die zusätzliche Eigenkapitaleinlage
∆ U setzt sich aus zwei Komponenten zusammen: W ( RM)
sowie dem
anteiligen Anspruch der neuen Eigenkapitalgeber an einem gegebenenfalls entstandenen
Gewinn im Versicherungsunternehmen. Da grundsätzlich eine Erhöhung
des Eigenkapitals c.p. mit einer Abnahme des Kapitalwertes für die Ei-
gentümer einhergeht, kann gefolgert werden, dass W ( RM)
> 0 eine Erhöhung
der Eigenkapitalausstattung ∆ U > 0 bedingt (et vice versa), um ein finanzwirtschaftliches
Gleichgewicht („Kapitalwert = 0“-Situation für Eigen- und Fremd-
kapitalgeber) herzustellen. Keinesfalls lässt sich jedoch beispielsweise aufgrund
eines kleinen Werts für W ( RM)
folgern, die Höhe der Eigenkapitalanpassung
∆ U müsse gleichfalls gering ausfallen.
Beispielrechnung 2:
Ausgangspunkt der folgenden Überlegungen bildet die in der Beispielrechnung
1 errechnete Gleichgewichtssituation für das Alt-Portfolio des
Versicherers. Für die faire Versicherungsprämie gilt: π ≈ 970.388,35 €
(vgl. Formel (B.1)); die für die Erreichung des Sicherheitsniveaus d =
0,05 % notwendige Eigenkapitalausstattung U beträgt rund 340.086,51 €
(vgl. Formel (B. 3)).
Betrachtet sei nun wieder die Situation, in der ein neuer Versicherungs-
n
vertrag mit einer fairen Prämie π ≈ 970,39 € (vgl. Formel (B. 4)) zum
bestehenden Portfolio des Versicherers hinzukommt. Bezeichnet
*
A
n
( = ( U + π + π ) ⋅Q
) den Wert der Kapitalanlage (ohne Veränderung der
Eigenkapitalausstattung) zum Zeitpunkt 1, lässt sich nun der Wert der zu-
11

sätzlich zu ergreifenden Risikomanagement-Maßnahme W(RM) analog
zu Formel (8) und (B. 3) aus
W
mit
( ) ( ( ) ( ) ( S ) N'(
y)
U
~
* ~ ~ n
~ n
A − E S + S ⋅ N y + std S + ⋅
RM
−
= (B. 7)
Q
n ( S )
~ ~ n ( S S )
~ ~
E S +
+
*
A −
y = (B. 8)
std
ableiten. N ( ⋅ ) bzw. '(
⋅ )
N bezeichnet dabei wieder die Verteilungsfunktion
bzw. die Dichte einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen.
Die Höhe der speziellen Risikomanagement-Maßnahme „Veränderung
der Eigenkapitalausstattung“ ( ∆ U ), die für die Beibehaltung des Sicher-
n
heitsniveaus d = 0,05 % (= d ) notwendig ist, kann unter den getroffenen
Annahmen aus der Bedingung
C
n
E
mit
y
*
=
*
~ ~ n *
( A + ∆U
⋅Q
− E(
S + S ) ⋅ N(
y )
std
~ ~ n *
( S + S ) ⋅ N'(
y ) − U − ∆U
= 0
Q
Q
~ ~ n
⋅Q
− E(
S + S )
~ ~ n ( S + S )
+
(B. 9)
*
A + ∆U
= (B. 10)
std
implizit hergeleitet werden.
Die nachfolgende Tabelle zeigt die Gegebenheiten für unterschiedliche
~ n
Korrelationen ( S , S ) ~
ρ zwischen der Schadenverteilung des Alt-Portfolios
und der Schadenverteilung des neu hinzukommenden Vertrags.
12

TABELLE
n
Faire Versicherungsprämien π (Alt-Portfolio) und π (neuer Versicherungsvertrag),
Wert der zusätzlichen RM-Maßnahme ( W ( RM)
), Eigenkapitalveränderung ( ∆ U ) und
notwendige Eigenkapitalausstattung ( U + ∆U
) bei gegebenen Sicherheitsniveau d = d n
n
S ~
S ,
~
ρ . 20
= 0,05 % in Abhängigkeit unterschiedlicher Korrelationen ( )
n ( S ) ~
S ,
~
~ ~ n
~ ~ n
~ ~ n
ρ = 0,00 ρ ( S,
S ) = 0,06 ρ ( S,
S ) = 0,50 ( S,
S )
ρ = 1,00
π 970.388,35 € 970.388,35 € 970.388,35 € 970.388,35 €
n
π 970,39 € 970,39 € 970,39 € 970,39 €
W ( RM)
-0,47 € 0,00 € 3,37 € 7,22 €
∆ U
-47,99 € 0,00 € 340,67 € 728,97 €
U + ∆U
340.038,52 € 340.086,51 € 340.427,18 € 340.815,45 €
Wie bereits angesprochen werden aufgrund der Linearität des Bewertungsfunktionals
( Bw ( ⋅ ) ) werden die Preise nicht durch Korrelationen
zwischen der Schadenverteilung des Alt-Portfolios und der Schadenverteilung
des neu hinzukommenden Vertrags beeinflusst.
Im Falle unkorrelierter Risiken besteht im Beispielfall die Notwendigkeit
eines (geringfügigen) Abbaus der bestehenden Risikomanagement-Maßnahmen
im Wert von 47 Cent. Betrachtet man wieder die spezielle Risikomanagement-Maßnahme
„Eigenkapitalunterlegung“, ist eine Reduktion
des Eigenkapitals um 47,99 € auf 340.038,52 € notwendig. Für
~ n ( S , S ) ~
ρ = 0,06 ergibt sich gerade eine Situation, die keine weitere
Veränderung des Risikomanagement-Mix notwendig macht, um zu einer
im finanzwirtschaftlichen Sinne fairen Konstellation zu kommen.
~ n
Falls ( S , S ) ~
ρ im Beispielfall größer als 0,06 ist, wird ein zusätzlicher
Aufbau einer Risikomanagement-Maßnahme notwendig. Der höchste Ri-
20 Die Werte in der Tabelle sind auf zwei Nachkommastellen gerundet.
13

~ n
sikomanagement-Preis ist mit 7,22 € für ( S , S ) ~
ρ = 1 gegeben. Der Wert
W ( RM)
= 7,22 € stellt dabei beispielsweise den fairen Preis für Rückversicherung
dar, der zur Aufrechterhaltung des Sicherheitsniveaus nach
Zeichnung des neuen Vertrags bezahlt werden muss. Die Abnahme von
( RM)
W bei einer Verbesserung der Diversifikationsmöglichkeiten (d.h.
~ n ( S , S ) ~
ρ nimmt ab) erklärt sich aus der beschränkten Haftung der Eigenkapitalgeber.
Hierbei kommt es zum sog. „Co-Insurance-Effekt“, der
in diesem Fall eine Reduktion des Chancenpotenzials für die Eigentümer
beinhaltet. 21
In diesem Zusammenhang zeigt sich auch ein grundlegender Unterschied
zwischen finanzwirtschaftlich motivierten Bewertungsmodellen und versicherungsmathematischen
(aktuariellen) Ansätzen. 22 Ein neu hinzukommendes
Versicherungsrisiko, das eine hohe positive Korrelation mit den
Schäden des bestehenden Portfolios aufweist, erfordert zur Aufrechterhaltung
des Sicherheitsniveaus des Unternehmens aus finanzwirtschaftlicher
Perspektive nicht eine hohe Versicherungsprämie, sondern bedingt
vielmehr zusätzliche Risikomanagement-Maßnahmen seitens des Versicherungsunternehmens.
4. Zusammenfassung der Ergebnisse
In der vorliegenden Arbeit werden auf Basis eines finanzwirtschaftlichen
Modellansatzes Überlegungen zu einem fairen Risikomanagement-Mix angestellt,
der zu keinem Vermögenstransfer (gemessen anhand des Kapitalwerts)
zwischen Eigen- und Fremdkapitalgebern führt. Den Ausgangspunkt der Unter-
21
Vgl. hierzu die Analogie der Struktur des Rückstroms an die Eigentümer des Versiche-
~ ~
rungsunternehmens (hier: ( ) Q S S , U)
~ n
n
max U + π + π ⋅ − − − ) zur charakteristischen
Funktion einer (Aktien-)Kaufoption. Eine Verringerung der Volatilität hat grundsätzlich
einen negativen Einfluss auf den Wert einer Kaufoption; vgl. hierzu z.B. Ross, S. / Westerfield,
R. / Jaffe, J. (1999), S. 565-571.
22
Vgl. hierzu auch Gründl, H. / Schmeiser, H. (2002) und die dort angegebene Literatur.
14

suchung bildet dabei die Kalkulation von fairen Versicherungsprämien in Abhängigkeit
der Erfüllungssicherheit des Kontrakts.
In diesem Kontext lässt sich für ein gegebenes Portfolio bei fixiertem Sicherheitsniveau
des Versicherers ein fairer Risikomanagement-Mix ermitteln.
Wird nun ein weiterer Versicherungsvertrag, für den eine faire Prämie bezahlt
wurde, zum bestehenden Portfolio des Versicherers hinzugenommen, kommt es
überraschenderweise grundsätzlich zu einem finanzwirtschaftlichen Ungleichgewicht
(d.h. es ergibt sich für die Eigentümer des Versicherungsunternehmens
ein positiver oder negativer Kapitalwert). Dieser Kapitalwert kann als fairer
Preis für eine zusätzliche Risikomanagement-Maßnahme interpretiert werden,
der zu Wiederherstellung eines finanzwirtschaftlichen Gleichgewichts (und damit
zu einem fairen Risikomanagement-Mix) notwendig ist.
Während faire Versicherungsprämien aufgrund der im Modell vorhandenen
Linearität des Bewertungsfunktionals nicht von den Korrelationen zwischen
dem Alt-Portfolio des Versicherers und dem neuen Versicherungsvertrag beeinflusst
werden, gilt dies für den fairen Preis der zusätzlich notwendigen Risikomanagement-Maßnahme
nicht.
15

Anhang
Wie in der Beispielrechnung 1 verdeutlicht wurde, kommt es im betrachteten
Modellkontext zu einem Vermögensverlust für die Aktionäre und die Versicherungsnehmer
des Altbestands, wenn ein Versicherungsvertrag in das fair kalkulierte
Portfolio des Versicherers zu einem Preis aufgenommen wird, der kleiner
als die faire Prämie ist. Gesetzt den Fall, es käme zu dem bestehenden Port-
~ n
folio ein weiterer Versicherungsvertrag mit einer Schadenverteilung S hinzu,
ohne dass es zu einer weiteren Prämienzahlung kommt, lässt sich der Vermö-
n
genstransfer gemessen am Kapitalwert der Aktionärsposition C E aus der Beziehung
C
n
E
mit
z
∗
=
( ( ) ( ) ( S ) N'(
z ) U
~
~ ~ n ∗ ~ n ∗
A − E S + S ⋅ N z + std S + ⋅
−
A −
=
std
~ ~ n
E(
S + S )
~ ~ n ( S + S )
Q
bestimmen. 23 Im Beispielfall 24 ~ n
ergibt sich bei einer Korrelation von ( S , S ) ~
~ n
ein Kapitalwert C in Höhe von rund - 961,21 €. Für ( S , S ) ~
16
(A. 1)
(A. 2)
ρ = 0
n
E
ρ = 1 erhält man
n
einen Kapitalwert C E ≈ - 953,40 €. Das Sicherheitsniveau des Unternehmens
nach Zeichnung des neuen Vertrags d ergibt sich analog zu Formel (3) aus 25 :
23 ~
Dabei bezeichnet A wieder den Wert der Kapitalanlage zum Zeitpunkt 1, S die Schadenverteilung
des Alt-Portfolios, N ( ⋅ ) bzw. N '(
⋅ ) die Verteilungsfunktion bzw. die Dichte
einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen, Q den einperiodigen Aufzinsungsfaktor
und U das vorhandene Eigenkapital des Versicherers.
24
Vgl. hierzu die in Beispielrechnung 1 angegebenen Daten.
25 Zur Ableitung der Gleichung (A. 3) nutzen wir die folgende Beziehung:
S ~
S ~
max( +
n
−
A,
0)
S ~
S ~
= − min( A − −
~ ~
= max( A − S − S
n
n
, 0)
, 0)
S ~
S ~
− ( A − −
n
).

Bw
d =
=
( ( + S − A,
0 ) ~ ~ n
max S
πˆ
~ ~ n
∗ ~ ~ n ∗
( A − E(
S + S ) ⋅ ( N(
z ) − 1)
+ std(
S + S ) ⋅ N'
( z )
Q ⋅ πˆ
17
(A. 3)
Im Fall unkorrelierter Schäden hat sich das Sicherheitsniveau d des Versicherungsunternehmens
nach Zeichnung des neuen Vertrags auf rund 0,05094 %
verschlechtert; bei vollständig korrelierten Risiken gilt d ≈ 0,05175 %. Der
Vermögensverlust der Versicherungsnehmer des Alt-Portfolios ergibt sich nun
aus der Differenz zwischen fairer Prämie und tatsächlich bezahlter Prämie π (≈
970.388,35 €; vgl. Formel (B. 1)):
~
E(
S)
⋅ 0005094
Q
bzw.
( 1−
0,
) − π
~
E(
S)
⋅ 0005175
Q
( 1−
0,
) − π
~ n
≈ - 9,16 € für ( S , S ) ~
~ n
≈ - 16,97 € für ( S , S ) ~
ρ = 0 (A. 4)
ρ = 1 (A. 5)
Eine Addition der Vermögensverluste von Aktionären und Versiche-
n
rungsnehmern des Altbestands ergibt die Prämie π , die eigentlich von dem neu
hinzukommenden Versicherungsnehmer hätte aufgebracht werden müssen:
π
n
=
≈
bzw.
π
n
=
=
~
( S
Q
E n
)
⋅
961,
21
~
( S
Q
E n
)
⋅
953,
40
( 1−
0,
0005094)
€ +
9,
16
€
( 1−
0,
0005175)
€ + 16,
97 €
≈
≈
970,
38
970,
37
€
€
~ ~ n
für ( S,
S )
ρ = 0 (A. 6)
~ ~ n
für ( S,
S )
ρ = 1 (A. 7)

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