Die Boltzmann Verteilung

INFOBOX: Wahrscheinlichkeitsrechnung (Kombinatorik):
Wieviele Realisierungsmöglichkeiten W gibt es, jeweils die drei unterscheidbaren
Teilchen auf N Zellen einer Zeile (Zeilenummer j) der obigen Tabelle zu verteilen?
2. Zeile (j=2): Die möglichen Reihenfolgen mit der drei Teilchen angeordenet werden
kann=Zahl der Permutationen = 3!
Analog ist die 3. Zeile zu behandeln
1. Zeile (j=1): Es gibt drei Möglichkeiten die drei Moleküle anzuordnen
(die Reihenfolge innerhalb einer Zelle spielt keine Rolle, denn es kommt nur auf die
Tatsache an, dass das eine oder andere Teilchen eine bestimmte Energie hat, nicht aber in
welcher Reihenfolge wir die Teilchen gleicher Energie notiert haben )
Zahl aller Permutationsmöglichkeiten N !
=
Zahl Permutationsmöglichkeiten n ! innerhalb jeder Zelle n !
n1!=2!=2 n3!=0!=1 n5!=1!=1
Analog Zeile 4 und 5.
i
3x2=6 Möglichkeiten
= Zahl der
Permutationsmöglichkeiten
W2=N!
Um die gesamte Verteilung zu erhalten, muss man nun "lediglich" die Zahl der Teilchen in
den Zellen der ersten Spalte jeweils mit der Zahl der Realisierungsmöglichkeiten Wj
multiplizieren und zusammenaddieren, dann die Zahl aller Teilchen in der 2. Spalte mit Wi
gewichten und so fort.
WS2007 PC1/ Dr. Ogrodnik 2 Boltzmannverteilung
∑
i
i
3 Möglichkeiten
N !
W1
=
n ! ⋅n ! ⋅n
!:.... ⋅n
!
=
1
N !
n !
∏
i
i
2 3
3! 6
= = = 3
2!0!0!0!0!1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ! 2
m