Die Boltzmann Verteilung

Betrachten wir nur das Verhältnis der Besetzungszahlen zweier Energieniveaus Ei und Ei, so
kürzt sich der konstante Faktor e -α heraus und man erhält:
( Ei−Ej) N −
i RT ⋅ = e (21) Boltzmannfaktor
N
j
Der Boltzmannfaktor ist ein zentrales Ergebnis der statistischen Thermodynamik und wurde
anhand von puren statistischen Überlegungen abgeleitet.
Der Boltzmannfaktor gibt das Verhältnis der Besetzungswahrscheinlichkeiten zweier
Zustände unterschiedlicher Energie an. Ist Ei>Ej (der Zustand i liegt oberhalb von j), dann ist
der Quotient Ni/Nj < 1, d.h. der höher gelegene Zustand ist weniger stark besetzt als der
energetisch tiefere.
Fall: T→0: der Exponent geht → -∞, d.h. die e - Funktion geht gegen 0, d.h. der unteres
Zustand ist ausschließlich besetzt.
Fall: T→∞: der Exponent geht → 0, d.h. die e - Funktion geht gegen 1, d.h. beide Zustände
sind im Grenzfall maximal gleich besetzt.
Beachte: Ni ist immer kleiner als Nj. Es gibt im thermischen Gleichgewicht keine sogenannte
Besetzungszahlinversion (Ni>Nj). Diese benötigt man z.B. um Laseremission zu erzielen.
Die gesamte Verteilungsfunktion ergibt sich, wenn man den Boltzmannfaktor auf die Summe
aller Besetzungszahlen normiert:
Ei
−
RT ⋅ Ni e
i = = E j ∑ N j
−
RT ⋅
j ∑e
j
f
Boltzmannverteilung
Die Zustandssumme: Der Summenterm im Nenner heißt die molekulare Zustandssumme.
Sie gibt an wie viele Zustände insgesamt bei einer bestimmten Temperatur für ein Molekül
thermisch zugänglich sind. Um sie berechnen zu können muss man die Energien Ej aller
Zustände kennen. Die statistische Mechanik beschäftigt sich damit, wie man diese
Zustandssumme für die verschiedenen Freiheitsgrade berechnen kann. Ist die Zustandssumme
einmal ermittelt, dann lassen sich aus ihr alle thermodynamischen Funktionen einfach
berechnen.
WS2007 PC1/ Dr. Ogrodnik 6 Boltzmannverteilung