Die Boltzmann Verteilung

W N !
= = − 1! wahrscheinlicher!!!
W1N Gehen wir vom zweiten Fall aus und besetzen nur eine Zelle doppelt, so erhalten wir:
N !
W 3=
2!
2
Der zweite Fall wäre um den Faktor ( N )
Suche nach dem maximalen W
Es stellt sich heraus, dass es bei sehr großen Zahlen genügt, das Verteilungsmuster mit den
meisten Permutation zu finden, ( das wäre die am häufigsten vorkommende Zeile in obiger
Tabelle). Sie ist representativ für die gesamte Verteilung (die übrigen Verteilungsmuster sind
entweder sehr ähnlich, und damit ebenfalls sehr häufig, oder unterschieden sich signifikant
und kommen dann sehr selten vor, und tragen zur Verteilung praktisch nicht bei).
Wir wollen also die Anordnung finden, für die Zahl der Permutationsmöglichkeiten W
maximal wird.
N !
Wir gehen aus von: W =
∏ Ni
!
i
(5).
Bei den großen Werten von N und Ni mit denen wir es zu tun haben, ist es nützlich den
Logarithmus von (5) zu nehmen, und davon das Maximum zu suchen:
⎛ ⎞
ln( W) = ln( N!) − ln ⎜∏ Ni! ⎟=
ln( N!) −∑ln
( Ni!
) (6)
⎝ i ⎠
i
Das maximale W bzw. das maximale ln(W) finden wir, wenn die Ableitung von W nach einer
kleinern Veränderung der Verteilung gleich Null wird. Da ln(W) eine Funktion vieler
Variabler Ni ist betrachten wir das vollständige Differenzial
( W) ( W)
∂ln d ln ( W ) =
∂N1 ∂ln
⋅ dN1+ ∂N2
⋅ dN2+
....... und setzen dies gleich Null.
∂ ln( N !) ⎛∂ln( N !) ⎞!
i
Aus (6) erhalten wir somit: d ln( W ) = dN + ∑⎜
⋅ dNi
⎟=
0 (7)
∂N i ⎝ ∂Ni⎠
dN=
0
da N konst.!
Mit der Stirling´schen Formel ln( x!) ≈x⋅ln( x) − x (für große x) können wir uns der
mathematisch unhandlichen Fakultäten entledigen und erhalten für (7):
∂{ Ni⋅ln( Ni) −Ni}
dln( W) = ∑ ⋅ dNi=
0 (8)
i ∂Ni
Wir können nun die einzelnen Therme der Summe in (8) ableiten:
⎡∂{ Ni⋅ln( Ni) } ∂{
Ni}
⎤ ⎧
⎢ − ⎥dNi=
⎨ln( Ni) ⎣ ∂Ni ∂Ni ⎦ ⎩
∂N ln( ) 1
i ∂ Ni
⋅ ln( Ni) + Ni⋅
∂Ni ∂Ni
1
Ni
und erhalten somit für (8):
∑ ln( Ni) ⋅ dNi=
0 (10)
i
1 ⎫
+ Ni⋅ −1⎬dNi
(9)
Ni
⎭
0
Wir können nun auch die Bedingung 1 und 2 in differentieller Form fassen:
WS2007 PC1/ Dr. Ogrodnik 4 Boltzmannverteilung