Aufgaben Logische Programmierung

Aufgabe 10 Komplexe Zahlen
Dateiname: komplex.pl
In der Mathematik, Physik und Technik werden oft komplexe Zahlen verwendet. Dabei wird
√ −1 mit i (unter Technikern auch mit j) bezeichnet. Dann hat jede komplexe Zahl die Form
A + Bi, wobei A und B reelle Zahlen sind (der Realteil bzw. der Imaginärteil der komplexen
Zahl). In Prolog kann man eine solche komplexe Zahl darstellen als zusammengesetzten Term,
also als Struktur komplex(A,B). Die Zahl 2 + 3i wird dann z.B. dargestellt durch die Struktur
komplex(2,3). Schreiben Sie ein Prologprogramm zur Addition zweier komplexer Zahlen, zur
Multiplikation zweier komplexer Zahlen und zur Berechnung des Betrags einer komplexen Zahl!
Beispiele:
Addition: (2 + 3i) + (10 + 20i) = 12 + 23i
Multiplikation: (2 + 3i) · (10 + 20i) = −40 + 70i
Betrag: |2 + 3i| ≈ 3, 60555
Ihr Programm sollte sich also so verhalten:
?- add(komplex(2,3),komplex(10,20),Summe).
Summe = komplex(12, 23).
?- mal(komplex(2,3),komplex(10,20),Produkt).
Produkt = komplex(-40, 70).
?- betrag(komplex(2,3),Betrag).
Betrag = 3.60555.
Aufgabe 11 Euklidischer Algorithmus
Dateiname: ggT.pl
Probieren Sie zunächst die folgende Anfrage zur Berechnung des Restes von 100 bei der Division
durch 7 aus:
?- X is 100 mod 7.
Der Euklidische Algorithmus zur Berechnung des größten gemeinsamen Teilers (ggT) zweier
natürlicher Zahlen beruht auf der folgenden Idee:
Nehmen wir an, wir wollen z.B. ggT(18,42) berechnen. Jeder gemeinsame Teiler von 18 und
42 muss auch Teiler von 42 − 18, also von 24 sein und damit gemeinsamer Teiler von 18 und
24. Umgekehrt ist jeder gemeinsame Teiler von 18 und 24 auch gemeinsamer Teiler von 18
und 42. Daher ist ggT(18, 42) = ggT(18, 24). Allgemein ist ggT(a, b) = ggT(a, b − a), wenn
b die größere der beiden Zahlen ist. Man kann das gleiche Argument nun wiederholen und
sagen, ggT(18, 24) = ggT(18, 24 − 18), also ggT(18, 24) = ggT(18, 6). Nun ist 18 die größere der
beiden Zahlen und wir rechnen 18 − 6 = 12 und daher ggT(18, 6) = ggT(12, 6). Allgemein gilt
ggT(a, b) = ggT(a − b, b), wenn a > b ist. Wenn man das so weiter führt, erhält man insgesamt
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