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Physik I<br />
Übung 1 - <strong>Lösung</strong>shinweise<br />
Moritz Kütt WS 2011/12<br />
Stefan Reutter Stand 22.12.2012<br />
Franz Fujara<br />
Aufgabe 1 Wer war das noch mal?<br />
Viele physikalische und mathematische Gesetze, Funktionen und Größen sind nach bekannten<br />
Physikern und Mathematikerinnen benannt. Möglicherweise sind sie auch nur deshalb bekannt,<br />
weil man etwas nach ihnen benannt hat. Kennst du die folgenden Namen auch? Ordne zu, und<br />
versuche, die Bedeutung Gesetze in der Übungsgruppe zu diskutieren.<br />
<strong>Lösung</strong>shinweise:<br />
1) Satz von Pythagoras a) F(r) = q 1q 2<br />
4πε 0r 2e r<br />
2) Coulomb-Gesetz b)<br />
∞<br />
n=0<br />
f (n) (a)<br />
n!<br />
(x − a) n<br />
3) 2. Newtonsches Gesetz c) e iϕ = cos(ϕ) + i sin(ϕ)<br />
4) 3. Keplersches Gesetz d) a 2 + b 2 = c 2<br />
5) Taylor-Reihe e) F = dp<br />
6) Eulersche Formel f)<br />
dt<br />
2 T1<br />
T 2<br />
=<br />
3 a1<br />
1 – d Der Satz von Pythagoras beschreibt die Verhältnisse der Seitenlängen im rechtwinkligen<br />
Dreieck, c ist dabei die Länge der Hypothenuse, a und b sind die Längen der Katheten.<br />
2 – a Das Coulomb-Gesetz beschreibt die Kraft, die zwei Punktladungen q 1 und q 2 im Abstand<br />
r aufeinander ausüben, e r ist Einheitsvektor in Richtung des Abstandes, r der Betrag des<br />
Abstandes.<br />
3 – e Das 2. Newtonsche Gesetz besagt, dass einen Kraft auf einen Körper dessen Bewegung<br />
verändert (Geschwindigkeit dargestellt durch Impuls p = ma).<br />
4 – f Das 3. Keplersche Gesetz besagt, dass das quadratische Verhältnis der Umlaufzeiten von<br />
zwei Planeten T 1 und T 2 gleich dem kubischen Verhältnis der großen Halbachsen a 1 und<br />
a 2 der Ellipsenbahnen sein muss.<br />
5 – b Mit der Taylorreihe können unendlich differenzierbare Funktionen f dargestellt, oft genügt<br />
die Nutzung weniger Summationsterme als Vereinfachung für das Rechnen mit einer<br />
Funktion.<br />
a 2<br />
1
6 – c Die Eulersche Formel ist sehr nützlich beim Rechnen mit komplexen Zahlen und trigonometrischen<br />
Funktionen, sie lässt sich über Taylorreihenentwicklung beweisen.<br />
Aufgabe 2 Theoristen<br />
Physikalische Theorien sind entgegen der landläufigen Vorstellung keine unumstößlichen und in<br />
Stein gemeißelten Tatsachen - ganz im Gegenteil hat es in der Physik schon mehrfach gewaltige<br />
Umwälzungen gegeben.<br />
Die alten Griechen dachten beispielsweise, dass während einer Bewegung ständig eine Kraft<br />
nötig wäre, damit der Gegenstand nicht langsamer wird und schließlich stehen bleibt, was ja<br />
durchaus der Alltagserfahrung entspricht. Newton hat das dann über den Haufen geworfen und<br />
behauptet, dass ein Körper so lange seinen Bewegungszustand (seinen Impuls) beibehält, wie<br />
keine Kräfte auf ihn wirken. Ein Körper wird dadurch langsamer, dass er eine Reibungskraft<br />
erfährt.<br />
Im 20. Jahrhundert hat Einstein dann die Relativitätstheorie aufgestellt und mit ihr die sogenannte<br />
klassische Physik auf großen Längenskalen korrigiert. Andere Wissenschaftler, Bohr,<br />
Heisenberg, Schrödinger, usw. haben ungefähr zur gleichen Zeit die Quantenphysik formuliert,<br />
die die Physik auf winzigen Längenskalen innerhalb von Atomen und Atomkernen revolutionierte.<br />
Überlege dir für die genannten Übergänge jeweils ein Experiment, das mit der alten Theorie<br />
nicht zu erklären ist, mit der neuen aber schon.<br />
<strong>Lösung</strong>shinweise:<br />
Dies sollen nur einige Beispiele für Experimente sein:<br />
Griechen - Newton: Raumfahrt, Himmelsmechanik.<br />
Nicht funktioniert Glatteis o.ä., da die Griechen die Situation dort so interpretiert hätten, dass<br />
das Eis beim Schieben helfen würde.<br />
Relativität: GPS, Optischer Dopplereffek, Michelson-Morley-Experiment, Lebensdauer von Teilchen<br />
in der Atmosphäre, Gravitationslinse<br />
Quantenphysik: Photoeffekt, Nullpunktsenergie (Casimir-Effekt), Linienspektren<br />
Aufgabe 3 Ein Grabmal für die Ewigkeit<br />
Dein Pharao hat dir als Bauherr den Auftrag gegeben, eine Pyramide zu errichten, die seine<br />
Unsterblichkeit garantieren soll. Das Werk ist beinahe vollendet, jedoch musst du zur Krönung<br />
des Ganzen noch einen Stein bewegen, der ein Gewicht von 2 t hat. Du hast leider nur 20<br />
Sklaven zur Verfügung, von denen jeder mit Hilfe eines Seils ein Gewicht von 50 kg ziehen<br />
kann. Die rettende Idee: du schüttest eine schiefe Ebene auf, die du den Stein hochziehen kannst<br />
(“du” heißt hier “deine Arbeiter”). Welchen Winkel darf die Ebene maximal haben, damit deine<br />
Untergebenen den Stein auf die Spitze ziehen können? Die Reibung soll vernachlässigt werden.<br />
Die Höhe der Pyramide beträgt 10 m<br />
2
<strong>Lösung</strong>shinweise:<br />
Bedingung für Hochziehen: F ≤ F A<br />
F = mg sin α<br />
F ⊥ = mg cos α<br />
Jeder Arbeiter kann ein Gewicht von m A = 50kg ziehen, es gibt N A = 20 Arbeiter. Damit ist<br />
F A = m AN Ag<br />
Umformen und einsetzen ergibt α ≤ 30 ◦<br />
Aufgabe 4 Mechanik<br />
a) Ein Massenpunkt, an dem drei Kräfte ziehen, bewegt sich auf<br />
einer geradlinigen Bahn. Zwei der Kräfte sind in der Skizze eingezeichnet:<br />
konstruiere und zeichne auch die dritte Kraft hinein.<br />
b) Ein Massenpunkt vollführt die gezeigte Sprungbewegung im<br />
Gravitationsfeld der Erde. Welche Beschleunigung wirkt jeweils<br />
an den Punkten A, B, C und D?<br />
c) Betrachte ein konisches Pendel, das heißt, einen Massenpunkt,<br />
der an einem Faden hängt und im Kreis mit konstanter Winkelgeschwindigkeit<br />
rotiert. In welche Richtung zeigt die resultierende<br />
Kraft, die auf die Masse wirkt:<br />
- nach oben<br />
- nach unten<br />
- in den Kreis hinein<br />
- aus dem Kreis hinaus<br />
- tangential zum Kreis<br />
- in Richtung des Aufhängepunkts<br />
- vom Aufhängepunkt weg<br />
<strong>Lösung</strong>shinweise:<br />
a)<br />
b)<br />
c)<br />
A<br />
B<br />
C<br />
Bewegungsrichtung<br />
D<br />
3
Aufgabe 5 Wie schwer ist die Sahara?<br />
a) Man kann einfach die Kräfte vektoriell<br />
addieren, etwa in einer Zeichnung. Dort erkennt<br />
man, dass es mehrere mögliche <strong>Lösung</strong>en<br />
gibt.<br />
b) Überall gleich g<br />
c) in den Kreis hinein<br />
In der Sahara findet man sehr, sehr viel Sand, Sandkörner sind etwa<br />
kugelförmig mit einem durchschnittlichen Radius von 50 µm und bestehen<br />
aus SiO 2. Ein SiO 2-Würfel mit einem Volumen von 1 m 3 wiegt<br />
etwa 2600 kg.<br />
a) Was ist das Gewicht von 1 m 3 Saharasand, wenn die Sandkörner sich<br />
wie in der Zeichnung stapeln (stelle dir bitte die dritte Raumrichtung<br />
vor)?<br />
b) Schätze damit das Gewicht der Sahara ab. Ihre Fläche ist 9.4 × 10 6 km 2 . Nimm eine plausible<br />
Tiefe des Sandes an.<br />
c) Was ist das Gewicht der Menge an Sandkörnern, die die gleiche Oberfläche haben wie der<br />
große Würfel?<br />
<strong>Lösung</strong>shinweise:<br />
a) Wenn der Sand wie vorgegeben gestapelt wird, kann man mit folgender Formel die Masse<br />
eines Kubikmeters berechnen:<br />
M Sand = ρN Sand · 4<br />
3 πr3<br />
Sandkorn<br />
Dabei ist ρ die SiO 2-Dichte (aus Text) und N Sand die Zahl der Sandkörner im Kubikmeter (10 12 ,<br />
da bei einem Durchmesser von 100µm eben 10000 3 Sandkörner in den Kubikmeter passen.<br />
Es ergibt sich dann:<br />
M Sand ≈ 1360 kg<br />
b) Wir haben eine Sandtiefe von etwa 100 m angenommen.<br />
V Sahara ≈ 10 15 m 3<br />
M Sahara = 1.36 × 10 18 kg<br />
c) Mit der Oberfläche des großen Würfels OWuer f el = 6m2 und der Oberfläche des Sandkorns<br />
kann man die Masse berechnen über:<br />
O Korn = 4πr 2<br />
Sandkorn<br />
M Sand−2 = O Wuer f el<br />
O Korn<br />
= 0.26kg<br />
· 4<br />
3 πr3 · ρ<br />
Sandkorn<br />
4
Aufgabe 6 Kreuzungen und Kreuzprodukt<br />
Ein Auto transportiert die elektrische Ladung q. Es fährt zunächst mit konstanter Geschwindigkeit<br />
v1 auf einer Straße parallel zur x-Achse. Es kommt an eine Ampel. Da sie rot ist, bremst<br />
das Auto nach der Funktion v2 = v1 − a1t ab. Anschließend biegt es in eine Straße parallel zur<br />
y-Achse ein, dort fährt es wieder mit ⎛ der⎞ Geschwindigkeit v1 weiter. Wie groß ist die Kraft, die<br />
A<br />
durch ein fiktives Magnetfeld B<br />
⎜ ⎟<br />
= ⎝ B ⎠ auf Auto und Ladung ausgeübt wird?<br />
C<br />
Hinweis: Die Kraft wird beschrieben durch die Lorentzkraft F = q(v × B).<br />
<strong>Lösung</strong>shinweise:<br />
Parallel zur x-Achse, konstante<br />
Bremsen vor der roten Ampel:<br />
v =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
v =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
v 1<br />
0<br />
0<br />
v 1 − a 1t<br />
0<br />
0<br />
Parallel zur y-Achse, konstante Geschwindigkeit:<br />
v =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
Aufgabe 7 Physiker messen und schätzen<br />
0<br />
v 1<br />
0<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎟<br />
⎠ F<br />
⎜<br />
= qv1 ⎝<br />
⎞<br />
0<br />
−C<br />
B<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛<br />
⎟<br />
⎠ F<br />
⎜<br />
= q(v1 − a1t) ⎝<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎟<br />
⎠ F<br />
⎜<br />
= qv1 ⎝<br />
Für viele Probleme sind natürlich genaue Messwerte erforderlich. Manchmal reicht aber auch<br />
nur eine grobe Abschätzung. Schätze die Werte für die nachfolgenden Größen ab. Gib die Größen<br />
in den jeweiligen Basiseinheiten (kg, m, s, Hz) an.<br />
<strong>Lösung</strong>shinweise:<br />
Wir können die Werte für die Größen selbst zum Glück sehr genau abschätzen, daher haben wir<br />
keine Quellen für die einzelnen Zahlen angegeben.<br />
C<br />
0<br />
−A<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
0<br />
−C<br />
B<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
5
Masse Länge Zeit Frequenz<br />
Sonne Du Sekunden im Jahr sichtbares Licht<br />
Wal Mondradius Alter des Universums WLAN<br />
Atom Erde-Sonne Alter des Sitznachbarn Radio<br />
Proton Proton Halbwertszeit Neutron Schall<br />
Übungsgruppenleiter Atomkern Lebensdauer Stubenfliege Erdbebenwellen<br />
Erde Galaxie<br />
Bakterie Bakterie<br />
Masse Beispiel Länge Beispiel<br />
Sonne 1.988 × 10 30 kg Du<br />
Wal (Blau)Wal ca. 2 × 10 5 kg Mondradius 1.23 × 10 6 m<br />
Atom 10 −27 kg bis 10 −25 kg Erde-Sonne 1.5 × 10 1 1 m<br />
Proton 1.673 × 10 −27 kg Proton 8.768 × 10 −16 m<br />
Übungsgruppenleiter Atomkern ca. 10 −15 m bis 10 −14 m<br />
Erde 5.97 × 10 24 kg Galaxie ca. 10 21 m<br />
Bakterie ca. 10 −16 kg Bakterie ca. 10 −6 m<br />
Masse Länge Zeit Frequenz<br />
Sekunden im Jahr 3.1536 × 10 7 s (ca. π · 10 7 ) sichtbares Licht 3.8 − 8 × 10 14 Hz<br />
Alter des Universums 4.3 × 10 17 s WLAN 2.4/5 × 10 9 Hz<br />
Alter des Sitznachbarn 6 × 10 8 s Radio UKW: 10 8 Hz<br />
Halbwertszeit Neutron 8.81 × 10 2 s Schall 10 Hzbis 10 5 Hz<br />
Lebensdauer Stubenfliege 1.4 × 10 6 Erdbebenwellen 0,1 Hz bis 30 Hz<br />
Aufgabe 8 Der Einheitenzoo<br />
In der Physik gibt es einen ganzen Einheitenzoo,<br />
mit dem du dich bekannt machen<br />
musst. Dort gibt es viele illustre<br />
Tierchen wie die Seekuhnde, den molch,<br />
den Newton (eine weitere Molchart),<br />
den Långstrøm, den Kelfin, das Drometer,<br />
die Hertzmuschel, den Jougular,<br />
den Amperetiger, das Kuhlomb, den Kilogramt,<br />
den Wattwurm und den Volf.<br />
Leider ist der Zoo momentan wegen<br />
Teslaus-Befall in einem der Gehege geschlossen.<br />
Ordne die Tiere dem am besten<br />
zu ihnen passenden Gehege zu – keine<br />
Angst, sie sind alle auf einer strengen<br />
Planckton-Diät und fressen sich nicht gegenseitig<br />
auf.<br />
6
<strong>Lösung</strong>shinweise:<br />
Manche Einheiten tauchen mehrmals auf, sie passen in mehrere ”Gehege”.<br />
Elektrik: Volf (Volt), Amperetiger (Ampere), Kuhlomb (Coulomb), Teslaus (Tesla), Jougular<br />
(Joule), Wattwurm (Watt)<br />
Mechanik: Newton, Hertzmuschel (Hertz), Jougular (Joule), Wattwurm (Watt), Kilogramt (Kilogramm)<br />
Fundamental: Långstrøm (Ångstrøm), Drometer (Meter), Jougular (Joule), Wattwurm (Watt),<br />
Kilogramt (Kilogramm), Kelfin (Kelvin), Seekuhnde (Sekunde).<br />
Darf nicht im Zoo sein: Molch (Mol).<br />
Hausaufgabe 1 Gold, Gold, Gold, Gold. Gold, Gold, Gold, Gold.<br />
Ein windiger Flohmarkthändler will dir einen Bilderrahmen mit echtem Goldüberzug für nur<br />
500 Euro verkaufen. Der Rahmen ist rechteckig 2 m × 3 m groß, 2 cm dick und hat eine Rahmenbreite<br />
von 10 cm wobei nur die Rückseite nicht vergoldet ist. Schätze mit Hilfe des aktuellen<br />
Goldpreises ab, ob es sich dabei um ein gutes Geschäft handelt.<br />
Hinweis: Die Dichte von Gold und die Dicke von Blattgold kannst du im Internet nachschlagen<br />
<strong>Lösung</strong>shinweise:<br />
Beschichtete Fläche:<br />
A = [ab − (a − 2c)(b − 2c)] + 2ad + 2bd + 2(a − 2c)d + 2(b − 2c)d = 1.34m 2<br />
Goldvolumen (Dicke: 1µm): V = 1.34 × 10 −7 m 3<br />
Gold-Masse (Dichte: 19.3g/cm 3 ): m = 2.6g<br />
Gold-Preis pro Feinunze (31g) ca. 1200 €<br />
Rahmenpreis 101 €<br />
Das ist nicht wirklich ein gutes Geschäft...<br />
7
Hausaufgabe 2 Opa Hinrichsens Getreidesilo<br />
Du hast wild auf Opa Hinrichsens Feld gecampt. Ein schwerer Fehler. Jetzt, am Morgen, kommt<br />
er wutschnaubend mit der Heugabel zum Angriff gesenkt auf dein Zelt zugestürmt.<br />
Zu deinem Glück fällt dir rechtzeitig ein, dass Hinrichsen gerade ein neues Silo bauen will. Um<br />
die Integrität deines edlen Hinterteils zu retten, bietest du ihm an, die günstigste Größe für sein<br />
Silo auszurechnen. Da Opa Hinrichsen selbst nicht gut rechnen kann kommt er ins Grübeln und<br />
entschließt sich, seinen Ansturm abzubrechen und auf dein Angebot einzugehen.<br />
Aus fertigungstechnischen Gründen kann die Silofirma “Stinkaum” nur zylinderförmige Silos<br />
herstellen, deren Preis sich nach der Oberfläche bemisst. Berechne das optimale Verhältnis von<br />
Durchmesser zu Höhe um das günstigste Silo für den Bauer zu finden.<br />
Hinweis: Ableiten um das Minimum zu finden.<br />
<strong>Lösung</strong>shinweise:<br />
Volumen V = πr 2h Fläche A = 2πrh + 2πr 2<br />
Fläche abhängig von V A = 2V<br />
r<br />
+ 2πr2<br />
Für Minimum:<br />
dA<br />
dr<br />
= 0 = −2V<br />
r 2 + 4πr<br />
r 3 = 2V<br />
4π<br />
r = V<br />
2πr2 = h<br />
2<br />
Hausaufgabe 3 Vom Experiment zur Theorie und zurück<br />
Physiker versuchen Phänomene und Zusammenhänge durch einfache Grundannahmen zu erklären.<br />
Dabei wird oft mit Theorien und Beschreibungen versucht, ein möglichst wirklichkeitsnahes<br />
Bild der Welt zu erstellen. In der Vergangenheit gab es dabei oft verschiedene Wege. Zumeist<br />
wurden zunächst Beobachtungen gemacht, die dann durch Theorien erklärt wurden. Es gab<br />
aber auch Fälle, bei denen mutige Physiker zunächst Theorien aufgestellt haben, die erst anschließend<br />
von Experiment bestätigt (oder auch widerlegt) wurden.<br />
Finde je zwei geschichtliche Beispiele für beide Vorgehensweisen und beschreibe sie kurz.<br />
8
<strong>Lösung</strong>shinweise:<br />
<strong>Lösung</strong>sbeispiele für Experiment → Theorie<br />
Tycho Brahe hat für die Zeit sehr genau Beobachtungen der Planetenbahnen ermittelt (quasi ein<br />
Experiment). Johannes Kepler konnte daraus ableiten, dass die Planeten in elliptischen Bahnen<br />
um die Sonne kreisen.<br />
Walther Bothe und Herbert Becker entdeckten in einem Experiment beim Beschuss von Beryllium<br />
mit Alphateilchen um 1930 eine für sie unbekannte Strahlung. Andere Experimente zeigten<br />
ähnliche Ergebnisse. Erklärt wurden die Ergebnis durch James Chadwick, der die Strahlung als<br />
Neutronen identifizierte.<br />
<strong>Lösung</strong>sbeispiele für Theorie → Experiment<br />
Ein herausragendes Beispiel ist die Relativitätstheorie von Albert Einstein. So beschreibt beispielsweise<br />
die allgemeine Relativitätstheorie eine Ablenkung von Licht in durch Gravitation.<br />
Arthur Stanley Eddington und Frank Dyson beobachteten eine solche Ablenkung 1919 während<br />
einer totalen Sonnenfinsternis, und leisteten so einen wichtigen Beitrag der allgemeinen<br />
Relativitätstheorie.<br />
Das Higgs-Boson ist ein von der Theorie des Standardmodells vorhergesagtes Teilchen (benannt<br />
nach Peter Higgs). Bisher konnte es noch nicht durch ein Experiment nachgewiesen, die Experimente<br />
am Large Hadron Collider in Cern haben jedoch unter anderem die Entdeckung dieses<br />
Teilchens zum Ziel.<br />
Für beide Fälle sind natürlich viele weitere Beispiele denkbar!<br />
Hausaufgabe 4 Nuklearer Unfall in Fukushima<br />
Am 11.03.2011 haben ein schweres Erdbeben und ein Tsunami zu einem nuklearen Unfall in<br />
den Kernkraftwerken im japanischen Fukushima geführt. Neben anderen radioaktiven Stoffen<br />
wurde bei diesem Unfall auch das Gas 137 Cs freigesetzt. Die Menge des freigesetzten Gases<br />
waren etwa 2 × 10 25 Atome. In einem ungünstigen Fall könnte man annehmen, dass Winde und<br />
Strömungen diese Atome gleichmäßig in der Erdatmosphäre verteilen. Versuche abzuschätzen,<br />
wie viele dieser Atome unter dieser Bedingung in 1 m 3 Atmosphäre enthalten sind. Bonus: Wie<br />
viele dieser Atome atmet man dann möglicherweise pro Tag ein?<br />
Hinweis: In einem vereinfachten Modell kannst du annehmen, dass die Erdatmosphäre aus einem<br />
idealen Gas besteht, und bis zu einer Höhe von 10 km die gleiche Dichte hat. Die Erde hat<br />
einen Radius von ca. 6400 km. In 22.4 L eines idealen Gases sind 6.022 × 10 23 Atome enthalten.<br />
<strong>Lösung</strong>shinweise:<br />
Atmosphären-Volumen berechnen (Volumen der 10 km Kugelschale):<br />
V At ≈ 5 × 10 18 m 3<br />
9
Mit der Zahl der freigesetzten Cäsium-Atome NCs ergibt sich die Zahl der Atome pro Kubikmeter:<br />
NCs 1 6<br />
= 4 × 10<br />
m3 V At<br />
Ein Erwachsener atmet rund 8 L pro Minute. Pro Tag wird folgende Zahl Cäsium-Atome eingeatmet:<br />
8 L · 24 h NCs = 4.6 × 10<br />
min<br />
10<br />
V At<br />
Anmerkung: Wenn man Atome zählt, kommen scheinbar sehr große Zahlen zustande. In Relation<br />
zur Gesamtzahl der Atome ist diese Menge jedoch eher gering.<br />
10