Klassische Mechanik

Kapitel 1
Grundlagen: Newtonsche Mechanik
1.1 Einleitung
Mit der Entwicklung der klassischen Mechanik begann die moderne Physik. Die klassische Mechanik
befasst sich mit der Vorhersage der Bewegung materieller Körper. Die wesentlichen Grundlagen wurden
von Isaak Newton im 17. Jahrhundert gelegt und haben bis heute ihre Gültigkeit. Allerdings muss
man sich dabei auch bewusst machen, dass die Gültigkeit der Newtonschen Mechanik nicht universell
ist. Wenn die Geschwindigkeiten sehr groß werden, wird die Newtonsche Mechanik durch die spezielle
Relativitätstheorie ersetzt. Wenn die Entfernungen kosmische Ausmaße annehmen, benötigt man die
allgemeine Relativitätstheorie. Wenn umgekehrt die Entfernungen auf atomare Skalen kommen, muss
man die Quantenmechanik anwenden. Und wenn die Teilchenzahlen von der Größenordnung 10 23 sind
und die Teilchen sich chaotisch bewegen, benötigt man zur Beschreibung makroskopischer Variablen die
statistische Mechanik.
In diesem ersten Kapitel wiederholen wir nach einem historischen Rückblick die wesentlichen Elemente
der Newtonschen Mechanik, die schon von der Experimentalphysik I und der Einführung in die
Theoretische Physik vertraut sind. Da viele Aufgaben in der Newtonschen Mechanik, insbesondere wenn
Zwangsbedingungen vorliegen, recht aufwändig zu lösen sind, hat man schon recht bald nach Newton
andere Formulierungen der klassischen Mechanik entwickelt, in denen sich diese Probleme leichter lösen
lassen. Gleichzeitig gewähren diese Formulierungen tiefere Einblicke in die Eigenschaften der klassischen
Mechanik, und sie enthalten wichtige Konzepte und Prinzipien, die auch in anderen Gebieten der Theoretischen
Physik eine zentrale Rolle spielen. Mit diesen anderen Formulierungen der Mechanik, mit allgemeinen
Prinzipien, und mit speziellen Themen werden wir uns in den weiteren Kapiteln dieser Vorlesung
befassen.
1.2 Kleiner historischer Überblick
Einen wichtigen Beitrag zur Entwicklung der klassischen Mechanik leistete die Astronomie und das Bestreben,
die Planetenbahnen zu verstehen. Schon in der Antike wurde vereinzelt ein heliozentrisches
Weltbild vertreten, so z.B. von Aristarch von Samos (ca 310-230 v. Chr.), der auch beeindruckende Überlegungen
zur Berechnung von Größe und Abstand von Sonne und Mond anstellte. Das heliozentrische
Weltbild konnte sich aber nicht gegen das von Ptolemäus (85-165 n.Chr.) vertretene geozentrische Weltbild
behaupten. Ein wichtiger Grund hierfür war die fehlende Fixsternparallaxe (das ist eine scheinbare
Veränderung der Position der Fixsterne am Himmel im Jahresverlauf). Ptolemäus beschrieb die Planetenbahnen
durch Epizyklen (Kreisbahnen auf Kreisbahnen) und konnte unter Verwendung von mehr
als 80 solcher Kreise eine beeindruckend große Genauigkeit in der Vorhersage der Planetenbewegung erzielen.
Das Ptolemäische Weltbild war fester Bestandteil der mittelalterlichen Weltsicht und war durch
viele plausible Argumente untermauert. Als Kopernikus (1473-1543) das heliozentrische Weltbild vor-
3

schlug, gab es daher lange anhaltenden Widerstand. Es dauerte deutlich länger als 100 Jahre, bis das
heliozentrische Weltbild anfing sich durchzusetzen. Kopernikus und andere Vertreter dieses Weltbilds
argumentierten mit der größeren Einfachheit (man benötigte nur noch 34 Kreise) und dem grösseren Erklärungspotenzial
(mehrere unabhängige Fakten, wie z.B. die scheinbare Umlaufdauer der Planeten um
die Erde und die generelle Gestalt der Bahnen, konnten nun durch eine gemeinsame Erklärung begründet
werden). Die Gegner argumentierten wie schon in der Antike mit der fehlenden Fixsternparallaxe, dem
Ruhen der Atmosphäre und mit der Beobachtung, dass senkrecht nach oben geworfene Steine wieder
am Ausgangsort landen. Durch die Berechnungen von Johannes Kepler (1571-1630) und die Beobachtungen
von Galileo Galilei (1564-1642) wurden die Argumente für das heliozentrische Weltbild immer
stärker. Als schließlich Issac Newton (1642-1727) die Planetenbahnen aus der Gravitationskraft zwischen
der Sonne und den Planeten, verbunden mit dem Newtonschen Bewegungsgesetz, ableiten konnte, war
kein Widerstand gegen das heliozentrische Weltbild mehr möglich. Interessant an all diesen historischen
Entwicklungen ist auch, dass sowohl die Vertreter des ptolemäischen Weltbildes, als auch die des heliozentrischen
Weltbildes ihre Überzeugungen mit religiösen Argumenten untermauerten. Meist weiß man
nur um den Widerstand der katholischen Kirche gegen Galilei. Doch dies gibt einen falschen Eindruck
von dem sehr komplexen Verhältnis zwischen Christentum und Wissenschaft. Als positives Beispiel kann
man Johannes Kepler anführen. Seine Suche nach den Gesetzen der Planetenbewegung war durch seinen
Glauben motiviert. Er war nämlich davon überzeugt, dass Gott ein großer Mathematiker ist und die Welt
deshalb nach mathematischen Gesetzen geschaffen hat, und dass der Mensch, weil er Gottes Ebenbild ist,
diese Gesetze herausfinden kann.
1.3 Grundlegende Begriffe der Newtonschen Mechanik
Die grundlegenden Variablen in der Newtonschen Mechanik sind Raum r und Zeit t, Masse m und Kraft
F .
Der Raum ist bei Newton dreidimensional, unbegrenzt und euklidisch. Körper können in diesem Raum
ruhen oder sich in ihm bewegen. Die Zeit ist bei Newton eine absolute Zeit, die für jeden Beobachter
gleich schnell dahinströmt.
Wie wir heute wissen, ist die Vorstellung eines absoluten Raums und einer absoluten Zeit nicht
zutreffend. Dies lehrt uns, dass die Vorstellungen über das Wesen der Welt, die man sich aufgrund einer
Theorie macht, falsch sein können, auch wenn die mit dieser Theorie durchgeführten Berechnungen richtig
sind.
1.4 Mechanik eines Teilchens
In vielen Fällen ist es ausreichend, die Bewegung eines Körpers als Bahn eines Massepunktes zu beschreiben.
Wenn allerdings Rotationen oder Deformationen wichtig werden, muss der Körper als ausgedehntes
Objekt beschrieben werden.
Eine Bahnkurve wird durch einen Vektor r(t) beschrieben.
Der entsprechende Geschwindigkeitsvektor v = ˙ r ≡ dr
dt ist tangential zur Bahnkurve und berechnet sich
als
r(t) − r(t − ∆t)
v(t) = lim
∆t→0 ∆t
4

Der Beschleunigungsvektor ist a = ˙ v = ¨ r ≡ d2 r
dt 2
Das Newtonsche Bewegungsgesetz besagt: Es gibt Bezugssysteme (Inertialsysteme), in denen die Bewegung
eines Teilchens der Masse m beschrieben wird durch
F = dp
dt
Hierbei ist p ≡ mv der Linearimpuls. Seine zeitliche Änderung ist
d
= (mv) (1.1)
dt
d
(mv) = ˙mv + ma ,
dt
woraus F = ma folgt, wenn m konstant ist (was wir in der nichtrelativistischen Mechanik immer annehmen).
In einem Intertialsystem bewegt sich folglich ein kräftefreies Teilchen geradlinig und mit konstanter
Geschwindigkeit:
m ¨ r = 0 ⇒ r(t) = r(0) + v(0)t
Anmerkung: Über Kräftefreiheit zu entscheiden, ist oft nicht trivial.
Das 1. Newtonsche Axiom besagt, Jeder Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder gleichförmig
”
geradlinigen Bewegung, solange keine Kraft auf ihn einwirkt“. Damit postuliert Newton die Existenz von
Intertialsystemen. Das Bewegungsgesetz F = dp
dt wird als 2. Axiom bezeichnet. Dieses gilt ebenso wie das
erste Gesetz nur in Inertialsystemen.
Das Newtonsche Bewegungsgesetz legt für eine gemessene Beschleunigung nur das Verhältnis von
| F | zu m fest, definiert also weder F noch m. Die Bestimmung von m und damit F wird durch das 3.
Axiom ( actio = reactio“) möglich: Die Wirkungen zweier Körper aufeinander sind stets gleich und von
” ”
entgegengesetzter Richtung“.
Übt Teilchen 1 auf Teilchen 2 die Kraft F21 aus, so gilt dann:
m1 ¨ r1 = F12 = − F21 = −m2 ¨
¨r1
r2 ⇒ m2 =
¨r2
Dies erlaubt die Bestimmung einer Masse m2 als Vielfaches einer bekannten (oder als Norm verwendeten)
Masse m1.
Weitere Basisgrößen sind die Längeneinheit Meter (m) und die Zeiteinheit Sekunde (s). Außerdem
gibt es eine Reihe von aus den Basisgrößen abgeleiteten Größen, wie zum Beispiel die Krafteinheit Newton
(N = kg m
s 2 ).
m1
Aus den Newtonschen Gesetzen lassen sich mehrere Erhaltungssätze ableiten:
1. Linearimpuls p: Wenn die Gesamtkraft Null ist, bleibt der lineare Impuls erhalten:
dp
dt = F = 0 ⇒ p = const
2. Drehimpuls L eines Teilchens um einen Punkt 0: Der Drehimpuls ist definiert als
L ≡ r × p . (1.2)
5

Der Drehimpuls ändert sich, wenn ein Drehmoment
angreift:
d L
dt
Also ist d L
dt = 0, wenn N = 0 ist.
N ≡ r × F (1.3)
d dr dp
= (r × p) = × p + r × = v × p +r ×
dt dt dt
=0
F = N .
3. Gesamtenergie T+V:
Zunächst berechnen wir die an einem Teilchen geleistete Arbeit längs einer Kurve C
W12 =
C
F · dr (1.4)
Das Kurvenintegral geht in ein gewöhnliches Integral über, falls die im Zeitintervall [t1, t2] durchlaufene
Kurve durch r(t) mit
dr(t) = dr(t)
dt = v(t)dt
dt
beschrieben wird (v ≡ |v|):
W12 =
Damit ist
r2
r1
F (r(t), v(t), t) · dr ≡
t2
gleich der Änderung der kinetischen Energie
t1
F (r(t), v(t), t) · v(t)dt = m
W12 = m
2 (v2 2 − v 2 1) ≡ T2 − T1
t1
t2
dv
dt
· v(t)dt = m
2
t2
t1
d
dt (v2 (t))dt .
(1.5)
T ≡ m
2 v2 . (1.6)
Wir betrachten im Folgenden Kraftfelder F (r), die nicht von der Geschwindigkeit abhängen. Ein
solches Kraftfeld ist konservativ, wenn
F (r) · dr = 0 (1.7)
C
ist für jede geschlossene Kurve C. Für konservative Kräfte hängt die Arbeit nicht vom Weg ab, wie
folgende Rechnung zeigt:
F · dr = C1
F · dr + C1−C2
F · dr = F · dr + C2
=0
F · dr
C2
Mit Hilfe des Stokesschen Satzes kann die Bedingung (1.7) geschrieben werden als ∇ × F = 0. Da
die Rotation von Gradienten verschwindet, gilt
Das skalare Feld V (r) heißt Potenzial oder potenzielle Energie.
F (r) = − ∇V (r) . (1.8)
6

Wer lieber zu Fuß rechnet mit explizit ausgeschriebenen Vektorkomponenten, kann folgende Beziehungen
benutzen: Wir verwenden zeitlich konstante orthogonale Einheitsvektoren ex, ey, ez bzgl.
eines Ursprungs. Damit ist
⎛
r = xex + yey + zez = ⎝ x
⎞
y⎠
z
und
und
⎛
∇ × F = ⎝
∇V (r) =
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
⎞
⎠ ×
⎛
⎝ Fx
Fy
Fz
⎞
⎛
⎠ ⎜
= ⎝
∂Fz
∂y
∂Fx
∂z
∂Fy
∂x
− ∂Fy
∂z
− ∂Fz
∂x
− ∂Fx
∂y
∂V (r)
∂x ex
∂V (r)
+ ∂y ey
∂V (r)
+ ∂z ez
=
Wir drücken schließlich die oben berechnete Arbeit für konservative Kraftfelder durch das Potenzial
aus:
t2
t2
t2
W12 = F · v(t)dt = − ∇V · v(t)dt = − ( d
dt V )dt = −(V (r2) − V (r1)) .
t1
t1
t1
⎛
⎝
⎞
⎟
⎠
∂V
∂x
∂V
∂y
∂V
∂z
Den vorletzten Schritt können wir mit Hilfe der Kettenregel nachvollziehen:
Also folgt schließlich
⎞
⎠ .
d ∂V dx ∂V dy ∂V dz
V (r(t)) = + +
dt ∂x dt ∂y dt ∂z dt ≡ ∇V · dr
dt .
W12 = V1 − V2
Daraus folgt mit (1.5) der Energieerhaltungssatz:
W12 = T2 − T1 = V1 − V2 ⇔ T1 + V1 = T2 + V2
Für konservative Kräfte ist die Summe aus kinetischer und potenzieller Energie konstant!
Beispiel 1:
Die Kraft F = (y, x2
2m
(1.9)
(1.10)
, x + z) N
m bewege ein Teilchen zwischen den Punkten r1 = (2m, 0, 0) und
r2 = (2m, 0, 4m).
a) Berechne die geleistete Arbeit auf einer Geraden parallel zur z-Achse.
b) Hängt die Arbeit von der Wahl des Weges zwischen den beiden Punkten ab?
Lösung:
a) Mit dem Einheitsvektor ez in z-Richtung gilt dr = ezdz und
W =
r2
r1
F · dr =
4m
0
4m
F (2m, 0, z) · ezdz = (2m + z) N
1
dz = (2mz +
m 2 z2 ) N
m
0
4m
0
= 16Nm
b) Die Arbeit hängt genau dann nicht vom Weg ab, wenn das Kraftfeld konservativ ist. Dazu muss die
Rotation des Kraftfeldes verschwinden, d. h. es müssen die Integrabilitätsbedingungen ∂Fi/∂rk = ∂Fk/∂ri
(i, k = 1, 2, 3) erfüllt sein. Wir testen dies für i = x und k = y:
∂Fx
∂y
N ∂Fy
= =
m ∂x
7
xN
= .
m2

Also existiert kein Potenzial, und das Linienintegral ist wegabhängig.
Beispiel 2: Skifahrer
Die Anfangsgeschwindigkeit sei v(t = 0) = v0 = 0. Was ist die Endgeschwindigkeit (ohne Reibung)?
Lösung:
Wir lösen diese Aufgabe mit Hilfe der Energieerhaltung. Wir haben nämlich mit F = mg ein konservatives
Kraftfeld. Bei z = h gilt:
E1 = T1 + V1 = V1 = mgh .
Bei z = 0 gilt:
Also folgt aus der Energieerhaltung:
E2 = T2 + V2 = T2 = 1
2 mv2 .
mgh = 1
2 mv2 ⇒ v = 2gh .
Die Fallbeschleunigung beträgt im Mittel über die Erdoberfläche
g = 9, 81 m
.
s2 1.5 Mechanik eines Systems von Teilchen
Wir betrachten ein System aus N Teilchen, deren Orte und Massen wir mit ri und mi bezeichnen, mit
i = 1, 2, . . . , N. Eine Kraft auf das Teilchen i heißt innere Kraft, wenn sie von einem anderen Teilchen
j ausgeht, sonst heißt sie äußere Kraft ( F (ex) ). Hängt die innere Kraft, die zwei Teilchen aufeinander
ausüben, nicht von der Anwesenheit eines dritten Teilchens ab, so heißt sie Zweikörperkraft, sonst
Mehrkörperkraft.
Für zentrale Zweikörperkräfte gilt für die vom Teilchen j auf Teilchen i ausgeübte Kraft (r = |r|):
Fij(rij) = fij(rij) rij
, rij ≡ ri − rj . (1.11)
rij
Beispiele für zentrale Zweikörperkräfte sind die Coulombkraft zwischen zwei Ladungen e1 und e2
F12 = e1e2
r 2 12
und die Gravitationskraft zwischen zwei Massen m1 und m2
r12
r12
F12 = −G m1m2
r 2 12
Hierbei ist G die Newtonsche Gravitationskonstante G 6, 673 · 10 −11 Nm 2 kg −2 .
8
r12
r12
(1.12)
. (1.13)

Das Potenzial der Gravitationskraft ist
V12 = −G m1m2
. (1.14)
Allgemein hängen die Potenziale Vij zu konservativen zentralen Zweikörperkräften Fij(r) = − ∇Vij(r)
nur vom Abstandsbetrag r = |r| ab. Dies zeigen wir folgendermaßen:
− ∇Vij(r) =
∂
−
∂x Vij(r)ex + ∂
∂y Vij(r)ey + ∂
∂z Vij(r)ez
=
− dVij(r)
∂r
dr ∂x ex + ∂r
∂y ey + ∂r
∂z ez
= fij(r) r
r ≡ Fij(r)
mit
fij(r) = − dVij(r) ∂r ∂ x
, = x2 + y2 + z2 =
dr ∂x ∂x
r etc.
Für Mehrteilchensysteme gilt der Schwerpunktsatz, der Drehimpulssatz, und der Energiesatz, die wir
im Folgenden herleiten.
1.5.1 Schwerpunktsatz
Den Schwerpunktsatz erhalten wir ausgehend von den Bewegungsgleichungen
dpi
dt = F (ex)
i +
j mit j=i
r12
Fij für i = 1, ..., N .
Für innere Kräfte gilt Fij = − Fji (actio = reactio). Es ist Fii = 0. Also ist
Wir definieren den Gesamtimpuls
N
i=1
dpi
dt =
N
i=1
P =
die gesamte äußere Kraft (z.B. die Gewichtskraft)
die Gesamtmasse
und den Ortsvektor des Schwerpunkts
F (ex) =
M =
R = 1
M
F (ex)
i
+
N
pi ,
i=1
N
i=1
N
i=1
N
i,j=1
F (ex)
i ,
mi
N
miri .
i=1
9
Fij
=0
(1.15)

Damit erhalten wir
also
P =
N
i=1
mi ˙ ri = M d
N
1
miri
dt M
i=1
R
Der Gesamtimpuls ist identisch mit dem Schwerpunktimpuls.
Mit (1.15) folgt der Schwerpunktsatz
P = M ˙ R . (1.16)
˙P = M ¨ R = F (ex) . (1.17)
Der Schwerpunkt bewegt sich so, als ob die gesamte Masse in ihm vereint wäre und alle äußeren Kräfte
an ihm wirken würden.
1.5.2 Drehimpulssatz
Den Drehimpulssatz leiten wir ausgehend von der Formel für den Gesamtdrehimpuls L der N Teilchen
her. Unter Verwendung von (1.2) ergibt sich
N N
L = Li = ri × pi . (1.18)
Das äußere Gesamtdrehmoment N (ex) ist die Summe der einzelnen Momente (1.3):
i=1
N (ex) =
Damit ist die Zeitableitung des Drehimpulses
d L
dt =
=
=
N
i=1
d
dt (ri × pi) =
N
i=1
N
i=1
i=1
ri × F (ex)
i . (1.19)
d
ri × mi
dt
˙
ri
N
mi ˙ ri × ˙ ri +miri ×
=0
¨ ⎛
⎞
N
N
ri = ri × ⎝F (ex)
i + Fij⎠
i=1
j=1
N
N
+ (ri − rj) × Fij. (1.20)
i=1
i=1
ri × F (ex)
i
i

wobei ri ′ die Darstellung des Ortsvektors in K ′ ist:
ri ′ =
Die Geschwindigkeiten transformieren sich gemäß
und wir erhalten den Gesamtdrehimpuls
L =
i=1
i
ri ′ ei ′ . (1.23)
vi = V + vi ′ , V = ˙ R (1.24)
N
N
ri × pi = R + ri ′
× V + vi ′
mi
i=1
= R × N V M + miri ′
× N
V +
i=1
=0
i=1
mi (ri ′ × vi ′ )
+ R × d
N
miri
dt
i=1
′
. (1.25)
=0
Da sich alle Vektoren ri ′ auf den Schwerpunkt beziehen, verschwindet N
i=1 miri ′ (wegen N
i=1 miri =
M R + N
i=1 miri ′ = M R), und wir erhalten
L = L (Bahn) + L (Eigen) = R × P +
N
i=1
ri ′ × pi ′
(1.26)
Der Gesamtdrehimpuls setzt sich also zusammen aus dem Drehimpuls des im Schwerpunkt konzentrierten
Systems (Bahndrehimpuls) und dem Drehimpuls der Bewegung bezüglich des Massenzentrums
(innerer oder Eigendrehimpuls). Wir schließen daraus, dass der Gesamtdrehimpuls vom Koordinatenursprung
abhängt.
1.5.3 Energiesatz
Für zentrale Zweiteilchenkräfte können wir die Bewegungsgleichung des i-ten Teilchens schreiben als
mi ¨ ri = − ∇i
Vij + F (ex)
i . (1.27)
j mit j=i
Das Symbol ∇i bedeutet hierbei den Gradienten bzgl. des Ortsvektors von Teilchen i. Multipliziert man
die Gleichung skalar mit ˙ ri, so erhält man nach Summation über i
N
mi ˙ ri · ¨ ri = 1 d
2 dt
i=1
= −
Mit d
dt V (r(t)) = ∇V · ˙ r ergibt sich
1 d
2 dt
N
i=1
N
i=1
i

oder
⎛
d
⎝
dt
N
i=1
1
2 mi (vi) 2 +
N
i,j=1,i

(b) Berechnen Sie für allgemeine a und b die Arbeit, die das Feld leistet, wenn ein Teilchen sich
geradlinig von (x, y) = (0, 0) über (0, 1) nach (1, 1) bewegt.
(c) Geben Sie (ohne Rechnung) die Arbeit an, die das Feld leistet, wenn das Teilchen sich geradlinig
von (0, 0) über (1, 0) nach (1, 1) bewegt. Welche Bedingung müssen a und b erfüllen, damit die
Arbeit in beiden Fällen gleich ist?
2. Ein Pendel der Masse m hängt an einer masselosen Stange der Länge l und ist so gelagert, dass es
sich reibungsfrei um 360 Grad bzw 2π in der x − y-Ebene drehen kann. Die Gravitationskraft wirkt
in −y-Richtung. Die Auslenkung aus der stabilen Ruhelage wird durch den Winkel ϕ beschrieben.
(a) Drücken Sie den Drehimpuls L des Pendels um den Aufhängepunkt durch m, l und ˙ϕ aus.
(b) Das Pendel wird anfangs in die instabile Gleichgewichtslage ϕ = π gebracht und aus der
Ruhe losgelassen. Berechnen Sie mit dem Energieerhaltungssatz die Geschwindigkeit v und
den Drehimpuls L beim Durchgang durch den Punkt ϕ = 0.
(c) Nun wird das Pendel bei einer beliebigen Anfangsauslenkung ϕ0 losgelassen (mit Anfangsimpuls
0). Drücken Sie unter Verwendung der Energieerhaltung die Schwingungsperiode T als
Integral aus. Dieses Integral lässt sich näherungsweise berechnen, indem man kleine ϕ0 betrachtet
und den Integranden bis zur vierten Ordnung in ϕ0 bzw ϕ entwickelt. Was ergibt sich
daraus für die Schwingungsperiode T ?
(d) Zeichnen Sie in der ϕ − Lz-Ebene alle qualitativ verschiedenen Trajektorien, die das Pendel
nehmen kann. Man nennt ein solches Bild ein Phasenraumportrait.
13

Kapitel 2
Zwangsbedingungen und das
d’Alembert-Prinzip
2.1 Zwangsbedingungen
Oft treten in der Mechanik Zwangsbedingungen auf, die den Newtonschen Bewegungsgleichungen
mi ¨ ri = Fi, i = 1, . . . , N
geometrische Einschränkungen auferlegen. Dadurch wird die Zahl der Freiheitsgrade verringert, und sie
beträgt nicht mehr 3N.
Es erweist sich als zweckmäßig, die Koordinaten so zu wählen, dass sie möglichst gut zu den Zwangsbedingungen
passen. Kartesische Koordinaten sind längst nicht immer die beste Wahl. Wir führen sogenannte
verallgemeinerte (“generalisierte”) Koordinaten ein. Dies dürfen beliebige Größen sein, die die
Konfigurationen eines mechanischen Systems kennzeichnen können. Sie müssen nicht die Dimension einer
Länge haben. Wir kennen von den Zylinder- und Polarkoordinaten schon die Winkel als verallgemeinerte
Koordinaten. Allgemein notieren wir verallgemeinerte Koordinaten mit qj, j = 1, . . . , 3N. Die
kartesischen Koordinaten lassen sich als Funktionen der qj und der Zeit schreiben:
xi = xi(q1, . . . , q3N ; t), yi = yi(q1, . . . , q3N; t), zi = zi(q1, . . . , q3N; t) .
2.1.1 Klassifizierung von Zwangsbedingungen
Holonome Zwangsbedingungen
Holonome Zwangsbedingungen haben für ein System, das durch 3N verallgemeinerte Koordinaten festgelegt
ist, die Form
fi(q1, . . . , q3N; t) = 0 , i = 1, . . . , k mit k ≤ 3N . (2.1)
In differenzieller Form wird dies zu
mit
dfi =
aijdqj + bidt = 0 , j = 1, . . . , 3N (2.2)
j
aij ≡ ∂fi
, bi ≡
∂qj
∂fi
∂t .
Wenn Zwangsbedingungen nur in differenzieller Form gegeben sind, kann man erkennen, dass sie holonom
sind, indem man die Integrabilitätsbedingungen überprüft. Es muss nämlich gelten
∂ 2 fi
∂ql∂qj
≡ ∂aij
∂ql
= ∂ail
∂qj
≡ ∂2 fi
∂qj∂ql
14
und ∂aij
∂t
∂bi
= . (2.3)
∂qj

Wenn es k holonome Zwangsbedingungen gibt, wird die Zahl der Freiheitsgrade auf 3N − k erniedrigt.
Wir betrachten drei Beispiele:
1. Starrer Körper: In einem starren Körper können sich die Abstände zwischen den Punkten nicht
ändern. Seine Lage wird durch drei körperfeste Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, eindeutig
bestimmt. Diese drei Punkte haben feste Abstände |ri − rj| (mit i, j = 1, 2, 3) voneinander, so
dass sie zusammen nicht 9 sondern nur 6 Freiheitsgrade haben. Dies ist somit auch die Zahl der
Freiheitsgrade des starren Körpers.
2. Zylinder mit Radius r, der auf einer Ebene rollt: Da der Zylinder die Richtung seiner Achse nicht
ändern kann, betrachten wir einen zweidimensionalen Querschnitt, also eine Kreisscheibe, die auf
einer Geraden rollt, die mit der x-Achse den Winkel α bildet. In einer zweidimensionalen Welt hat
ein starrer Körper nur noch 3 Freiheitsgrade, für unsere Kreisschreibe sind dies z.B. die Koordinaten
des Auflagepunkts (xA, yA) und der Rollwinkel ϕ. Die Zwangsbedingungen sind
Es bleibt also ein Freiheitsgrad übrig.
xA − rϕ cos α = 0 und yA − rϕ sin α = 0 . (2.4)
3. Rutschende Perle auf rotierendem parabelförmigem Draht: Ein parabelförmiger Draht rotiere mit
der Winkelgeschwindigkeit ω um die z-Achse. In Zylinderkoordinaten r, ϕ, z gelten für die Perle die
folgenden Zwangsbedingungen:
ϕ = ωt( oder ωt − π) und z − ar 2 = 0 . (2.5)
Hierbei ist a die (positive) Krümmung der Parabel am Ursprung. Es bleibt also ein Freiheitsgrad
übrig.
2.1.2 Nicht-holonome Zwangsbedingungen
Nicht-holonome Zwangsbedingungen sind geometrische Einschränkungen, die sich nicht durch Gleichungen
zwischen den generalisierten Koordinaten und der Zeit darstellen lassen. Sie können die Form von
Ungleichungen haben, oder sie können eine differenzielle Form haben, die nicht die Integrabilitätsbedingungen
(2.3) erfüllt. Beispiele sind
15

1. Teilchen im würfelförmigen Kasten: hier gelten die Einschränkungen 0 ≤ x ≤ L , 0 ≤ y ≤ L , 0 ≤
z ≤ L .
2. Rollende Kreisschreibe: Eine Kreisschreibe ist ein starrer Körper und hat ohne Berücksichtigung
der Zwangsbedingungen 6 Freiheitsgrade. Wenn man die Bedingung auferlegt, dass ein Punkt des
Umfangs die Auflageebene berühren soll, bleiben 5 Freiheitsgrade. Wir wählen als verallgemeinerte
Koordinaten die Koordinaten des Auflagepunktes (xA, yA), die “Rollrichtung” ϕ (Winkel zwischen
der x-Achse und der Schnittlinie von Scheibenebene und Boden), den Neigungswinkel ϑ der Scheibe
und den Rollwinkel ψ. Die Rollbedingung (vgl. (2.4)) sorgt dafür, dass die Scheibe sich zu jedem
Zeitpunkt in Richtung der momentanen Scheibenebene bewegt:
dxA = −r dψ cos ϕ und dyA = −r dψ sin ϕ . (2.6)
Da die Scheibenebene ihre Orientierung ändern kann, ist dies aber keine holonome Zwangsbedingung.
Die Scheibe kann sich zwar immer nur in der Richtung bewegen, in der ihre Ebene zeigt, aber
sie kann im Laufe der Zeit trotzdem jede durch die 5 Freiheitsgrade beschriebene Konfiguration
einnehmen. Das ist wie bei einem Fahrrad: Man kann zwar immer nur in Richtung des Vorderrades
fahren, aber indem man das Vorderrad geeignet dreht, kann man letztlich überall hinkommen, mit
jeder gewünschten Fahrradorientierung und -neigung (naja....) und jedem gewünschten Drehwinkel
der Räder. (Die Analogie zwischen Fahrrad und Kreisscheibe ist offensichtlicher, wenn man ein
Einrad statt eines normalen Fahrrads betrachtet....).
Division durch dt führt die Zwangsbedingungen (2.6) über in
˙xA + r ˙ ψ cos ϕ = 0 , ˙yA + r ˙ ψ sin ϕ = 0 . (2.7)
Da es für ϕ keine Zwangsbedingung gibt (im Gegensatz zu obigem Beispiel mit dem rollenden
Zylinder), lässt sich die Bedingung (2.6) bzw. (2.7) nicht integrieren.
Nichtholonome Zwangsbedingungen, die eine differenzielle Form haben, haben allgemein die Gestalt
aijdqj + bidt = 0 , (2.8)
j
bzw.
aij ˙qj + bi = 0 . (2.9)
Die aij und bi erfüllen nicht die Bedingung (2.3). Sie haben die allgemeine Form
j
aij = aij(q1, . . . , q3N ; t) bi = bi(q1, . . . , q3N; t) . (2.10)
16

Sie hängen von den verallgemeinerten Koordinaten und der Zeit ab, aber nicht von den Geschwindigkeiten.
Zwangsbedingungen, die die Zeit explizit enthalten, heißen “rheonom” (d.h. “fließend”), zeitunabhängige
Zwangsbedingungen heißen skleronom (“starr”). Von den bisher genannten Beispielen ist nur das
Beispiel mit der Perle auf dem rotierenden Draht (2.5) rheonom.
2.1.3 Zwangskräfte
Aufgrund von Zwangsbedingungen gibt es neben den “inneren” (zwischen den Teilen des Systems wirkenden)
und “äußeren” (von außen angreifenden) Kräften noch die sogenannten “Zwangskräfte”, die durch
diejenigen Vorrichtungen ausgeübt werden, die für die Zwangsbedingungen verantwortlich sind. Wenn
z.B. ein Buch auf einem Tisch liegt, übt die Tischfläche auf das Buch eine Zwangskraft aus, die der
Gravitationskraft entgegengerichtet und ebenso groß wie diese ist, so dass das Buch auf dem Tisch ruht.
Wenn es Zwangsbedingungen gibt, müssen diese Zwangskräfte in den Newtonschen Bewegungsgleichungen
berücksichtigt werden:
mi ¨ ri = Fi + Zi , (2.11)
wobei Fi die Summe aus den äußeren und inneren Kräften darstellt und Zi die Zwangskraft auf das
i-te Teilchen. Allgemeine Regeln zur Bestimmung der Zwangskräfte werden wir später formulieren. Für
den Fall, dass wir es mit zeitunabhängigen Zwangsbedingungen zu tun haben (wie Berandungen, Verbindungsstangen,
etc.), gilt die Regel, dass die Zwangskräfte insgesamt keine Arbeit verrichten dürfen. Wenn
sie es täten, wäre der Energieerhaltungssatz verletzt und man könnte ein Perpetuum mobile bauen. Da
den Berandungen und Stangen etc. keine Energie zugeführt wird, können sie auch keine abgeben.
Um diese Bewegungsgleichungen zu lösen, muss man die Zwangskräfte entweder berechnen oder eliminieren.
Dies kann man durch ein systematisches Vorgehen wie im Folgenden gezeigt durchführen. Mit
Hilfe der k Zwangsbedingungen kann man die generalisierten Koordinaten auf 3N −k unabhängige Koordinaten
reduzieren und die k Zwangskräfte eliminieren. Allerdings werden die Rechnungen recht schnell
aufwendig, und wir werden im weiteren Verlauf der Vorlesung elegantere Methoden zum Lösen von mechanischen
Aufgaben mit Zwangbedingungen kennenlernen.
Beispiel 1: Teilchen im Kreiskegel Eine Punktmasse m gleitet reibungsfrei auf der Innenseite eines
Kreiskegels. Die Gravitationskraft wirkt in negative z-Richtung.
x
z
ϕ
r
g
y
(Bild stammt von http://www.semibyte.de/dokuwiki/nat/graphiken/physik/teilchen auf kreiskegel)
Die Bewegungsgleichungen (2.11) sind
m¨x = Zx ; m¨y = Zy ; m¨z = Zz − mg .
Wir wählen Zylinderkoordinaten (r, z, ϕ) als generalisierte Koordinaten. Die Zwangsbedingung ist
r − z tan α = 0 ,
wobei α den Winkel der Zylinderwand mit der z-Achse darstellt (nicht im Bild eingezeichnet). Wir wählen
r und ϕ als unabhängige Koordinaten. Dann gilt
(x, y, z) = r(cos ϕ, sin ϕ, cot α) .
17

Also ist
¨x = ¨r cos ϕ − 2 ˙r ˙ϕ sin ϕ − r ¨ϕ sin ϕ − r ˙ϕ 2 cos ϕ
¨y = ¨r sin ϕ + 2 ˙r ˙ϕ cos ϕ + r ¨ϕ cos ϕ − r ˙ϕ 2 sin ϕ
¨z = ¨r cot α .
Eingesetzt in die Bewegungsgleichungen gibt das
Zx = m(¨r cos ϕ − 2 ˙r ˙ϕ sin ϕ − r ¨ϕ sin ϕ − r ˙ϕ 2 cos ϕ) (2.12)
Zy = m(¨r sin ϕ + 2 ˙r ˙ϕ cos ϕ + r ¨ϕ cos ϕ − r ˙ϕ 2 sin ϕ) (2.13)
Zz = m(¨r cot α + g) . (2.14)
Diese drei Gleichungen enthalten fünf Unbekannte: r(t), ϕ(t), Zx, Zy, Zz. Wir müssen also zum Lösen der
Gleichungen noch weitere Informationen verwenden. Diese stecken in der Bedingung, dass die Zwangskräfte
senkrecht auf den Wänden stehen (weil sie keine Arbeit verrichten). Also gilt
Zy cos ϕ = Zx sin ϕ und Zz = Z2 x + Z2 y tan α
bzw. Zz cos ϕ = −Zx tan α. Wir subtrahieren die mit sin ϕ multiplizierte Gleichung (2.12) von der mit
cos ϕ multiplizierten Gleichung (2.13) und erhalten
2 ˙r ˙ϕ + r ¨ϕ = 0 . (2.15)
Addition der mit tan α multiplizierten Gleichung (2.12) und der mit cos ϕ multiplizierten Gleichung (2.14)
ergibt
(tan α + cot α)¨r − r ˙ϕ 2 tan α + g = 0 . (2.16)
Wir haben also zwei gekoppelte Differenzialgleichungen für die beiden unabhängigen Variablen r und ϕ.
(Bemerkung: Dieses Problem ist nur dann wohl definiert, wenn man davon ausgeht, dass die Geschwindigkeit
des Teilchens eine von Null verschiedene Komponente in ϕ-Richtung hat. Sonst würde das
Teilchen in der Kegelspitze landen, wo die Zwangsbedingung nicht mehr differenzierbar ist. Wir gehen
also hier und bei allen später im Skript vorkommenden Rechnungen zu diesem Problem davon aus, dass
es eine Geschwindigkeitskomponente in ϕ-Richtung gibt.)
Beispiel 2: Rollpendel ohne Reibung:
Der Aufhängepunkt eines Pendels sei in der x-Achse angebracht und mit einer Masse m1 versehen,
die längs der x-Achse reibungsfrei gleiten kann. Die Pendelmasse m2 hängt an einem masselosen Faden
der Länge l. Die 4 Koordinaten x1, y1, x2, y2, die die Position der Massen m1 und m2 beschreiben, unterliegen
zwei Zwangsbedingungen, so dass nur zwei unabhängige Koordinaten übrigbleiben. Wir wählen als
unabhängige generalisierte Koordinaten den Auslenkwinkel ϕ und die Position x1 der Masse m1. Nach
(2.11) lauten die Bewegungsgleichungen
m1¨x1 = Z1x , m1¨y1 = −m1g + Z1y
m2¨x2 = Z2x , m2¨y2 = −m2g + Z2y .
18

Die Zwangsbedingungen sind y1 = 0 und (x2 − x1) 2 + (y2 − y1) 2 = l 2 . Wir eliminieren nun x2 und y2
via
x2 = x1 + l sin ϕ , y2 = −l cos ϕ
und
und
¨x2 = ¨x1 + d
dt (l ˙ϕ cos ϕ) = ¨x1 + l ¨ϕ cos ϕ − l ˙ϕ 2 sin ϕ
¨y2 = d
dt (l ˙ϕ sin ϕ) = l ¨ϕ sin ϕ + l ˙ϕ2 cos ϕ .
Die Bewegungsgleichungen für die unabhängigen Koordinaten x1 und ϕ sind dann
m1g = Z1y
m1¨x1 = Z1x
m2(¨x1 + l ¨ϕ cos ϕ − l ˙ϕ 2 sin ϕ) = Z2x
m2(l ¨ϕ sin ϕ + l ˙ϕ 2 cos ϕ + g) = Z2y . (2.17)
Die erste Gleichung ist keine Bewegungsgleichung und wird zur Bestimmung der Bahn nicht benötigt.
Wir haben also 3 Gleichungen für die 5 Größen x1, ϕ, Z1x, Z2x, Z2y. Allerdings sind die drei Zwangskraftkomponenten
nicht unabhängig voneinander. Es ist nämlich
und
Mit (2.17) folgt
und daraus
Analog erhalten wir auch
und daraus
Z1x = −Z2x
Z2x cos ϕ = −Z2y sin ϕ .
m1¨x1 = −m2(¨x1 + l ¨ϕ cos ϕ − l ˙ϕ 2 sin ϕ)
(m1 + m2)¨x1 = m2l( ˙ϕ 2 sin ϕ − ¨ϕ cos ϕ) . (2.18)
m2(¨x1 + l ¨ϕ cos ϕ − l ˙ϕ 2 sin ϕ) cos ϕ = −m2(l ¨ϕ sin ϕ + l ˙ϕ 2 cos ϕ + g) sin ϕ
¨x1 cos ϕ + l ¨ϕ + g sin ϕ = 0 . (2.19)
Also haben wir zwei gekoppelte Differenzialgleichungen für die beiden Variablen x1 und ϕ.
19

2.2 Das d’Alembert-Prinzip
Um die Schwierigkeiten zu beseitigen, dass Zwangskräfte i.A. unbekannt sind, soll hier die Mechanik
so formuliert werden, dass in ihr Zwangskräfte nicht auftreten. Diese neue Formulierung beruht auf der
schon gemachten Feststellung, dass Zwangsflächen, Achsen, Stangen usw. nicht den Energieerhaltungssatz
verletzen. Dies bedeutet, dass Zwangsbedingungen keine Arbeit leisten, es sei denn, sie werden durch
Antriebe bewegt. Dann liegen aber rheonome Zwangsbedingungen vor. Durch einen Trick können wir
erreichen, dass wir die von ihnen verrichtete Arbeit nicht berücksichtigen müssen: Wir betrachten nämlich
sogenannte “virtuelle Verrückungen”, das sind mit den Zwangsbedingungen verträgliche Verschiebungen
bei festgehaltener Zeit:
Definition: Eine virtuelle Verrückung δri des i-ten Teilchens ist eine Verschiebung mit den Eigenschaften
• δri ist infinitesimal
• δri ist mit den Zwangsbedingungen verträglich
• δri erfolgt instantan, d.h. dt = 0 (daher “virtuell”)
Ein einfaches Beispiel ist eine Perle auf einem bewegten Draht:
Der Draht sei parallel zu x-Achse und bewege sich mit Geschwindigkeit v in y-Richtung. Für reelle
Verschiebungen dr der Perle ist dt = 0, und bei einer reellen Verschiebung hat dr eine von Null
verschiedene y-Komponente. Eine virtuelle Verschiebung δr dagegen ist parallel zur x-Achse.
Mit den Bewegungsgleichungen (2.11)
folgt
i=1
mi ¨ ri − Fi = Zi
N
(mi ¨ ri − N
Fi) · δri = Zi · δri
Wir postulieren nun: Zwangskräfte verrichten in ihrer Gesamtheit keine virtuelle Zwangsarbeit, d.h.
i=1
(2.20)
N
Zi · δri = 0 . (2.21)
i=1
Das bedeutet, dass zeitunabhängige Zwangsbedingungen und festgehaltene zeitabhängige Zwangsbedingungen
keine Arbeit verrichten. Zwangsbedingungen können nur dann Arbeit verrichten, wenn diese aktiv
in das System hineingesteckt wird, indem Stangen, Berandungen etc. verschoben werden.
Das d’Alembert-Prinzip (2.21) führt mit (2.20) auf die d’Alembert-Gleichung
N
(mi ¨ ri − Fi) · δri = 0 . (2.22)
i=1
Sie enthält keine Zwangskräfte und ist zur Lösung von Problemen mit Zwangsbedingungen geeignet.
20

Beachte: Die Summanden in (2.22) dürfen nicht einzeln gleich Null gesetzt werden!
Für k holonome Zwangsbedingungen mit unabhängigen Koordinaten qj, j = 1, . . . , 3N − k und der
Transformation
ri = ri(q1, . . . , q3N−k; t) , , i = 1, . . . N
gilt
δri =
3N−k
j=1
∂ri
δqj . (2.23)
∂qj
In (2.23) tritt ∂ri/∂t nicht auf, da δri instantan ist. Einsetzen von (2.23) in (2.22) ergibt
3N−k N
(mi ¨ ri − Fi) · ∂ri
δqj = 0 .
∂qj
j=1
i=1
Die ersten 3N − k Werte von δqj können unabhängig gewählt werden. (Die übrigen k Werte liegen dann
eindeutig fest, weil die Zwangsbedingungen erfüllt sein müssen.) Insbesondere kann man auch alle bis auf
einen der ersten 3N − k Werte von δqj zu Null setzen. Damit ergeben sich die d’Alembert-Gleichungen
für holonome Zwangsbedigungen:
N
(mi ¨ ri − Fi) · ∂ri
= 0 , j = 1, . . . 3N − k . (2.24)
∂qj
i=1
Anhand des Rollpendels können wir sowohl sehen, dass die Summanden in (2.21) der virtuellen Zwangsarbeit
ungleich null sind, als auch dass sich die Bewegungsgleichungen der unabhängigen Freiheitsgrade
mit den d’Alembert-Gleichungen sehr schnell herleiten lassen.
Z
Die virtuellen Verrückungen sind δr1 und δr2 = δr1 + δr rot
und Z2 = − F aden Z . Damit ergibt sich
F aden
1
Und
1
Z1 · δr1 = ( Z Schiene
1
+ Z
F aden
1
2 . Die Zwangskräfte sind Z1 = ZSchiene 1
) · δr1 = Z
Z2 · δr2 = − F aden
Z1 · (δr1 + δr rot
2 ) = − Z
F aden
1
F aden
1
· δr1
· δr1 .
Die Summe dieser beiden Terme ist Null, wie es sein muss, aber die einzelnen Terme sind von Null
verschieden (außer wenn ϕ = 0 ist).
Die d’Alembert-Gleichungen für das Rollpendel sind
mit den äußeren Kräften
(m1 ¨ r1 − F1) · δr1 + (m2 ¨ r2 − F2) · δr2 = 0
F1
m1
= F2
= −gey .
m2
21
+

Damit ergibt sich
m1¨x1δx1 + m2 [¨x2δx2 + (¨y2 + g)δy2] = 0 .
Transformation auf die unabhängigen Koordinaten x1 und ϕ führt zu den Ersetzungen
und damit auf
x2 = x1 + l sin ϕ , y2 = −l cos ϕ
δx2 = δx1 + lδϕ cos ϕ , δy2 = lδϕ sin ϕ .
Einsetzen ergibt wegen der Unabhängigkeit von δx1 und δϕ
und
m1¨x1 + m2¨x2 = 0
m2 [¨x2l cos ϕ + (¨y2 + g)l sin ϕ] = 0 .
Wenn wir jetzt noch ¨x2 und ¨y2 durch die unabhängigen Variablen ausdrücken, erhalten wir die Bewegungsgleichungen
m1¨x1 + m2(¨x1 + l ¨ϕ cos ϕ − l ˙ϕ 2 sin ϕ) = 0
und
¨x1 cos ϕ + l ¨ϕ + g sin ϕ = 0 .
Dies sind die Gleichungen, die wir schon direkt aus den Newtonschen Gleichungen hergeleitet haben (siehe
(2.18) und (2.19)), aber das war viel umständlicher.
Auch das Beispiel mit dem Teilchen im Kreiskegel rechnen wir nun mit dem d’Alembert-Prinzip:
Es ist
(m ¨ r − mg) · δr = m[¨xδx + ¨yδy + (¨z + g)δz] = 0 .
Wegen der Zwangsbedingung r − tan α = 0 sind nur zwei der drei Variablen unabhängig. In Zylinderkoordinaten
(x, y, z) = r(cos ϕ, sin ϕ, cot α)
sind die virtuellen Verschiebungen
δx = δr cos ϕ − r sin ϕδϕ , δy = δr sin ϕ + r cos ϕδϕ δz = δr cot α .
Damit lautet die d’Alembert-Gleichung
[2 ˙r ˙ϕ + r ¨ϕ]rδϕ + [(tan α + cot α)¨r − r ˙ϕ 2 tan α + g] cot αδr = 0 . (2.25)
Wegen der Unabhängigkeit von δϕ und δr müssen beide eckige Klammern verschwinden, und wir erhalten
die schon bekannten Bewegungsgleichungen (2.15) und (2.16).
Wir erhalten also folgende Gebrauchsanweisung für Probleme mit holonomen Zwangsbedingungen:
• Bestimmen der holonomen Zwangsbedingungen
• Aufstellen der d’Alembert-Gleichungen
• Einsetzen der unabhängigen virtuellen Verrückungen
Für Systeme, die sich im Gleichgewicht befinden, verschwindet die Gesamtkraft Fi + Zi für jedes
Teilchen, also gilt N
i=1 ( Fi + Zi) · δri = 0. Mit dem d’Alembert-Prinzip (2.21) folgt
N
Fi · δri = 0 , (2.26)
i=1
22

d.h. im Gleichgewicht verschwindet die virtuelle Arbeit aller eingeprägten Kräfte.
Diese Bedingung kann benützt werden, um Gleichgewichtsprobleme zu lösen. Als Beispiel betrachten
wir eine Leiter an der Wand: (das Bild habe ich von
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/8/23028 leiter2.gif geklaut.)
Eine Leiter der Länge L und Masse M steht an der Wand und wird von einer Frau der Masse m bis
zur Länge l bestiegen. Die Leiter hat an beiden Enden Rollen, so dass keine Reibung gegen Wand und
Boden auftritt. An ihrem unteren Ende ist ein Seil befestigt, um das Wegrutschen zu verhindern. Wie
groß ist die Kraft F , mit der das Seil die Leiter hält?
Es existieren 4 Zwangsbedingungen:
xB = (L − l) cos µ , yB = l sin µ , xS = L
2 cos µ , yS = L
sin µ .
2
Von den 5 Variablen xS, yS, xB, yB, µ ist also nur eine unabhängig. Wir wählen µ, das über die
Beziehung xA = L cos µ mit dem Auflagepunkt xA zusammenhängt.
Es gibt drei Kräfte, nämlich die Gravitationskraft der Frau, die am Punkt B angreift, die Gravitationskraft
der Leiter, die am Schwerpunkt S angreift, und die Kraft, die die Leiter hält und am Auflagepunkt
A angreift. Die Bedingung (2.26) lautet also
Mg · δrS + mg · δrB + F · δrA = 0 bzw. − MgδyS − mgδyB − F δxA = 0 .
Ausgedrückt durch die unabhängige Variable µ sind die virtuellen Verrückungen
δxA = −L sin µδµ , δyB = l cos µδµ , δyS = L
cos µδµ ,
2
so dass wir
−Mg L
cos µ − mgl cos µ + F L sin µ δµ = 0
2
erhalten. Also ist
Aufgaben
M l
F = g cot µ + m .
2 L
1. Nennen Sie mehrere Beispiele für holonome und nicht holonome Zwangsbedingungen.
2. Leiten Sie das Hebelgesetz F1r1 = F2r2 aus der Gleichgewichtsbedingung (2.26) her.
(Bild ist von http://wapedia.mobi/de/Hebelgesetz?t=2.)
3. (Diese Aufgabe entspricht Aufgaben 3-5 und 4-1 im Kuypers.) Betrachten Sie die Perle auf dem gebogenen
rotierenden Draht (Abschnitt 2.1.1. aus dem Skript). Stellen Sie die Bewegungsgleichungen
auf zwei Wegen auf:
23

(a) Gehen Sie wie in Abschnitt 2.1.3. vor und formulieren Sie zunächst die Newtonschen Gleichungen
samt Zwangskräften. Eliminieren Sie dann die Zwangskräfte und gehen Sie zu unabhängigen
Koordinaten über.
(b) Gehen Sie wie in 2.2. vor. Starten Sie also mit den d’Alembert-Gleichungen.
24

Kapitel 3
Lagrange-Gleichungen zweiter Art
3.1 Herleitung
Der folgende Lagrange-Formalismus zweiter Art ist zu d’Alembert mit holonomen Zwangsbedingungen
äquivalent, jedoch bei der Aufstellung von Bewegungsgleichungen in der Praxis überlegen.
Wir gehen aus von der d’Alembert-Gleichung (2.22),
N
(mi ¨ ri − Fi) · δri = 0, ri = ri(q1, . . . , qn; t), i = 1, . . . , N
i=1
wobei die verallgemeinerten Koordinaten qj, j = 1, . . . , n voneinander abhängen dürfen. Mit der Ersetzung
erhalten wir
N
Fi · δri =
N
i=1
Wir definieren also die verallgemeinerte Kraft
j
δri = ∂ri
δqj
∂qj
i=1
Qj =
j=1 i=1
j
Fi · ∂ri
∂qj
N
i=1
δqj ≡
Qjδqj . (3.1)
j
Fi · ∂ri
. (3.2)
∂qj
Wir machen weiterhin in der d’Alembert-Gleichung die folgende Umformung:
N
mi
i=1
¨ ri · δri =
n
N
mi
j=1 i=1
¨ ri · ∂ri
δqj
∂qj
=
n N
d
mi
dt
j=1 i=1
˙ ri · ∂ri
− mi
∂qj
˙ ri · d
=
∂ri
δqj
dt ∂qj
n N
d
mi
dt
˙ ri · ∂ ˙
ri
− mi
∂ ˙qj
˙ ri · ∂ ˙
ri
δqj ,
∂qj
wobei für die letzte Umformung
˙ri = ∂ri
∂qj
j
˙qj + ∂ri
∂t ⇒ ∂ ˙ ri
∂ ˙qj
25
= ∂ri
∂qj
(3.3)

und
d ∂ri
=
dt ∂qj
∂2ri ∂ql∂qj
l
˙ql + ∂2 ri
∂t∂qj
benutzt wurde.
Mit der Notation vi = ˙ ri und vi = |vi| ist demnach
N
mi ¨ ri · δri =
N
d ∂ 1
dt ∂ ˙qj 2
j
i=1
miv 2
i
=
d ∂T
−
dt ∂ ˙qj
∂T
δqj
∂qj
i=1
j
= ∂ dri
∂qj dt ≡ ∂ ˙ ri
∂qj
− ∂
∂qj
mit der kinetischen Energie T = 1
2 i miv2 i . Mit (3.1) und (3.5) folgt
N
(mi ¨ ri − Fi) · δri =
d ∂T
dt ∂ ˙qj
i=1
j
N
i=1
1
2 miv 2
i δqj
(3.4)
(3.5)
− ∂T
− Qj δqj = 0 . (3.6)
∂qj
Wenn wir k holonome Zwangsbedingungen haben, also n = 3N − k unabhängige qj und daher auch n
unabhängige δqj, dann folgt
d ∂T
dt ∂ ˙qj
− ∂T
− Qj = 0 j = 1, . . . , 3N − k . (3.7)
∂qj
Gleichung (3.7) gilt für beliebige verallgemeinerte Kräfte Qj. Mit der weiteren Annahme, dass Kräfte
konservativ sind (d.h. Fi = − ∇iV ), gilt
Qj =
N
i=1
∂ri Fi
∂qj
= −
N
i=1
∇iV · ∂ri
, j = 1, . . . , 3N − k .
∂qj
Letztes ist wegen ri = ri(q1, . . . , q3N−k; t) die partielle Ableitung der Potenzialfunktion V (r1, . . . , rN):
also
∂V
∂qj
Damit kann (3.7) geschrieben werden als
=
N
i=1
Qj = − ∂V
∇iV · ∂ri
,
∂qj
∂qj
d ∂T ∂(T − V )
− = 0 .
dt ∂ ˙qj ∂qj
. (3.8)
Da das Potenzial V unabhängig von den generalisierten Geschwindigkeiten ist, d.h. ∂V/∂ ˙qj = 0,
können wir auch schreiben
d ∂(T − V ) ∂(T − V )
− = 0 .
dt ∂ ˙qj ∂qj
Wir definieren nun die Lagrange-Funktion
L = T − V (3.9)
26

und erhalten damit die Lagrange-Gleichungen zweiter Art
d ∂L
dt ∂ ˙qj
− ∂L
∂qj
= 0 , j = 1, . . . , 3N − k . (3.10)
Die Lagrange-Gleichungen zweiter Art gelten auch für manche geschwindigkeitsabhängige, “generalisierte”
Potenziale
V = V (q1, . . . , q3N−k, ˙q1, . . . , ˙q3N−k; t) , (3.11)
und zwar dann, wenn die Kräfte sich in der Form
Qj = − ∂V
+
∂qj
d ∂V
dt ∂ ˙qj
(3.12)
schreiben lassen. Ein wichtiges Beispiel hierfür ist die elektromagnetische Kraft auf eine bewegte Ladung
e, die Lorentzkraft, die sich aus dem generalisierten Potenzial
V = e(φ − v · A) (3.13)
ableiten lässt, wobei φ(r, t) das skalare Potenzial und A(r, t) das Vektorpotenzial des Elektrodynamik ist.
(siehe Übungen.)
3.2 Gebrauchsanweisung
Mit den Lagrange-Gleichungen zweiter Art lassen sich viele Mechanik-Aufgaben elegant lösen. Die Gebrauchsanweisung
zur Aufstellung dieser Gleichungen ist folgende:
(i) Schreibe L = T − V als Funktion der 3N kartesischen Koordinaten oder als Funktion von 3N
geeigneten generalisierten Koordinaten q1, . . . , q3N und der 3N Geschwindigkeiten ˙q1, . . . , ˙q3N.
(ii) Drücke die 3N Koordinaten durch 3N − k unabhängige generalisierte Koordinaten aus, bei k holonomen
Zwangsbedingungen. (Bemerkung: Mit etwas Übung kann man oft die Lagrange-Funktion
L direkt als Funktion der q1, . . . , q3N−k schreiben. Dann kann man Schritt 1 überspringen.)
(iii) Bestimme L als Funktion der unabhängigen Koordinaten, Geschwindigkeiten und evtl. der Zeit.
(iv) Stelle die Lagrange-Gleichungen zweiter Art auf.
3.3 Beispiele
Als Beispiel nehmen wir wieder das Teilchen im Kreiskegel und das Rollpendel. Die vier Schritte der
Gebrauchsanweisung sind für das Teilchen im Kreiskegel die folgenden:
x
z
ϕ
r
g
y
27

(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
L = m
2
T − V = m
2 ( ˙r2 + ˙z 2 + r 2 ˙ϕ 2 ) − mgz
z = r cot α
(1 + cot 2 α) ˙r 2 + r 2 ˙ϕ 2 − mgr cot α
d ∂L ∂L
−
dt ∂ ˙r ∂r = (1 + cot 2 α)¨r − r ˙ϕ 2 + g cot α = 0 , (2.16)
d ∂L ∂L
−
dt ∂ ˙ϕ ∂ϕ
= mr(2 ˙r ˙ϕ + r ¨ϕ) = 0 . (2.15)
Für das Rollpendel sind die 4 Schritte:
− ∂L
∂x1
T = m1
2 ( ˙x2 2 + ˙y 2 2)
V = m2gy2 + const
L = T − V
2 ˙x2 1 + m2
x2 = x1 + l sin ϕ , y2 = −l cos ϕ
˙x2 = ˙x1 + l ˙ϕ cos ϕ , ˙y2 = l ˙ϕ sin ϕ
L = m1
2 ˙x2 1 + m2
2 ( ˙x2 1 + l 2 ˙ϕ 2 + 2l ˙x1 ˙ϕ cos ϕ) + m2gl cos ϕ = const
d ∂L
dt ∂ ˙x1
d ∂L ∂L
−
dt ∂ ˙ϕ ∂ϕ = m2l(l ¨ϕ + ¨x1 cos ϕ + g sin ϕ) = 0
= d
dt [m1 ˙x1 + m2( ˙x1 + l ˙ϕ cos ϕ)] = (m1 + m2)¨x1 + m2l( ¨ϕ cos ϕ − ˙ϕ 2 sin ϕ) = 0
28

3.4 Lagrange-Formalismus mit Reibung
Reibungskräfte sind wegabhängig und können nicht aus einem Potenzial V abgeleitet werden. Zu ihrer
Beschreibung gehen wir von (3.7) für beliebige eingeprägte generalisierte Kräfte Qj aus (k holonome
Zwangsbedingungen). Diejenigen Kräfte, die sich aus einem Potenzial ableiten lassen, berücksichtigen wir
wieder in der Funktion L, und die Nicht-Potenzial-Kräfte bezeichnen wir mit Rj (diese müssen nicht
notwendig Reibungskräfte sein). Wir erhalten dann eine erweiterte Gleichung (3.10):
d ∂L
dt ∂ ˙qj
Für Reibungskräfte F (R)
i , i = 1, . . . , N, ist nach (3.2)
3.4.1 Einschub: Reibungstypen
− ∂L
− Rj = 0 , j = 1, . . . , 3N − k . (3.14)
∂qj
Rj ≡
N
i=1
F (R)
i
· ∂ri
. (3.15)
∂qj
1. Haftreibung: Die Haftreibungskraft hat einen maximalen Wert, bei dessen Überschreiten die Haftung
endet und Gleiten beginnt.
F (R)
Haft ≤ f0N
mit einer dimensionslose Haftreibungszahl f0 und der Normalkraft N, die z.B. die Zwangskraft
N = | Z| sein kann.
2. Gleitreibung: Der Betrag der Reibungskraft ist nahezu geschwindigkeitsunabhängig
F (R) = −fN v
v
3. Reibung in Fluiden (also Gasen und Flüssigkeiten):
F (R) = −cwA ϱ v
v2
2 v
mit der Querschnittsfläche A des bewegten Objekts und der Dichte ϱ des Fluids. Der Widerstandsbeiwert
cw ist für große Geschwindigkeiten konstant, so dass die Reibungskraft proportional zu
v 2 ist, und diese Reibung tritt in Form von Wirbeln und Turbulenzen auf. Für kleine v ist cw
proportional zu 1/v, so dass die Reibungskraft proportional zu v wird.
3.4.2 Dissipationsfunktion
Oft lassen sich Reibungskräfte auf das i-te Teilchen schreiben als
Mit (3.15) folgt:
F (R)
i
Rj = −
= −
vi
= −hi(vi)
N
i=1
N
i=1
vi
hi(vi) vi
·
vi
∂ri
∂qj
, vi ≡ |vi| i = 1, . . . , N . (3.16)
(3.3)
= −
N
i=1
hi(vi) vi
·
vi
∂vi
∂ ˙qj
hi(vi) ∂vi
. (3.17)
∂ ˙qj
29

Für die letzte Gleichung wurde benutzt:
vi · ∂vi
∂ ˙qj
= 1 ∂(vi · vi)
2 ∂ ˙qj
= 1 ∂v
2
2 i
∂ ˙qj
Die sogenannte Dissipationsfunktion P erfüllt die Beziehung
d.h. mit (3.17):
∂P
∂ ˙qj
≡
N
i=1
hi(vi) ∂vi
∂ ˙qj
Nach (3.14) lautet die “Lagrange-Gleichung mit Reibung” dann
d ∂L
dt ∂ ˙qj
∂vi
= vi .
∂ ˙qj
j = 1, . . . , 3N − k , (3.18)
Rj = − ∂P
. (3.19)
∂ ˙qj
− ∂L
+
∂qj
∂P
∂ ˙qj
Die Dissipationsfunktion P kann gemäß (3.18) geschrieben werden als
d.h. mit (3.21) gilt
und daher (3.18).
∂P
∂vi
P =
N
i=1
= hi(vi) ⇒ ∂
P =
∂ ˙qj
vi
0
i=1
= 0 . (3.20)
hi(ˆvi)dˆvi , (3.21)
N ∂P ∂vi
∂vi ∂ ˙qj
Wir betrachten ein Beispiel:
Eine Masse m gleite mit Gleitreibung auf der (x, y)-Ebene.
Es ist also F (R) = −fmg v
v
und damit h(v) = fmg. Also ist
P =
v
0
=
N
i=1
h(ˆv)dˆv = fmgv = fmg ˙x 2 + ˙y 2
Es ist
L = T − V = T = m
2 ( ˙x2 + ˙y 2 ) .
Wir überprüfen noch die Gültigkeit von (3.20):
d ∂L ∂L ∂P
− +
dt ∂ ˙x ∂x ∂ ˙x
d ∂L ∂L ∂P
− +
dt ∂ ˙y ∂y ∂ ˙y
= m¨x + fmg
= m¨y + fmg
30
˙x
˙x 2 + ˙y 2
˙y
˙x 2 + ˙y 2
hi(vi) ∂vi
∂ ˙qj
= 0
= 0

Wir wählen die x-Achse in v-Richtung, d.h. y = ˙y = ¨y = 0. Dann ist
m¨x + fmg = 0 bzw. ¨x = −fg .
Mit den Anfangsbedingungen x(0) = x0 und ˙x(0) = v0 ergibt sich
x(t) = x0 + v0t − 1
2 fgt2 ,
wobei der maximale Wert von t, bei dem die Masse zur Ruhe kommt, durch die Bedingung ˙x(t) =
v0 − fgt = 0 festgelegt ist, also tmax = v0
fg .
Aufgaben
1. Betrachten Sie die Perle auf dem gebogenen rotierenden Draht (Abschnitt 2.1.1. aus dem Skript),
die auch auf dem vorigen Übungsblatt behandelt wurde. Stellen Sie die Bewegungsgleichungen auf,
indem Sie die 4 Schritte der Gebrauchsanweisung für den Lagrange-Formalismus durchgehen. Sie
haben nun diese Aufgabe auf drei verschiedene Arten gelöst. Welche fanden Sie am einfachsten?
2. Betrachten Sie ein Teilchen der Ladung e in einem homogenen E-Feld und B-Feld.
(a) Drücken Sie die Kraft auf das Teilchen durch E und B und die Geschwindigkeit v des Teilchens
aus.
(b) Geben Sie die zugehörigen Potenziale φ und A der Elektrodynamik an, aus denen sich E und
B ermitteln lassen. (Zur Erinnerung: Es ist E = − ∇φ − ∂ A/dt und B = ∇ × A.
(c) Zeigen Sie, dass die drei Komponenten der Kraft auf das Teilchen sich schreiben lassen als
Qj = −∂V/∂qj + (d/dt)(∂V/∂ ˙qj) mit V = e(φ −v · A). (Es reicht, wenn Sie das in kartesischen
Koordinaten zeigen.)
3. (= Aufgabe 2 Blatt 6 Berges-Uebungen) Eine Kugel mit Radius r und Masse m ist an einer Feder
mit Federkonstante k befestigt und bewegt sich nur in z-Richtung. Die Kugel befinde sich in einer
Flüssigkeit mit Viskosität η. Auf die Kugel wirkt die Stokessche Reibungskraft
F (R) = −6πηr ˙z ,
wobei ˙z die Geschwindigkeit der Kugel ist (der Auftrieb kann vernachlässigt werden). Auf die Kugel
wirkt die Gewichtskraft in negativer z-Richtung.
(a) Bestimmen Sie die Bewegungsgleichung der Kugel mit Hilfe des Lagrange-Formalismus mit
Reibung.
(b) Zum Zeitpunkt t = 0 befinde sich die Kugel im Abstand b von der Gleichgewichtslage in Ruhe.
Lösen Sie die Bewegungsgleichung unter der Annahme
k > (3πηr)2
m
31
.

Kapitel 4
Symmetrien und Erhaltungssätze;
Noether-Theorem
4.1 Forminvarianz der Lagrange-Gleichungen
Die Lagrange-Gleichungen haben den großen Vorteil, dass sie für holonome Zwangsbedingungen wie geschaffen
sind, und dass ihre Form immer dieselbe ist, egal welche Koordinaten und Bezugssysteme man
verwendet. Dies ist bei den Newtonschen Gleichungen nicht so. Für die Bewegung in einem Zentralpotenzial
lauten die Gleichungen in Polarkoordinaten nämlich nicht m¨r = −∂V/∂r und mr 2 ¨ϕ = −∂V/∂ϕ = 0,
wie man bei Forminvarianz erwarten würde, sondern
m(¨r − r ˙ϕ 2 ) = −∂V/∂r und mr(r ¨ϕ + 2 ˙r ˙ϕ) = 0 .
(Herleitung geht am schnellsten über Lagrange, mit T = m( ˙r 2 + r 2 ˙ϕ 2 )/2 und V = V (r).) Auch beim
d’Alembert-Prinzip müssen Beschleunigungen und Verrückungen umständlich auf die generalisierten Variablen
umgerechnet werden.
Wir zeigen jetzt explizit, dass die Lagrange-Gleichungen unter Punkttransformationen invariant sind,
also dass sie in allen Koordinaten- und Bezugssystemen die gleiche Form haben: Wir betrachten die
“alten” Koordinaten {qi}, für die die Lagrange-Gleichungen gelten sollen, und wir wechseln zu neuen
Koordinaten {Qj}, die mit den alten Koordinaten über die Beziehungen qi = qi(Q, t) zusammenhängen.
Wir verwenden im folgenden öfter die vereinfachte Schreibweise q bzw. Q für {qi} bzw. {Qj}. Es gilt
˙qi =
3N−k
j=1
∂qi
∂Qj
Daraus folgt die für das Folgende wichtige Beziehung
∂ ˙qi
∂ ˙ Qj
˙Qj + ∂qi
∂t .
= ∂qi
. (4.1)
∂Qj
Die Lagrange-Funktion in den neuen Koordinaten nennen wir L ′ (Q, ˙ Q, t), und sie hängt mit der “alten”
Lagrange-Funktion zusammen über
L ′ (Q, ˙
Q, t) = L q(Q, t), ˙q(Q, ˙
Q, t), t . (4.2)
Wir müssen jetzt noch zeigen, dass auch mit der neuen Lagrange-Funktion und den neuen Koordinaten
die Lagrange-Gleichungen gelten. Dazu berechnen wir
∂L ′ 3N−k
∂L ∂qi
=
+
∂Qj ∂qi ∂Qj
∂L
∂ ˙qi
∂ ˙qi ∂Qj
i=1
32

und
und folglich
∂L ′
∂ ˙ Qj
=
d ∂L
dt
′
∂ ˙ =
Qj
3N−k
i=1
3N−k
i=1
∂L
∂ ˙qi
∂ ˙qi
∂ ˙ Qj
(4.1)
=
d ∂L ∂qi
dt ∂ ˙qi ∂Qj
3N−k
i=1
∂L
∂ ˙qi
+ ∂L
∂ ˙qi
woraus die Lagrange-Gleichungen in den neuen Koordinaten folgen:
d ∂L
dt
′
∂ ˙ Qj
− ∂L′
∂Qj
∂qi
∂Qj
∂ ˙qi
,
∂Qj
= 0 , j = 1, . . . , 3N − k . (4.3)
Die Forminvarianz der Lagrange-Gleichungen ist sehr nützlich. Dadurch kann man leicht und schnell
die Bewegungsgleichungen in allen Koordinatensystemen und auch in beschleunigten Bezugssystemen
aufstellen.
Auch zur Konstruktion von Erhaltungsgrößen ist der Lagrange-Formalismus wie geschaffen. Kontinuierliche
Transformationen, die die Lagrange-Funktion invariant lassen, deuten auf Erhaltungsgrößen hin,
wie wir im nächsten Teilkapitel sehen werden.
Darüber hinaus ist der Lagrange-Formalismus für die klassische Feldtheorie von großer Bedeutung.
4.2 Zyklische Koordinaten und Erhaltungssätze
Die Lösung der aufgestellten Bewegungsgleichungen erfordert für jede Gleichung, die zweiter Ordnung in
der Zeit ist, zwei Integrationen. Bei vielen Problemen kann man mehrere erste Integrale der Bewegungsgleichungen
sofort erhalten, d.h. Beziehungen der Form
f(q1, q2, . . . ; ˙q1, ˙q2, . . . ; t) = konst
für alle Lösungen qj(t) von (3.10). Dazu gehören die in Kapitel 1 abgeleiteten Erhaltungssätze.
Ist L = T − V von einer bestimmten Koordinate nicht explizit abhängig, so findet man mit den
Lagrange-Gleichungen zweiter Art sofort eine Erhaltungsgröße:
d ∂L
dt ∂ ˙qj
− ∂L
∂qj
= d ∂L
dt ∂ ˙qj
= 0 ⇒ ∂L
∂ ˙qj
= konst . (4.4)
Eine Koordinate qj heißt zyklisch, wenn ˙qj in L = T − V auftritt, nicht jedoch qj. Nach (4.4) ist also
der sogenannte konjugierte Impuls (oder kanonische Impuls)
pj ≡ ∂L
∂ ˙qj
eine Erhaltungsgröße, wenn qj eine zyklische Variable ist.
Wir betrachten zwei Beispiele, eines mit und eines ohne zyklische Variablen:
• Wurf: Es ist
L = T − V = 1
2 m( ˙x2 + ˙y 2 + ˙z 2 ) − mgz ,
d.h. x und y sind zyklisch. Die entsprechenden Erhaltungsgrößen sind
px = ∂L
∂ ˙x = m ˙x , py = ∂L
= m ˙y .
∂ ˙y
33
(4.5)

• Pendel:
Es ist
und
und damit
T = 1
2 m( ˙x2 + ˙y 2 ) = 1
2 ml2 ˙ϕ 2
V = mgy + konst = −mgl cos ϕ + konst
L = 1
2 ml2 ˙ϕ 2 + mgl cos ϕ + konst .
Die einzige unabhängige Variable, ϕ, ist nicht zyklisch, und folglich ist der Drehimpuls pϕ =
∂L/∂ ˙ϕ = ml 2 ˙ϕ nicht erhalten.
Bemerkungen:
(i) Ist qj keine kartesische Koordinate, so hat pj nicht notwendig die Dimension eines Impulses. Das
Produkt pjqj hat aber immer dieselbe Dimension, nämlich die einer Wirkung, also kg m 2 s −1 .
(ii) Für geschwindigkeitsabhängige Potenziale wird der konjugierte Impuls nicht mit dem üblichen mechanischen
Impuls identisch sein. Für das Teilchen im elektromagnetischen Feld (3.13) gilt
und damit
L = 1
2 m ˙ r 2 − eφ(r) + e A(r) · ˙ r (4.6)
px = ∂L
∂ ˙x = m ˙x + eAx . (4.7)
Der letzte Term ist ein Zusatzterm, der den mechanischen Impuls vom kanonischen Impuls verschieden
macht. Wenn φ und A unabhängig von r sind, so ist r zyklisch und (4.7) eine Erhaltungsgröße.
(iii) Es besteht ein enger Zusammenhang zwischen Erhaltungsgrößen und Symmetrien. Ist ein physikalisches
System invariant unter einer Verschiebung qj → q ′ j = qj + α, so hängt L nicht explizit
von qj ab, und pj ist eine Erhaltungsgröße. So impliziert zum Beispiel eine Invarianz des Systems
unter Translationen r → r ′ = r + αa die Impulserhaltung. (Siehe den Abschnitt 4.5 zum Noether-
Theorem.)
(iv) Zu L(q, ˙q, t) kann die totale zeitliche Ableitung einer Funktion addiert werden, ohne die Lagrange-
Gleichungen zu ändern:
L ′ (q, ˙q, t) = L(q, ˙q, t) + d
f(q, t) . (4.8)
dt
Wir zeigen dies, indem wir nachrechnen, dass
ist. Es ist nämlich
d ∂ df ∂ df
− = 0
dt ∂ ˙qj dt ∂qj dt
d ∂f
f(q, t) = ˙qj +
dt ∂qj j
∂f
∂t
34

und damit
und
∂ df ∂f
= und
∂ ˙qj dt ∂qj
d ∂ df ∂
=
dt ∂ ˙qj dt
l
2f ∂ql∂qj
∂
∂qj
df
=
dt
l
∂ 2 f
∂qj∂ql
˙ql + ∂2f ,
∂t∂qj
˙ql + ∂2 f
∂t∂qj
was derselbe Ausdruck wie in der Zeile darüber ist. Koordinatentransformationen, die L bis auf
eine totale Zeitableitung einer Funktion invariant lassen, heißen Symmetrietransformationen.
4.3 Hamiltonfunktion
Hängt L nicht explizit von der Zeit ab, ∂L/∂t = 0, dann gilt
dL
∂L
= ˙qj +
dt ∂qj
∂L
¨qj =
∂ ˙qj
d ∂L
˙qj +
dt ∂ ˙qj
∂L
¨qj =
∂ ˙qj
d ∂L
˙qj .
dt ∂ ˙qj
j
Also ist die sogenannte Hamiltonfunktion
j
H ≡
eine Erhaltungsgröße, d.h. dH/dt = 0, wenn ∂L/∂t = 0 ist.
j
j
∂L
˙qj − L (4.9)
∂ ˙qj
Als Beispiel betrachten wir eine gleitende Perle auf einem rotierenden, geraden Draht.
Die Zwangsbedigung ϕ − ωt = 0 mit ω = konst ist rheonom. Wegen V = 0 gilt L = T = E. Die
Lagrange-Funktion ist
L = m
2 ( ˙x2 + ˙y 2 ) = m
2
2
d
d
(r cos ϕ) + (r sin ϕ) =
2 dt dt m
2 ( ˙r2 + r 2 ω 2 ) = E = konst ,
und die Hamiltonfunktion ist
H = ∂L m
˙r − L =
∂ ˙r 2 ( ˙r2 − r 2 ω 2 ) = konst ,
da ∂L/∂t = 0 ist.
Wir können dies auch explizit nachrechnen: Aus den Lagrange-Gleichungen zweiter Art erhalten wir
mit den Anfangsbedingungen r(0) = a und ˙r(0) = 0 die Lösung r(t) = a cosh(ωt) und ˙r(t) = aω sinh(ωt).
Also ist
E = m
2 a2 ω 2 (sinh 2 (ωt) + cosh 2 (ωt)) = E(t)
und
H = m
2 a2ω 2 (sinh 2 (ωt) − cosh 2 (ωt)
=−1
35
) = konst .

4.4 Energieerhaltung
Da Zwangskräfte in der Lagrangeschen Mechanik eliminiert sind, kann die reale Zwangsarbeit rheonomer
Zwangsbedingungen nicht berücksichtigt werden. Folglich lässt sich für rheonome Zwangsbedingungen
aus L nicht E = konst ableiten, wie das vorige Beispiel zeigt.
Es gilt der folgende Satz: Wenn L nicht explizit zeitabängig ist, ist H konstant und entspricht für
skleronome, holonome Zwangsbedingungen und konservative Kräfte der Gesamtenergie, d.h.,
H = E = T + V . (4.10)
Wir wir gesehen haben, sind aber im Allgemeinen die Bedingungen H = konst und H = E zwei
verschiedene Sachverhalte.
Wir zeigen, dass für konservative Kräfte und zeitunabhängiges L die Hamiltonfunktion H = T + V
ist, indem wir benützen, dass ∂V/∂ ˙qj = 0 ist (woraus ∂L/∂ ˙qj = ∂T/∂ ˙qj folgt), und indem wir T durch
die unabhängigen Koordinaten qj ausdrücken:
T =
Damit ist
N
i=1
mi
2 ˙ r 2 i =
N
i=1
H =
⎛
mi ⎝
2
⎞2
∂ri
˙qj ⎠ =
∂qj j
1 N
∂ri ∂ri
mi ˙ql ˙qj =
2
∂ql ∂qj
j i=1 l
∂T/∂ ˙qj
1 ∂T
˙qj . (4.11)
2 ∂ ˙qj j
j
∂L
˙qj − L =
∂ ˙qj
∂T
˙qj − L = 2T − L = T + V = E .
∂ ˙qj j
Nun haben wir genügend Werkzeuge erarbeitet, um mit Hilfe der Erhaltungsgrößen das Lösen der
Bewegungsgleichungen zu vereinfachen. Wir nehmen wieder das Beispiel des Teilchens im Kreiskegel:
Die Lagrange-Funktion hatten wir schon hergeleitet:
L = T − V = m 2 2 2 2
(1 + cot α) ˙r + r ˙ϕ
2
− mgr cot α .
Sie hängt nicht explizit von ϕ ab, also ist ϕ eine zyklische Variable und
pϕ = ∂L
∂ ˙ϕ = mr2 ˙ϕ = konst (4.12)
eine Erhaltungsgröße. Dies sieht man auch anhand der Bewegungsgleichung (2.15), die ja mr(2 ˙r ˙ϕ+r ¨ϕ) =
d
dt mr2 ˙ϕ = 0 lautet.
Es gibt noch eine zweite Erhaltungsgröße, nämlich die Energie, deren Ausdruck sich von demjenigen
für L nur durch das Vorzeichen des Potenzialterms unterscheidet:
E = T + V = m 2 2 2 2
(1 + cot α) ˙r + r ˙ϕ
2
+ mgr cot α = konst . (4.13)
36

Auch diese Gleichung können wir aus den Bewegungsgleichungen herleiten, doch das ist umständlicher:
Wir setzen (4.12) in (2.16) ein und multiplizieren mit ˙rm cot α und erhalten
m (1 + cot 2 α) ˙r¨r − p2ϕ ˙r
m2
+ g ˙r cot α =
r3 d
m
dt 2 (1 + cot2 α) ˙r 2 + p2
ϕ
+ gmr cot α = 0 .
2mr2 Die zwei Gleichungen (4.12) und (4.13) sind Differenzialgleichungen erster Ordnung für die beiden
unabhängigen Variablen r(t) und ϕ(t). Auflösen der Gleichung (4.13) nach dt und Integration ergibt
t = ± 1
dr
. (4.14)
sin α
2
m E − p2 ϕ
2mr2 − mgr cot α
Für Bahnbereiche, in denen r(t) wächst (fällt), ist das positive (negative) Vorzeichen zu nehmen. Diese
Gleichung liefert r(t). Nach ihrer Berechnung kann ϕ(t) mit Hilfe der Gleichung (4.12) ermittelt werden:
ϕ(t) = pϕ
dt
m r2 . (4.15)
(t)
Wir haben also gesehen, dass aufgrund der beiden Erhaltungsgrößen nur noch zwei Integrationen zur
Berechnung des Bahnverlaufs nötig sind.
Wir werden insbesondere im Zusammenhang mit der Planetenbewegung den Vorteil dieser Methode
an weiteren Beispielen schätzen lernen.
In dem betrachteten Beispiel gab es genauso viele Erhaltungsgrößen wie Freiheitsgrade, nämlich zwei,
und dies ermöglichte es uns, explizite Ausdrücke für die Teilchenbahn zu ermitteln. Wir werden später
sehen, dass ganz allgemein ein mechanisches System dann integrabel (also im Prinzip lösbar) ist, wenn
die Zahl der unabhängigen Erhaltungsgrößen genauso groß ist wie die Zahl der Freiheitsgrade. Wenn die
Zahl der Erhaltungsgrößen kleiner ist, ist das System nicht integrabel, sondern es führt auf chaotische
Bewegung. Chaotische Systeme haben die Eigenschaft, dass sich ihr Zeitverlauf aus den Anfangsbedingungen
nur begrenzt vorhersagen lässt, da winzige Veränderungen der Anfangsbedingungen schon nach
kurzer Zeit zu einem völlig anderen Verhalten führen können.
Leider gibt es für das Auffinden von Erhaltungsgrößen kein Patentrezept. Nur wenn Symmetrien vorliegen,
können wir Erhaltungsgrößen auf einfach Weise finden, indem wir die generalisierten Koordinaten
so wählen, dass mit der Symmetrie eine zyklische Variable verbunden ist. Im folgenden Teilkapitel sehen
wir, dass ganz allgemein Symmetrien mit Erhaltungsgrößen verbunden sind.
4.5 Das Noether-Theorem
Wir haben gesehen, dass Koordinaten, deren Verschiebung
qi → qi ′ = qi + α
die Lagrange-Funktion nicht ändert, zyklisch sind, und dass die entsprechenden Impulse Erhaltungsgrößen
sind.
Wir wollen dieses Ergebnis jetzt verallgemeinern und zeigen, dass ein genereller Zusammenhang besteht
zwischen dem Auftreten von Erhaltungsgrößen und Transformationen, die die Lagrange-Funktion
nicht ändern, also invariant lassen. Zu diesem Zweck untersuchen wir die Koordinatentransformationen
die invertierbar seien,
qi → qi ′ = qi ′ (q1, . . . , q3N−k, t, α) , i = 1, . . . , 3N − k , (4.16)
qi = qi(q ′ 1, . . . , q ′ 3N−k, t, α) , i = 1, . . . , 3N − k , (4.17)
37

und in den kontinuierlichen Parametern α stetig differenzierbar sein müssen. Ferner soll für α = 0 die
identische Transformation vorliegen,
Wir schreiben verkürzt
qi ′ (q1, . . . , q3N−k, t, α = 0) = qi , i = 1, . . . , 3N − k .
qi ′ = qi ′ (q, t, α) und qi = qi(q ′ , t, α) .
Wichtige Beispiele für solche Koordinatentransformationen sind Translationen
und Rotationen um die z-Achse
⎛
⎝ x
⎞ ⎛ ⎞
y ⎠ → ⎠ =
z
⎝ x′
y ′
z ′
⎛
⎝
r → r ′ = r + αa
cos α − sin α 0
sin α cos α 0
0 0 1
⎞ ⎛
⎠ · ⎝ x
⎞ ⎛
y ⎠ = ⎝
z
x cos α − y sin α
x sin α + y cos α
z
Die neue Lagrange-Funktion L ′ erhalten wir, indem wir in der alten Lagrange-Funktion die Ersetzung
(4.17) machen:
L ′ (q ′ , ˙q ′
, t, α) = L q(q ′ , t, α), d
dt q(q′
, t, α), t . (4.18)
Wir berechnen im Folgenden, wie L ′ sich mit α ändert und betrachten dann den Fall, dass L nicht
von α abhängt. Dies wird uns einen Erhaltungssatz liefern.
Es ist
∂L ′ (q ′ , ˙q ′ , t, α)
∂α
=
=
3N−k
i=1
3N−k
i=1
= d
dt
∂L
i=1
∂qi(q ′ , t, α)
∂α
∂qi
d ∂L ∂qi(q
dt ∂ ˙qi
′ , t, α)
∂α
3N−k ∂L ∂qi(q
∂ ˙qi
′
, t, α)
.
∂α
+ ∂L ∂
∂ ˙qi
d
dtqi(q ′ , t, α)
∂α
+ ∂L
d
∂ ˙qi dt
∂qi(q ′
, t, α)
∂α
Diese Gleichung gilt für alle α. Wenn wir α = 0 setzen, gehen die qi ′ in die qi über. Es ist
∂L ′ (q ′ , ˙q ′ , t, α)
∂α
α=0
= d
3N−k ∂L
dt ∂ ˙qi i=1
⎞
⎠ .
∂qi(q ′
, t, α)
∂α
.
α=0
(4.19)
Bemerkung: Die partielle Ableitung bzgl. α ist bei festgehaltenen übrigen Argumenten der Funktion
L ′ , also bei festen q ′ und ˙q ′ und t zu nehmen. Den Unterschied zwischen einer partiellen und einer
totalen Ableitung wird deutlich, wenn man Gleichung (4.18) nach α ableitet: Während die Funktion L ′
die Argumente q ′ , ˙q ′ , t, α hat, hat die Funktion L die Argumente q, ˙q, t. Weil q und ˙q widerum von α
abhängen, können wir also schreiben
∂L ′ (q ′ , ˙q ′ , t, α)
∂α
= dL(q, ˙q, t)
dα
wobei die Abhängigkeit von α auf der rechten Seite in den q und ˙q versteckt ist. Die Auswertung der
rechten Seite erfolgt wie in der oben an (4.18) anschließenden Rechnung.
Wir betrachten nun den Fall, dass die Koordinatentransformation (4.16) die Lagrange-Funktion invariant
lässt:
L(q, ˙q, t) (4.18)
= L ′ (q ′ , ˙q ′ , t, α) Invarianz
= L(q ′ , ˙q ′ , t) . (4.20)
38

Dann haben die neuen Koordinaten qi ′ dieselbe Lagrange-Funktion und dieselben Bewegungsgleichungen
wie die alten Koordinaten qi. Die neue Lagrange-Funktion hängt nicht vom Parameter α ab, also
∂L ′
= 0 .
∂α
i=1
α=0
Zusammen mit Gleichung (4.19) folgt damit das für die moderne Physik bedeutende Noether-Theorem:
Die Funktion
3N−k ∂L
I(q, ˙q, t) =
∂ ˙qi
∂qi(q ′
, t, α)
∂α
(4.21)
ist eine Erhaltungsgröße, wenn die Lagrange-Funktion unter der kontinuierlichen, stetig differenzierbaren
Koordinatentransformation (4.16) invariant ist. Zu jeder Transformation (4.16), die die Lagrange-
Funktion nicht ändert, gehört also eine Erhaltungsgröße, die durch (4.21) leicht ermittelt werden kann.
Der Umkehrschluss gilt allerdings nicht: nicht zu jeder Erhaltungsgröße gibt es eine Symmetrietransformation
der Lagrange-Funktion, wie wir im Zusammenhang mit der Planetenbewegung am Beispiel des
Lenzschen Vektors sehen werden.
Der Erhaltungssatz, der zu einer zyklischen Koordinate qi gehört, ist ein Spezialfall des Noether-
Theorems, da die Unabhängigkeit der Lagrange-Funktion von qi die Invarianz von L unter Translation
von qi zur Folge hat.
Es gibt sogar auch dann eine Erhaltungsgröße, wenn die Lagrange-Funktion unter den Transformationen
(4.16) nicht invariant ist, sondern einen zusätzlichen Term erhält, der die totale zeitliche Ableitung
einer beliebigen Funktion F (q ′ , t, α) ist:
Es folgt nämlich
L ′ (q ′ , ˙q ′ , t, α) = L
und folglich ist die Funktion
eine Erhaltungsgröße.
J(q, ˙q, t) =
q(q ′ , t, α), d
dt q(q′
, t, α), t
∂L ′ (q ′ , ˙q ′ , t, α)
∂α
3N−k
i=1
∂L(q, ˙q, t)
∂ ˙qi
α=0
= d
dt
∂qi(q ′ , t, α)
∂α
α=0
= L(q ′ , ˙q ′ , t) + d
dt F (q′ , t, α) . (4.22)
∂F (q ′ , t, α)
∂α
α=0
α=0
− ∂F (q′ , t, α)
∂α
4.5.1 Die 10 Erhaltungsgrößen abgeschlossener N-Teilchensysteme
,
α=0
(4.23)
Wir leiten im Folgenden die im ersten Kapitel erwähnten 10 Erhaltungsgrößen abgeschlossener N-
Teilchensysteme aus dem Noether-Theorem her. Wir beschränken uns auf den wichtigen Fall, dass die
Zweiteilchenpotenziale nur vom Abstand der Teilchen abhängen. Die Lagrange-Funktion ist dann
L =
N
i=1
mi
2 ˙ r 2 i −
N
Vij(|ri − rj|) .
i

2. Die Lagrange-Funktion ist unter Drehungen invariant, denn sie hängt nur vom Betrag der Geschwindigkeits-
und Abstandsvektoren ab, nicht von ihrer Richtung. Wir zeigen im Folgenden, dass aus
Invarianz unter Drehungen um die z-Achse die Erhaltung von Lz folgt. Analog lässt sich die Erhaltung
von Lx und Ly zeigen, so dass auch der Gesamtdrehimpuls
zi
L =
N
ri × pi
i=1
erhalten ist. Eine Rotation um die z-Achse entspricht der Transformation (vgl. die Gleichung vor
(4.18))
⎛
⎝ xi
⎞ ⎛
⎞ ⎛
′
cos α sin α 0 xi
yi ⎠ = ⎝ − sin α cos α 0 ⎠ · ⎝ yi
0 0 1
′
zi ′
⎞ ⎛
⎠ = ⎝ xi ′ cos α + yi ′ sin α
−xi ′ sin α + yi ′ ⎞
cos α ⎠ .
Also ist
und
Mit
∂xi(r ′ , α)
∂α
∂yi(r ′ , α)
∂α
L ′ =
N
i=1
ergibt sich die gesuchte Erhaltungsgröße zu
N
∂L
i=1
∂ ˙xi
= −xi ′ sin α + yi ′ cos α = yi
= −xi ′ cos α − yi ′ sin α = −xi .
mi
2 ˙ r ′ 2
i −
yi + ∂L
(−yi) =
∂ ˙yi
N
i

Die Erhaltungsgröße J(r, ˙ r, t) lautet
N ∂L
J =
∂ ˙ r · ∂ri(r ′
, t, α)
−
∂α
∂F
∂α
i=1
α=0
α=0
=
N
(−pi · vt + miri · v) = (− P t + MrS) · v
mit der Schwerpunktkoordinate rS und der Gesamtmasse M. Da J für jedes v eine Erhaltungsgröße
ist, ist auch der Ausdruck in Klammern
eine Erhaltungsgröße.
i=1
− P t + MrS
Damit haben wir die 10 Erhaltungsgrößen bestimmt: E, L, P und − P t + MrS.
Aufgaben
1. Begründen Sie, dass ein eindimensionales mechanisches System m¨x = F (x), dessen Kraft nicht
explizit zeitabhängig ist, nicht chaotisch sein kann.
2. Betrachten Sie das Rollpendel.
(a) Wieviele Freiheitsgrade und wieviele Erhaltungsgrößen hat dieses System? Schreiben Sie explizit
die Erhaltungsgrößen hin. Nennen Sie diejenige Erhaltungsgröße, die nicht die Energie
ist, px.
(b) Berechnen Sie die Koordinaten (x2, y2) als Funktion von ϕ und zeigen Sie, dass sich m2 für
px = 0 auf einer Ellipsenbahn bewegt.
(c) Berechnen Sie den Zusammenhang zwischen ϕ und t in der Gestalt t = dϕ . . . .
41

Kapitel 5
Lagrange-Gleichungen erster Art
5.1 Vorbemerkungen
Die Lagrange-Gleichungen erster Art (Lagrange-I) sind den Lagrange-Gleichungen zweiter Art (Lagrange-
II) recht ähnlich. Sie unterscheiden sich in drei Aspekten:
1. In Lagrange-II wird die Lagrange-Funktion nur durch die 3N − k unabhängigen verallgemeinerten
Koordinaten und die zugehörigen Geschwindigkeiten ausgedrückt. In Lagrange-I wird die Lagrange-
Funktion durch alle 3N verallgemeinerten Koordinaten ausgedrückt. Man darf im Lagrange-I-
Formalismus also keine Koordinaten mit Hilfe der Zwangsbedingungen eliminieren, wenn man die
Lagrange-Funktion L = T − V aufstellt.
2. Die Lagrange-I-Gleichungen sind den Lagrange-II-Gleichungen sehr ähnlich (s.u.), aber sie enthalten
jeweils einen zusätzlichen Summanden, der von den Zwangskräften herrührt.
3. Die Lagrange-I-Gleichungen gelten auch für nicht holonome Zwangsbedingungen, wenn diese sich
in differenzieller Form schreiben lassen, während die Lagrange-II-Gleichungen nur für holonome
Zwangsbedingungen gelten.
Da in den Lagrange-I-Gleichungen die Zwangskräfte explizit drinstehen, ist es praktisch, sie zu verwenden,
wenn man Zwangskräfte berechnen muss. Das Berechnen von Zwangskräften wird z.B. bei Gleitreibung
nötig (weil F (R) = −f| Z|ˆv ist, siehe Abschnitt 3.4.1), bei der Berechnung der realen Zwangsarbeit
bei rheonomen Zwangsbedingungen, oder auch bei der Dimensionierung von technischen Anlagen, z.B.
Achterbahnen.
Allerdings kann man bei holonomen Zwangsbedingungen die Zwangskräfte auch aus dem Lagrange-II-
Formalismus herleiten. Wir demonstrieren dies im Folgenden, bevor wir dann den Lagrange-I-Formalismus
vorstellen.
Die Berechnung der Zwangskräfte über den Lagrange-II-Formalismus geht über die Beziehung (2.11),
also
Zi = mi ¨ ri − Fi .
Wenn man die Lösung ri(t) bestimmt hat, hat man auch ¨ ri und damit Zi.
Um diese Beziehung auf verallgemeinerte Koordinaten qj umzuschreiben (mit j = 1, . . . , 3N), definieren
wir analog zu den verallgemeinerten Kräften Qj (siehe (3.2)) nun verallgemeinerte Zwangskräfte Zj
als
Zj
≡
(3.6)
=
N
i=1
d ∂T
dt ∂ ˙qj
Zi · ∂ri
∂qj
=
N
i=1
mi ¨ ∂ri
ri −
∂qj
N
i=1
Fi · ∂ri
, j = 1, . . . , 3N
∂qj
− ∂T
− Qj . (5.1)
∂qj
42

Falls sich die Kräfte Qj aus einem Potenzial gemäß (3.8) bzw. (3.12) ableiten lassen, so gilt mit
L = T − V
d ∂L
−
dt ∂ ˙qj
∂L
= Zj ,
∂qj
j = 1, . . . , 3N . (5.2)
An dieser Stelle ist ganz wichtig, dass L nun eine Funktion von allen 3N Variablen ist und nicht nur der
3N − k unabhängigen Variablen.
Wir merken uns also den auch für das Folgende wichtigen Sachverhalt: Wenn man die Lagrange-
Funktion durch alle 3N Variablen ausdrückt, steht bei den entsprechenden Lagrange-Gleichungen auf der
rechten Seite nicht Null, sondern die jeweilige Komponente der verallgemeinerten Zwangskraft.
(Man kann (5.2) wieder in die Lagrange-Gleichungen zweiter Art überführen, indem man mit den
virtuellen Verrückungen δqj multipliziert und über j = 1, . . . , 3N summiert. Der Term mit den Zwangskräften
verschwindet mit dem d’Alembert-Prinzip (2.21). Wenn man L nun als Funktion der 3N − k
unabhängigen Variablen schreibt, verschwinden die Summanden für die abhängigen Variablen, und wir
erhalten die Lagrange-II-Gleichungen (3.10) für die 3N − k unabhängigen Koordinaten.)
Wir erhalten folgendes Rezept für die Berechnung der Zwangskräfte aus Lagrange-II bei holonomen
Zwangsbedingungen:
(i) Stelle L für die unabhängigen Koordinaten auf und löse Lagrange-II
(ii) Drücke L durch alle 3N (abhängigen) Koordinaten aus und bestimme (5.2).
Als Beispiel verwenden wir die gleitende Perle auf einem rotierenden, geraden Draht aus dem vorigen
Kapitel.
Zunächst stellen wir die Lagrange-Gleichungen zweiter Art auf und lösen sie:
L = m
2 ( ˙r2 + r 2 ω 2 ) ,
¨r − rω = 0
r(t) = a cosh(ωt) für r(t = 0) = a , ˙r(t = 0) = 0 .
Dann nehmen wir die zweite Koordinate, ϕ, dazu und berechnen die Zwangskräfte:
L = m
2 ( ˙r2 + r 2 ˙ϕ 2 ) ,
Zr = d ∂L ∂L
−
dt ∂ ˙r ∂r = m(¨r − r ˙ϕ2 ) = 0 ,
Zϕ = d ∂L ∂L
−
dt ∂ ˙ϕ ∂ϕ = mr(2 ˙r ˙ϕ + r ¨ϕ) = ma2ω 2 sinh(2ωt) .
Im letzten Schritt der Berechnung der Zwangskräfte haben wir jeweils r = a cosh(ωt) und ϕ = ωt
eingesetzt und am Schluss das Additionstheorem 2 cosh(ωt) sinh(ωt) = sinh(2ωt) verwendet.
43

5.2 Herleitung der Lagrange-Gleichungen erster Art
Wir beginnen mit dem d’Alembert-Prinzip und (3.6), d.h.
3N
j=1
d ∂T
dt ∂ ˙qj
− ∂T
− Qj δqj = 0 ,
∂qj
bzw., falls die verallgemeinerten Kräfte Qj aus einem Potenzial V ableitbar sind,
3N
j=1
d ∂L
dt ∂ ˙qj
− ∂L
δqj = 0 . (5.3)
∂qj
Hierbei ist L eine Funktion von allen 3N Koordinaten und 3N Geschwindigkeiten.
Ein solches “Variationsproblem” (nämlich die Bestimmung der qj(t) mit Nebenbedingungen – den
Zwangsbedingungen) löst man mit Hilfe von sogenannten Lagrange-Multiplikatoren. Wir schreiben für
die Zwangsbedingungen wie in (2.8)
3N
j=1
Da für virtuelle Verrückungen dt = 0 ist, gilt
Also gilt auch
aijdqj + bidt = 0 , i = 1, . . . , k .
3N
j=1
aijδqj = 0 , i = 1, . . . , k .
k
3N
λi
i=1 j=1
aijδqj = 0 (5.4)
mit zunächst beliebigen Lagrange-Multiplikatoren λi, die i.A. eine Funktion der qj und ˙qj und von t sind.
Wenn man die Gleichungen gelöst und folglich q(t) bestimmt hat, hat man auch λi als Funktion der Zeit.
Subtraktion von (5.3) und (5.4) gibt
3N
j=1
d ∂L
dt ∂ ˙qj
− ∂L
−
∂qj
k
i=1
λiaij
δqj = 0 . (5.5)
Nun kommt der entscheidende gedankliche Schritt: Wir können die λi so wählen, dass jede der Klammern
in (5.5) verschwindet. Wir können nämlich die k Funktionen λi so wählen, dass k Klammern (sagen wir:
Nummer 3N − k + 1 bis 3N) in (5.5) verschwinden. Dann haben wir noch eine verbleibende Summe
über 3N − k Terme, in denen aber nun die δqj unabhängig voneinander gewählt werden können, weil
wir ja 3N − k unabhängige Variablen haben. Also müssen auch die verbleibenden 3N − k Klammern
verschwinden.
Wir erhalten somit die Lagrange-Gleichungen erster Art:
d ∂L
dt ∂ ˙qj
= ∂L
+
∂qj
k
λiaij , j = 1, . . . , 3N . (5.6)
i=1
Dies sind 3N Gleichungen für 3N +k Unbekannte (die qj und die λi), die zusammen mit den k Gleichungen
für die Zwangsbedingungen alle Unbekannten festlegen.
44

ist.
Durch Vergleich mit (5.2) erkennen wir, dass
k
λiaij = Zj , j = 1, . . . , 3N (5.7)
i=1
Die Gebrauchsanweisung für Lagrange-Gleichungen erster Art ist die folgende:
(i) Wähle 3N Koordinaten und stelle die Zwangsbedingungen in differenzieller Form auf.
(ii) Schreibe L = T − V als Funktion der 6N Variablen qj, ˙qj.
(iii) Stelle die 3N Lagrange-I-Gleichungen auf und löse sie zusammen mit den Zwangsbedingungen.
Bemerkung: In der Praxis verwendet man auch gerne eine Variante mit weniger Koordinaten. Die eben
durchgeführte Herleitung der Lagrange-I-Gleichungen kann auch mit n < 3N generalisierten Koordinaten
durchgeführt werden, wobei n > 3N − k ist. Die Zahl der Lagrange-Parameter in (5.4) reduziert sich
hierbei auf k + n − 3N. In der Gleichung (5.6) ist dann i nur bis k + n − 3N zu summieren, und j läuft
von 1 bis n.
5.3 Beispiele
5.3.1 Teilchen im Kreiskegel
x
z
ϕ
r
g
y
Wir wählen als Koordinaten die Zylinderkoordinaten z, r, ϕ. Die Zwangsbedingung ist f(z, r, ϕ) =
r − z tan α = 0, bzw. in differenzieller Form:
Die Lagrange-Funktion ist
Die Lagrange-I-Gleichungen sind also
∂f ∂f
dz + dr = − tan α dz + dr = 0 .
∂z ∂r
L = T − V = m
2 ( ˙z2 + ˙r 2 + r 2 ˙ϕ 2 ) − mgz .
d ∂L ∂L
− = λ∂f ⇒ m¨z + mg = −λ tan α
dt ∂ ˙z ∂z ∂z
d ∂L ∂L
− = λ∂f
dt ∂ ˙r ∂r ∂r ⇒ m¨r − mr ˙ϕ2 = λ
d ∂L ∂L ∂f
− = λ
dt ∂ ˙ϕ ∂ϕ ∂ϕ ⇒ mr2 ¨ϕ + 2mr ˙r ˙ϕ = 0 .
45

Wir haben also drei Lagrange-I-Gleichungen und eine Zwangsbedingung zur Bestimmung der 4 Unbekannten
z(t), r(t), ϕ(t), λ(t). Wenn man die Unbekannten bestimmt hat, hat man auch die Zwangskräfte:
Zz = −λ(t) tan α Zr = λ(t) , Zϕ = 0 .
Zur Lösung dieser Gleichungen kann man zunächst die Zwangskraft samt einer der drei Variablen (z.B.
z) eliminieren und die Bewegungsgleichungen für die nun unabhängigen verbleibenden Variablen r und ϕ
lösen. Hierzu kann man die Zwangsbedingung in der Form ¨z = ¨r cot α in die erste Lagrange-I-Gleichung
einsetzen (das gibt m(¨r cot α + g) = −λ tan α) und dann hierzu die mit tan α multiplizierte zweite
Lagrange-I-Gleichung addieren. Dies gibt
(tan α + cot α)¨r − r ˙ϕ 2 tan α + g = 0 .
Zusammen mit der dritten Lagrange-I-Gleichung haben wir wieder die schon bekannten Bewegungsgleichungen
ermittelt. Wenn man r(t) und ϕ(t) berechnet hat, kann man dann über die Zwangsbedingung
auch z(t) bestimmen und über eine der drei Lagrange-I-Gleichungen dann λ(t). Dann hat man auch Zz
und Zϕ.
5.3.2 Rollpendel
Im Folgenden stellen wir die Lagrange-Gleichungen erster Art für das Rollpendel auf und bestimmen einen
Zusammenhang zwischen der Zwangskraft, die die Schiene ausübt, und der Zwangskraft, die der Faden
ausübt. Die Lagrange-Gleichungen zweiter Art für das Rollpendel haben wir in Abschnitt 3.3 aufgestellt.
Die beiden Zwangsbedingungen lauten
und
f1(x1, y1, r, ϕ) = y1 = 0
f2(x1, y1, r, ϕ) = r − l = 0 .
Nur zwei der insgesamt 8 partiellen Ableitungen der beiden Zwangsbedingungen nach den 4 Variablen
sind von Null verschieden. Diese partiellen Ableitungen entsprechen den Koeffizienten aij aus (2.8), und
die beiden von Null verschiedenen Koeffizienten sind
Die Lagrange-Funktion ist
T − V = m1
2
∂f1
∂y1
= a12 = 1 und ∂f2
∂r = a23 = 1 .
2
˙x 1 + ˙y 2 m2 2
1 + ˙x 2 + ˙y
2
2 2 − m1gy1 − m2gy2 ,
bzw ausgedrückt durch die verallgemeinerten Koordinaten r und ϕ statt x2 = x1 + r sin ϕ und y2 =
y1 − r cos ϕ:
L = m1 + m2
2
2
˙x 1 + ˙y 2 m2 2 2 2
1 + ˙r + r ˙ϕ + 2 ˙r ( ˙x1 sin ϕ − ˙y1 cos ϕ) + 2r ˙ϕ ( ˙x1 cos ϕ + ˙y1 sin ϕ)
2
−m1gy1−m2g(y1−r cos ϕ) .
Die Lagrange-Gleichungen lauten nach Einsetzen der Zwangsbedingungen:
Lx1 : (m1 + m2)¨x1 + m2l( ¨ϕ cos ϕ − ˙ϕ 2 sin ϕ) = 0 (5.8)
Ly1 : m2l( ¨ϕ sin ϕ + ˙ϕ 2 cos ϕ) + (m1 + m2)g = λ1 = ZSchiene (5.9)
Lr : m2(¨x1 sin ϕ − l ˙ϕ 2 − g cos ϕ) = λ2 = −ZF aden (5.10)
Lϕ : m2l(¨x1 cos ϕ − l ¨ϕ + g sin ϕ) = 0 . (5.11)
Die erste und letzte dieser Gleichungen sind die Bewegungsgleichungen für x1 und ϕ, die wir schon früher
hergeleitet haben. Für den Fall px1 = 0 berechnen wir in den Übungen eine Lösung (Aufgabe 2 zu Kapitel
46

4). Wenn man eine Lösung hat, kann man mit Hilfe der zweiten und dritten Gleichung die Zwangskräfte
ermitteln.
Wir bestimmen jetzt noch einen Zusammenhang der beiden verallgemeinerten Zwangskräfte: ZSchiene
lässt sich mit der vierten Lagrange-Gleichung umrechnen:
ZSchiene = (m1 + m2 cos 2 ϕ)g + m2(l ˙ϕ 2 − ¨x1 sin ϕ) cos ϕ = m1g + ZF aden cos ϕ .
Dieses Ergebnis ist anschaulich plausibel, da die Schiene zum einen die Gewichtskraft der Masse m1 und
zum anderen die Zugkraft des Fadens kompensieren muss.
5.3.3 Ein Beispiel mit Reibung
Als weiteres Beispiel betrachten wir eine Perle auf einem ruhenden, parabelförmigen Draht mit Gleitreibung,
Die Dissipationsfunktion (3.21) ist
F (R) = −f| Z|ˆv = −f| ( ˙x, ˙y)
Z|
˙x 2 + ˙y 2 .
P =
v
0
f| Z|dˆv = f| Z| ˙x 2 + ˙y 2 .
Die Zwangsbedingung lautet f(x, y) = y − ax 2 = 0, bzw. df = dy − 2ax dx.
Die Lagrange-Funktion ist
L = T − V = m
2 ( ˙x2 + ˙y 2 ) − mgy ,
und die Lagrange-I-Gleichungen sind
und
d ∂L ∂L ∂P
− +
dt ∂ ˙x ∂x ∂ ˙x
d ∂L ∂L ∂P
− +
dt ∂ ˙y ∂y ∂ ˙y
= λ∂f
∂x ⇒ m¨x + f| ˙x
Z| = −2axλ = Zx
˙x 2 + ˙y 2
= λ∂f
∂y ⇒ m¨y + mg + f| ˙y
Z|
˙x 2 + ˙y 2 = λ = Zy .
Wir verwenden die Zwangsbedingung, um y zu eliminieren: y − ax 2 = 0 ⇒ ˙y = 2ax ˙x , ¨y = 2a( ˙x 2 + x¨x).
Der Betrag der Zwangskraft ist | Z| =
Z 2 x + Z 2 y = λ √ 4a 2 x 2 + 1, er ist also von y unabhängig.
Dies ist in die beiden Lagrange-I-Gleichungen einzusetzen, aus denen dann λ eliminiert werden kann.
Das Vorzeichen der Wurzel und damit die Richtung der Zwangskraft hängt davon ab, ob die Perle sich
gerade nach rechts bewegt (positives ˙x) oder nach links (negatives ˙x). Es ergibt sich für ˙x > 0:
m¨x + fλ√ 4a 2 x 2 + 1 ˙x
√ ˙x 2 + 4a 2 x 2 ˙x 2
= −2axλ ⇒ m¨x + fλ = −2axλ
47

und
2ma( ˙x 2 + x¨x) + mg + fλ√ 4a 2 x 2 + 1 2ax ˙x
√ ˙x 2 + 4a 2 x 2 ˙x 2 = λ ⇒ 2ma( ˙x2 + x¨x) + mg + 2axfλ = λ .
Elimination von λ führt nach elementaren Rechenschritten auf
Für ˙x < 0 ergibt sich entsprechend
(1 + 4a 2 x 2 )¨x + (2ax + f)(2a ˙x 2 + g) = 0 .
(1 + 4a 2 x 2 )¨x + (2ax − f)(2a ˙x 2 + g) = 0 .
Damit haben wir sowohl die Zwangskräfte, als auch die Bewegungsgleichungen bestimmt.
Aufgaben
1. In dem Beispiel mit der Leiter an der Wand (s. Ende von Kapitel 2) wurde die Kraft F auf ein Seil,
das die Leiter an ihrem Ort festhält, mit Hilfe des d’Alembert-Prinzips errechnet. Bestimmen Sie
die Zwangskraft F nun mit den Lagrange-Gleichungen erster Art.
2. Berechnen Sie die Lagrange-Gleichungen erster Art und die Ausdrücke für die verallgemeinerte
Zwangskraft für ein gewöhnliches Pendel, also für eine Masse m an einem Faden der Länge l, das
nur in der x − y-Ebene schwingen kann.
3. (Aufgabe 2 der Bachelor-Klausur von 2005)
48

Ein Massepunkt (1) bewegt sich auf der x-Achse und ein zweiter Massepunkt (2) bewegt sich auf
der y-Achse. Beide Massepunkte haben gleiche Massen m und sind durch eine masselose Stange
der Länge b miteinander verbunden. Die Bewegung sei reibungsfrei und die Schwerkraft wirke in
Richtung der Winkelhalbierenden der x-Richtung und y-Richtung.
(a) Stellen Sie die lagrangeschen Bewegungsgleichungen erster Art für x1 und y2 auf.
(b) Drücken Sie x1 und y2 durch den Winkel ϕ der Stange mit der x-Achse aus und berechnen Sie
die Bewegungsgleichung für ϕ.
(c) Bestimmen Sie die Gleichgewichtslagen.
(d) Berechnen Sie die Frequenz ω0 der Schwingung für kleine Auslenkungen aus der stabilen Gleichgewichtslage.
49

Kapitel 6
Hamiltonsches Prinzip
Das von W. R. Hamilton (1805 - 1864) im Alter von 18 Jahren entdeckte Hamiltonsche Prinzip ist gleichwertig
mit den Lagrange-Formalismen. Letztere können sehr effizient aus dem Hamiltonschen Prinzip
abgeleitet werden. Das Hamiltonsche Prinzip ist ein Extremalprinzip. Wir werden also eine Größe definieren,
die durch die klassischen Bahnen minimiert oder maximiert wird oder dort einen Sattelpunkt
hat. Diese Größe ist die sogenannte “Wirkung”. Solche Extremalprinzipien stecken nicht nur hinter den
Bewegungsgleichungen der klassischen Mechanik, sondern treten auch in anderen Gebieten der Physik
auf. Ein Beispiel hierfür ist das Prinzip der Strahlenoptik, dass die Lichtstrahlen den zeitlich kürzesten
Weg nehmen.
6.1 Variationsrechnung (ohne Nebenbedingungen)
Bevor wir das Hamiltonsche Prinzip behandeln, befassen wir uns zunächst allgemein mit der Variationsrechnung.
Bei der Variationsrechnung geht es darum, eine Funktion zu finden, die eine bestimmte Größe
maximiert oder minimiert. Wir formulieren diese Aufgabe folgendermaßen:
Gegeben sei eine Funktion F = F (y(x), y ′ (x), x) mit stetig differenzierbarem y(x) und mit y ′ (x) ≡
dy/dx. Gegeben seien außerdem zwei Punkte P1 und P2 mit den Koordinaten (x1, y1) und (x2, y2). Für
welche Kurve y(x) zwischen P1 und P2 wird das Integral
x2
I ≡ F (y(x), y ′ (x), x) dx (6.1)
extremal?
x1
Zur Lösung dieser Aufgabe betrachten wir alle Kurven in der Umgebung der gesuchten Lösung: Sei
y(x) die gesuchte Kurve und η(x) eine beliebige Funktion mit η(x1) = η(x2) = 0. Dann heißt
die variierte Kurve. ε ist ein kleiner Parameter, und
heißt Variation der Kurve y(x). Es gilt
d.h. Variation und Differentiation sind vertauschbar.
ˆy(x) = y(x) + εη(x) (6.2)
δy(x) ≡ εη(x) (6.3)
d
dx δy(x) = εη′ (x) ≡ δy ′ (x) = δ d
y(x) , (6.4)
dx
50

Nach diesen Definitionen und Vorüberlegungen betrachten wir jetzt das Integral I, wobei wir für y(x)
den Ansatz (6.2) einsetzen und I als Funktion von ɛ ansehen:
x2
I(ε) ≡ F (y + εη, y ′ + εη ′ , x) dx . (6.5)
Wir suchen ein Extremum von I. Das bedeutet, dass
x2
dI
′
∂F (y, y , x)
dε =
ε=0 x1 ∂y
x1
η(x) + ∂F (y, y′ , x)
∂y ′ η ′ (x)
dx = 0 (6.6)
sein muss für alle Funktionen η(x).
Wir formen den zweiten Summanden durch partielle Integration um:
x2
∂F (y, y
x1
′ , x)
∂y ′ η ′ x2
partielle Integration d ∂F (y, y
(x)dx = −
x1 dx
′
, x)
η(x) dx +
∂y
∂F (y, y′ , x)
∂y ′
x2
η(x)
. (6.7)
x1
Eingesetzt in (6.6) ergibt sich
x2
x1
∂F (y, y ′ , x)
∂y
− d
dx
Dies ist genau dann für alle möglichen Funktionen η(x) erfüllt, wenn
null, da η(x1)=η(x2)=0
∂F (y, y ′ , x)
∂y ′
η(x)dx = 0 (6.8)
d ∂F ∂F
− = 0 (6.9)
dx ∂y ′ ∂y
ist. (Das folgt aus dem “Fundamental-Lemma der Variationsrechnung ohne Nebenbedingungen”.)
Wir haben also die Aufgabe, das Integral I zu maximieren (oder minimieren), zurückgeführt auf die
Aufgabe, die Differenzialgleichung (6.9) zu lösen.
Hängt der Integrand F (y, y ′ ) nicht explizit von x ab, ist es zur Lösung konkreter Aufgaben zweckmäßig,
die Bedingung (6.9) auf die Bedingung
′ ∂F
H ≡ F − y = konst (6.10)
∂y ′
umzuschreiben.
Test: H = konst bedeutet dH/dx = 0, und dies sieht man anhand von
dH ∂F ∂F ∂F d ∂F ∂F d ∂F
= y′ + y′′ − y′′ − y′ = y′ −
dx ∂y ∂y ′ ∂y ′ dx ∂y ′ ∂y dx ∂y ′
= 0 .
=0 nach Gl. (6.9)
Also ist H = konst genau dann erfüllt, wenn Gl. (6.9) erfüllt ist.
6.2 Beispiel: Brachistochronen-Problem
Als Beispiel für die Variationsrechnung mit einer Variablen betrachten wir das sogenannte Brachistochronen-
Problem. Dieses in der Geschichte der Mathematik berühmte Problem wurde 1696 von Johann Bernoulli
gestellt und begründete die Variationsrechnung: Ein Massepunkt mit Anfangsgeschwindigkeit Null soll
im Gravitationsfeld reibungsfrei von P1 = (x1, 0) nach P2 = (x2, y2) laufen. (Es zeige die y-Achse in
Richtung der Gravitationskraft, so dass y2 > 0 ist.) Gesucht ist diejenige Zwangsfläche, die die hierfür
benötigte Zeit minimiert.
51

Wir beschreiben die Zwangsfläche, auf der die Masse rutscht, durch die Kurve y(x), wobei y(x1) = 0
und y(x2) = y2 ist. Die Laufzeit ist gegeben durch
mit
x2
T =
ds 2 = dx 2 + dy 2 und 1
2 mv2 = mgy(x) .
(Beim letzten Schritt haben wir den Energieerhaltungssatz mit v0 = 0 verwendet.) Also ist
T = 1
x2
1 + y
√
2g x1
′2
dx .
y
Ein Extremum von T zu finden bedeutet, Gl. (6.9) mit F = (1 + y ′2 )/y zu lösen, bzw. die Gleichung
(6.10) H = konst mit H = F − y ′ ∂F/∂y ′ zu lösen.
Letzteres führt auf
1
(1 + y ′2 = c
)y
bzw. mit der Ersetzung r0 = 1/(2c 2 )
Mit der Substitution
wird dies zu
x2 − x1 = 2r0
ϕ2
ϕ1
2 ϕ
sin
2
cos ϕ
2
1 − sin
2 ϕ
2
x1
ds
v
x2 y2
y
dx =
dy .
2r0 − y
x1
y1
2 ϕ
y = 2r0 sin
2 = r0(1 − cos ϕ)
ϕ2
ϕ2
2 ϕ
dϕ = 2r0 sin dϕ = r0
2
ϕ1
ϕ1
(1 − cos ϕ)dϕ = r0(ϕ − sin ϕ)| ϕ2
ϕ1 .
Zur Vereinfachung setzen wir x1 = 0. Außerdem ist wegen y1 = 0 auch ϕ1 = 0. Dann gilt
y2 = r0(1 − cos ϕ2) und x2 = r0(ϕ2 − sin ϕ2) .
Diese beiden Gleichungen legen die Parameter r0 und ϕ2 fest, weil ja x2 und y2 gegeben sind. Wenn wir
als obere Integrationsgrenze nicht x2 und y2 bzw. ϕ2 wählen, sondern einen beliebigen Wert zwischen
dem Anfangs- und Endpunkt, erhalten wir die gesamte Form der Zwangsfläche:
y = r0(1 − cos ϕ) und x = r0(ϕ − sin ϕ) .
Man nennt dies eine Zykloide. Die Steigung y ′ = dy/dx bekommt man, indem man dy/dϕ und dx/dϕ
berechnet und durcheinander dividiert. Dies ergibt
dy sin ϕ
=
dx 1 − cos ϕ ,
was für ϕ < π positiv ist und für ϕ > π negativ wird. Wenn also x2/y2 so groß ist, dass ϕ > π wird,
hat die Zwangsfläche ein Minimum, d.h. der tiefste Punkt liegt tiefer als der Endpunkt. Dies tritt auf für
x2 > y2π/2.
52

6.3 Verallgemeinerung auf mehrere Variablen
Wenn F von mehreren Funktionen yi(x) und ihren Ableitungen abhängt, also F = F (y1, ..., yn; y ′ 1, ..., y ′ n; x),
dann erhalten wir ganz analog
d ∂F ∂F
− = 0 , i = 1, ..., n . (6.11)
dx ∂yi
′ ∂yi
Diese Gleichungen werden als Euler-Lagrange-Gleichungen bezeichnet. Wir definieren wieder ˆyi(x) =
yi(x) + δyi(x) mit δyi(x) = ɛiηi(x). Die Variation δI des Integrals (6.1) auf den Kurven yi(x) ist definiert
als
δI =
n
i=1
εi
x2
∂I
n
∂F
∂εi
=
−
ε1=...=εn=0 x1 ∂yi
d ∂F
dx ∂yi ′
δyidx . (6.12)
I heißt stationär falls δI = 0 ist für alle ηi(x), also wenn die Euler-Lagrange-Gleichungen erfüllt sind.
Wenn I stationär ist, heißt das allerdings noch nicht, dass ein Maximum oder Minimum von I vorliegt.
Es kann auch eine Art “Sattelpunkt” vorliegen. Aber für das folgende Hamiltonsche Prinzip ist die Frage,
ob I extremal ist oder “nur” stationär, irrelevant, da in seiner Formulierung nur erwähnt wird, dass I
stationär ist. Es wird keine Aussage darüber gemacht, dass I einen Extremwert annehmen muss.
6.4 Hamiltonsches Prinzip
Die Euler-Lagrange-Gleichungen haben genau die Form der Lagrange-Gleichungen zweiter Art. Dies sehen
wir, wenn wir die Ersetzungen x → t, y → q, F → L machen. Die Funktion I nennen wir jetzt S.
Das Hamiltonsche Prinzip lautet folgendermaßen: Die Bewegung eines mechanischen Systems zwischen
den Zeiten t1 und t2 verläuft derart, dass die Wirkung
Das bedeutet, dass
i=1
t2
S ≡ L (q, ˙q, t) dt stationär ist. (6.13)
t1
δS = 0 (6.14)
ist, was auch das Prinzip der stationären Wirkung genannt wird. In der Formulierung (6.13) ist dieses
Prinzip für alle Systeme gültig, deren Kräfte sich gemäß (3.8) oder (3.12) aus einem Potenzial ableiten
lassen und deren Zwangsbedingungen holonom bzw. differentiell sind.
Wenn es k holonome Zwangsbedingungen gibt, ist L = L (q1, ..., q3N−k; q1, ˙ ..., ˙q3N−k; t) und
t2
δS =
t1
3N−k
j=1
∂L
−
∂qj
d
∂L
δqjdt = 0 . (6.15)
dt ∂qj ˙
Hier repräsentiert δqi(t) eine Variation von qi(t) zum Zeitpunkt t. Das entspricht der in Kapitel 2 definierten
virtuellen Verrückung. Mit (6.15) ist nach dem Fundamental-Lemma der Variationsrechnung das
Hamiltonsche Prinzip zu den Lagrange-Gleichungen zweiter Art (3.10) äquivalent.
Mit dem Hamiltonschen Prinzip lässt sich auf elegante Art die “Eichinvarianz” der Lagrange-Gleichungen
zeigen, also dass die zwei Lagrange-Funktionen L(q, ˙q, t) und L ′ (q, ˙q, t) mit
L ′ (q, ˙q, t) = cL(q, ˙q, t) + d
f(q, t) (6.16)
dt
auf dieselben Lagrange-Gleichungen führen. Wir haben dies schon in Anschluss an (4.8) gezeigt, und wir
53

zeigen dies jetzt nochmal auf eine andere Art:
t2
δ Ldt = 0
t1
t2
⇒ δ
t1
L ′ t2
dt = δ c
t2
= δ
= 0
t1
t1
t2
Ldt +
da an den Endpunkten keine Variation durchgeführt wird.
t1
d
f(q, t)dt
dt
d
dt f(q, t)dt = δ (f (q(t2), t2) − f (q(t1), t1))
6.5 Variation mit Nebenbedingungen und Lagrange-Gleichungen
erster Art
Die Lagrange-Gleichungen erster Art (5.6) lassen sich durch die Methode der Lagrange-Multiplikatoren
ableiten. Die Lagrange-Funktion wird jetzt in Abhängigkeit von allen 3N verallgemeinerten Koordinaten
aufgestellt. Die Gleichung (6.15) wird also dahingehend geändert, dass eine Summation über alle 3N
verallgemeinerten Koordinaten auftritt,
t2
t1
3N
j=1
∂L
−
∂qj
d
∂L
δqjdt = 0 . (6.17)
dt ∂qj ˙
Die virtuellen Verrückungen δqi(t) sind Zwangsbedingungen unterworfen und nicht unabhängig. Es gilt
wieder
3N
aijδqj = 0 , i = 1, . . . , k .
Wir addieren nun einen Term
zu (6.17) und erhalten
t2
t1
3N
j=1
j=1
t2
t1
3N
j=1 i=1
∂L
−
∂qj
d ∂L
+
dt ∂qj ˙
k
λiaijδqjdt = 0
k
i=1
λiaij
δqjdt = 0 . (6.18)
Die Lagrangeschen Multiplikatoren λi werden so gewählt, dass die Terme in den k runden Klammern, die
vor den k abhängigen δqj stehen, Null ergeben. Die restlichen 3N − k Klammern verschwinden ebenfalls,
da die zugehörigen δqj unabhängig sind. Es ergeben sich also wieder die Lagrange-Gleichungen erster Art
(5.6).
6.6 Beispiele
Als erstes Beispielsystem betrachten wir einen harmonischen Oszillator. Hier werden wir zeigen, dass die
Wirkung nicht immer minimal ist, sondern dass sie für Zeiten, die größer als die halbe Schwingungsperiode
sind, einen Sattelpunkt hat.
Die Wirkung des harmonischen Oszillators ist
t2
m
S[x] =
2 ˙x2 − D
2 x2
dt .
t1
54

Wir setzen in Folgenden t1 = 0 und x(t1) = 0. Die Lösung der Bewegungsgleichungen ist x(t) = A sin ωt
mit ω = D/m, und sie ist die Lösung der Bedingung δS = 0. Wir betrachten nun eine variierte Bahn
ˆx(t) = x(t) + ɛη(t)
mit η(0) = η(t2) = 0. Für diese Bahn lautet die Wirkung
t2
S[x + ɛη] = S[x] + ɛ [m ˙x ˙η − Dxη]dt + ɛ2
2
0
t2 2 2
m ˙η − Dη dt .
Wir integrieren jeweils den ersten Term in den eckigen Klammern partiell und verwenden η(0) = η(t2) = 0.
Dies führt auf
t2
S[x + ɛη] = S[x] − ɛ [m¨x + Dx]ηdt −
0
=0
ɛ2
t2
[m¨η + Dη] ηdt ≡ S[x] + ∆S .
2 0
Wir entwickeln die Abweichungen η(t) in eine Fourierreihe,
0
η(t) =
∞
k=1
kπ
bk sin t
t2
und benutzen die Orthogonalitätsrelationen
t2
kπ lπ
sin t sin t dt =
t2 t2
t2
2 δkl ,
woraus
m¨η + Dη =
folgt. Also ist
∆S = − ɛ2
∞
2
kπ
D − m
2
Für
k,l=1
t2
bkbl
∞
2
kπ
kπ
D − m bk sin t
t2
t2
k=1
t2
0
kπ lπ
sin t sin t dt = −
t2 t2
ɛ2 t2
2 2
m π
t2 > π = =
D ω0
T
2
0
∞
2
kπ
D − m
gibt es ein k0 so, dass die eckigen Klammern für k < k0 positiv und für k > k0 negativ sind. Also ist für
das ∆S negativ, also S[x] > S[x + ɛη1]. Für
k0
kπ
η1(t) ≡ bk sin t
t2
η2(t) ≡
k=1
∞
k=k0+1
kπ
bk sin t
t2
dagegen ist ∆S positiv, also S[x] < S[x+ɛη2]. Folglich ist S[x] für t2 > T/2 weder minimal noch maximal.
Als zweite Anwendung betrachten wir eine schwingende Saite. Hier ist unser Ziel, aus dem Prinzip
der stationären Wirkung die Wellengleichung für diese Saite abzuleiten. Wir bezeichnen die Länge der
Saite mit l und ihre Massenbelegung mit ϱ (das hat die Einheit kg/m). Die Saite werde an beiden Enden
55
k=1
t2
b 2 k .

festgehalten und mit einer konstanten Kraft F vorgespannt. Die Auslenkung an der Stelle x wird mit
y(x, t) bezeichnet. Wir gehen davon aus, dass die Auslenkung so klein ist, dass dadurch F nicht verändert
wird. Gegenüber der bisher betrachteten Situation sind die y jetzt keine diskreten Variablen (wie es die qj
waren), sondern sie hängen kontinuierlich von x ab. Man hat also statt den Summen über j ein Integral
über x in der Lagrange-Funktion.
Wir berechnen zuerst die Lagrange-Funktion L = T − V . Es ist
T = ϱ
l
˙y
2
2 (x, t)dx
und
V = F δl = F
0
ds − l = F
l
1 + y ′2dx − l .
An geeigneter Stelle werden wir uns daran erinnern, dass y ′ eine kleine Größe ist. Variation der Wirkung
ergibt
t2 l
ϱ
δ Ldt = δ
t1 0 2 ˙y2 − F 1 + y ′2
dx + F l dt
t2
l
˙y
= ϱ ˙yδ ˙y − F
1 + y ′2 δy′
t2 l
dxdt [ϱ ˙yδ ˙y − F ˙yδy ′ ] dxdt
=
=
t1
l
0
0
ϱ ˙yδy| t2
t1 dx − F
t2
t1
y ′ δy| l t2
0 dt −
t1
t1
0
0
l
[ϱ¨y − F y ′′ ] δy dx dt
0
l
t2
ϱ ˙y[δy(x, t2) − δy(x, t1)]dx − F y ′ t2 l
[δy(l, t) − δy(0, t)]dt − [ϱ¨y − F y ′′ ] δy dx dt .
0
t1
Die Variation verschwindet am Anfang und am Ende der Zeit, also ist δy(x, t1) = δy(x, t2) = 0 für alle
x. Außerdem verschwindet die Variation an den Rändern der Saite, und es ist δy(0, t) = δy(l, t) = 0 für
alle t. Damit bleibt nur der dritte Term übrig, und es folgt
t2 l
δS = − [ϱ¨y − F y ′′ ] δy dx dt .
t1
0
Da die Variationen δy(x, t) beliebig sind, kann das Doppelintegral nur verschwinden, wenn der Term in
der eckigen Klammer Null ist. Damit haben wir die Wellengleichung
erhalten. Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Welle ist c = F/ϱ.
1
c 2 ¨y(x, t) = y′′ (x, t) (6.19)
Bemerkung: Man kann die Bewegungsgleichung der Saite auch direkt aus den Lagrange-Gleichungen
zweiter Art erhalten, wenn man die Saite diskretisiert. Wir unterteilen die Saite in N = l/∆x kleine
Abschnitte der Länge ∆x. Wir schreiben also
und machen die Ersetzung
Damit ist
xj = j∆x , yj = y(xj) , y ′ = yj+1 − yj
∆x
dxf(x, t) →
∆xf(xj, t) .
L = ϱ
N−1
˙y
2
j=0
2 j (t)∆xj − F
2
j
56
N−1
j=0
yj+1 − yj
(∆xj) 2 ∆xj ,
t1
0

wobei wir wieder 1 + y ′2 durch 1+y ′2 /2 ersetzt haben. Die Lagrange-Gleichungen zweiter Art sind also
d ∂L
yj − yj−1
= ϱ¨yj∆xj = F
+
dt ∂ ˙yj
∆x
yj
− yj+1
=
∆x
∂L
.
∂yj
Das führt auf
ϱ¨yj = F 2yj − yj+1 − yj−1
(∆x) 2
und schließlich, wenn wir wieder zum Kontinuum gehen, auf
Aufgaben
ϱ¨y = F y ′′ .
1. Seifenhaut: Eine Seifenhaut, die zwischen zwei an den Positionen x1 und x2 um die x-Achse zentrierten
Kreisen mit den Radien y1 und y2 eingespannt ist, nimmt eine minimale Fläche ein.
(a) Stellen Sie eine Bedingung für diese Fläche auf.
(b) Berechnen Sie die Kurve y(x), die die minimale Fläche beschreibt. Gehen Sie dabei aus von
′ ∂F F − y ∂y ′ = konst. ≡ a (siehe Gleichung (6.10) im Skript). In Ihrem Ergebnis für y(x) darf
die Konstante a drinstehen. Erklären Sie am Ende, durch welche Bedingung der Wert von a
festgelegt wird. (Hinweis: Vielleicht brauchen Sie folgende Beziehung: cosh 2 (x)−1 = sinh 2 (x).)
2. Weisen Sie nach, dass sich ein Teilchen, das infolge von Zwangskräften auf einer gekrümmten Fläche
laufen muss, ansonsten aber kräftefrei ist, auf einer Geodäten (also der kürzest möglichen Verbindung
zwischen zwei Punkten) bewegt. (Statt der gekrümmten Fläche kann man auch einen gekrümmten
Raum betrachten - das findet bei der Allgemeinen Relativitätstheorie eine Anwendung.)
3. Hochspannungsleitung: Gegeben ist ein Kabel, das an den Enden xA und xB auf derselben Höhe
yA = yB aufgehängt ist und nicht den Boden berühren kann. Im Folgenden soll schrittweise die
Form des Kabels berechnet werden, indem die potenzielle Energie minimiert wird.
(a) Stellen Sie die potenzielle Energie in der Form Upot = F (y, y ′ ) dx auf, wobei y(x) die Form
des Kabels beschreibt.
(b) Das Kabel habe die Länge L (wobei der Abstand der beiden Pfosten xB − xA < L sei).
Schreiben Sie diese Nebenbedingung in Form eines Integrals g(y, y ′ ) dx − L = 0.
(c) Um die Variation mit Nebenbedingungen zu lösen, soll eine erweiterte Funktion ˜ F aufgestellt
werden, die die Nebenbedingungen enthält: ˜ F = F + λg mit λ ∈ R.
Gehen Sie nun von der Beziehung ˜ F − y ′ ∂ ˜ F
∂y ′ = konst. ≡ a (analog zu Gleichung (6.10) im
Skript) aus, um aus der erweiterten Funktion ˜ F eine Lösung für die Kurve des Kabels y(x) zu
bestimmen. Ihr Ergebnis für y(x) darf von a und λ abhängen. (Hinweis: Vielleicht brauchen
Sie folgende Beziehung: cosh 2 (x) − 1 = sinh 2 (x).)
(d) Geben Sie die beiden Beziehungen an, durch die a und λ festgelegt sind.
57

Kapitel 7
Zentralkraft
In diesem und den folgenden drei Kapiteln behandeln wir Anwendungen des bisher behandelten Stoffs.
In diesem Kapitel diskutieren wir das Problem zweier Körper, die sich unter dem Einfluss einer wechselseitigen
Zentralkraft bewegen. Zentralkräfte zeigen in Richtung der Verbindungslinie der beiden Körper.
Wir beschränken uns wie in Abschnitt 1.5 auf konservative Zentralkräfte, deren Betrag nur vom Betrag
des Abstands der beiden Körper abhängt, aber nicht von der Richtung. Wir betrachten zwei Teilchen mit
den Massen m1, m2 und der Kraft F = F (r, t) zwischen ihnen, wobei r ≡ r1 − r2 ist:
m1 ¨ r1 = F (r, t) , m2 ¨ r2 = − F (r, t) (7.1)
7.1 Allgemeine Lösung der Bewegungsgleichungen
Unser Ziel ist es, diese Bewegungsgleichungen zu lösen. Da dies ein abgeschlossenes Zweiteilchensystem
ist, ist es zweckmäßig, einen Koordinatenwechsel zu Schwerpunkts- und Relativkoordinaten vorzunehmen.
Von der Schwerpunktbewegung wissen wir nämlich schon, dass für sie die Erhaltung von Impuls und
Drehimpuls gilt.
Der Schwerpunkts-Vektor ist
R = m1r1 + m2r2
.
m1 + m2
Addition der beiden Gleichungen in (7.1) führt auf (vgl. (1.17))
m1 ¨ r1 + m2 ¨ r2 = 0 ⇒ ¨ m1
R = ¨ r1 + m2 ¨ r2
= 0 . (7.2)
m1 + m2
Die Bewegung des Schwerpunkts ist also gleichförmig.
Subtraktion der aus (7.1) durch Multiplikation mit den Massen erhaltenen Gleichungen
ergibt
mit der sogenannten reduzierten Masse
m2m1 ¨ r1 = m2 F , m1m2 ¨ r2 = −m1 F
m1m2
m1 + m2
¨r = F (r, t) (7.3)
m ≡ m1m2
. (7.4)
m1 + m2
Aus Gleichungen (7.2) und (7.3) erkennen wir, dass die Schwerpunktsbewegung und die Relativbewegung
völlig voneinander entkoppelt sind, also dass die Gleichung für R nicht von der für r abhängt und
umgekehrt.
58

Im Folgenden betrachten wir nur noch die Relativbewegung. Wir sehen an Gleichung (7.3), dass die
Relativbewegung zweier Massen, die von außen nicht beeinflusst werden, zur Bewegung eines Einteilchensystems
mit reduzierter Masse m äquivalent ist:
m ¨ r = F (r, t) (7.5)
Zentralkräfte zeigen immer auf einen bestimmten Punkt, das sog. Kraftzentrum, den wir o.B.d.A. in den
Ursprung des Koordinatensystems legen.
Ein Beispiel hierfür ist die Gravitationskraft zwischen zwei Massen (1.13)
m ¨ r = −G m1m2
r 2
wobei M ≡ m1 + m2.
Nach (1.21) ist der Drehimpuls konstant, d.h.
r
= −GmM
r r2 r
r
L = r × p = konst.
Dies folgt auch aus dem Noether-Theorem, da eine Rotationsinvarianz vorliegt: weder die kinetische,
noch die potenzielle Energie ändern sich bei einer Rotation des Koordinatensystems. Das Problem besitzt
Kugelsymmetrie, d.h. Drehungen um irgendeine feste Achse haben keinen Einfluss auf die Lösungen.
Da der Ortsvektor senkrecht zum konstanten Drehimpuls steht,
r · L = r · (r × p) = 0 ,
verlaufen Zentralkraftbewegungen in einer Ebene. (Für den Spezialfall L = 0 ist r ˙ r, d.h. die Bewegung
verläuft sogar längs einer Linie.)
Konservative Zentralkräfte lassen sich ausdrücken als
F (r) = f(r) r
(r)
, f(r) = −dV , (7.6)
r dr
wobei das Potenzial V (r) nur von r ≡ |r| abhängt (Vgl. Abschnitt 1.5).
Weil die Bewegung in einer Ebene stattfindet, reicht es, das System durch zwei Freiheitsgrade zu
beschreiben. Wir wählen Polarkoordinaten und verwenden den Lagrange-Formalismus:
L = m
2
Die entsprechenden Bewegungsgleichungen sind
und
˙r 2 + r 2 ˙ϕ 2 − V (r) . (7.7)
m¨r = − dV
dr
+ mr ˙ϕ2
mr(r ¨ϕ + 2 ˙r ˙ϕ) = 0 .
Wegen der zweiten Zeitableitungen sind zur Lösung eigentlich vier Integrationen nötig. Unter Verwendung
der Erhaltungsgrößen können wir dies auf zwei Integrationen reduzieren.
Die Variable ϕ ist zyklisch, also ist
pϕ = ∂L
∂ ˙ϕ = mr2 ˙ϕ = konst (7.8)
eine Erhaltungsgröße. Dies ist der Drehimpuls.
Außerdem sind alle zu Beginn von Abschnitt 4.4 genannten Bedingungen dafür erfüllt, dass die Energie
eine Erhaltungsgröße ist. Insbesondere ist L nicht explizit zeitabhängig. Es gilt also
E = m
2
˙r 2 + r 2 ˙ϕ 2 + V (r) (7.8)
= m
59
2 ˙r2 + p2ϕ 2mr
2 + V (r) = konst . (7.9)

Wir gehen weiterhin so vor wie beim Lösen der Aufgabe mit dem Teilchen im Kreiskegel (Abschnitt 4.4).
Auflösen von (7.9) nach ˙r ergibt
˙r ≡ dr
2
= ± E − V (r) −
dt m
p2ϕ 2mr2
. (7.10)
Die beiden Vorzeichen gelten jeweils für verschiedene Bahnabschnitte, nämlich für diejenigen, bei denen
r mit der Zeit zunimmt, und für diejenigen, bei denen r mit der Zeit abnimmt. Der Ausdruck unter der
Wurzel in Gleichung (7.10) darf nicht negativ sein. Wenn er Null wird, also wenn
˙r = 0 bzw. V (r) + p2ϕ = E (7.11)
2mr2 ist, hat die Bewegung dort einen Umkehrpunkt. Damit es einen minimalen Abstand gibt, muss −V (r)
im Limes r → 0 negativ werden, oder, wenn es positiv ist, langsamer anwachsen als p2 ϕ/2mr2 . Wenn es
auch einen maximal möglichen Abstand gibt, nennt man die Bewegung “gebunden”.
Es bleiben jetzt noch zwei Integrationen übrig, denn die Gleichungen erster Ordnung (7.8),(7.10) sind
noch zu lösen. Integration von (7.10) mit r0 ≡ r(t = 0) ergibt
dt
dr
= ±
2
m
1
E − V (r) − p2 ϕ
2mr 2
r
⇒ t = ±
r0
2
m
dr ′
E − V (r ′ ) − p2 ϕ
2mr ′2
. (7.12)
Die Radialbewegung r = r(t) ergibt sich aus der Umkehrung von (7.12) für vorgegebene V (r), E, pϕ. Diese
Lösungen gelten jeweils für Abschnitte, bei denen ˙r ein festes Vorzeichen hat. An den Umkehrpunkten
werden die Lösungen zu verschiedenen Vorzeichen aneinander gefügt.
Mit (7.8), d.h. ˙ϕ = dϕ
dt
= pϕ
mr 2 (t) und ϕ0 ≡ ϕ(t = 0) ist
ϕ(t) = pϕ
t
m 0
dt ′
r 2 (t ′ ) + ϕ0 . (7.13)
Damit ist das Problem formal auf Integrale mit vier (Integrations-)konstanten pϕ, E, r0, ϕ0 zurückgeführt.
Wenn man sich nur für die Bahngestalt, und nicht für den zeitlichen Ablauf interessiert, bestimmt
man die geometrische Bahn r(ϕ) bzw. ϕ(r) statt der beiden Größen r(t), ϕ(t). Die Berechnung geht so:
1) dt (7.8)
= mr2
dϕ , 2) dt (7.10)
= ±
1),2)
pϕ
mr
⇒ 2
dϕ = ±
pϕ
2
m
⇒ ϕ(r) = ± pϕ
r
m r0
dr
E − V (r) − p2 ϕ
2mr 2
dr ′
r ′2
2
m E − V (r ′ ) − p2ϕ 2mr ′2
7.2 Das zweite Keplersche Gesetz
2
m
dr
E − V (r) − p2 ϕ
2mr 2
⇔ dϕ = ±pϕ
m
r 2
2
m
dr
E − V (r) − p2 ϕ
2mr 2
+ ϕ0 . (7.14)
Das zweite Keplersche Gesetz besagt, dass der “Fahrstrahl”, also die Verbindungslinie von der Sonne zu
dem betrachteten Planeten, in gleicher Zeit gleiche Flächen überstreicht. Historisch betrachtet hat Kepler
dieses Gesetz vor seinen beiden anderen Gesetzen gefunden, als er die Bahn des Planeten Mars genau
untersuchte und feststellte, dass die Geschwindigkeit des Planeten schneller ist, wenn der Planet näher
an der Sonne ist.
60

Dieses Gesetz folgt direkt aus der Drehimpulserhaltung und gilt für alle konservativen Zentralkräfte,
nicht nur für Kräfte der Form f(r) ∝ 1/r 2 . Wir bezeichnen die überstrichene Fläche mit A, und für die
Änderung von A gilt
dA = 1
r rdϕ
2
⇒ dA
dt
=
1 dϕ (7.8) pϕ
r2 = = konst .
2 dt 2m
(7.15)
Also ist 1
2 r2 ˙ϕ die Flächengeschwindigkeit, d.h. die Fläche, die vom Radiusvektor pro Zeiteinheit
überstrichen wird, und sie ist identisch mit dem Drehimpuls.
7.3 Das effektive Potenzial
Für Potenziale vom Typ V (r) = ar n+1 , d.h. Kräfte F ∝ r n , führen die Bewegungsgleichungen für
n = 1, −2, −3 auf elementare Integrale und für n = 5, 3, 0, −4, −5, −7 auf die sogenannten elliptischen
Funktionen (siehe z.B. Goldstein S.81-83). Berechnungen und Ergebnisse sind i.A. kompliziert. Qualitative
Aussagen über die radiale Bewegung lassen sich aber durch Betrachtung des effektiven Potenzials Veff(r)
machen. Wir schreiben die Gesamtenergie (7.9) als
mit dem sogenannten “effektiven Potenzial”
E = m
2 ˙r2 + Veff(r) (7.16)
Veff(r) ≡ V (r) +
p 2 ϕ
2mr 2
Zentrifugalpotenzial
. (7.17)
Dieses setzt sich zusammen aus dem zur Zentralkraft gehörenden Potenzial und dem “Zentrifugalpotenzial”,
aus dessen Ableitung nach r sich die Zentrifugalkraft ergibt.
Als Beispiel betrachten wir den harmonischen Oszillator, der durch das Potenzial
definiert ist, also ist die Kraft
V (r) = 1
2 fr2
F (r) = −fr
eine lineare Rückstellkraft, wie z.B. bei einem Pendel mit kleiner Auslenkung oder einer Masse an einer
elastischen Feder.
61

Das effektive Potenzial geht sowohl für r → 0 als auch für r → ∞ gegen Unendlich und hat dazwischen
irgendwo ein Minimum. Die Energie muss mindestens so groß wie das effektive Potenzial an diesem
Minimum sein, damit eine Lösung (7.10) existiert. Die Bewegung hat zwei Umkehrpunkte, die sich aus
der Bedingung E = Veff(r) ergeben. Die Bewegung ist also “gebunden”.
Für pϕ = 0 gilt Veff = V , und die Bewegung verläuft längs einer Geraden, z.B. längs der x-Achse. Die
lineare Rückstellkraft Fx = −fx führt dann auf eine einfache harmonische Schwingung.
Für pϕ = 0 geht die Bewegung nicht durch das Kraftzentrum. An der komponentenweisen Darstellung
Fx = −fx und Fy = −fy sehen wir, dass die Bewegung die Resultierende zweier harmonischer Schwingungen
im rechten Winkel zueinander mit gleicher Frequenz ist. Dies führt i.A. auf elliptische Bahnen.
(Wenn die Frequenzen nicht gleich wären, ergäben sich Lissajous-Figuren.)
Wenn E den minimal möglichen Wert hat, nämlich den des Minimums von Veff(r), dann liegt eine
Kreisbahn vor. Das Minimum von Veff ergibt sich aus der Gleichung
0 = dVeff
dr = fr − p2ϕ ,
mr3 und der Radius der Kreisbahn ergibt sich folglich zu
r0 =
1/4 2 pϕ .
mf
7.4 Geschlossene und offene Bahnen
Für eine gebundene Bewegung zwischen zwei Umkehrpunkten r1, r2 ändert sich ϕ bei einem vollen Zyklus
r1 → r2 → r1 mit (7.14) um
Die Bahn heißt geschlossen, falls
∆ϕ = + pϕ
r2
m r1
− pϕ
r1
m r2
= 2 pϕ
r2
m r1
dr ′
r ′2
2
m E − V (r ′ ) − p2ϕ 2mr ′2
dr ′
r ′2
2
m E − V (r ′ ) − p2 ϕ
2mr ′2
dr ′
r ′2
2
m E − V (r ′ ) − p2 ϕ
2mr ′2
.
∆ϕ = m
2π (7.18)
n
62

ist mit ganzen Zahlen m und n, d.h. wenn n Radialzyklen m Umläufe ergeben, so dass sich die Kurve
nach m Umfäufen schließt.
Sonst ist die Bahn offen. Nur der harmonische Oszillator, V = f
2 r2 , und das Keplerpotenzial, V = − α
r ,
haben finite geschlossene Bahnen für alle Anfangsbedingungen.
7.5 Kepler-Potenzial
Das wichtigste Zentralkraftpotenzial, das Kepler-Potenzial
V (r) = −G m1m2
r
≡ −α
r
(7.19)
der Planetenbewegung, wird im Folgenden ausführlich behandelt. Das effektive Potenzial für Bewegungen
im Gravitationsfeld ist nach (7.17)
Veff(r) = − α
r + p2ϕ .
2mr2 Damit ist
E = Veff(r) + 1
2 m ˙r2 ,
was genau derselbe Ausdruck ist, den man in einem eindimensionalen System hätte, in dem das Potenzial
dem Veff entspricht.
Folgende Fälle sind zu unterscheiden:
1) E = E1 ≥ 0: Da das effektive Potenzial für r → 0 gegen +∞ geht, gibt es einen minimalen Abstand
r1 der Masse m vom Kraftzentrum. Dieser ist durch die Bedingung Veff(r1) = E1 festgelegt. Da Veff
für genügend große r negativ ist, gibt es keinen äußeren Umkehrpunkt. Die Bahn ist infinit und
beschreibt einen Streuvorgang, d.h. ein aus dem Unendlichen ankommendes Teilchen wird aufgrund
des Zentrifugalpotenzials zurückgestoßen und wandert wieder ins Unendliche. Nur für pϕ = 0 stürzt
das Teilchen ins Kraftzentrum. Wir werden später herausfinden, dass für pϕ = 0 und E1 > 0 eine
Hyperbelbahn und für E1 = 0 eine Parabelbahn vorliegt.
2) Wenn E negativ ist, ist die Bewegung gebunden, weil Veff für r → ∞ gegen Null geht, also für
genügend große r über dem Wert von E liegt. Es gibt also zwei Umkehrpunkte, diese seien bei den
Radien r2 (innen) und r3 (außen). Wir bezeichnen mit E2 die Energie Veff(r2) und mit E3 den
minimalen Wert von Veff. Wenn E3 < E = E2 < 0 ist, ist die Bahn finit und beschreibt einen
gebundenen Zustand. Das Teilchen läuft zwischen den Umkehrpunkten r2 und r3 hin und her.
3) Die Energie entspricht dem Minimum von Veff. Die Bahn bildet einen Kreis mit Radius
63

dVeff
dr
r
= r0 = α
r2 −
0
p2ϕ mr3 0
= 0 ⇒ r0 = p2ϕ . (7.20)
mα
Wir berechnen nun noch die geometrische Bahn ϕ(r). (7.19) in (7.14) eingesetzt ergibt:
r
ϕ(r) = ±
Substitution u ′ = 1
r ′ ⇒ du ′ = − 1
r ′2 dr ′ ergibt
Unter Benutzung von
r0
dr ′
r ′2
− 1
r ′2 + 2mα
p2 ϕr′ + 2mE
p2 ϕ
u
du
ϕ(u) = ∓
u0
′
−u ′2 2mα + p2 u
ϕ
′ + 2mE
p2 ϕ
dx
√ ax 2 + bx + c =
für a < 0 , b 2 − 4ac > 0 ergibt sich
+ ϕ0 . (7.21)
+ ϕ0 .
1
2ax + b
√ arccos √
−a b2 − 4ac
⎛
−2u + 2mα
p2 ϕ
2 ⎜
ϕ(u) = ∓ arccos ⎜
⎝
2mα
p2 +
ϕ
8mE
p2 ⎟
⎠ + ˆϕ0 (7.22)
ϕ
⎛
p2
ϕ
1 −
= ∓ arccos ⎝ mαu ⎞
⎠ + ˆϕ0 . (7.23)
1 + 2Ep2 ϕ
mα 2
Auflösen von (7.22) nach u ergibt mit cos (±(ϕ − ˆϕ0)) = cos(ϕ − ˆϕ0) dann
1 mα
≡ u =
r p2
1 − 1 +
ϕ
2Ep2
ϕ
cos(ϕ − ˆϕ0) .
mα2 Wir wählen ϕ0 ≡ ˆϕ0 + π. Mit cos(ϕ − ϕ0 + π) = − cos(ϕ − ϕ0) lautet dann die Bahngleichung
Wir definieren die Exzentrizität ε der Bahn
1
r = C (1 + ε cos(ϕ − ϕ0)) . (7.24)
ε ≡
1 + 2Ep2ϕ . (7.25)
mα2 C −1 = p2
ϕ
mα heißt “Parameter” der Bahn, der Winkel ϕ0 das Perihel. (Bei ϕ = ϕ0 ist die Bahn dem
Koordinatenursprung am nächsten.)
Die Bahngleichung (7.24) ist die Gleichung eines Kegelschnittes, dessen einer Brennpunkt im Koordinatenursprung
(Kraftzentrum) liegt. Für die betrachteten Fälle in der Diskussion des effektiven Potenzials
ergeben sich die folgenden Bahneigenschaften:
1) E = E1 ≥ 0:
a) E = E1 > 0 (7.25)
⇒ ε > 1, d.h. die Bahn ist eine Hyperbel
b) E = E1 = 0 ⇒ ε = 1, d.h. die Bahn ist eine Parabel
64
⎞

2) E3 < E = E2 < 0 ⇒ 0 < ε < 1, d.h. die Bahn ist eine Ellipse. Dass die Planetenbahnen Ellipsen
sind, ist das Erste Keplersche Gesetz.
Perihel-Abstand: rp
Aphel-Abstand: rA
(7.25) mit cos(ϕp−ϕ0)=1
=
cos(ϕA−ϕ0)=−1
=
1
C(1 − ε)
1
C(1 + ε) ,
vom Koordinatenursprung. Die große Halbachse a der Ellipse ist definiert als
a = rP + rA
2
(7.26)
=
1
C(1 − ε2 (7.25) p
= −
)
2 ϕ
mα
mα 2
2Ep 2 ϕ
= − α
2E .
(7.26)
Also ist
E = − α
,
2a
(7.27)
d.h. die Energie des Teilchens auf der Ellipsenbahn hängt nur von a ab.
Zur Bestimmung der kleinen Halbachse b setzen wir ϕ0 = 0. Der Abstand c des Kraftzentrums vom
Ellipsenmittelpunkt ist
ɛ
c = a − rP =
C(1 − ɛ2 ) .
Die kleine Halbachse schneidet die Ellipse bei einem Winkel ϕ, der durch die Bedingung r(ϕ) cos(ϕ) =
−c gegeben ist. Dies ergibt cos(ϕ) = −ɛ und r −1 = C(1 − ɛ 2 ). Die Länge der kleinen Halbachse ist
gegeben durch die Bedingung b 2 = r 2 − c 2 , was schließlich
ergibt.
1
b =
C √ 1 − ɛ2 Damit können wir das dritte Keplersche Gesetz herleiten: Die Fläche der Ellipse ist
1
A = πab = π
C2 (1 − ɛ2 )
√ C .
3/2 = πa3/2
Außerdem ist die Fläche A wegen dem zweiten Keplerschen Gesetz (7.15) identisch mit pϕT/2m,
wobei T die Umlaufdauer ist. Gleichsetzen dieser beiden Ausdrücke für A und Einsetzen der Konstanten
ergibt das Dritte Keplersche Gesetz
wobei wir seit Newton auch den Wert der Konstanten kennen,
a3 = konst , (7.28)
T 2
konst = α
4mπ2 = G(m1 + m2)
4π2 .
Da die Masse eines Planenten sehr viel kleiner ist als die Sonnenmasse, kann die Summe der beiden
Massen durch die Sonnenmasse genähert werden. Dann ist das Verhältnis a 2 /T 3 weder von der
Planetenmasse, noch von seiner Energie oder seienm Drehimpuls abhängig. Also ist dieses Verhältnis
für alle Planeten gleich.
65

3) E = E3 ≡ Veff
p
= 2
(7.20) ϕ
r0 mα
= − mα2
p2 +
ϕ
−α/r
mα2
2p2 ϕ
p2 ϕ /(2mr2 = −
)
mα2
2p2 ϕ
(7.25)
⇒ ε = 0 , d.h. die Bahn ist ein Kreis; aus (7.24) für ε = 0 folgt:
r0 = C −1 = p2 ϕ
mα
⇒ E = − α
2r0
D.h., für r0 = a sind die Energien für Kreis- und Ellipsenbahnen gleich.
Aufgaben
1. Betrachten Sie das Teilchen im Kreiskegel. Gehen Sie aus von der Rechnung in Abschnitt 4.4.
(7.29)
(a) Schreiben Sie durch Einführen einer modifizierten Masse und eines modifizierten Winkels die
Lagrange-Funktion so um, dass sie genau wie diejenige eines Zentralpotenzials aussieht.
(b) Was ist das effektive Potenzial?
(c) Skizzieren Sie Veff(r) und begründen Sie hieraus, dass die Bewegung gebunden ist. Zeichnen
Sie in Ihrer Skizze den minimalen und den maximalen Radius ein.
(d) Für welches r resultiert eine Kreisbahn?
(e) Erwarten Sie, dass die Bahnen geschlossen sind?
2. Lenz-Vektor: Für die Bahn r(t) im Kepler-Potenzial definieren wir den Lenzschen Vektor Λ als
Zeigen Sie
(a) Λ ist eine Erhaltungsgröße, d.h. d Λ/dt = 0.
(b) | Λ| ist gleich der Exzentrizität ɛ.
Λ = m
α ˙ r × (r × ˙ r) − r
r = p × L r
−
αm r .
(c) Λ zeigt zum Perihel, also Λ rP . (rP ist der Vektor vom Kraftzentrum zum Perihel.)
66

Kapitel 8
Streuung im Zentralkraftfeld
Eine wichtige Anwendung von Zentralkraftfeldern ist die Streutheorie. Streuphänomene werden in vielen
Bereichen der Physik untersucht, um die Eigenschaften der Materie auf verschiedensten Längen- und
Energieskalen zu ergründen, von Femtometern (und GeV) in der Teilchenphysik bis zu Nanometern (und
meV) in der Festkörperphysik. Wegen der Wellennatur von Teilchen muss die Energie der Geschosse um
so höher sein, je kleiner die Struktur ist, die man anhand ihres Streuverhaltens untersuchen möchte. Die
Berechnungen müssen deshalb in der Regel im Rahmen der Quantentheorie durchgeführt werden. Trotzdem
ist die Methode der Streutheorie in der klassischen Mechanik und der Quantenmechanik weitgehend
gleich, und teilweise werden Aussagen der klassischen Streutheorie zumindest approximativ in der Quantenmechanik
bestätigt. Die Bilder und Formeln im folgenden Text sind für den Fall eines abstoßenden
Potenzials gemacht. Streuung in einem anziehenden Potenzial geht analog.
8.1 Stoßparameter
Als erstes wichtiges Konzept definieren wir den Stoßparameter s. Wir gehen davon aus, dass die Kraft im
Unendlichen auf Null geht, so dass das Teilchen zunächst mit Geschwindigkeit v0 auf einer geraden Bahn
angeflogen kommt, dann durch das Kraftzentrum abgelenkt wird, und sich nach dem Stoß wieder einer
(anderen) geraden Bahn annähert. Verlängert man diese asymptotischen geraden Bahnen am Kraftzentrum
vorbei, dann ist der Stoßparameter s der geringste Abstand dieser Geraden vom Kraftzentrum.
Der Drehimpuls der einlaufenden Teilchen bzgl. des Kraftzentrums lässt sich durch s ausdrücken:
pϕ = mv0s = √ 2mE s , E = 1
2 mv2 0 = konst
wobei v0 die Anfangsgeschwindigkeit für große Abstände vom Kraftzentrum ist und die Kraft für große
Abstände gegen Null gehen soll.
Im Zentralkraftfeld ist die Bewegung symmetrisch bzgl. des Perihels P . Daher ist der Streuwinkel
θ = π − 2ϕ0 .
67

Der Winkel ϕ0 im Perihel der Bahn ist nach (7.14):
ϕ0 = ϕ(r∞) − ϕ(rmin)
= pϕ
m
∞
rmin
r 2
2
m
dr
E − V (r) − p2 ϕ
2mr 2
Durch die Substitution u = 1/r und mit p 2 ϕ = 2mEs 2 ergibt sich für den Streuwinkel:
umax
du
θ(s) = π − 2s . (8.1)
0 1 − s2u2 − V (1/u)/E
8.2 Differentieller Wirkungsquerschnitt
Um genügend Statistik zu erhalten, schießt man nicht nacheinander einzelne Teilchen auf das Target,
sondern verwendet “homogene” Teilchenstrahlen mit möglichst großer Teilchendichte. Die Intensität I ist
die Zahl der Teilchen, die pro Sekunde durch eine Einheitsfläche senkrecht zur Teilchengeschwindigkeit
laufen (Einheit von I: s −1 m −2 ).
Der Teilchenstrahl enthält also Teilchen mit verschiedenen Stoßparametern. Die Zahl der pro Zeiteinheit
einfallenden Teilchen mit einem Stoßparameter, der zwischen s und s + ds liegt, beträgt
2πsds
I .
Fläche
Dies muss gleich der Anzahl der Teilchen sein, die in einen Raumwinkel dΩ = 2π sin θdθ zwischen
θ und θ + dθ gestreut werden (vorausgesetzt der Zusammenhang zwischen θ und s ist eindeutig). Den
Zusammenhang zwischen dem Stoßparameter s und dem Streuwinkel θ schreiben wir als
2πsds I = −σ(θ)
2π sin
θdθ
I .
dΩ
Das negative Vorzeichen kommt daher, dass für größere s eine geringere Kraft auf das Teilchen wirkt,
d.h. der Streuwinkel wird kleiner. Der Proportionalitätsfaktor σ(θ) ≡ dσ/dΩ mit der Einheit Fläche wird
als differentieller Wirkungsquerschnitt bezeichnet:
σ(θ) = − s ds
, 0 ≤ θ ≤ π .
sin θ dθ
Integriert man den Wirkungsquerschnitt über den gesamten Raumwinkel, der zu dem Bereich θ > θ0
gehört, so erhält man diejenige Querschnittsfläche des einfallenden Teilchenstrahls, deren Teilchen um
68

mindestens den Winkel θ0 gestreut werden. Für den Wirkungsquerschnitt hat sich die Einheit “Barn”
eingebürgert. Ein Barn ist 10 −28 Quadratmeter. Das englische Wort “barn” bedeutet “Scheune”. Bei
Streuexperimenten mit Atomkernen maß man überraschend große Wirkungsquerschnitte für die Streuung
mit Streuwinkeln größer als 90 Grad, verglichen mit der Querschnittsfläche der Atomkerne. So kam es zu
der Namensgebung.
8.3 Rutherford-Streuung
Wir betrachten die Streuung geladener Teilchen im Coulomb-Feld, mit einem abstoßenden Potenzial der
Form
V (r) = + K
r ,
d.h. die Energie ist immer größer als Null, und es treten nur infinite Bahnen auf. Das Coulomb-Potenzial
hat genau dieselbe Form wie das Gravitationspotenzial, das wir im vorigen Kapitel ausführlich behandelt
haben. Wir müssen nur den Parameter α durch −K ersetzen. Also erhalten wir die (7.24) entsprechende
Bahngleichung, indem wir das Vorzeichen von C umkehren:
wobei ɛ definiert ist als (vgl. (7.25))
1
r = C (−1 + ε cos(ϕ − ϕ0)) ,
ε ≡ 1 + 2Ep2ϕ mK .
Im Gegensatz zum vorigen Kapitel verschieben wir ϕ0 nicht um π, da wir ϕ0 wieder so definieren wollen,
dass bei diesem Winkel das Perihel ist. Also ist r minimal für ϕ = ϕ0. Wir wählen ϕ0 so, dass ϕ(r∞) = 0
ist. Also ist
0 = 1
= C (−1 + ε cos(0 − ϕ0))
r∞
⇔ cos ϕ0 = 1
ε .
Für den Streuwinkel θ gilt 0 ≤ θ ≤ π und
Mit pϕ = √ 2mE s ergibt Auflösen von
nach s:
s = K
2E
mK 2 , C−1 = p2 ϕ
θ ≡ π − 2ϕ0 ⇒ sin θ
≡ sin
2
1
2 θ sin 2
Also ist der Wirkungsquerschnitt
− 1
sin θ 1
=
2 ε =
1/2
π
− ϕ0 = cos ϕ0 .
2
1
1 + 2Es
K
2
= K θ
cot
2E 2 mit sin2 1
x =
1 + cot2 x .
σ(θ) = − s
cot
ds
sin θ dθ
′ ( θ
2 )=− 1 1
2 sin2 θ 2
=
2 K
cot
2E
θ 1
2 sin θ
sin θ=2 sin θ θ
2 cos 2
=
2 1 K
4 2E
1
4 . θ sin 2
1
2 θ 2 sin 2
1906 bis 1913 führten Rutherford, Geiger und Marsden Streuexperimente durch, bei denen sie α-Teilchen
auf eine nur ca einen µm dicke Goldfolie schossen. Für die Auswertung der Experimente war die exakte
Übereinstimmung von klassischem und (erst später berechneten) quantenthereotischem Wirkungsquerschnitt
ein glücklicher Umstand.
69

8.4 Totaler Wirkungsquerschnitt
Der totale Wirkungsquerschnitt ist definiert als
σtot = σ(θ)dΩ = 2π
π
0
σ(θ) sin θ dθ . (8.2)
In der Rutherford-Streuung ist der totale Wirkungsquerschnitt unendlich. Dies kommt daher, dass das
Coulomb-Potenzial eine unendliche Reichweite hat. Der totale Wirkungsquerschnitt ist die Zahl aller
Teilchen, die pro Sekunde in alle Richtungen gestreut werden, dividiert durch die einfallende Intensität
I. Wegen der unendlichen Reichweite des Potenzials werden auch noch solche Teilchen gestreut, die einen
großen Stoßparameter haben. Die Gesamtzahl der pro Zeiteinheit gestreuten Teilchen divergiert also. Nur
wenn das Potenzial für große Abstände schnell genug abfällt, ist der totale Wirkungsquerschnitt endlich.
8.5 Streuung an einer ideal reflektierenden Kugel
Wir wählen eine feststehende Kugel vom Radius R als Streuzentrum und streuen Massepunkte elastisch
an ihr. Den Einfallswinkel senkrecht zur Kugeloberfläche, der mit dem Ausfallswinkel identisch ist, nennen
wir γ. Er hängt mit dem Stoßparameter s über die Beziehung
zusammen. Also ist der Streuwinkel θ
Der Zusammenhang zwischen s und θ ist also
sin γ = s
R
θ = π − 2γ = π − 2 arcsin s
R .
s = R sin
π − θ
2
= R cos θ
2 .
Daraus ergibt sich der differenzielle Wirkungsquerschnitt
σ(θ) = s
ds
s R θ
sin θ dθ
= sin
sin θ 2 2
Er ist also unabhängig vom Winkel θ.
Für den totalen Wirkungsquerschnitt erhalten wir
σtot = σ(θ)dΩ = 2π
π
0
θ R cos 2 R θ R2
= sin =
sin θ 2 2 4 .
σ(θ) sin θdθ = πR 2 .
Dies entspricht der Querschnittsfläche der Kugel, was zu erwarten war.
8.6 Streuung im Laborsystem
Bisher wurde nur die Streuung im Feld eines im Koordinatenursprung verankerten Kraftzentrums untersucht.
In der Praxis aber werden Teilchen nicht auf ein ortsfestes Kraftzentrum geschossen, sondern
auf andere Teilchen, die entweder durch den Stoß in Bewegung versetzt werden oder sich von Anfang an
ebenfalls bewegen.
Der im Laborsystem gemessene Streuwinkel θL ist nicht identisch mit dem Streuwinkel θ im Schwerpunktsystem.
Wir müssen daher eine Beziehung zwischen den Winkeln θ und θL aufstellen. Wir beschränken
uns dabei auf den Fall, dass das Targetteilchen mit der Masse m2 vor der Streuung im Laborsystem
ruht. Wir bezeichnen die Geschwindigkeiten vor der Streuung mit v und nach der Streuung mit
70

u. Im Laborsystem geben wir allen Ortsvektoren und Geschwindigkeiten den Index L, und im Schwerpunktsystem
geben wir ihnen keinen Index.
Da das Teilchen 2 vor dem Stoß ruht, ist die Geschwindigkeit des Schwerpunkts im Laborsystem
gegeben durch
vSL =
m1
v1L .
m1 + m2
Die Geschwindigkeit nach der Streuung erfüllt die Gleichung
u1L sin θL = u1 sin θ ,
da die Geschwindigkeitskomponenten senkrecht zur Schwerpunktsbewegung in beiden Bezugssystemen
gleich sind. Außerdem gilt
u1L cos θL = u1 cos θ + vSL .
Division der ersten durch die zweite Gleichung führt auf
sin θ
tan θL =
cos θ + m1 . (8.3)
vL1
m1+m2 u1
Wegen der Energieerhaltung ist im Schwerpunktsystem die Geschwindigkeit u1 des Teilchens 1 nach der
Streuung gleich der Geschwindigkeit v1L − vSL des Teilchens 1 vor der Streuung:
Einsetzen in (8.3) ergibt
u1 = v1L − vSL = v1L −
tan θL =
m1
m1 + m2
sin θ
cos θ + m1
m2
v1L =
m2
v1L .
m1 + m2
. (8.4)
Der Streuwinkel im Laborsystem ist also stets kleiner als im Schwerpunktsystem.
Quadrieren der Gleichung (8.4) führt auf eine quadratische Gleichung für cos θ. Von den beiden
Lösungen dieser Gleichung ist diejenige zu nehmen, für die im Fall m1 ≪ m2 der Streuwinkel im Laborund
Schwerpunktsystem fast gleich ist. Man erhält also
cos θ = − m1
m2
2
1 − cos θL + cos θL
1 −
m1
m2
2
(1 − cos 2 θL) . (8.5)
Wir haben also unter Verwendung des Energie- und des Impulssatzes die Beziehung zwischen dem Streuwinkel
θ im Schwerpunktsystem und dem Streuwinkel θL im Laborsystem gefunden.
Der Streuwinkel ψL des Targetteilchens kann durch eine ähnliche Rechnung ermittelt werden. Das
Ergebnis ist
ψL =
π − θ
2
. (8.6)
Es ist noch interessant, den Fall m1 = m2 zu betrachten. Gleichung (8.4) liefert
Daraus folgt
tan θL =
sin θ θ
= tan . (8.7)
1 + cos θ 2
θL = θ
2 .
Da θ nicht größer als 180 o sein kann, ist der Streuwinkel θL < 90 o . Wenn Projektil und Targetteilchen
gleich schwer sind, erfolgt die Streuung im Laborsystem also in Vorwärtsrichtung. Die Gleichungen (8.6)
und (8.7) ergeben zusammen
ψL + θL = π
2 .
71

Also laufen gleich schwere Teilchen nach der elastischen Streuung unter einem Winkel von 90 o im Laborsystem
auseinander (wenn der Stoß nicht so zentral ist, dass die erste Kugel nach dem Stoß liegenbleibt).
Dieses Ergebnis ist jedem Billardspieler bekannt und setzt vier Bedingungen voraus: Der Stoß ist elastisch,
beide Teilchen sind gleich schwer, die Masse m2 ruht vor dem Stoß und die Kräfte beim Stoß wirken in
radialer Richtung.
Nicht nur der Streuwinkel, auch die differenziellen Wirkungsquerschnitte sind in beiden Bezugssystemen
verschieden. Im Laborsystem ist die Intensität der einfallenden Teilchen größer als im Schwerpunktsystem,
weil ihre Geschwindigkeit größer ist. Wir bezeichnen diese Intensität mit IL. Der differenzielle
Wirkungsquerschnitt im Laborsystem wird durch folgende Beziehung definiert:
σL(θL)dΩL = σL(θL)2π sin θLdθL = Zahl der pro Sekunde in den Raumwinkel dΩL gestreuten Teilchen
.
Intensität IL der einfallenden Teilchen
(8.8)
Die Zahl der Teilchen, die pro Sekunde mit einem Stoßparameter im Intervall [s, s + ds] einlaufen, ist
gleich der Zahl der Teilchen, die pro Sekunde in den Winkelbereich [θL, θL + dθL] gestreut werden:
Daraus folgt
σL(θL) = s
sin θL
ds
dθL
IL · 2πs|ds| = IL · σL(θL)2π sin θL|dθL| .
= s
sin θ
ds
dθ
· sin θ
sin θL
dθ
dθL
= σ(θ) sin θ
sin θL
dθ
dθL
= σ(θ)
d cos θ
d
cos θL
.
Wenn wir für cos θ die rechte Seite von (8.5) einsetzen, ergibt sich nach einer kurzen Rechnung
⎡
⎢
σL(θL) = σ(θ) ⎣2 m1
2 m1
1 + cos (2θL)
m2
cos θL +
m2
2
m1
1 − sin 2 ⎤
⎥
⎦ . (8.9)
θL
Für den Streuwinkel θ im Laborsystem in dieser Formel ist Gleichung (8.5) zu nehmen.
Wir betrachten wieder den Spezialfall m1 = m2. Dann ist wegen (8.7) θL = θ/2 und folglich
1 + cos(2θL)
σL(θL) = σ(θ) · 2 cos θL + = 4σ(2θL) cos θL . (8.10)
cos θL
Aufgaben
1. Berechnen Sie den differenziellen Wirkungsquerschnitt σ(θ) im Zentralkraftfeld V (r) = β/r 2 mit
β > 0.
(a) Stellen Sie eine Beziehung für den Streuwinkel in Abhängigkeit vom Stoßparameter, also für
θ(s), in Form eines Integrals auf.
(b) Welche Beziehung besteht zwischen dem minimalen Abstand rmin und dem Stoßparameter s?
(c) Lösen Sie das unter a) erhaltene Integral für θ(s). (Hinweis: Für das Kepler-Potenzial haben
wir in Kap. 7 bereits ein ähnliches Integral gelöst.)
(d) Stellen Sie nun den differentiellen Wirkungsquerschnitt σ(θ) auf.
2. Betrachten Sie zwei identische Kugeln der Masse m1 und des Radius R1. Die eine Kugel sei am
Anfang ruhend, und die andere wird an ihr elastisch gestreut. Berechnen Sie den differenziellen und
den totalen Wirkungsquerschnitt im Laborsystem.
72
m2

Kapitel 9
Starrer Körper
In diesem Kapitel betrachten wir die Bewegung starrer Körper. Ein starrer Körper ist ein Körper mit
fest vorgegebener Massenverteilung ϱ(r), dessen Gestalt sich nicht ändert. Seine Masse ist
M = d 3 rϱ(r) .
In diesem Kapitel werden keine Deformationen betrachtet. Der starre Körper kann also nur seine Lage
und seine Orientierung ändern, d.h. er hat 6 Freiheitsgrade, wie wir in Kapitel 2 gesehen haben.
Wir betrachten zwei verschiedene Koordinatensysteme: Ein raumfestes Koordinatensystem K (Laborsystem)
mit den Achsen x, y, z, und ein fest im Schwerpunkt S des starren Körpers verankertes
intrinsisches Koordinatensystem K mit den Achsen x1, x2, x3. Im System K ist die Massenverteilung ϱ
unabhängig von der Zeit, ganz gleich, welche Bewegung der Körper ausführt.
9.1 Kinetische Energie und Trägheitstensor
Um die kinetische Energie zu ermitteln, beginnen wir mit der Betrachtung infinitesimaler Verrückungen
des Körpers. Der Punkt P habe die Position r in K und die Position x = r − rS in K. Verschiebt und
rotiert man den starren Körper ein wenig, so gilt für P :
Die Richtung
dr = drS + dϕ × x . (9.1)
ˆn = dϕ
|dϕ|
ist die Rotationsachse (Rotation im Uhrzeigersinn wenn man in Achsenrichtung schaut), und |dϕ| ist
der Winkel, um den der Körper gedreht wird bei festgehaltenem S. Die Drehung ist im folgenden Bild
veranschaulicht:
Wir verwenden |dx| = |x| sin (α)|dϕ| und dx ⊥ ˆn, x, und erhalten somit dx = dϕ × x.
Wir dividieren die Gleichung (9.1) durch dt
dr
dt
|dϕ|
ˆn
= drs
dt
73
dx
x
α
+ dϕ
dt
× x
(9.2)

und schreiben dies in der Form
v = V + ω × x . (9.3)
V ist die Geschwindigkeit des Schwerpunkts S.
Als nächstes bestimmen wir den Ausdruck für die kinetische Energie. Im körperfesten Koordinatensystem
ist
d 3 x xϱ(x) = 0 , (9.4)
da der Ursprung im Schwerpunkt liegt.
Die kinetische Energie ist dann
T = 1
d
2
3 =
2 xϱ(x) V + ω × x
1
2 V 2
d 3 xϱ(x) +
M
1
2
V × ω d 3 x xϱ(x) +
0
1
2
d 3 xϱ(x)(ω × x) 2 . (9.5)
Den letzten Summanden schreiben wir unter Verwendung der Beziehung (a × b) 2 = a 2 b 2 − (a · b) 2 als
mit
1
2 ωjJjkωk
Jjk := d 3 xϱ(x) x 2 δjk − xjxk .
Hier haben wir die “Einsteinsche Summenkonvention” verwendet, d.h. es wird über doppelt auftretende
Indizes summiert.
Also haben wir die kinetische Energie in zwei Beiträge zerlegt, die wir unter Verwendung der Matrixschreibweise
für den Trägheitstensor schreiben können als
(9.6)
T = Ttrans + Trot = 1
2 M V 2 + 1
2 ωt Jω . (9.7)
Das Trägheitsmoment bezgl. eines anderen Koordinatensystems, dessen Ursprung nicht im Schwerpunkt
ist, erhalten wir mit dem
Satz von Steiner:
Sei J der Trägheitstensor, wie er im körperfesten System K berechnet wird, das im Schwerpunkt S
zentriert ist, und sei K ′ ein zu K achsenparalleles System, das gegenüber diesem um a verschoben ist.
Dann ist der in K ′ berechnete Trägheitstensor
=
(9.8)
J ′ ij
d 3 x ′ ϱ(x ′ ) x ′2 δij − x ′ ix ′
j
x ′ =x+a
↓
= Jij + M a 2
δij − aiaj
(denn alle in x linearen Terme verschwinden wegen der Schwerpunktbedingung).
74
(9.9)

Hauptträgheitsachsensystem:
Da der Trägheitstensor reell und symmetrisch ist, lässt er sich durch eine orthogonale Transformation auf
Diagonalform bringen:
R J R
0 −1
0
=
⎛
J = ⎝
0 I1 0
0 I2
0 0
0
0
I3
⎞
⎠
= d 3 ⎛
⎞
yϱ(y)
⎠ (9.10)
⎝ y2 2 + y 2 3 0 0
0 y 2 3 + y 2 1 0
0 0 y 2 1 + y 2 2
Hierzu bestimmt man die Eigenwerte Ii und Eigenvektoren ω (i) :
Jω (i) = Iiω (i) . (9.11)
R −1
0 hat als Spalten die ω(i) . I1, I2, I3 sind die (Haupt-)Trägheitsmomente des starren Körpers. Sie sind
positiv und erfüllen die Ungleichung
I1 + I2 ≥ I3
(und analog unter zyklischer Vertauschung der Indizes). Dasjenige körperfeste System, in dem der Trägheitstensor
diagonal ist, heißt Hauptträgheitsachsensystem. (Bei Entartung der Eigenwerte gibt es eine Wahlfreiheit.)
Als Beispiel berechnen wir das Trägheitsmoment einer homogenen Kugel der Dichte ϱ und des Radius
R: Es ist I1 = I2 = I3 aus Symmetriegründen, und das Hauptachsensystem ist im Kugelzentrum
verankert. Es ist
Mit ϱ = 3M
4πR 3 erhalten wir daraus
I1 + I2 + I3 = 3I = 2ϱ
r 2 d 3 x = 8πϱ
R
0
r 4 dr = 8πϱR5
5
I = 2
5 MR2 . (9.12)
9.2 Drehimpuls und Bewegungsgleichung des starren Körpers
Wie wir in Kapitel 1 gesehen haben, setzt sich der Drehimpuls zusammen aus dem Bahndrehimpuls und
dem Eigendrehimpuls. Wenn wir den Ursprung des Laborsystems in den Schwerpunkt des Körpers legen,
verschwindet der Bahndrehimpuls. Es bleibt also
Also ist
L =
=
d 3 xϱ(x)x × ˙ x
˙x=ω×x
↓
=
d 3 xϱ(x) x 2 ω − (x · ω)x = Jω .
d 3 xϱ(x)x × (ω × x)
L = Jω . (9.13)
L hat im allgemeinen nicht dieselbe Richtung wie ω. Es hat nur dann dieselbe Richtung, wenn ω parallel
zu einer Hauptachse ist.
Die Rotationsenergie können wir nun auch durch den Drehimpuls ausdrücken: Aus (9.7) und (9.13)
erhalten wir
Trot = 1
2 ω · L . (9.14)
75
.

Wenn ω zur i-ten Hauptachse parallel ist, vereinfachen sich die beiden letzten Gleichungen zu
und
L = Iiω (9.15)
Trot = 1
2 Iiω 2 . (9.16)
Eine zeitliche Änderung des Drehimpulses wird durch ein Drehmoment verursacht (siehe (1.20)),
d L
dt
9.3 Kräftefreier Kreisel
=
i
ri × F (ex)
i
=
Ni .
Wir betrachten einen rotationssymmetrischen starren Körper (Kreisel) in Abwesenheit von äußeren
Kräften. Sei die x3-Achse die Symmetrieachse, so dass I1 = I2 = I3 ist. Weiterhin sei L vorgegeben
und bilde den Winkel θ = 0 mit der Symmetrieachse. Wir legen die x1-Achse in die von L und der Symmetrieachse
aufgespannte Ebene. Dann steht die x2-Achse senkrecht auf dieser Ebene, und L2 = ω2 = 0.
Also liegt ω in der (1, 3)-Ebene. Diese Situation ist in der folgenden Abbildung am Beispiel eines ellipsoidförmigen
Kreisels dargestellt, wobei die (1, 3)-Ebene die Papierebene ist:
x1
L
ωPr
ω
ωl
Wie schon erwähnt, liegen die Vektoren L, ω und die Symmetrieachse in einer Ebene, und da man diese
Betrachtung zu jedem Zeitpunkt anstellen kann, liegen sie folglich immer in einer Ebene.
In unserem Beispiel ist I1 > I3. Deshalb liegt der Vektor L näher an der x1-Achse als der Vektor ω. Die
Symmetrieachse x3 bewegt sich nach ” hinten“ (also senkrecht zur Papierebene). Sie rotiert gleichförmig
um die Richtung des raumfesten L. Man nennt dies die ” reguläre Präzession“. Die Frequenz der regulären
Präzession erhalten wir durch Aufspalten von ω in eine Komponente ωl parallel zur x3-Achse und eine
Komponente ωP r parallel zu L:
ω = ωl + ωP r .
ωl ist irrelevant für die Präzessionsbewegung. Wir berechnen daher ωP r = |ωP r|: Aus
und
erhalten wir
i
x3
ω1 = ωP r sin (θ) (9.17)
L1 = | L| sin (θ) = I1ω1 = I1ωP r sin (θ) (9.18)
ωP r = | L|
. (9.19)
ω überstreicht bei der regulären Präzession den ” Spurkegel“, die Symmetrieachse den ” Nutationskegel“:
76
I1

L
Die Winkelgeschwindigkeit um die Symmetrieachse können wir auch durch den Drehimpuls und die
Trägheitsmomente ausdrücken: Es ist
ω3 = L3
I3
ω
x3
= | L| cos(θ)
I3
9.4 Starre Körper mit nur einem Freiheitsgrad
. (9.20)
Nun betrachten wir starre Körper mit äußeren Kräften und beschränken uns zunächst auf Systeme mit
nur einem Freiheitsgrad. Es ist zum Beispiel der Körper fest auf einer Rotationsachse montiert, oder er
rollt auf einer Unterlage in nur einer Richtung. In beiden Fällen behält die Rotationsachse ihre Richtung
bei, und wir können den Winkel ϕ als Freiheitsgrad wählen.
Wir wählen die z-Richtung parallel zur Rotationsachse. Die kinetische Energie im Laborsystem hat
dann die Beiträge
Trot = 1
2 Jzz ˙ϕ 2
(9.21)
Ttrans = 1
2 M V 2 = 1
2 M ˙ r 2 s , (9.22)
wobei ˙ rs die Geschwindigkeit des Schwerpunkts längs seiner Bahnkurve ist.
Als Beispiel betrachten wir eine Walze auf einer schiefen Ebene:
y
Die Walze habe den Radius R, die Masse M und die Länge l. Der Schwerpunkt der Walze sei in der Mitte
der Walze. Der Zusammenhang zwischen der Position y auf der Ebene und dem Rollwinkel ϕ ist
und die Lagrange-Funktion ist
Die Lagrange-Gleichung
führt auf
ϕ
α
˙y = R ˙ϕ , (9.23)
L = 1
2 Jzz
2 ˙y
+
R
1
2 M ˙y2 + Mg sin (α)y . (9.24)
d ∂L ∂L
=
dt ∂ ˙y ∂y
(9.25)
Mg sin (α)
¨y = Jzz
R2 . (9.26)
+ M
77

Wenn die Massenverteilung homogen ist, ist ϱ konstant und M = R 2 πϱl und
l R 2π
Jzz = ϱ dz dr r dϕ r 2
0
= ϱl2π R4
4
0
0
= 1
2 MR2 . (9.27)
Also ist
¨y = 2
g sin α .
3
(9.28)
Im Unterschied hierzu lautet die Bewegungsgleichung, wenn die Walze reibungsfrei gleitet ohne zu rollen
¨y = g sin α .
9.5 Die Eulerschen Gleichungen
Nun heben wir die Beschränkung auf einen Freiheitsgrad auf. Wir bestimmen die Bewegungsgleichungen
bezogen auf das körperfeste System K, dessen Ursprung im Schwerpunkt liegt. Hierbei ist es wichtig sich
bewusst zu machen, dass auch K ein Inerzialsystem sein soll. Wenn wir also die Zeitableitung diverser
Größen bestimmen, betrachten wir die Basisvektoren des Systems K als konstant. Man wählt sozusagen
zu jedem Zeitpunkt ein neues Inerzialsystem, bzgl. dessen alle Größen angegeben werden. Im Kuypers
werden die so berechneten Zeitableitungen “körperfeste Zeitableitungen” genannt.
Wir hatten
N = d
dt L
und
˙x = ω × x
und
L = d 3 x ϱ(x)x × (ω × x) .
Bemerkung: Wir verstehen alle Größen auf dieser Seite (Vektoren, Tensoren) im System K, aber schreiben
keine Querstriche über die Größen.
Wir erhalten
und somit
d L
dt =
Dabei haben wir benutzt, dass
ist. Denn die linke Seite ist
und die rechte Seite ist
d 3
xϱ(x) (ω × x) × (ω × x) + x × ( ˙
ω × x) + x × (ω × (ω × x))
= 0 + J · ˙
ω +
ω × (x × (ω × x))ϱ(x)d 3 x
N = J · ˙ ω + ω × L . (9.29)
a × ( b × (a × b)) = b × (a × (a × b))
a × (a · b 2 − b(a · b)) = −(a × b)(a · b) = ( b × a)(a · b)
b × (a(a · b) − ba 2 ) = ( b × a)(a · b) = linke Seite .
78

Wenn J diagonal ist, lauten die Eulerschen Gleichungen
N =
⎛
⎝ I1 ˙ω1
I2 ˙ω2
I3 ˙ω3
⎞
⎠ +
⎛
⎝ ω1
ω2
ω3
⎞
⎠ ×
⎛
⎝ I1ω1
I2ω2
I3ω3
⎞
⎠ =
⎛
⎝ I1 ˙ω1 + ω2ω3(I3 − I2)
I2 ˙ω2 + ω3ω1(I1 − I3)
I3 ˙ω3 + ω1ω2(I2 − I1)
⎞
⎠ . (9.30)
Diese Gleichungen sind nichtlinear und führen damit im Allgemeinen auf komplizierte Bewegungen.
Wir kommen nun zum Kreisel zurück und betrachten daher noch einmal einen rotationssymmetrischen
starren Körper ohne äußere Kräfte (wie in 9.3). Es ist also N = 0 und I1 = I2. Aus der dritten Euler-
Gleichung folgt sofort, dass ˙ω3 = 0 ist. Wenn wir die erste Euler-Gleichung nach der Zeit ableiten und
˙ω2 durch die zweite Euler-Gleichung ausdrücken, erhalten wir
Wir definieren
und erhalten damit
und
(I1 − I3)
¨ω1 + ω1
2ω2 3
I2 1
ω 2 0 = (I1 − I3) 2 ω 2 3
I 2 1
= 0 .
ω1 = A sin(ω0t − φ) (9.31)
ω2 = −A cos(ω0t − φ) , (9.32)
wobei A und φ durch die Anfangsbedingungen festzulegen sind. Die Vektoren ω und L rotieren mit
Frequenz ω0 um die Symmetrieachse. Dies wird in der Literatur auch “Nutation” genannt. Die Frequenz
ω0 ist verschieden von der Präzessionsfrequenz ωP r aus Gleichung (9.19), mit der die Symmetrieachse im
Laborsystem um den Drehimpuls rotiert.
9.6 Der Schwere Kreisel
O
S
Der Kreisel im Schwerefeld ist ein anspruchsvolles Thema der theoretischen Mechanik, und wir beschränken
uns hier auf eine Berechnung der wesentlichen Phänomene. Der Kreisel sei rotationssymmetrisch
um die x3-Achse, und wir definieren
l = OS ,
wobei O der Punkt ist, in dem der Kreisel gestützt wird. Da der Punkt O fest ist, bleiben von den 6
Freiheitsgraden des starren Körpers nur 3 übrig.
Wir wählen 3 Winkel als Freiheitsgrade, die sogenannten “Eulerschen Winkel”:
• θ : Winkel zwischen z-Achse und x3-Achse;
• φ: Winkel zwischen Projektion der x3-Achse auf den Boden und der x-Achse des Laborsystems;
• ψ: Winkel zwischen x1-Achse und der Verbindungslinie von S zur z-Achse (Linie ⊥ x3-Achse) .
79
x3

z
θ
S
x1
x3
x2
y
O −φ
Also gibt θ die Neigung des Kreisels an, man nennt θ auch den “Nutationswinkel”. Der Winkel φ wird
“Präzessionswinkel” genannt, und er gibt die Orientierung der auf den Boden projizierten Kreiselachse
an. Der Winkel ψ ist der “Eigenrotationswinkel”.
Die kinetische Energie ausgedrückt durch die 3 Winkel ist
Die potenzielle Energie ist
T = 1
2 (I1 + Ml 2 )
I ′
˙θ 2
+ ˙2 2
φ sin θ
1
V = Mgl cos (θ) .
x
+ 1
2 I3
2 ˙ψ + φ˙ cos θ
= 0 und ∂L
∂φ
(9.33)
Die Lagrange-Funktion L = T − V erfüllt die Gleichungen ∂L
∂ψ
zyklische Variablen, und
Pψ ≡
= 0. Also sind ψ und φ
∂L
∂ ˙ ψ
(9.34)
und
Pφ ≡ ∂L
∂ ˙ φ
(9.35)
sind Erhaltungsgrößen. Außerdem ist auch die Gesamtenergie E = T + V eine Erhaltungsgröße. Wir
haben folglich genauso viele Erhaltungsgrößen wie Freiheitsgrade und können die Lösung der Bewegungsgleichungen
finden.
Wir drücken zunächst ˙ φ und ˙ ψ durch die Erhaltungsgrößen aus:
˙ψ + φ˙ cos θ
(9.36)
Pψ = I3
Pφ = I ′ 1 sin 2 θ + I3 cos 2 θ ˙ φ + I3 ˙ ψ cos θ (9.37)
⇒ ˙ φ = Pφ − Pψ cos θ
I ′ 1 sin2 θ
(9.38)
˙ψ = Pψ
− ˙ φ cos θ . (9.39)
I3
Dies wird in den Ausdruck für die Energie eingesetzt:
E = T + V = 1
I
2
′
2
˙θ 2
1 + φ˙ 2 2
sin θ + I3
˙ψ + φ˙ cos θ + Mgl cos θ
= 1
2 I′ 1 ˙ θ 2 + P 2 ψ
+ Mgl +
2I3
(Pφ − Pψ cos θ) 2
2I ′ 1 sin2 − Mgl (1 − cos θ)
θ
≡Ueff (θ)
Weil E eine Erhaltungsgröße ist, ist auch
. (9.40)
E ′ ≡ E − P 2 ψ
− Mgl =
2I3
1
2 I′ 1 ˙ θ 2 + Ueff (θ) (9.41)
80

eine Erhaltungsgröße. Der Ausdruck für E ′ ist der eines gewöhnlichen eindimensionalen Problems mit
der Variablen θ und dem Potenzial Ueff .
Wir diskutieren die Dynamik des Kreisels im Folgenden qualitativ:
• Es ist E ′ > Ueff (so wie beim Zentralkraftproblem E ≥ Veff gilt).
• Wenn Pφ = Pψ ist: limθ→0 Ueff = limθ→π Ueff = ∞
• Definiere u(t) = cos θ(t). Dann ist
und
mit
Wir unterscheiden drei Fälle:
f(u) = 1 − u 2 2E ′
+ 2Mgl(1 − u)
I ′ 1
˙θ 2 = ˙u2
1 − u 2
˙u 2 = f(u)
I ′
1
u ∈ [−1, 1] und f(u) ≥ 0 .
1. u = 1 entspricht Pφ = Pψ und ˙u = 0 (stehender Kreisel)
2. u = −1 bedeutet Pφ = −Pψ und ˙u = 0 (hängender Kreisel)
3. −1 < u < 1: schiefer Kreisel
− (Pφ − Pψu) 2
I ′2
1
(9.42)
• f(u) ist positiv zwischen zwei Werten u1, u2 ∈] − 1, 1[. Also bewegt sich θ(t) zwischen zwei Werten
θ1 und θ2.
Betrachte
(mit u0 = Pψ
Pφ )
zusätzlich zu ˙ θ bzw. ˙u:
˙φ = Pφ
I ′ u0 − u
1 1 − u2 Man muss 3 Fälle unterscheiden, je nachdem wie u0 relativ zu u1 und u2 liegt:
1. u0 > u2 (bzw. u0 < u1):
⇒ ˙ φ hat stets dasselbe Vorzeichen. Die Bewegung des Durchstoßpunktes der x3-Achse durch eine
Kugelschale (in deren Mittelpunkt der Auflagepunkt ist) sieht folgendermaßen aus:
2. u1 < u0 < u2 ⇒ ˙ φ hat am oberen Breitengrad ein anderes Vorzeichen als am unteren:
81

3. u0 = u1 oder u0 = u2
˙φ verschwindet an einem Breitenkreis.
Aufgaben
1. Wir betrachten ein Jojo (Masse M, Trägheitmoment Jzz bzgl. Symmetrie-Achse, Fadenlänge L,
Faden sei masselos). Der Radius der Achse, um die der Faden gewickelt ist, sei R (siehe Bild), und
der Schwerpunkt S sei in der Mitte der Achse.
(a) Bestimmen Sie die Lagrangefunktion.
(b) Bestimmen Sie die Bewegungsgleichungen.
ex
(c) Am untersten Punkt, wenn der Faden vollständig abgewickelt ist, wird das Jojo elastisch
reflektiert. Was ist folglich die Schwingungsperiode?
2. Ein Halbkreiszylinder (d.i. ein längs der Symmetrieachse halbierter Zylinder) mit dem Radius R
und der Masse M (mit homogener Massenverteilung) führt auf einer horizontalen Ebene unter dem
Einfluss der Schwerkraft eine Wippbewegung aus (er rollt also auf dem runden Teil seiner Berandung
hin und her).
(a) Bestimmen Sie die Trägheitsmomente IA, IS, IP um die Zylinderachse A, die Schwerpunktsachse
S und den Auflagepunkt P .
(b) Bestimmen Sie die Bewegungsgleichung für den Kippwinkel ϕ.
(c) Was ist die Schwingungsperiode im Grenzfall kleiner Kippwinkel?
(d) Schreiben Sie die drei verschiedenen Möglichkeiten hin, die kinetische Energie in einen Translationsund
einen Rotationsanteil zu zerlegen, indem Sie jede der drei in a) erwähnten Achsen einmal
als Rotationsachse verwenden.
82

Kapitel 10
Schwingungen
In diesem vierten Kapitel zur Anwendung der Lagrange-Mechanik befassen wir uns mit Schwingungen.
Wir betrachten hier in erster Linie kleine Schwingungen um eine stabile Gleichgewichtslage. Allgemein
ist die Schwingungstheorie eine der bedeutendsten Anwendungen der Mechanik. Sie bildet eine wichtige
Grundlage des Maschinenbaus und der Elektrotechnik, deren Schwingkreise ähnlichen Differenzialgleichungen
unterliegen wie mechanische Schwinger. Der harmonische Oszillator spielt eine zentrale Rolle,
da er nicht nur in der klassischen Mechanik auftritt, sondern auch für die theoretische Formulierung der
Quantenmechanik und der Quantenfeldtheorie eine bedeutende Rolle spielt.
10.1 Schwingungen mit einem Freiheitsgrad
Dieses Unterkapitel behandelt zwei wichtige Beispiele als Vorbereitung auf die Behandlung von Schwingungen
mit mehreren Freiheitsgraden: den gedämpften harmonischen Oszillator und den durch eine harmonische
Kraft erregten, gedämpften harmonischen Oszillator.
10.1.1 Gedämpfter harmonischer Oszillator
Die Bewegungsgleichung des gedämpften harmonischen Oszillators mit der Auslenkung x(t) lautet
m¨x + d ˙x + Dx = 0 .
Dies beschreibt ein Federpendel mit masseloser Feder und eingehängter Masse m sowie Federkonstante
D. Wir definieren ω 2 0 = D/m und γ = d/(2m) und erhalten dann
¨x + 2γ ˙x + ω 2 0x = 0 . (10.1)
Diese lineare, homogene Differenzialgleichung führt mit dem bekannten Ansatz
auf die charakteristische Gleichung
mit den beiden Wurzeln
Drei Fälle sind zu unterscheiden:
x(t) = ce λt
(10.2)
λ 2 + 2λγ + ω 2 0 = 0 (10.3)
λ1 = −γ + γ2 − ω2 0 , λ2
= −γ − γ2 − ω2 0 . (10.4)
83

1. γ 2 < ω 2 0 (gedämpfte Schwingung)
Mit ω ≡ ω 2 0 − γ2 ergibt sich die allgemeine Lösung
Die reellen Anfangsbedingungen x(0) = x0, ˙x(0) = ˙x0 führen auf
mit
c1 = x0
x(t) = e −γt c1e iωt + c2e −iωt . (10.5)
2 + γx0 + ˙x0
, c2 = c
2iω
∗ 1 = x0
2 − γx0 + ˙x0
2iω
⇒ x(t) = e −γt
x0 cos ωt + γx0
+ ˙x0
sin ωt
ω
A =
x 2 0 +
(10.6)
= Ae −γt sin(ωt + ϕ0) (10.7)
γx0 + ˙x0
ω
2 , tan ϕ0 = x0ω
. (10.8)
γx0 + ˙x0
Bei einer gedämpften, harmonischen Schwingung nimmt demnach die Amplitude exponentiell ab,
und die Eigenfrequenz ω der gedämpften Schwingung ist kleiner als die Eigenfrequenz ω0 der ungedämpften
Schwingung.
2. γ 2 > ω 2 0 (Kriechfall)
Wir definieren κ = γ2 − ω2 0 . Die Lösung sieht genauso aus wie im vorigen Fall, nur dass wir statt
iω jetzt überall ein κ schreiben.
Die allgemeine Lösung ist also
mit
Dies gibt
c1 = x0
x(t) = e −γt c1e κt + c2e −κt
2 + γx0 + ˙x0
, c2 =
2κ
x0
2 − γx0 + ˙x0
.
2κ
(10.9)
x(t) = e −γt
x0 cosh κt + γx0
+ ˙x0
sinh κt . (10.10)
κ
Dies beschreibt keine Schwingung, sondern eine so genannte aperiodische Kriechbewegung. Die
aperiodische Auslenkung geht für große Zeiten gegen Null.
3. γ 2 = ω 2 0 (aperiodischer Grenzfall) Diesen Fall lösen wir am einfachsten, indem wir im Ergebnis
(10.10) den Grenzübergang κ → 0 machen. Wir erhalten also
x(t) = e −γt (x0 + (γx0 + ˙x0)t) . (10.11)
Die asymptotische Annäherung an die Nulllage ist hier schneller als im Fall b). Deshalb arbeiten
Zeigermessinstrumente im aperiodischen Grenzfall.
Die drei Fälle sind in der folgenden Graphik skizziert:
84

10.1.2 Periodisch getriebener gedämpfter harmonischer Oszillator
Wir betrachten für die erzwungene Schwingung eines gedämpften harmonischen Oszillators die Bewegungsgleichung
¨x + 2γ ˙x + ω 2 0x = f0e iΩt . (10.12)
Nach der Theorie der linearen Differenzialgleichungen ergibt sich die allgemeine Lösung der linearen,
inhomogenen Differenzialgleichung (10.12), indem man zur Lösung der homogenen Gleichung (10.1) eine
spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung addiert.
Wie wir gesehen haben, geht die homogene Lösung mit der Zeit gegen Null. Wir erwarten daher, dass
nach Abklingen der homogenen Lösung nur eine spezielle Lösung übrig bleibt, die keinen gedämpften
Beitrag enthält, und dass dann der Oszillator mit der erregenden Frequenz Ω schwingt. Zur Berechnung
dieser speziellen ungedämpften Lösung der inhomogenen Gleichung wählen wir den Ansatz
xs(t) = Ase i(Ωt−ϕs) , (10.13)
mit konstanter, reeller Amplitude As und Phase ϕs. Einsetzen in (10.12) ergibt
As(−Ω 2 + 2iγΩ + ω 2 0) = f0e iϕs = f0(cos ϕ + i sin ϕ) . (10.14)
Diese Gleichung ist erfüllt, wenn auf beiden Seiten die absoluten Beträge
As
(ω 2 0 − Ω2 ) 2 + 4γ 2 Ω 2 = f0
85
(10.15)

und die Quotienten aus den imaginären und reellen Anteilen gleich sind
tan ϕs = 2γΩ
ω2 . (10.16)
0 − Ω2
Für γ 2 < ω 2 0 (gedämpfte Schwingung), d.h. mit (10.7), und dem Realteil der speziellen Lösung (10.13)
ist die allgemeine Lösung
x(t) = Ae −γt sin
ω2 0 − γ2
t + ϕ0 + As cos (Ωt − ϕs) . (10.17)
Die angeregte Schwingung setzt sich demnach aus einem gedämpften und einem ungedämpften Anteil
zusammen. Der gedämpfte Anteil beschreibt die Einschwingung, auch Transiente genannt. Für große
Zeiten (t ≫ 1/γ) bleibt nur die stationäre Lösung übrig, die hier gerade der speziellen Lösung xs(t)
entspricht. Wir schreiben die Schwingungsamplitude As der stationären Lösung durch Umformen von
(10.15) als
As =
f0/ω2 0
1 − Ω2
ω2 2 + 4
0
γ2
ω2 Ω
0
2
ω2 0
Für γ2 /ω2 0 ≤ 1/2 hat As als Funktion von Ω ein Maximum; für größere γ hat sie kein Maximum, sondern
fällt mit wachsendem Ω monoton ab. Im ersten Fall spricht man von einer Resonanzkurve. Das Maximum
ist bei Amax = f0/ 2γ ω2
0 − γ2 bei der Resonanzfrequenz ΩR = ω2 0 − 2γ2 . Die Phasendifferenz ϕs
zwischen der erregenden Kraft und der erzwungenen Schwingung ist nach (10.16)
ϕs = arctan
ω 2 0
2γΩ
(+π) ,
− Ω2
wobei der letzte Summand π nur für Ω > ω0 auftritt, so dass dann π
2 < ϕ (Ω > ω0) < π ist.
Die folgenden Überlegungen machen den Summanden +π klar: ϕs muss stetig von Ω abhängen. Außerdem
ist zu erwarten, dass die Phasendifferenz zwischen treibender Kraft und Schwingung des Oszillators
umso größer wird, je schneller die treibende Kraft oszilliert. Für die weitere Analyse betrachten wir ein
paar spezielle Fälle: Für Ω ≪ ω0 sind Oszillator und äußere Kraft praktisch in Phase; Der Oszillator folgt
der einwirkenden Kraft mit nur geringer Verzögerung, d. h. ϕs 0. Für Ω = ω0 ist die Phasendifferenz
stets π/2, weil die linke Seite von (10.14) rein imaginär ist. Für Ω ≫ ω0 schwingt der Oszillator im
Gegentakt zur äußeren Kraft, d. h. ϕs π. Dies kann man z.B. daraus folgern, dass für Ω → ∞ die
linke Seite von (10.14) gegen Minus Unendlich läuft. Eine weitere spezielle Situation ist der Fall γ → 0.
Dann ist wird die linke Seite von (10.14) reell und wechselt bei Ω = ω0 das Vorzeichen. Also springt die
Phasendifferenz von ϕ = 0 für Ω < ω0 auf ϕ = π für Ω > ω0. Die folgende Graphik zeigt den Verlauf
für verschiedene Werte von γ, wobei die Kurven mit einer größeren Steigung bei ω0 größere Werte von γ
haben.
86
.

10.2 Schwingungen mit mehreren Freiheitsgraden
Wir betrachten nun ein System aus N miteinander wechselwirkenden Teilchen, die zusammen eine stabile
Gleichgewichtslage haben. Wenn wir nur kleine Auslenkungen aus der Gleichgewichtslage betrachten,
wird das zu einem System aus N gekoppelten Oszillatoren, die um die Gleichgewichtslage schwingen und
nahezu linearen Rückstellkräften unterliegen. Das System sei konservativ. Eventuell gibt es k holonome,
skleronome Zwangsbedingungen. Es folgt, dass die kinetische Energie eine quadratische Funktion der
n = 3N − k generalisierten Geschwindigkeiten ist (vgl. (4.11)):
T = 1
2
n
i,j=1
Tij(q1, ..., qn) qi ˙ qj, ˙
(10.18)
mit symmetrischen Koeffizienten Tij = Tji. Die Koordinaten der Gleichgewichtslage q0i legen wir in
den Koordinatenursprung, so dass die qi (mit i = 1, ..., n), die Auslenkungen aus dem Gleichgewicht
bezeichnen.
Entwicklung in eine Taylorreihe um die Gleichgewichtslage ergibt
Tij(q1, ..., qn) ≡ Tij(q) = Tij(0) +
Für genügend kleine Auslenkungen beträgt die kinetische Energie mit (10.18)
T 1
2
n
∂Tij(q)
ql + ... (10.19)
∂ql
l=1
0
n
Tij ˙qi ˙qj , Tij ≡ Tij(0). (10.20)
i,j=1
Da die ˙qi ebenso wie die qi kleine Größen sind, ist dieser führende Term der Taylorentwicklung für unsere
Betrachtungen ausreichend.
Für ein konservatives System existiert eine potenzielle Energie V . Wir machen auch für V eine Taylorentwicklung:
V (q) = V (0)
irrelevant
+
n
∂V (q)
qi
∂qi
+
i=1
0
=0
1
2
n ∂2
V (q)
qiqj + ... (10.21)
∂qi∂qj
Der 2. Term ist 0 für die Gleichgewichtslage, da die potenzielle Energie dort minimal ist.
Folglich ist das Potenzial in der Umgebung der Gleichgewichtslage ungefähr gleich
V (q) 1
2
n
i,j=1
∂2
V
∂qi∂qj
0
i,j=1
qiqj ≡ 1
2
Die Matrizen V und T sind symmetrisch und positiv definit.
Die Lagrange-Funktion
L(q, ˙q) = 1
n
2
ergibt die Bewegungsgleichungen
Der Ansatz
i,j=1
0
n
Vijqiqj . (10.22)
i,j=1
(Tij ˙qi ˙qj − Vijqiqj) (10.23)
n
(Tij ¨qj + Vijqj) = 0 , i = 1, ..., n. (10.24)
j=1
qj(t) = Caje iωt , j = 1, ..., n (10.25)
87

löst die n Differenzialgleichungen (10.24), wie wir gleich sehen werden. Dabei ist C ein zweckmäßiger
Skalenfaktor. Einsetzen ergibt
n
j=1
In Matrix-Schreibweise lautet (10.26)
(Vij − ω 2 Tij)aj = 0 , i = 1, ..., n. (10.26)
(V − ω 2 T )a = 0, (10.27)
wobei V und T die (n × n)-Matrizen mit den Einträgen Vij bzw. Tij sind.
Das lineare System (10.26) bzw. (10.27) hat nur dann nichttriviale Lösungen, d.h. aj = 0 für mindestens
ein j, wenn die Determinante verschwindet:
det(V − ω 2 T ) = 0 . (10.28)
Diese Bedingung legt die möglichen Werte von ω 2 fest. Sie ist eine charakteristische Gleichung in Form
eines Polynoms vom Grad n in der Variablen ω 2 . V , T sind beide reell, symmetrisch und positiv definit,
d.h.alle n Lösungen ω 2 sind positiv,
ω 2 1, ω 2 2, ..., ω 2 n > 0. (10.29)
(Einige der Lösungen können gleich sein. Diese so genannten Entartungen betrachten wir nicht.)
Seien ar die Eigenvektoren des verallgemeinerten Eigenwertproblems (10.27), deren Normierung wir
etwas weiter unten festlegen. Wir benutzen diese Eigenvektoren für einen Wechsel des Koordinatensystems,
ähnlich wie bei der Hauptachsentransfomationin Kapitel 9). Die ar sind definiert durch die
Bedingung
V ar = ω 2 rTar, r = 1, ..., n. (10.30)
Ähnlich wie bei gewöhnlichen Eigenwertproblemen mit symmetrischen Matrizen können wir für die ar eine
Art Orthogonalitätsbeziehung erhalten. Wir betrachten zwei Eigenvektoren a1 und a2 zu den Eigenwerten
ω 2 1 und ω 2 2. Weil die Matrizen T und V symmetrisch sind, gelten die folgenden Beziehungen:
V a1 = ω 2 1Ta1 ;
a t 2V a1 = ω 2 1a t 2Ta1 und analog mit der Vertauschung von 1 und 2;
a t 2V a1 = a t 1V a2 = ω 2 2a t 1Ta2 = ω 2 2a t 2Ta1 .
Die zweite und dritte Zeile sind nur dann miteinander verträglich, wenn a t 2Ta1 = 0 ist, wenn die Eigenvektoren
a1 und a2 verschieden sind. Dies führt uns mit einer entsprechend gewählten Normierung der
ar und mit der Definition
A = (a1,a2, ...,an)
auf die Beziehung
Unter Verwendung von (10.30) folgt daraus
⎛
A t ⎛
1
⎜
T A = ⎜
⎝
1
. ..
⎞
0
⎟ ≡ 1.
⎠
(10.31)
0 1
A t ⎜
V A = ⎜
⎝
ω 2 1
ω 2 2
. ..
0
0 ω 2 n
88
⎞
⎟
⎠ ≡ Ω2 , (10.32)

d.h. die Matrix A diagonalisiert simultan V und T .
Die Normalkoordinaten Qr sind definiert über die Beziehungen
q ≡
n
arQr ≡ A Q. (10.33)
r=1
Einsetzen von (10.33) in die Lagrange-Funktion (10.23) ergibt:
L = 1
2 ( ˙ q t T ˙ q − q t V q)
= 1
2 ((A ˙ Q) t ˙
T (A Q) − (AQ) t
V (AQ))
= 1
2 ( ˙ Q t t ˙
A T A Q − Q t t
A V AQ)
= 1
2 ( ˙ Q t Q ˙
− Q t 2
Ω Q) .
≡ 1
2
n
( ˙ Q 2 r − ω 2 rQ 2 r). (10.34)
r=1
Gl. (10.34) zeigt, dass die Normalkoordinaten n entkoppelte harmonische Oszillatoren mit Eigenfrequenzen
ωr beschreiben, mit den Lagrange-Gleichungen
¨Qr + ω 2 rQr = 0, r = 1, ..., n. (10.35)
Wir haben also ein Problem mit n Freiheitsgraden auf n Probleme mit je einem Freiheitsgrad reduziert.
10.3 Beispiel 1: Zwei gekoppelte, ungedämpfte Oszillatoren
Wir betrachten zwei identische harmonische Oszillatoren, die durch eine Feder mit der Federkonstanten
D12 verbunden sind und die sich nur auf einer horizontalen Geraden bewegen können. Die kinetische und
potenzielle Energie und die Lagrangfunktion sind also
mit
T = m
2 ( ˙q2 1 + ˙q 2 2), V = D
2 q2 1 + D
2 q2 2 + D12
2 (q2 − q1) 2
⇒ L = 1
2
2
(Tij ˙qi ˙qj − Vijqiqj) ≡ 1
2 ( ˙ q t T ˙ q − q t V q)
i,j=1
1 0
T = m
0 1
D + D12
, V =
−D12
−D12
D + D12
Die Eigenfrequenzen ω1 und ω2 und die Eigenvektoren a1 und a2 erhalten wir durch Lösen der Gleichung
(10.35). Es ergibt sich
A = 1
1
√
2m 1
1
−1
89
.

und
ω1 =
D
m , ω2
D + 2D12
=
.
m
Die Spalten der Matrix A sind die beiden Eigenvektoren, die Normierung ist gemäß (10.31) gewählt. Die
Gleichung (10.32) führt auf
.
A t V A = 1
D 0
m 0 D + 2D12
Die Normalkoordinaten ergeben sich gemäß (10.33) mit A t A = 1
m 1:
Q = A −1 q = mA t q ⇒ Q1 =
Ihre Bewegungsgleichungen lauten
Die allgemeine Lösung ergibt sich aus
m
2 (q1
m
+ q2), Q2 =
2 (q1 − q2).
¨Q1 + ω 2 1Q1 = 0, ¨ Q2 + ω 2 2Q2 = 0 .
q = A Q ⇒ q1 = 1
√ 2m (Q1 + Q2), q2 = 1
√ 2m (Q1 − Q2).
Bem.: Die Normalschwingungen (auch Fundamentalschwingungen oder Eigenschwingungen genannt)
haben eine einfache Interpretation. Für die Anfangsbedingungen q1(0) = q2(0), ˙q1(0) = ˙q2(0) wird nur
die erste, gleichphasige Normalschwingung angeregt, bei der die Amplitudenfaktoren gleich sind, d.h.
a11 = a21. Für die zweite Normalschwingung ist a12 = −a22, wobei diese gegenphasige Schwingung durch
die Anfangsbedingungen q1(0) = −q2(0), ˙q1(0) = − ˙q2(0) angeregt wird.
Überlagerung der Normalschwingungen kann zu neuen Phänomenen führen, wie der so genannten
Schwebung. Sie tritt auf, wenn |ω1 − ω2| ≪ ω1 ist. Wir betrachten die Anfangsbedingung
q1(0) = A , ˙q1(0) = q2(0) = ˙q2(0) = 0.
Dies führt auf die Lösung
q1(t) = A
2 (cos ω1t
q2(t) =
ω2 − ω1 ω2 + ω1
+ cos ω2t) = A cos t cos t ,
2
2
A
2 (cos ω1t
ω2 − ω1 ω2 + ω1
− cos ω2t) = A sin t sin t ,
2
2
die im folgenden Bild skizziert ist:
90

Der erste Faktor auf der rechten Seite bedeutet ein An- und Abschwellen der Amplitude. Dabei
wandert die Energie mit der Schwebungsfrequenz ω2 − ω1 zwischen den Oszillatoren hin und her. Man
nennt dieses Phänomen Schwebung.
Wir haben gesehen, dass durch die Kopplung zweier Oszillatoren die Eigenfrequenz ω1 = D/m in
die beiden Eigenfrequenzen ω1 und ω2 aufspaltet. Entsprechend findet man bei der Kopplung von N
Oszillatoren eine Aufspaltung in N Eigenfrequenzen, falls keine Entartungen auftreten. Dieses Ergebnis
ist über die Mechanik hinaus von großer Bedeutung für die Physik, so z.B. für das Energiespektrum von
Elektronen in Festkörpern, bei dem die Aufspaltung der sehr dicht liegenden Einzelniveaus zu sogenannten
Energiebändern führt.
10.4 Beispiel 2: Erzwungene Schwingungen zweier gekoppelter
Oszillatoren
Wir betrachten nun die Situation, dass zwei gekoppelte Oszillatoren von außen periodisch getrieben
werden. Diese periodische Kraft wenden wir auf den Oszillator 1 an, wie in dem Bild dargestellt.
Die Beiträge zur Lagrange-Funktion sind
T = m
2 ( ˙q2 1 + ˙q 2 2)
und
V = D
2 (q1 − A cos Ωt) 2 + D
Die Lagrange-Gleichungen ergeben dann
2 q2 2 + D12
2 (q2 − q1) 2 .
m¨q1 + (D + D12)q1 − D12q2 = DA cos Ωt
m¨q2 + (D + D12)q2 − D12q1 = 0 .
Im Gegensatz zum getriebenen gedämpften Oszillator im Unterkapitel 10.1 nehmen wir keinen Dämpfungsterm
in die Gleichungen auf. Die Lösung der homogenen Differenzialgleichungen wurde im vorangehenden Beispiel
besprochen. Vom einfachen Oszillator wissen wir, dass ungedämpfte, stationäre Schwingungen die
Phasenverschiebung ϕs = 0 bzw. ϕs = π zwischen der erregenden Kraft und der erzwungenen Schwingung
haben. Für eine spezielle Lösung betrachten wir daher den Ansatz
qi(t) = Ai cos Ωt i = 1, 2 ,
91

wobei Phasenverschiebungen 0 bzw. π durch positive bzw. negative Amplituden Ai beschrieben werden.
Einsetzen ergibt
mit
(ω 2 3 − Ω 2 )A1 − D12
m A2 = f0
− D12
m A1 + (ω 2 3 − Ω 2 )A2 = 0
ω 2 3 ≡
Die Lösung des Gleichungssystems lautet
A1 = f0
A2 = f0
D + D12
m , f0 ≡ DA
m .
ω 2 3 − Ω 2
(ω 2 3 − Ω2 ) 2 − D12
m
D12
m
(ω 2 3 − Ω2 ) 2 − D12
m
wobei ω1 und ω2 wie im vorigen Beispiel definiert sind als
2
2
ω 2 1 ≡ D
m , ω2 D + 2D12
2 ≡ .
m
ω
= f0
2 3 − Ω2 (ω2 1 − Ω2 )(ω2 2 − Ω2 )
ω
= f0
2 3 − ω2 1
(ω2 1 − Ω2 )(ω2 2 − Ω2 ) ,
Erwartungsgemäß werden die Amplituden bei diesen Frequenzen unendlich. (Wenn man den Dämpfungsterm
dazunimmt, werden die Amplituden nicht unendlich, sondern haben ein Maximum in der Nähe der Eigenfrequenzen.)
Besonders bemerkenswert ist das Ergebnis
A1(Ω = ω3) = 0 , A2(Ω = ω3) = − AD
.
D.h. die rechte Masse schwingt im stationären Fall mit solcher Amplitude, dass sich die beiden an der linken
Masse angreifenden Federkräfte gegenseitig aufheben. Man benutzt diesen Effekt zur Konstruktion
von Schwingungstilgern: Maschinenschwingungen, die durch harmonische Anregungen konstanter Frequenz
erzeugt werden, lassen sich durch einen angekoppelten, geeignet abgestimmten zweiten Schwinger
eliminieren.
Aufgaben
1. Gekoppelte Pendel: Zwei Pendel der Längen l1 und l2 mit den Massen m1 und m2 werden durch eine
horizontale Feder verbunden. Die Feder wird an den beiden (wie immer masselosen) Pendelstangen
auf der Höhe l < l1, l2 unterhalb der Aufhängepunkte angebracht. Der Abstand der beiden Pendel
sei wesentlich größer als l, so dass die Feder stets nahezu horizontal bleibt.
D12
(a) Stellen Sie die Bewegungsgleichungen für die beiden Pendel auf.
(b) Integrieren Sie die Bewegungsgleichungen zunächst für den Spezialfall m1 = m2 und l1 = l2
und in der Näherung kleiner Ausschläge. Wählen Sie die Anfangsbedingungen ϕ1(0) = ϕ0 und
˙ϕ1 = ˙ϕ2 = ϕ2 = 0. Bemerkung: ϕ0 muss eine kleine Größe sein.
(c) Lösen Sie jetzt diese Aufgabe auch für m1 = m2, aber immer noch mit l1 = l2.
(d) Betrachten Sie zum Schluss den Fall m1 = m2 und l1 = l2, immer noch für dieselben Anfangsbedingungen
wie in (b) und für kleine Ausschläge.
2. Gehen Sie aus von der Wellengleichung (6.19).
92

(a) Zeigen Sie, dass diese Gleichung zu der durch (10.24) beschriebenen Kategorie von Systemen
gehört, indem Sie die x-Werte diskretisieren. Wie sieht die Matrix Vij aus?
(b) Nun betrachten Sie wieder die kontinuerliche Variante. Betrachten Sie eine an beiden Enden fixierte
Saite, also y(x = 0, t) = y(x = l, t) = 0. Was ist der zu (10.25) analoge Lösungsansatz für
die kontinuierliche Wellengleichung (6.19)? Welche allgemeine Form haben also die Lösungen?
(c) Finden Sie noch eine weitere Klasse von Lösungen, wenn Sie sich nicht um die Randbedingungen
kümmern?
93

Kapitel 11
Der Hamilton-Formalismus
11.1 Einleitung
In diesem Kapitel befassen wir uns mit einer weiteren Formulierung der klassischen Mechanik, nämlich
mit der Hamiltonschen Mechanik, die in den 1830er Jahren vom irischen Mathematiker Sir William
Rowan Hamilton entwickelt wurde. Zum expliziten Lösen von Aufgaben ist sie nicht besser geeignet als
die Lagrange-Mechanik,aber sie ist für Computersimulationen besser geeignet, gewährt tiefere Einsichten
in die Struktur der klassischen Mechanik und ist eine wichtige Grundlage für die Chaos-Theorie, für die
statistische Mechanik und für die Quantenmechanik.
Zwischen der Lagrange-Mechanik und der Hamilton-Mechanik bestehen die folgenden wichtigen Unterschiede:
1. Die Lagrange-Mechanik geht von der Lagrange-Funktion L(q, ˙q,t) aus, während die Hamilton-
Mechanik von der Hamiltonfunktion
H(q,p,t) =
˙qipi −L
(siehe (4.9)) ausgeht. Ganz wichtig ist hierbei, dass als Variablen der Hamiltonfunktion die generalisierten
Koordinaten qi und die zu diesen Koordinaten konjugierten Impulse
i
pi = ∂L
∂˙qi
(siehe (4.5)) gewählt werden. Alle ˙qi müssen also durch die p und q ausgedrückt werden. (Das wird
bei Übungsaufgaben häufig vergessen......)
2. Während es beim Lagrange-Formalismus für jeden Freiheitsgrad eine Bewegungsgleichung zweiter
Ordnung in der Zeit gibt (also mit der zweiten Zeitableitung), gibt es im Hamilton-Formalismus
pro Freiheitsgrad zwei Bewegungsgleichungen erster Ordnung in der Zeit, je eine für die zeitliche
Änderung von qi und von pi. Man kann also die Dynamik mechanischer Systeme im Hamilton-
Formalismus als Trajektorien im sogenannten Phasenraum auffassen, der von den 2n Koordinaten
pi und qi aufgespannt wird.
WirbetrachtenindiesemundallenfolgendenKapitelnnurdenFall,dassesholonomeZwangsbedingungen
oder keine Zwangsbedingungen gibt. Die Zahl der Freiheitsgrade ist also n = 3N −k, und die Indizes der
qi und pi laufen folglich immer von 1 bis n.
11.2 Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen
Die Bewegungsgleichungenim Hamilton-Formalismuslassensichaufzwei Wegenherleiten, nämlich direkt
aus den Lagrange-Gleichungen, verbunden mit dem Zusammenhang H =
i pi˙qi−L, und auch aus dem
94

Hamiltonschen Prinzip (dem Prinzip der stationären Wirkung). Wir gehen im Folgenden durch beide
Herleitungen.
11.2.1 Herleitung der Hamiltonschen Gleichungen aus den Lagrange-Gleichungen
Der Zusammenhang zwischen H und L ist ganz analog zu dem Zusammenhang zwischen verschiedenen
thermodynamischenPotenzialen,nämlichübereineLegendre-Transformation.Legendre-Transformationen
in der Thermodynamik werden verwendet, um von einer Variablen zu einer anderen zu wechseln, die mit
der partiellen Ableitung des Potenzials nach der ersten Variablen identisch ist. Ein Wechsel von den
Variablen ˙qi zu den Variablen pi = ∂L/∂˙qi ist genau von dieser Art. Wir sehen dies explizit, indem wir
das totale Differenzial von H hinschreiben:
dH =
pid˙qi +
˙qidpi − ∂L
dqi −
∂qi
∂L
d˙qi −
∂˙qi
∂L
∂t dt.
i
Mit den Lagrange-Gleichungen zweiter Art und (3.6) folgt
und damit
dH =
˙qidpi −
i
i
i
∂L
=
∂qi
d ∂L
dt∂˙qi
i
= d
dt pi ≡ ˙pi
˙pidqi − ∂L ∂H
dt ≡ dpi +
∂t ∂pi i
∂H
dqi +
∂qi i
∂H
∂t dt.
Die rechte Seite ist das vollständige Differenzial von H(q,p,t). Koeffizientenvergleich ergibt
und
˙qi = ∂H
, ˙pi = −
∂pi
∂H
∂qi
∂H
∂t
i
(11.1)
= −∂L . (11.2)
∂t
Die Gleichungen (11.1) sind die sogenannten Hamiltonschen Bewegungsgleichungen.
11.2.2 Herleitung der Hamiltonschen Gleichungen aus Hamiltonschem Prinzip
Die HamiltonschenBewegungsgleichungenlassensichauchausderBedingungherleiten, dassdie Wirkung
S stationär wird:
t2
t2
δS ≡ δ dt pi˙qi −H(q,p,t) = δ pidqi −Hdt = 0. (11.3)
t1
i
Die Variation von S ist so zu nehmen, dass der Anfangs- und der Endpunkt des Integrals im Phasenraum
vorgegeben sind, aber die Phasenraumtrajektorie zwischen diesen beiden Punkten variiert wird mit einer
Änderung δq(t),δp(t).
keine klassische
Trajektorie
p , q , t
1 1 1
t1
p , q , t
2 2 2
klass. Trajektorie
95
i

Dies ist anders als in Kapitel 6, wo nur q(t) variiert wurde. Wir werden gleich sehen, dass eine
unabhängige Variation von q und p auf die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen führt. Dies bedeutet,
dass der Hamilton-Formalismus eine Darstellung der Mechanik ist, in der q und p als gleichberechtigte
Variablen betrachtet werden dürfen.
Weitere Umformung von (11.3) führt auf
t2
t2
0 = δ dt pi˙qi −H(q,p,t) = dt
t1
t1
i
piδ˙qi + ˙qiδpi −
i
∂H
δqi −
∂qi
∂H
δpi
∂pi
t2
= dt
− ∂H
− ˙pi δqi + ˙qi −
∂qi
∂H
δpi . (11.4)
∂pi
t1
i
Beim Übergang zur letzten Zeile wurde in dem Term mit ˙q partiell integriert, so wie wir das schon in
Kapitel 6 gemacht haben. Wenn wir erlauben, dass die δpi und die δqi voneinander unabhängig sind
und zu jedem Zeitpunkt anders gewählt werden können, müssen die beiden Ausdrücke in den runden
Klammern verschwinden, woraus die Hamiltonschen Gleichungen folgen.
11.2.3 Beispiel: Teilchen im Kreiskegel
Wir leiten die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen für ein Teilchen im Kreiskegel her. Die hierfür notwendigen
Schritte können als allgemeines Rezept für die Aufstellung von Hamiltonschen Bewegungsgleichungen
verwendet werden. Wir nummerieren sie daher im Folgenden durch.
1. Berechnung von T und V und der Lagrange-Funktion: Wir übernehmen sie aus dem Abschnitt 4.4:
L = T −V = m
2
(1+cot 2 α)˙r 2 +r 2 ˙ϕ 2 −mgrcotα.
2. Bestimmung der zu den generalisierten Koordinaten kanonisch konjugierten Impulse: Die beiden
Variablen sind ϕ und r, und die zu ihnen konjugierten Impulse sind
und
pϕ = ∂L
∂ ˙ϕ = mr2 ˙ϕ
pr = ∂L
∂˙r = m˙r(1+cot2 α).
3. Berechnen von H: Da wir es mit zeitunabhängigen Zwangsbedingungen zu tun haben, können wir
direkt H = T + V verwenden. Wir nehmen jetzt aber den allgemeineren Weg über die Formel
H =
i pi˙qi −L:
H = pr˙r+pϕ ˙ϕ−L = 1
2 m(r2 ˙ϕ 2 + ˙r 2 (1+cot 2 α))+mgrcotα.
4. Wechsel von den Variablen ˙ϕ und ˙r zu pϕ und pr: Zu diesem Zweck drücken wir in H die Geschwindigkeiten
˙ϕ und ˙r durch die Impulse pϕ und pr aus und erhalten
H = p2ϕ p
+
2mr2 2 r
2m(1+cot 2 +mgrcotα. (11.5)
α)
96

5. Bestimmen der Hamiltonschen Bewegungsgleichungen:
˙ϕ = ∂H
∂pϕ
= pϕ
,
mr2 ˙pϕ = − ∂H
= 0,
∂ϕ
˙r = ∂H pr
=
∂pr m(1+cot 2α) ,
˙pr = − ∂H
∂r = p2ϕ −mgcotα.
mr3 Die erste und dritte Gleichung stimmen mit obigen Beziehungen für die kanonischen Impulse
überein. Die zweite Gleichung entspricht der Tatsache, dass ϕ eine zyklische Variable ist. Die vierte
Gleichung entspricht der Gleichung (4.10).
Wirsehen,dassdasAufstellenderHamiltonschenBewegungsgleichungenkomplizierteristalsderLagrange-
Formalismus, da wir zunächst durch diesen hindurch gehen müssen, um die kanonischen Impulse korrekt
zu identifizieren.
11.3 Erhaltungsgrößen und Poissonklammern
Wir untersuchen nun, wie sich Erhaltungsgrößen im Hamiltonformalismus äußern. Zunächst betrachten
wir nochmal die Bedingungen, unter denen die Hamiltonfunktion selbst eine Erhaltungsgröße ist. Unter
Verwendung der Hamiltonschen Gleichung ergibt sich
dH
dt
∂H
= ˙qi +
∂qi i
∂H
˙pi +
∂pi i
∂H
∂t
=
∂H ∂H
+
∂qi ∂pi
∂H
−
∂pi
∂H
+
∂qi
∂H
∂t
i
= ∂H
∂t .
Also ist H genau dann eine Erhaltungsgröße, wenn ∂H/∂t = 0 ist. Mit (11.2) erhalten wir wieder die
schon in Kapitel 4 formulierte Bedingung, dass H eine Erhaltungsgröße ist, wenn L nicht explizit von
der Zeit abhängt. Außerdem hatten wir schon in Kapitel 4 gesehen, dass wenn die Zwangsbedingungen
skleronom und die Kräfte konservativ sind, H identisch mit der Energie E ist.
AlsnächstesbetrachtenwireinebeliebigedifferenzierbareFunktionf(q,p,t)derKoordinaten,Impulse
und evtl. der Zeit und untersuchen, unter welchen Bedingungen sie eine Erhaltungsgröße ist. Es ist
df
dt
∂f
= ˙qi +
∂qi i
∂f
˙pi +
∂pi i
∂f
∂t
=
∂f ∂H
+
∂qi ∂pi
∂f
−
∂pi
∂H
+
∂qi
∂f
∂t
i
≡ [f,H]+ ∂f
. (11.6)
∂t
Hier haben wir die sogenannte Poisson-Klammer eingeführt. Allgemein ist die Poissonklammer zweier
differenzierbarer Funktionen von p und q definiert als
[f,g] =
∂f ∂g
−
∂qi ∂pi
∂f
∂g
. (11.7)
∂pi ∂qi
i
97

Es folgt also, dass eine Funktion f eine Erhaltungsgröße ist, wenn sie nicht explizit zeitabhängig ist und
ihre Poisson-Klammer mit H verschwindet.
Als Beispiel betrachten wir wieder das Teilchen im Kreiskegel. Wir wissen, dass pϕ eine Erhaltungsgröße
ist. Im Folgenden berechnen wir die Poissonklammer von pϕ mit H, wobei H durch (11.5) gegeben
ist:
[pϕ,H] = ∂pϕ
∂ϕ
∂H
∂pϕ
+ ∂pϕ
∂r
∂H
∂pr
− ∂pϕ ∂H ∂pϕ ∂H
−
∂pϕ ∂ϕ ∂pr ∂r .
Der erste, zweite und vierte Term verschwinden, weil pϕ nicht von den anderen drei Variablen abhängt,
denn alle Größen werden ja als Funktion von r,ϕ,pr,pϕ betrachtet. Also hängt pϕ nur von pϕ ab. Der
ersteFaktordes dritten Termsist daher1, aberdafürverschwindetderzweite Faktor.Alsoist [pϕ,H] = 0,
wie es sein muss, wenn pϕ eine Erhaltungsgröße ist.
Es besteht ein enger Zusammenhang zwischen den Poisson-Klammern der klassischen Mechanik und
den Kommutatoren der Quantenmechanik. Viele Beziehungen, die in der klassischen Mechanik unter
Verwendung von Poissonklammern gelten, gelten analog in der Quantemechanik, wenn man die Poisson-
Klammern durch Kommutatoren ersetzt (und noch einen Faktor i dranmultipliziert). Von besonderer
Bedeutung sind hier die sog. fundamentalen Poissonklammern
[qi,pj] = δij , [qi,qj] = [pi,pj] = 0. (11.8)
In der Quantenmechanik folgt aus der Tatsache, dass der Kommutator von qi mit pi nicht verschwindet,
die Unschärferelation.
11.4 Der Phasenraum und die Liouville-Gleichung
Derdurchdie 2nKoordinatenpi und qi aufgespanntePhasenraumist sehrnützlich zurVeranschaulichung
der Dynamik von Systemen. Wir haben in Aufgabe 2d) in Kapitel 1 ein sogenanntes Phasenraumportrait
für das Pendel gezeichnet, das die qualitativ verschiedenen Trajektorien zeigt:
In der Chaostheorie sind solche Phasenraumbilder ein wichtiges Hilfsmittel, um sich die komplexen
Sachverhalte zu veranschaulichen und um auch ohne Rechnungen einen qualitativen Eindruck von dem
Verhalten eines Systems zu vermitteln.
Deshalb diskutieren wir in diesem Unterkapitel einige Eigenschaften des Phasenraums. Die folgenden
Überlegungen gelten in der angegebenen Form, wenn H nicht explizit von der Zeit abhängt. Wenn H
explizit von der Zeit abhängt, kann man sich mit einem Trick einen Phasenraum mit zeitunabhängigen
Phasenraumportraits konstruieren: Man führt eine weitere Koordinate ein, nennen wir sie s(t), die den
einfachen Zeitverlauf ˙s = 1 hat. Man macht den Phasenraum also 2n+1-dimensional.
98

11.4.1 Trajektorien im Phasenraum
Da die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen von erster Ordnung in der Zeitableitung sind, ist eine Trajektorie
(q(t),p(t)) im Phasenraum durch einen zu einer Zeit t0 festgelegten Punkt (q(0),p(0)) eindeutig
bestimmt. Dies gilt nicht nur vorwärts in der Zeit, sondern auch rückwärts in der Zeit. Wir können jedem
Punkt im Phasenraum einen Pfeil zuordnen, dessen Richtung die Richtung und Länge die “Geschwindigkeit”
(˙q1,..., ˙qn, ˙p1,..., ˙pn) in diesem Punkt angeben. Die Geschwindigkeit lässt sich mit Hilfe der
Hamiltonschen Gleichungen berechnen.
Aus diesen Überlegungen folgt die in der Praxis sehr hilfreiche Regel, dass sich Trajektorien im
Phasenraum nicht schneiden dürfen. Denn wenn sie sich schneiden würden, gäbe es Punkte, in denen die
Richtung des Geschwindigkeitsvektors nicht eindeutig wäre. Die Zeitentwicklung Hamiltonscher Systeme
ist aber deterministisch. Die einzig möglichen Punkte, in denen mehrere Trajektorien zusammenkommen
können, sind instabile Gleichgewichtspunkte, in denen die Geschwindigkeit Null ist, man betrachte hierzu
das Phasenraumportrait des Pendels (siehe vorige Seite). Der instabile Gleichgewichtspunkt bei (φ =
(2n + 1)π,Lz = 0) entspricht dem senkrecht nach oben stehenden Pendel. Man nennt einen solchen
Punkt, in den sowohl Trajektorien hinein- als auch hinauslaufen und in dessen Umgebung deshalb die
Trajektorien Hyperbelform haben, einen hyperbolischen Fixpunkt. Den stabilen Gleichgewichtspunkt bei
(φ = 2nπ,Lz = 0) nennt man übrigens einen elliptischen Fixpunkt.
11.4.2 Die Liouville-Gleichung
Es ist oft zweckmäßig, nicht nur eine, sondern viele Trajektorien im Phasenraum gleichzeitig zu betrachten.
Dies macht man z.B. bei Teilchenbeschleunigern und in der statistischen Mechanik. Das Vorgehen
in der statistischen Mechanik wird im Folgenden näher erläutert:
In der statistischen Mechanik betrachtet man z.B. ein “Gas” aus N Teilchen, das in eine Kammer
eingesperrt ist, mit den n = 3N Ortskoordinaten qi und den entsprechenden Impulskoordinaten pi.
Die Dynamik des gesamten Teilchengases lässt sich also durch die Trajektorie eines Punktes im 6Ndimensionalen
Phasenraum darstellen. Wir schreiben
Die Bewegungsgleichungen (11.1) lassen sich also zusammenfassen als
x = (q1,...,qn,p1,...,pn). (11.9)
˙x = f(x) (11.10)
mit der durch die rechten Seiten der beiden Gleichungen (11.1) gegebenen Funktion f.
Um die Brücke zwischen der klassischen Mechanik und der statistischen Mechanik zu bauen, betrachtet
man nun nicht ein einzelnes System, sondern ein ganzes Ensemble von solchen Systemen. Da man
die Anfangsbedingung sowieso nicht mit beliebiger Genauigkeit angeben kann, betrachtet man das Ensemble
von Systemen, deren Anfangszustand im Rahmen einer gewählten Genauigkeit übereinstimmt.
Im Phasenraum füllen all diese Anfangszustände des Ensembles ein kleines endliches Volumen aus. Wir
wählen das Ensemble so, dass die Dichte der Systeme in diesem kleinen Volumen einen konstanten Wert
̺0 hat und außerhalb verschwindet. Nun betrachtet man die zeitliche Entwicklung all dieser Systeme
gleichzeitig im Phasenraum. Jeder Punkt des anfänglich gewählten Volumenelements bewegt sich gemäß
Gleichung (11.10). Das Volumenelement bewegt sich also und deformiert sich dabei. Wir zeigen zunächst,
dass sich das Gesamtvolumen dabei nicht ändert. Hierzu machen wir den Ansatz V = l1l2...l2n (mit
infinitesimalen li), wir gehen also davon aus, dass das Volumenelement ein 2n-dimensionaler “Quader”
ist, dessen Kanten sich in jeder der 2n Dimensionen von x (i)
a bis x (i)
e erstrecken. Durch Taylorentwicklung
99

erhalten wir ˙ l1 = ˙x (1)
e − ˙x (1)
a ≃ l1∂f1/∂x (1) . Damit folgt
˙V = ˙ l1l2...l2n + ˙ l2l1l3...l2n +...
= ∂f1
∂x (1)l1l2...l2n + ∂f2
∂x (2)l2l1l3...l2n +...
=
i
∂fi
∂x (i)l1l2...l2n
= V ∇· f . (11.11)
Die Divergenz der Funktion f entscheidet also, wie sich das Phasenraumvolumen unter der Dynamik
ändert. Für unsere Hamiltonschen Bewegungsgleichungen gilt
∇· f =
n
∂
i=1
∂H
∂qi ∂pi
− ∂
∂pi
∂H
= 0. (11.12)
∂qi
Das Phasenraumvolumen ändert sich also nicht, sondern deformiert sich nur.
Wir bezeichnen mit ̺(x,t) die Dichte der Zustände unseres Ensembles im Phasenraum. Sie hat am
Anfang den Wert ̺0 innerhalb des gewählten Volumenelements, und außerhalb ist sie 0. Wir haben eben
gezeigt, dass sich das Phasenraumvolumenelement unter der Hamiltonschen Dynamik deformiert, aber
dass es nicht sein Volumen ändert. Also gibt es auch zu späteren Zeiten nur Bereiche mit Dichte ̺0 und
0, die aber immer feiner verwoben werden.
Wir stellen jetzt noch eine allgemeineBewegungsgleichung,die sogenannteLiouville-Gleichung,für die
Dichte ̺(x,t) auf, die auch dann gilt, wenn ̺(x,t) nicht konstant ist. Wir gehen aus von einer allgemeinen
Funktion ̺(x,t). Wir leiten die Liouville-Gleichung aus den Hamiltonschen Gleichungen her, indem wir
mit der Kontinuitätsgleichung starten und die rechte Seite mit Hilfe der Hamiltonschen Gleichungen
umformen:
∂̺
∂t = − ∇ ̺˙ x
=
∂
̺
∂pi i
∂H
−
∂qi
∂
∂qi
=
∂H ∂
−
∂qi ∂pi
∂H
∂
̺,
∂pi ∂qi
∂̺
∂t
i
̺ ∂H
∂pi
= [H,̺]. (11.13)
In der letzten Zeile tritt wieder eine Poisson-Klammer auf. Die Liouville-Gleichung besagt also, dass
die zeitliche Änderung der Phasenraumdichte ̺ durch die Poisson-Klammer der Hamiltonfunktion mit
̺ gegeben ist. Für den speziellen, oben behandelten Fall, dass ̺ innerhalb eines gewissen Volumens den
konstanten Wert ̺0 und außerhalb den Wert Null hat, ergibt sich ∂̺/∂t = 0 an allen Orten außer an den
Rändern des Volumenelements, die sich ja verschieben.
11.4.3 Invariante Mannigfaltigkeiten
ZurVeranschaulichungderDynamik HamiltonscherSystemeist eshilfreich,invarianteMannigfaltigkeiten
(auch “invariante Mengen” genannt) im Phasenraum zu identifizieren. Dies sind Mengen von Punkten im
Phasenraum, die unter der Zeitentwicklung auf sich selbst abgebildet werden. Das bedeutet, dass wenn
man die Zeitentwicklung aller Trajektorien, die in diesen Punkten starten, gleichzeitig betrachtet, diese
Menge auf sich selbst abgebildet wird. Zwei wichtige Arten von invarianten Mengen sollen im Folgenden
kurz vorgestellt werden: Fixpunkte und periodische Bahnen.
100

Fixpunkte
Fixpunkte x ∗ sind Gleichgewichtslösungen von (11.10), also von
0 = f(x ∗ ).
In der Umgebung eines Fixpunktes können wir die Phasenraumtrajektorien durch Taylorentwicklung im
Abstand vom Fixpunkt berechnen: Wir setzen
und
dxi
dt
Dies ist eine Matrixgleichung der Form
mit
Diese Gleichung hat Lösungen der Form
wobei vk die Lösung der Eigenwertgleichung
x(t) = x ∗ +u(t),
dui
=
dt = fi(x ∗ +u(t)) ≃
∂fi
∂xj
j
x ∗
uj(t).
˙u = Au (11.14)
∂fi
Aij =
∂xj
u(t) =
2n
k=1
x ∗
.
vke λkt ,
Avk = λkvk
ist.
Da die Matrixelemente von A reell sind, gibt es zu jedem komplexen Eigenwert einen komplex konjugierten
Partner.
In zwei Dimensionen haben wir zwei Eigenwerte
λ1,2 = 1
τ ±
2
τ2
−4∆ , ∆ = λ1λ2, τ = λ1 +λ2.
τ ist die Spur von A und ∆ die Determinante.
Wir unterscheiden die folgenden Fälle (siehe Abb. 11.1):
• ∆ > 0undτ 2 −4∆ > 0:BeideEigenwertesindreellundhabendasselbeVorzeichen.DerFixpunktist
ein Knoten. Seine Stabilität wird durch das Vorzeichen von τ bestimmt. Bei einem stabilen Knoten
schmiegen sich die Trajektorien mit der Zeit immer stärker an die “langsame” Eigenrichtung (d.h.
die mit dem kleineren |λ|) an, bei einem instabilen Knoten richtet sich die Trajektorie mit der Zeit
an der “schnellen” Eigenrichtung aus.
• ∆ < 0: Die Eigenwerte sind reell und haben entgegengesetztes Vorzeichen. Der Fixpunkt ist ein
Sattelpunkt, auch hyperbolischer Fixpunkt genannt. Es gibt eine stabile und eine instabile Richtung.
• ∆ > 0undτ 2 −4∆ < 0:DieEigenwertesindkomplexkonjugiert.DerFixpunktisteineSpirale. Seine
Stabilität wird durch das Vorzeichen von τ bestimmt. Wir setzen λ1 = λ ′ +iλ ′′ und λ2 = λ ′ −iλ ′′
an. Dann ist
u(t) =v1e (λ′ +iλ ′′ )t +v2e (λ′ −iλ ′′ )t .
u ist reell, und folglich sind v1 und v2 komplex konjugiert, v1 = v ′ + iv ′′ und v2 = v ′ − iv ′′ . Dies
gibt
u(t) = 2e λ′ t (v ′ cosλ ′′ t−v ′′ sinλ ′′ t) .
Die relative Orientierung von v ′ und v ′′ und das Vorzeichen von λ ′′ bestimmen den Drehsinn der
Spirale.
101

• τ = 0: Der Fixpunkt ist ein Zentrum, auch elliptischer Fixpunkt genannt. Die Trajektorien laufen
in geschlossenen Bahnen um ihn herum.
• τ 2 −4∆ = 0: In diesem Fall sind entweder alle Richtungen Eigenrichtungen zum selben Eigenwert
und wir haben einen Stern, oder es gibt nur eine Eigenrichtung, und dann ist der Fixpunkt entartet.
In beiden Fällen befindet sich der Fixpunkt an der Grenze zwischen Knoten und Spirale.
• ∆ = 0: In diesem Fall ist ein Eigenwert 0. Aus der entsprechenden Eigenrichtung läuft man weder
aus dem Fixpunkt heraus, noch in ihn hinein. Es gibt also eine ganze Linie von Fixpunkten.
stabiler Knoten
Sattelpunkt
stabile Spirale
instabiler Knoten Stern
entarteter Fixpunkt
Zentrum
Fixpunktlinie
instabile Spirale
Abbildung 11.1: Die erwähnten Arten von Fixpunkten in 2 Dimensionen.
Allerdings können die meisten dieser Fixpunkte bei Hamiltonschen Systemen nicht auftreten. Wegen
derGleichung(11.12)darfeinPhasenraumvolumenelementauchinderUmgebungdiesesFixpunktesseine
Größe nicht ändern, und deshalb muss die Summe der Eigenwerte Null sein. Zentrum und Sattelpunkt,
alsoelliptische und hyperbolischeFixpunkte, sind daherdie einzigmöglichenFixpunkte in Hamiltonschen
Systemen mit zweidimensionalem Phasenraum.
In 2n > 2 Dimensionen hat ein Fixpunkt mehr als zwei Eigenrichtungen, die zum Teil stabil, zum Teil
instabil sind (man braucht beides, damit das Phasenraumvolumen erhalten ist). Dann kann es z.B. ein
komplex konjugiertes Paar von Eigenwerten geben, dessen Eigenvektoren eine Ebene aufspannen, in der
Trajektoren spiralförmig in den Fixpunkt hineinlaufen, während sie längs anderer Eigenrichtungen aus
dem Fixpunkt herauslaufen, oder umgekehrt.
Periodische Bahnen
Eine periodische Trajektorie ist eine Trajektorie, die sich exakt schließt. Wenn sie stabil ist, bleiben benachbarte
Trajektorien in ihrer Nähe und wickeln sich evtl um sie herum. Wenn sie aber instabil ist,
102

entfernen sich benachbarte Trajektorien in der instabilen Eigenrichtung exponenziell schnell in der Zeit
von ihr (und folglich auch voneinander). Um dies genauer zu verstehen, betrachten wir einen sogenannten
Poincaré-Schnitt durch die Umgebung einer periodischen Traektorie. Wir wählen einen Punkt auf
dieser Trajektorie und schieben gedanklich ein Blatt Papier durch diesen Punkt, so dass die Papierebene
senkrecht auf die Trajektorie steht. (Die Dimension des “Papierblatts” ist allerdings größer als 2, wenn
die periodische Trajektorie samt ihrer Umgebung einen mehr als dreidimensionalen Unterraum des Phasenraums
ausfüllt....) Wir verfolgen nun eine Trajektorie, die in der Nachbarschaft unserer periodischen
Trajektorie startet, in der Zeit. Jedesmal, wenn sie unser Blatt Papier durchstößt, markieren wir den
Durchstoßpunkt. So bekommen wir eine Abfolge von Durchstoßpunkten, die in der Nähe des Durchstoßpunkts
der periodischen Trajektorie liegen. Dann machen wir dasselbe für eine andere Trajektorie und
markieren die Durchstoßpunkte dieser zweiten Trajektorie in einer anderen Farbe, usw. Eine Trajektorie
wird also zu einer Kette von Durchstoßpunkten, und das sich ergebende Gesamtbild ist ganz analog
zum Phasenraumportrait in der Umgebung eines Fixpunkts. So werden stabile periodische Bahnen im
Poincaré-Schnitt zu elliptischen Fixpunkten und instabile periodische Bahnen zu hyperbolischen Fixpunkten
oder (in höheren Dimensionen) zu Fixpunkten mit mehr als einer stabilen und/oder instabilen
Eigenrichtung.
Aufgaben
1. Berechnen Sie für die Perle auf dem parabelförmigen, rotierenden Draht (s. Kap. 2.1.1 und Übungsaufgabe1vonKap.3)dieHamiltonfunktionunddieHamiltonschenGleichungen.WennSieüberschüssige
Energie und Zeit haben, dann berechnen Sie beides auch noch für das Rollpendel. (Die Lagrange-
Funktion wurde in Kap. 3.3 hergeleitet.)
2. Zeigen Sie, dass sich die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen mit Hilfe der Poisson-Klammern
schreiben lassen als
˙qi = [qi,H], ˙pi = [pi,H].
3. Berechnen Sie die Poissonklammern [Lx,Ly] und [Lx, L 2 ] ≡ [Lx,L 2 x +L2 y +L2 z ]. (Bem.: Lx ist die
x-Komponente des Drehimpulses, also Lx = ypz −zpy.)
4. In Aufgabe 2d) von Kapitel 1 haben Sie die Bahnen im Phasenraum für ein Pendel gezeichnet.
(a) Zeichnen Sie nun ein analoges Bild für einen hüpfenden Gummiball, der auf dem Boden elastisch
reflektiert wird und zwischen diesen Reflexionen nur der Gravitationskraft ausgesetzt
ist. Betrachten Sie dieses System nur in einer Dimension (d.h. der Ball hüpft senkrecht nach
oben).
(b) Markieren Sie nun im Phasenraum die Fläche, die zwischen zwei Energien E1 und E2 und
zwischen zwei Impulsen p1 und p2 liegt. Rechnen Sie explizit nach, dass sich dieses “Phasenraumvolumen”
mit der Zeit nicht ändert (also dass alle Trajektorien, die in dieser Fläche zur
Zeit t0 starten, zu einer späteren Zeit t1 eine gleich große Fläche bilden).
103

Kapitel 12
Der Hamilton-Jacobi-Formalismus
Wenn man ausgehend vom Hamilton-Formalismus versucht, Transformationen auf neue Koordinaten
und Impulse so durchzuführen, dass die Bewegung möglichst einfach wird, also dass es möglichst viele
zyklische Variablen gibt, gelangt man zur Hamilton-Jacobi-Gleichung. In diesem Kapitel befassen wir uns
zunächst mit sogenannten kanonischen Transformationen, um dann zu untersuchen, welche Bedingungen
erfüllt sein müssen, damit man auf eine einfache Bewegung kommen kann. Dies wird der letzte Schritt
sein auf dem Weg, ein Kriterium für die Lösbarkeit mechanischer Probleme aufzustellen.
12.1 Kanonische Transformationen
In Kapitel 4 haben wir gezeigt, dass die Lagrange-Gleichungen unter Punkttransformationen forminvariant
sind. Wenn wir also von den Koordinaten q zu den Koordinaten Q = Q(q,t) wechseln und die
entsprechend transformierte Lagrange-Funktion L ′ (Q, ˙
Q,t) = L q(Q,t), ˙q(Q, ˙
Q,t),t ermitteln, gelten
auch in den neuen Koordinaten und mit der neuen Lagrange-Funktion die Lagrange-Gleichungen zweiter
Art. Weil die Hamilton-Gleichungen direkt aus den Lagrange-Gleichungen abgeleitet werden können,
folgt somit auch, dass die Hamilton-Gleichungen unter Punkttransformationen forminvariant sind. Um
die neue Hamiltonfunktion zu erhalten, können wir zunächst L ′ bestimmen, daraus die neuen Impulse P
ermitteln und damit schließlich die Hamiltonfunktion und die Hamiltonschen Gleichungen in den neuen
Koordinaten und Impulsen aufstellen.
Im Folgenden wollen wir Transformationen der Koordinaten und Impulse direkt im Hamilton-Formalismus
durchführen. Wir betrachten Transformationen von den Variablen q,p und der Hamiltonfunktion
H(q,p,t) auf neue Variablen Q,P und eine neue Hamiltonfunktion K(Q,P,t) und verlangen, dass die
Hamiltonschen Bewegungsgleichungen
˙Qi = ∂K
, Pi ˙ = −
∂Pi
∂K
∂Qi
mitdenneuenVariablenundderneuenHamiltonfunktionebenfallsgelten.Diesesogenanntenkanonischen
Transformationen sind allgemeiner als die Punkttransformationen. Aus dem eben Gesagten ist klar, dass
jede Punkttransformation auch eine kanonische Transformation ist, aber längst nicht jede kanonische
Transformation lässt sich als Punkttransformation darstellen.
Da die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen aus dem Hamiltonschen Prinzip (11.3) folgen, ist eine
Transformationgenaudannkanonisch,wenndasHamiltonschePrinzipnachderTransformationweiterhin
erfüllt ist. Wir benutzen diese Bedingung, um ein Rezept zur Erzeugung kanonischer Transformationen
zu erhalten.
Die Bedingung (11.3) lautet in den neuen Koordinaten
t2
δ dt Pi ˙
Qi −K(Q,P,t) = 0,
t1
i
104

wobei die Variation an den Anfangs- und Endpunkten verschwindet, δQi(t1) = δQi(t2) = δPi(t1) =
δPi(t2) = 0. Der Vergleich mit (11.3) ergibt, dass sich (
ipi˙qi −H) und (
iPi ˙ Qi −K) nur um einen
Faktor und um die totale Zeitableitung einer Funktion F unterscheiden dürfen:
c(
pi˙qi−H) =
Pi ˙ Qi−K+ dF
= − ˙
d(F +i
PiQi−K+
dt PiQi)
≡ −
dt
PiQi−K+ ˙
dG
. (12.1)
dt
i
i
i
(Das ist analog zu den Überlegungen im Abschnitt 6.4.) Wir setzen c = 1, denn ein c = 1 lässt sich
durch eine Änderung der Skala für Q und K immer auf c = 1 abbilden. Die Funktion F bzw. G ist eine
beliebige stetig differenzierbareFunktion der alten und neuen Variablen (wobei von den 4 Variablensätzen
q,p,Q,P nur 2 unabhängig sind.) Wir wählen G als Funktion der alten Koordinaten und der neuen
Impulse, G = G(q,P,t) und erhalten
dG
dt
∂G
= ˙qi +
∂qi
∂G
Pi ˙
∂Pi
i
+ ∂G
∂t .
Wenn wir dies in (12.1) einsetzen und die linke und rechte Seite vergleichen, erhalten wir
pi = ∂G
, Qi =
∂qi
∂G
, K = H +
∂Pi
∂G
. (12.2)
∂t
Wir habe also ein Rezept dafür gefunden, eine kanonische Transformation durchzuführen: Man nehme
eine differenzierbare Funktion G(q,P,t) und stelle die Beziehungen (12.2) auf. Man überprüfe, dass die
Transformation umkehrbar ist, dass also jedem Phasenraumpunkt q,p ein Phasenraumpunkt Q,P im
neuen System zugeordnet ist und umgekehrt.Damit ist der Zusammenhangzwischen den alten und neuen
Variablen und die neue Funktion K bestimmt. Man nennt G die erzeugende Funktion der kanonischen
Transformation.
Es gibt insgesamt 4 verschiedene Möglichkeiten, über eine Erzeugende Funktion einen Zusammenhang
zwischen den alten und neuen Variablen herzustellen, da es 4 verschiedeneKombinationen eines alten und
eines neuen Variablensatzes gibt. Statt einer erzeugenden Funktion G(q,P,t) kann man also auch eine
Funktion F1(q,Q,t) oder eine Funktion F3(Q,p,t) oder eine Funktion F4(p,P,t) wählen und die zu (12.2)
analogenBeziehungenaufstellen. In Lehrbüchern,die alle4MöglichkeitenzurErzeugungvonkanonischen
Transformationen explizit behandeln, wird unsere Erzeugende Funktion F2(q,P,t) genannt. Da wir im
Folgenden aber nur die Variante mit F2 (also G) benötigen, diskutieren wir die anderen Varianten nicht.
Um ein konkretes Beispiel zu betrachten, wählen wir die erzeugende Funktion G =
iqiPi + H∆t
mit einem kleinen Zeitintervall ∆t. Die Beziehungen (12.2) sind dann
pi = ∂G
∂qi
Qi = ∂G
∂Pi
= Pi + ∂H(q,P,t)
∆t ≃ Pi − ˙pi∆t, ⇒ Pi = pi + ˙pi∆t ≃ pi(t+∆t);
∂qi
= qi + ∂H(q,P,t)
∂Pi
K = H + ∂H(q,P,t)
∂t
∆t ≃ qi + ∂H(q,p,t)
∆t ≃ qi(t+∆t);
∂pi
≃ H(q,p,t+∆t).
Die durch G erzeugte kanonische Transformation macht also eine Translation in der Zeit um ∆t. Wenn
∆t infinitesimal klein ist, können alle ≃-Beziehungen in dieser Rechnung durch = ersetzt werden, denn
die vernachlässigten Terme sind von der Ordnung (∆t) 2 , was gegenüber der Ordnung ∆t unendlich viel
kleiner ist, wenn ∆t infinitesimal klein ist.
Zum Schluss notieren wir noch einen wichtigen Satz (ohne Beweis):
Eine umkehrbare Transformation von q,p,H nach Q,P,K ist genau dann kanonisch, wenn die fundamentalen
Poissonklammern
[Qi,Pj] = δij , [Qi,Qj] = [Pi,Pj] = 0
gelten. Dies überprüft man durch Einsetzen von Qi(q,p) und Pi(q,p) und Ausnützen von (11.8).
105
i

12.2 Die Hamilton-Jacobi-Gleichung
Die Hamilton-Jacobi-Gleichung erhält man, wenn man nach einer kanonischen Transformation sucht, die
sowohl die neuen Koordinaten Qi, als auch die neuen Impulse Pi zu Konstanten der Bewegung macht,
alsoPi = αi und Qi = βi mit Konstantenαi und βi, deren Werte vonden Anfangsbedingungen abhängen,
aber sichmit der Zeit nicht ändern.Wenn man eine solcheTransformationgefunden hat, hat man nämlich
auch die Lösung der Bewegungsgleichungen für q und p gefunden, da diese ja als Funktionen von Q,P,t,
also von β,α,t geschrieben werden können. Man hat dann also die Trajektorien des Systems als Funktion
der Zeit und der Anfangsbedingungen berechnet.
FreilichistdasFindeneinersolchenTransformationgenausoschwerwiedasdirekteLösenderLagrange-
Gleichungen, so dass auch die Hamilton-Jacobi-Theorie meist keine echte Hilfe beim Lösen mechanischer
Probleme ist. Ihr Nutzen liegt vielmehr darin, dass sie neue Einsichten in die Struktur der klassischen
Mechanik gewährt, so dass wir bald hinreichende Bedingungen für die Lösbarkeit mechanischer Probleme
aufstellen können.
ja
Eine Transformation auf konstante Q und P ist z.B. erreicht, wenn K(Q,P,t) = 0 ist. Denn dann ist
˙Qi = ∂K
= 0
∂Pi
und
Pi ˙ = − ∂K
= 0,
∂Qi
d.h. weder die Q noch die P ändern sich mit der Zeit.
Aus K = 0 folgt mit der dritten Gleichung von (12.2)
K = H + ∂G
∂t
also (mit der ersten Gleichung von (12.2))
H q, ∂G(q,P,t)
,t
∂q
= 0, (12.3)
= − ∂G(q,P,t)
∂t
. (12.4)
Dies ist die Hamilton-Jacobi-Gleichung. Die Funktion G nennt man Prinzipalfunktion oder auch Hamiltonsche
Wirkungsfunktion. Sie ist identisch mit der Wirkung S = Ldt:
Aus der Bedingung (12.1) erhalten wir nämlich mit ˙ Pi = 0 und K = 0
und daraus durch Integration
i
pi˙qi −H = dG
dt
G = dt pi˙qi −H = dtL.
i
(12.5)
Wir schreiben deshalb ab jetzt S statt G, und statt P schreiben wir α, um deutlich zu machen, dass es
sich um Konstanten handelt. Die Hamilton-Jacobi-Gleichung hat dann die Form
H q, ∂S(q,α,t)
,t
∂q
= − ∂S(q,α,t)
∂t
. (12.6)
Die Hamilton-Jacobi-Gleichung ist eine partielle Differenzialgleichung zur Bestimmung der Wirkungsfunktion
S(q,α). Wir haben also das ursprüngliche Problem, die Lagrange-Gleichungen oder die Hamiltonschen
Bewegungsgleichungenzu lösen, ersetzt durch das Problem, die Erzeugende S einer kanonischen
106

Transformation zu finden. Aus 2n gewöhnlichen Differenzialgleichungen für die q und p der Hamiltonschen
Formulierung wurde nun eine partielle Differenzialgleichung für S. Hiermit haben wir eine weitere
Formulierung mechanischer Probleme gefunden. (Nach Newton, d’Alembert, Lagrange und Hamilton ist
das jetzt die fünfte Formulierung.) Es gibt einige mechanische Probleme, die sich recht schnell mit der
Hamilton-Jacobi-Gleichung lösen lassen, da die Hamilton-Jacobi-Gleichung in diesen Problemen sich bei
geeigneter Koordinatenwahl leicht in einen Satz unabhängiger Gleichungen für die einzelnen Koordinaten
separieren lässt. (Wir machen eine solche Separation in der Übungsaufgabe 3 am Ende dieses Kapitels.)
Bespiel: Harmonischer Oszillator
AlseinfachesBeispielbetrachtenwireinenharmonischenOszillator.DerPhasenraumistzweidimensional,
aber weil die Energie erhalten ist, ist jede Trajektorie in einem eindimensionalen Unterraum gefangen.
Die eindimensionalen Probleme lassen sich immer durch eine direkte Integration lösen. Also ist auch die
Hamilton-Jacobi-GleichungfüreindimensionaleSystememiteinernichtexplizitvonderZeitabhängenden
Hamiltonfunktion immer durch eine Integration lösbar.
Für den harmonischen Oszillator ist
Die Hamilton-Jacobi-Gleichung lautet somit
1 1
2 m
H = p2 m
+
2m 2 ω2q 2 .
2 ∂S
+mω
∂q
2 q 2
+ ∂S
∂t
Mit dem Ansatz S = W −Pt können wir die Zeit loswerden und erhalten
2 1 1 ∂W
+mω
2 m ∂q
2 q 2
= P . (12.7)
Auf der linken Seite steht die Hamiltonfunktion. Da sie nicht explizit zeitabhängig ist, ist sie eine Erhaltungsgröße
und identisch mit E, also ist der neue Impuls gegeben durch die Erhaltungsgröße P = E.
Auflösen nach W gibt
∂W(q,E)
= ±
∂q
2mE −m2ω 2q2 = p.
Integration ergibt
und
Q = ∂S ∂W
=
∂E ∂E
q
W(q,E) = mω
q
1
−t =
ω 0
0
dq ′
2E
mω 2 −q ′2
= 0.
2E
mω 2 −q′2 dq ′
−t = 1
ω arcsin
mω2 2E q
−t. (12.8)
(Den Anfangspunkt q0 des Integrals haben wir hier ohne Verlust von Allgemeinheit des in der nächsten
Zeile angegebenen Ergebnisses auf 0 gesetzt.) Damit ist
q(t) =
2E 2E
sin(ω(t+Q)) ≡ sin(ωt+ϕ0).
mω2 mω2 Wir haben also q ausgedrückt durch den neuen “Impuls” P = E und durch die neue Koordinate Q =
ϕ0/ω, die die Anfangsphase festlegt, und durch die Zeit t. Damit haben wir die Bewegungsgleichung
gelöst.
107

12.3 Die zeitunabhängige Hamilton-Jacobi-Gleichung
Die kanonische Transformation auf K = 0, die wir im vorigen Unterkapitel durchgeführt haben, führt in
einen trivialen Phasenraum: Es ist ˙ Qi = ˙ Pi = 0 für alle i, d.h. alle Trajektorien sind Fixpunkte. Der neue
Phasenraum weiß also nichts mehr von der Struktur des ursprünglichen Phasenraums, und wir können
aus ihm keine weiteren Erkenntnisse gewinnen. Um weitere Fortschritte bei der Suche nach Kriterien für
die Lösbarkeit mechanischer Probleme zu machen, führen wir im Folgenden eine modifizierte kanonische
Transformation durch, die mehr Einsichten gewährt. Wir beschränken uns auf Systeme mit einer nicht
explizit zeitabhängigen Hamiltonfunktion.
Wenn die Hamiltonfunktion nicht explizit von der Zeit abhängt, kann man die Zeit durch den Ansatz
S(q,α,t) = W(q,α)−Et aus der Hamilton-Jacobi-Gleichung (12.6) eliminieren, so wie wir es im Beispiel
des harmonischen Oszillators gemacht haben. Man nennt W die Charakteristische Funktion.
Die Hamilton-Jacobi-Gleichung lautet mit dieser Ersetzung
H q, ∂W
= E. (12.9)
∂q
WirwählenjetztW stattS alsErzeugendederkanonischenTransformation.AusderdrittenGleichung
von (12.2) folgt dann
K(Q,α) = H(q(Q,α),p(Q,α)).
Weil die α ja konstant sein sollen, darf K nicht von den Q abhängen (sonst wäre mindestens ein ˙αi =
∂K/∂Qi = 0), also lässt sich auch H allein als Funktion der α schreiben. Wenn die Energie als eine dieser
Größen gewählt wurde, ist natürlich einfach H = E.
Aus der ersten Gleichung von (12.2) erhalten wir jetzt keine konstanten Q mehr, sondern
woraus
˙Qi = ∂K/∂Pi ≡ ∂K/∂αi ≡ ωi = konst,
Qi(t) = ωit+Qi(0) (12.10)
folgt.
Wir haben also diesmal nicht eine Transformation auf lauter Konstanten gemacht, sondern auf eine
freieBewegung,mitkonstantenImpulsenundlinearinderZeitanwachsendenKoordinaten.DiePi können
irgendwelcheKonstantender Bewegungsein, z.B. Anfangswerteder Impulse oderauch Erhaltungsgrößen.
Da wir schon die Energie als Konstante verwendet haben, setzen wir schonmal P1 ≡ α1 = E. Die Pi legen
zusammen mit den Qi(0) den Anfangspunkt einer Trajektoriefest. Um die kanonische Transformationauf
diese freie Bewegungexplizit zu finden, muss man freilich auchhier wieder die Hamilton-Jacobi-Gleichung
lösen oder auf einem anderen Weg die Lösung der Bewegungsgleichungen finden. Allerdings werden uns
einige Überlegungen zur Beschaffenheit des Phasenraums und zur Auswirkung von Erhaltungsgrößen
ermöglichen, allgemeine Bedingungen zu finden, unter denen eine kanonische Transformation auf eine
freie Bewegung möglich ist. Doch vorher betrachten wir wieder das Beispiel des harmonischen Oszillators.
Nochmal der harmonische Oszillator
Wenn wir den harmonischen Oszillator mit der Erzeugenden W kanonisch transformieren, erhalten wir
statt (12.8)
Q = ∂W
∂E
dq ′
= 1
ω arcsin
mω2 2E q
.
q
1
=
ω 0
2E
mω 2 −q ′2
Also ist der Zusammenhang zwischen den alten und neuen Koordinaten jetzt
2E
q(t) = sin(ωQ(t)).
mω2 108

Den Zeitverlauf Q(t) erhalten wir aus
˙Q = ∂K(E)
= 1.
∂E
Also ist Q = t+Q0 und
2E
q(t) = sin(ωt+ϕ0)
mω2 (mit ϕ0 = ωQ0), wie es sein muss. Die KoordinateQmacht eine freie Bewegungmit konstantem“Impuls”
P (der mit E identisch ist).
Es mag zunächst verwundern, wie eine geradlinig gleichförmige freie Bewegung in den neuen Koordinaten
Q mit einer periodischen Schwingung in den alten Kooridnaten q verträglich ist. Die periodische
Schwingung des harmonischen Oszillators ist nämlich auf einen begrenzten Bereich von q-Werten beschränkt,
während bei einer freien Bewegung die Koordinate Q alle Werte von minus Unendlich bis
plus Unendlich durchlaufen kann. (Wir können Trajektorien nicht nur vorwärts in der Zeit, sondern auch
rückwärts in der Zeit laufen lassen.) Die Auflösung des Rätsels liegt natürlich darin, dass Werte Q+2π/ω
nicht von Werten Q unterschieden werden können, da sie genau demselben Zustand des Systems entsprechen
(wegen der Sinusfunktion in der Abbildung von Q auf q). Um dieser Tatsache Rechnung zu tragen,
geben wir der Q-Achse sogenannte periodische Randbedingungen: Statt die Achse von minus bis plus
Unendlich laufen zu lassen, nehmen wir den Abschnitt von 0 bis 2π/ω und schließen diesen Abschnitt
ringförmig: Wenn wir “oben” beim Wert 2π/ω hinauslaufen, laufen wir “unten” bei 0 wieder rein (und
umgekehrt).
Die Notation wäre einfacher, wenn wir als Periode der Q-Koordinate nicht 2π/ω, sondern einfach 2π
hätten. Dies können wir dadurch erzielen, dass wir statt der Wahl P = E die Wahl
treffen. Dann bekommen wir
P = E/ω
˙Q = ω, ⇒ Q = Q0 +ωt.
Dasselbe können wir auch in höheren Dimensionen machen. Ein n-dimensionaler harmonischer Oszillator
hat die Hamiltonfunktion
H = 1
n 2
pi +m
2m
2 ω 2 iq2
i .
i=1
Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen der n Dimensionen sind unabhängig voneinander und können
jede für sich gelöst werden. In jedem Freiheitsgrad steckt ein Beitrag Ei zur Gesamtenergie, und es ist
E =
iEi. Wir wählen Pi = Ei/ωi und erhalten dann
2Pi
Qi = ωit+Qi0, und qi(t) =
mω sinQi(t).
Für alle Qi wählen wir periodische Randbedingungen. Wir beschränken also jedes Qi auf den Bereich
[0,2π] und betrachten den Wert 2π als identisch mit 0. Wenn also eine der Koordinaten mit positiver
Geschwindigkeit beim Wert 2π ankommt, wird sie auf 0 gesetzt. Wenn sie mit negativer Geschwindigkeit
bei 0 ankommt, wird sie auf 2π gesetzt. Wenn wir all diese einander entsprechenden Punkte, die auf den
RandflächendesWürfels[0,2π] n liegen,miteinanderverbinden,erhaltenwireinenn-dimensionalenTorus.
Einen zweidimensionalen Torus kann man sich gut vorstellen (als Autoreifenschlauch oder als Donut oder
Bagel), da man ihn in den dreidimensionalen Raum einbetten kann, bei höheren Dimensionen wird es
mit der Anschauung schwieriger...
InmehralseinerDimensionistdieBewegungeinesharmonischenOszillatorsi.A.nichtperiodisch,sondern
quasiperiodisch. Nur wenn die Frequenzen ωi in rationalen Verhältnissen zueinander stehen, können
sich die Trajektorien auf dem Torus exakt schließen. Wenn alle Frequenzen in irrationalen Verhältnissen
zueinander stehen, überdeckt eine Trajektorie im Laufe der Zeit den gesamten Torus immer dichter, d.h.
sie kommt jedem Punkt auf dem Torus im Laufe der Zeit beliebig nahe.
109

12.4 Einige allgemeine Überlegungen
Wir haben mit dem n-dimensionalen harmonischen Oszillator ein Beispiel dafür gesehen, wie die kanonische
Transformation mit der charakteristischen Funktion W(q,α) für die neuen Koordinaten Q auf
eine Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit führt. Weil die Bewegung beschränkt ist (also nicht nach
Unendlich abhauen kann), findet sie auf einem Torus statt.
Nun fragen wir, ob es eine derartige Transformation für jedes nicht explizit zeitabhängige, durch die
Hamiltonschen Bewegungsgleichungen beschriebene System geben kann. Wie wir gesehen haben, ist eine
solche Transformation äquivalent zum Lösen der Bewegungsgleichungen. Sowohl bzgl. der Funktion W,
als auch bzgl. der Lösungen q(t),p(t) der Bewegungsgleichungen hat man üblicherweise die Vorstellung,
dass sie stetig differenzierbar sein muss und sich in irgendeiner Form hinschreiben lässt (zumindest als
Integral oder in sonst einer Form, die die Funktion eindeutig festlegt). Diese Vorstellung beinhaltet auch,
dass eine kleine Änderung der Parameter (also der αi oder der Anfangsbedingungen) auf eine kleine
Änderung der Lösung führen. Außerdem bedeutet die Existenz der Erzeugenden Funktion W auch, dass
man eine Formulierung der Lösung gefunden hat, die die gesamte zukünftige (und ebenso die vergangene)
Zeitentwicklung beinhaltet.
Es gibt nur eine Möglichkeit, wie eine beschränkte Bewegung, die für alle Zeiten eine geradlinig
gleichförmigeBewegungin allennKoordinatenQi ist,aussehenkann: siemussaufeinem n-dimensionalen
Torus verlaufen. Das Lösen der Hamilton-Jacobi-Gleichung für nicht explizit zeitabhängige Systeme ist
also äquivalent zum Durchführen einer kanonischen Transformation auf eine gleichförmige Bewegung auf
einem n-dimensionalen Torus, der durch Konstanten α1,...,αn charakterisiert ist. (Wir schließen jetzt
mal den ganz spezielle Bedingungen erfordernden Fall aus, dass eine einzige Trajektorie quasiperiodisch
einen mehr als n-dimensionalen Torus im Phasenraum abdeckt.) Um herauszufinden, unter welchen Bedingungen
eine solche Transformation allgemein möglich ist, gehen wir jetzt nicht mathematisch exakt
vor, sondern versuchen, eine möglichst gute Anschauung über die Eigenschaften des Phasenraums zu
gewinnen, die für eine solche Transformation nötig sind.
12.4.1 Unterteilung des Phasenraums mit Hilfe von Erhaltungsgrößen
Zunächst überlegen wir, wie sich verschiedene Trajektorien auf den Phasenraum verteilen können. Wir
betrachtenwiederSystemeohneexplizite Zeitabhängigkeit.Die Energieistalsoeine Erhaltungsgröße.Der
Phasenraum lässt sich damit in Energieschalen unterteilen. Eine Energieschale zur Energie E beinhaltet
alle Punkte des Phasenraums, die zu einer Energie in einem infinitesimal kleinen Intervall [E,E + dE]
gehören. Wenn wir einen bestimmten Punkt (q,p) des Phasenraums als Anfangspunkt einer Trajektorie
wählen, dann bleibt die gesamte Trajektorie innerhalb derjenigen Energieschale, in der der Anfangspunkt
liegt. Die Energieschale ist (2n−1)-dimensional. Es gibt Systeme, in denen eine Trajektorie die gesamte
Energieschale abdeckt, also im Laufe der Zeit jedem Punkt der Energieschale beliebig nahe kommt.
Man nennt solche Systeme ergodisch. Sie spielen eine wichtige Rolle in der statistischen Mechanik. Die
Bewegung in einem ergodischen System kann man nicht durch eine kanonische Transformation auf einen
n-dimensionalen Torus bringen, da eine einzelne Trajektorie ja schon einen 2n − 1-dimensionalen Unterraum
des Phasenraums dicht bedeckt, also einen Raum höherer Dimension ausfüllt. Die Assoziation
von Konstanten α2,...,αn mit dieser Trajektorie bringt keine besonderen Einsichten. Man kann sie zwar
als Anfangsimpulse zur Zeit t = 0 wählen, doch da zu späteren Zeiten auch alle anderen Impulswerte
der Energieschale auftreten, unterscheidet sich diese Trajektorie abgesehen vom Startpunkt nicht von
anderenTrajektorienindieserImpulsschale.EinsolchesSystemistalsonichtintegrabel,d.h.dieHamilton-
Jacobi-Gleichung kann nicht gelöst werden. (Wir schließen wieder den ganz speziellen Fall aus, dass die
Trajektorie sich so ordentlich durch den Phasenraum bewegt, dass sie auf einen 2n − 1-dimensionalen
Torus transformiert werden kann.)
Wenn es neben der Energie weitere Erhaltungsgrößen gibt, können wir die Energieschalen unterteilen
in Schalen niedrigerer Dimension, die jeweils zu bestimmten Werten der Erhaltungsgrößen gehören. Trajektorien
bleiben dann jeweils in derjenigen Unterschale gefangen, in der sie gestartet sind. Wenn es n
unabhängigeErhaltungsgrößengibt,sind die Trajektorienineinem n-dimensionalenUnterraumgefangen.
110

Systeme mit n unabhängigen Erhaltungsgrößen sind also potenzielle Kandidaten für integrable Systeme,
in denen die Hamilton-Jacobi-Gleichunglösbar ist. Noch mehr unabhängige Erhaltungsgrößenzu fordern,
macht keinen Sinn, denn n = 3N − k ist die Zahl der räumlichen Koordinaten des Systems, und diese
hatten wir schon so gewählt, dass alle Zwangbedingungen berücksichtigt sind. Wenn eine Trajektorie in
einem Unterraum des Phasenraums gefangen ist, der eine Dimension kleiner als n hat, bedeutet dies, dass
sie nicht alle räumlichen Dimensionen sehen kann. Also hat man von Anfang an mehr räumliche Koordinaten
als nötig gewählt. Diesen Fall wollen wir daher ausschließen. Dann gibt es maximal n unabhängige
Erhaltungsgrößen.
Wir werden später an einem Beispiel sehen, dass auch, wenn es außer der Energie keine weiteren Erhaltungsgrößengibt,
Trajektorienin n-dimensionalenUnterräumengefangensein können, doch typischerweise
gibt es neben diesen Trajekorien auch solche, die einen 2n−1-dimensionalen Teil des Phasenraums
überdecken.
12.4.2 Von der Gefährlichkeit hyperbolischer Fixpunkte und instabiler periodischer
Bahnen
Nachdem wir geklärt haben, unter welchen Bedingungen Trajektorien in n-dimensionalen Unterräumen
des Phasenraums gefangen sind, fragen wir als nächstes, wie das durch die Hamiltonschen Gleichungen
(11.10) gegebene Vektorfeld beschaffen sein muss, damit eine kanonische Transformation eines zusammenhängenden,
endlichen Teils des Phasenraums von der ursprünglichen Form (11.10) auf eine freie
Bewegung, also auf ein Vektorfeld der Form
˙x = konst
möglich ist. Hierzu betrachten wir nochmal das Phasenraumportrait des Pendels:
Wir sehen, dass es zwei Sorten von Trajektorien gibt: diejenigen, bei denen das Pendel in einem
begrenzten Winkelbereich hin- und herschwingt, und diejenigen, bei denen das Pendel überschlägt und
sich immer in derselben Richtung dreht. Diese beiden Sorten von Trajektorien unterscheiden sich durch
ihre Energiewerte. Im Energieintervall [−mgl,mgl[ schwingt das Pendel hin und her, im Energiebereich
E > mgl überschlägt es sich. Diese beiden Bereiche sind durch die Trajektorien zu E = mgl voneinander
getrennt. Diese Trajektorien sind sogenannte heterokline Trajektorien, die zwei hyperbolische Fixpunkte
miteinander verbinden, indem sie aus dem einen Fixpunkt in seiner instabilen Eigenrichtung herauslaufen
und in den anderen Fixpunkt aus der stabilen Eigenrichtung einmünden. Es ist anschaulich klar, dass
man für jeden dieser beiden Energiebereiche eine Transformation auf eine gleichförmige Bewegung auf
einem eindimensionalen “Torus” (also einem Kreis) machen kann.
In dem ersten Energiebereich, in dem das Pendel hin- und herschwingt, haben wir eine ähnliche
Situation wie beim harmonischen Oszillator, für den wir diese Transformation explizit gemacht haben.
Die neue Koordinate Q = ωt läuft gleichförmig von 0 nach 2π, während das Pendel von der Ruhelage
zunächst nach rechts zum maximalen Ausschlag, dann nach links zum maximalen Ausschlag auf der
anderen Seite, und zurück zum Nulldurchgang schwingt.
111

Im anderen Energiebereich, in dem das Pendel überschlägt, ist die neue Koordinate Q einfach eine in
der Zeit geeignet gestreckte und gestauchte Funktion ϕ(t), so dass Q gleichförmig in der Zeit anwächst
(oder abfällt).
Die spezielle Trajektorie, die diese beiden Energiebereiche trennt, lässt sich nicht auf diese Weise
transformieren. Der Grund hierfür ist der hyperbolische Fixpunkt, dem sich die Trajektorie im Limes
t → ∞ immer mehr annähert, und an dem die Länge des Pfeils, der die Geschwindigkeit der Trajektorien
im Phasenraum angibt, Null ist. Bei einer Bewegung auf einem Torus ist die Geschwindigkeit überall von
Null verschieden und die Richtung der Bewegung an jedem Punkt eindeutig.
Wir folgern also: die Transformation eines durch einen endlichen Energiebereich gegebenen Teils des
Phasenraums auf eine gleichförmige Bewegung ist unmöglich, wenn dieser Teil des Phasenraums hyperbolische
Fixpunkte enthält. Elliptische Fixpunkte sind harmloser, da sie als ein auf die Größe Null
geschrumpfter Torus angesehen werden können. Hyperbolische Fixpunkte haben noch eine weitere wichtige
Eigenschaft: Wenn man in ihrer unmittelbaren Umgebung ist und in der instabilen Eigenrichtung
rausläuft, entfernt sich die Trajektorie für kleine Zeiten gemäß einer Exponentialfunktion von dem Fixpunkt.
BeimPendel(undbeiallenanderenzeitunabhängigeneindimensionalenSystemen)istdieExistenzvon
hyperbolischen Fixpunkten harmlos, da sie nur einen einzigen Energiewert betreffen (bzw. für allgemeine
eindimensionale Systeme eine endliche Anzahl von Energiewerten in jedem endlichen Energieintervall).
Für die Energiebereiche unterhalb und oberhalb der Energie des hyperbolischen Fixpunkts (oder, wenn
es mehrere solcher Fixpunkte gibt, für die Energiebereiche zwischen den Fixpunkten) ist eine kanonische
Transformation auf Tori möglich. Das System ist also integrabel, benötigt aber für verschiedene Bereiche
des Phasenraums verschiedene Transformationen.
In höherdimensionalen Systemen ist die Situation komplexer. Auch hier kann keine kanonische Transformation
auf eine freie Bewegung durchgeführt werden, wenn der betrachtete Bereich des Phasenraums
hyperbolische Fixpunkte (also Fixpunkte mit stabilen und instabilen Eigenrichtungen) enthält. Doch es
gibt noch weitere gefährliche Objekte in höherdimensionalen Systemen, nämlich instabile periodische
Trajektorien. Ebenso wie Fixpunkte bilden die Punkte einer periodischen Bahn eine invariante Menge
im Phasenraum. Wenn wir uns nun noch bewusst machen, dass solche invarianten Mengen nach einer
kanonischen Transformation mit der Erzeugenden W(q,α) wieder eine invariante Menge sein müssen,
aber dass ein Torus keine instabilen periodischen Bahnen enthält, folgt, dass Phasenraumbereiche, die
instabile periodische Bahnen enthalten, nicht auf eine freie Bewegung transformiert werden können.
All diese Überlegungen führen uns also zu der Schlussfolgerung, dass die Hamilton-Jacobi-Gleichung
lösbar ist, also dass die Dynamik sich auf eine freie Bewegung transformieren lässt, wenn es n Erhaltungsgrößen
gibt und wenn es innerhalb der Phasenraumbereiche, die gemeinsam transformiert werden sollen,
keine instabilen periodischen Bahnen oder Fixpunkte gibt. Damit sind wir vorbereitet für den Satz von
Liouville über integrable Systeme und für den Nachweis, dass nicht integrable Systeme typischerweise
chaotisch sind.
Aufgaben
1. Führen Sie eine kanonische Transformation mit der Erzeugenden G =
i qiPi durch. Wie interpretieren
Sie dieses Ergebnis?
2. Zeigen Sie, dass die Transformation Qi = pi, Pi = −qi, K(Q,P,t) = H(−P,Q,t) kanonisch
ist. Wie interpretieren Sie dieses Ergebnis?
3. (a) Stellen Sie die Hamilton-Jacobi-Gleichung für das Zentralkraftproblem
auf.
H = 1
p
2m
2 r
112
pϕ
+
r2
+V(r)

(b) Separieren Sie zunächst die Zeit ab, so dass Sie eine partielle Differenzialgleichung für W
bekommen. Setzen Sie α1 = E und machen Sie den Ansatz W(r,ϕ,E,α2) = W1(r,E,α2) +
W2(ϕ,E,α2). Warum funktioniert dieser Ansatz?
(c) Formen Sie diese Gleichung so um, dass auf der einen Seite keine ϕ-Abhängigkeit und auf der
anderen Seite keine r-Abhängigkeit ist.
(d) Da die rechte und linke Seite von verschiedenen Variablen abhängen, müssen sie gleich einer
Konstanten sein. Identifizieren Sie diese mit α2 und schreiben Sie die resultierenden Ausdrücke
für W1 und W2 auf. Diese Ausdrücke dürfen noch einfache Integrale enthalten.
(e) Finden Sie einen Zusammenhang zwischen pϕ und α2.
(f) Schreiben Sie das somit erhaltene Ergebnis für S auf und berechnen Sie daraus Ausdrücke für
die neuen Koordinaten β1 und β2.
113

Kapitel 13
Integrable und nicht integrable
Systeme
In diesem Kapitel behandeln wir den Satz von Liouville, der eine hinreichende Bedingung für die Integrabilität
eines Systems liefert. Außerdem zeigen wir, dass ein integrablesSystem sofortnichtintegrabel wird,
wenn man zu seiner Hamiltonfunktion einen kleinen Term addiert, der nicht dieselben Erhaltungsgrößen
hat.
13.1 Der Satz von Liouville über integrable Systeme
Der Satz von Liouville besagt, dass ein räumlich beschränktes Hamiltonsches System mit n Freiheitsgraden
integrabel ist, wenn es n Funktionen Ii(q,p) gibt, die von den Koordinaten und Impulsen, aber nicht
von der Zeit abhängen und folgende drei Eigenschaften haben:
1. Die Funktionen Ii(q,p) sind Erhaltungsgrößen.
2. Alle ihre Poissonklammern verschwinden, d.h.
für alle Paare i,j. Man sagt auch, die Ii sind in Involution.
3. Ihre totalen Differenziale
dIi =
[Ii,Ij] = 0 (13.1)
n
∂Ii
dqk +
∂qk
∂Ii
dpk
∂pk
k=1
sind linear unabhängig, d.h. der Rang der n×2n Koeffizientenmatrix (∂Ii/∂qk,∂Ii/∂pk) ist n.
Die erste und dritte Eigenschaft sind notwendig, damit der Phasenraum in n-dimensionale Mannigfaltigkeiten
zerlegtwerden kann, die jeweils zu konstanten Werten der Erhaltungsgrößengehören. Die zweite
Eigenschaft ist nötig, damit innerhalb dieser Mannigfaltigkeiten die Erzeugende W(p,I) der kanonischen
Transformation auf eine freie Bewegung konstruiert werden kann. Dann folgt, dass diese Mannigfaltigkeiten
Tori sind. Wir zeigen dies, indem wir die Funktion W konstruieren.Sie ist nämlich wegen W = S+Et
und
S = (
pi˙qi −E)dt = (
pidqi −Edt) = pidqi −Et
gegeben durch
i
W(q,I) =
i
q
q0
i
114
i
pi(q ′ ,I)dq ′ i . (13.2)

Der Integrationsweg ist innerhalb der n-dimensionalen Mannigfaltigkeit zu den angegebenen Werten I
zu nehmen. Die Funktion W(q,I) ist wohldefiniert, wenn sie unabhängig vom Integrationsweg ist. Wir
müssen also zeigen, dass der Wert des Integrals sich nicht ändert, wenn wir den Weg bei festem Anfangsund
Endpunkt kontinuierlich deformieren. Dies folgt daraus, dass alle Poissonklammern zwischen den Ii
verschwinden, wie wir im Folgenden skizzieren:
Wir können ein infinitesimales Wegelement dq innerhalb der n-dimensionalen Mannigfaltigkeit dadurch
erzeugen, dass wir die Hamiltonschen Gleichungen über eine infinitesimale Zeit dt anwenden. Dies
gibt
dq (1) = (∂H/∂p)dt
und eine damit verbundene Änderung des Impulses
dp (1) = −(∂H/∂q)dt.
Wir können außerdem n−1 davon linear unabhängige infinitesimale Wegelemente dadurch erzeugen, dass
wir die n−1 anderen Erhaltungsgrößen jeweils wie eine Hamiltonfunktion behandeln, also
dq (j) = (∂Ij/∂p)dτj
und
dp (j) = −(∂Ij/∂q)dτj
setzen, für j = 2,...,n (den Index j = 1 haben wir ja schon für die Hamiltonfunktion, also die Erhaltungsgröße
Energie vergeben). Weil die Poissonklammern der Erhaltungsgrößen verschwinden, ändern
sich die Werte der Erhaltungsgrößen nicht, wir bleiben also innerhalb derselben Mannigfaltigkeit, wenn
wir ein solches Wegelement konstruieren. (Dies zeigt man ganz genau so wie die Rechnung (11.6).) Also
können wir die Wegelemente des Integrationswegs in (13.2) als Linearkombination der q (j) ausdrücken.
Wir können einen gegebenen Integrationsweg beliebig genau dadurch nähern, dass wir in einer richtig
gewählten Reihenfolge die Ij jeweils infinitesimale Wegelemente erzeugen lassen. Das Integral in (13.2)
ist unter stetigen Deformationen des Integrationswegs genau dann invariant, wenn die Reihenfolge der
infinitesimalen Schritte vertauscht werden darf. Dies zeigen wir für zwei aufeinanderfolgende Schritte
dq (j) und dq (k) : Wenn wir von einem Ausgangspunkt (q0,p0) zuerst Ij über eine infinitesimale “Zeit” dτj
anwenden, und dann Ik über eine infinitesimale “Zeit” dτk, erhalten wir einen Beitrag
dW = p(q0, I)·dq (j) +(p(q0, I)+dp (j) )dq (k) = p(q0, I)·dq (j) +p(q0, I)dq (k) +dp (j) dq (k)
zum Integral. Wenn wir die umgekehrte Reihenfolge wählen, lautet der letzte Term dp (k) )dq (j) . Nun ist
aber
dp (j) dq (k) = − ∂Ij
∂q
∂Ik
∂p dτjdτk = − ∂Ik ∂Ij
∂q ∂p dτjdτk = dp (k) dq (j) .
Im vorletzten Schritt haben wir verwendet, dass die Poissonklammer [Ij,Ik] verschwindet. Wir haben
also gezeigt, dass dW unabhängig von der Reihenfolge der beiden Schritte ist. (Diese ganze Rechnung ist
nichts anderes als der Satz von Stokes in n Dimensionen.)
13.2 Wirkungs- und Winkelvariablen
Beim Nachweis der Eindeutigkeit der Funktion W haben wir eine Sache ignoriert: Es gibt nämlich Integrale
i
pi(q ′ ,I)dq ′ i
auf dem Torus, die nicht verschwinden. Dies sind die Integrale über Wege um den Torus herum, die sich
nichtstetigaufeinenPunktzusammenziehenlassen.Esgibtnverschiedenenichtineinanderdeformierbare
Wege Cj. Also gibt es auch n verschiedene Integrale
Jj ≡ 1
2π
Cj
pi(q,I)dqi, (13.3)
i
115

die den Torus charakterisieren. Man nennt sie Wirkungsvariablen.
Diesbedeutet, dassW dochnichteindeutigdefiniertist, damanzwischenzweiPunktenaufdem Torus
Integrationswege nehmen kann, die sich in ihrer Windungszahl um den Torus in jeder der n Dimensionen
unterscheiden können. Doch dies spiegelt nur die Tatsache wider, dass auch die Qj nur bis auf Vielfache
von 2π∂K/∂Ij eindeutig sind.
Da die Wirkungsvariablen einen Torus eindeutig charakterisieren, müssen sie sich als Funktionen der
ErhaltungsgrößenIi schreibenlassen.Diesbedeutet,dasssieselbstErhaltungsgrößensind.Wirhättenvon
Anfang an als neue verallgemeinerte Impulse P in der Erzeugenden W der kanonischen Transformation
statt der I die Variablen J wählen können. Die entsprechenden verallgemeinerten neuen Koordinaten Qi
nennen wir Winkelvariablen θi, und diese genügen den Beziehungen
und der Bewegungsgleichung
θi = ∂W(q,J)
∂Ji
(13.4)
˙θi = ∂K(J)
≡ ωi = konst.
∂Ji
(13.5)
Wir können die den Torus charakterisierenden Integrale (13.3) auch in den neuen Koordinaten berechnen.
Wir erhalten dann
Jj ≡ 1
2π
Jidθi.
Cj
WennwirdiegeschlosseneKurveCj alsWegvon(θ1,...,θj,...θn) = (0,...,0,...,0)nach(θ1,...,θj,...θn) =
(0,...,2π,...,0)nehmen,erhaltenwirdieIdentitätJj = Jj,wieesseinmuss.DieWirkungsvariablensind
also eindeutig und verändern sich nicht unter einer kanonischen Transformation. Der Vorfaktor 1/(2π)
vor dem Integral (13.3) führt dazu, dass die θi bei einer Umrundung des Torus genau um 2π anwachsen,
also als echte Winkel verstanden werden können.
13.3 Eine kleine Änderung von H kann ein System nichtintegrabel
machen
Nun beginnen wir mit einem integrablen System in der Formulierung mit Wirkungs- und Winkelvariablen
und mit einer (zeitunabhängigen) Hamilton-Funktion H0, aber addieren eine kleine “Störung” ǫH1, die
z.B. die bisher vernachlässigten Effete der Umgebung des betrachteten Systems auf die Dynamik dieses
Systems beinhaltet:
H(θ,J) = H0(J)+ǫH1(θ,J).
In der Darstellung durch Wirkungs- und Winkelvariable hängt H0 nur von den J ab, weil die Hamiltonfunktion
H ja identisch mit K(J) ist. Wenn H1 explizit von den θ abhängt, hat das durch H beschriebene
System keine n Erhaltungsgrößenmehr. Wir zeigen im Folgenden, dass das System dann auch nicht mehr
integrabel ist. solche Überlegungen wurden übrigens schon um das Jahr 1890 durch Henri Poincaré angestellt.
Wir versuchen, eine kanonische Transformation auf neue Variablen J ′ ,θ ′ zu finden, so dass die
Hamilton-Funktion nur von J ′ abhängt. Wenn es uns gelingt, ist das neue System integrabel, aber wenn
wir zeigen können, dass es keine solche Transformation gibt, ist das System nicht integrabel.
Die zeitunabhängige Hamilton-Jacobi-Gleichung für die gesuchte Transformation lautet
∂W
H
∂θ ,θ
= H(J ′ ).
Wir entwickeln W in Potenzen von ǫ und behalten in der folgenden Rechnung nur die Terme bis zur
linearen Ordnung in ǫ:
W = W(θ,J ′ ) = θJ ′ +ǫW1(θ,J ′ )+... .
116
i

(Bemerkung: Das Produkt θJ ′ ist zu lesen als θ · J ′ bzw.
iθiJ ′ i
. Der Einfachheit halber lassen wir
in dieser Rechnung die Vektorpfeile bzw. Summierungen und Laufindizes weg.) Der erste Term in der
vorigen Gleichung ist derjenige, den man für H1 = 0 hätte, und er macht eine kanonische Transformation,
bei der die alten und neuen Variablen identisch sind.
Wenn man den Ausdruck für W in die zeitunabhängige Hamilton-Jacobi-Gleichung einsetzt, erhält
man
H(J ′
) ≃ H0 J ′ +ǫ ∂W1
+ǫH1 θ,
∂θ
∂W1
≃ H0(J
∂θ
′ )+ǫ ∂H0
∂J ′
∂W1
∂θ +ǫH1(θ,J ′ ).
Die von θ abhängigen Terme verschwinden in der Ordnung ǫ, wenn
∂H0
∂J ′
∂W1
∂θ
≡ ω∂W1
∂θ = −H1(θ,J ′ )
ist. Um dies zu lösen, entwickeln wir W1 und H1 in einer Fourierreihe in θ (denn θ hat ja die Periode 2π):
W1(θ,J ′ ) =
W1,n(J ′ )e in·θ
n=0
H1(θ,J ′ ) =
n=0
H1,n(J ′ )e in·θ
(13.6)
wobei n = (n1,n2,...) ist (mit ganzzahligen ni). Der Summand n = 0 tritt nicht auf, da er in H1
nur einen konstanten und damit überflüssigen Beitrag zur Energie macht, und da er in W1 wegen der
Ableitung nach θ sowieso keine Auswirkung hat. Damit erhalten wir das Ergebnis
W(J ′ ,θ) = θ·J ′ +iǫ
Man sieht, dass der Beitrag proportional zu ǫ nicht immer klein ist, da er für
n=0
ω ·n = 0
divergiert. Für ein System mit zwei Freiheitsgraden bedeutet dies
ω1n1 +ω2n2 = 0
H1,n(J ′ )
n·ω(J ′ ) ein·θ . (13.7)
bzw.
ω1
= −
ω2
n2
.
n1
Für rationale Frequenzverhältnisse gibt es also Resonanzen, die die Störungstheorie kaputt machen, so
dass das System in diesem Fall nicht mit Hilfe der Störungstheorie integriert werden kann.
DieamAnfangdieserRechnunggemachteAnnahme,dasseinekleineÄnderungvonH zueinerkleinen
Änderung der Trajektorien führt, erweist sich also als falsch. Früher hoffte man, dass die gefundenen
Resonanzen durch Terme, die in höherer Ordnung in ǫ kommen (wir haben ja nur bis zur ersten Ordnung
gerechnet), möglicherweise kompensiert werden, oder dass man einen anderen Ansatz finden kann, um
das durch H0+ǫH1 gegebene mechanische Problem zu lösen. Doch heute wissen wir, dass dies i.A. nicht
möglich ist. Das KAM-Theorem und das Poicaré-Birkhoff-Theorem(aus Kapitel 14) werden das deutlich
machen.
13.4 Das KAM-Theorem
Wir haben im vorigen Abschnitt gesehen, dass rationale Tori durch H1 zerstört werden, weil Resonanzen
auftreten. Nun fragen wir, was mit irrationalen Tori passiert. Werden sie nur deformiert, oder werden sie
auch zerstört? Das kommt darauf an, wie “nah” das irrationale Frequenzverhältnis an rationalen Zahlen
117

ist, wie das KAM-Theorem zeigt, das wir im Folgenden in seiner einfachsten Version behandeln. KAM
steht hierbei für die drei Namen Kolmogorov (1954), Arnold (1963) und Moser (1967). Diese Personen
stellten Bedingungen dafür auf, dass die störungstheoretische Rechnung konvergierende Summen ergibt.
Das betrifft sowohl die Summation der Fourierkomponenten, als auch die Summation der Terme jeder
Ordnung in ǫ. Bei der Begründung des Theorems befassen wir uns hier nur mit der ersten Sorte von
Summe. Wir geben das KAM-Theorem hier für 2 Freiheitsgrade an. Die allgemeine Formulierung kann
in der Originalliteratur gefunden werden.
Das KAM-Theorem besagt, dass wenn die Jacobi-Determinante der Frequenzen nicht Null ist, also
wenn (det∂ωi/∂Jj) = 0 ist, diejenigen Tori, deren Frequenzverhältnis für alle rationalen Zahlen m/s die
Ungleichung
ω1
ω2
− m
s
> k(ǫ)
s 2.5
(13.8)
erfüllt, stabil sind unter der Störung ǫH1, solange ǫ genügend klein ist. k(ǫ) ist hierbei eine stetige
Funktion, die für ǫ → 0 verschwindet.
Wir zeigen zunächst, dass diejenigen Frequenzverhältnisse, die die Bedingung (13.8) erfüllen, ein
nichtverschwindenes Maß haben. Die Gesamtlänge aller Intervalle in 0 ≤ ω1/ω2 ≤ 1, für die (13.8) nicht
gilt, erfüllt die Ungleichung
L < 2
∞
s=1
k(ǫ)
·s = 2k(ǫ)
s2.5 ∞
s −1.5 = konst.·k(ǫ) → 0
s=1
für ǫ → 0. (Der Faktor s kommt daher, dass es s verschiedene Werte von m gibt, und der Faktor 2 kommt
daher, dass der Ausdruck in den Betragsstrichen in (13.8) positiv oder negativ sein kann.)
Dies bedeutet, dass diejenigen Frequenzverhältnisse, für die die ursprüngliche Bewegung auf dem
Torus durch die Störung nur leicht verändert wird, ein Maß 1−konst.·k(ǫ) haben. Für genügend große
ǫ werden schließlich alle Tori zerstört. Der letzte Torus, der zerstört wird, entspricht der “irrationalsten
Zahl” ( √ 5−1)/2.
Um die Konvergenz des Ausdrucks für W1 zu begründen, betrachten wir die Summe in (13.7) für
einen irrationalen Torus mit den Frequenzen ω1 > 0 und ω2 > 0, die die Bedingung (13.8) erfüllen, und
zeigen, dass sie konvergiert. Es ist
ω1
n2
ω1
n2
|ω1n1 +ω2n2| ≥ |n1|ω2
−
≥ ω2
−
k(ǫ)
≥ ω2
und folglich
H1,n
n·ω
n=0
ein·θ
=
=
ω2
n1
n mit ω·n>0
n mit ω·n>0
≤
≤
n mit ω·n>0
1
ω2k(ǫ)
ω2
n1
H1,ne in·θ −H1,−ne −in·θ
n·ω
2ℑH1,nein·θ
n·ω
2ℑH1,nein·θ
n·ω
n mit ω·n>0
|n1| 2.5
2ℑH1,ne in·θ |n1| 2.5 . (13.9)
Das Symbol ℑ steht für den Imaginärteil. Der letzte Term in (13.7) ist klein, wenn das Ergebnis (13.9)
multipliziert mit ǫ klein ist. Dies ist der Fall, wenn die Summe konvergiertund k(ǫ) entsprechend gewählt
wird. Die Summe konvergiert, wenn die Fourierkomponenten von H1 für große n1 und n2 mindestens
wie 1/(n 3.5
1 n2) abfallen. Wenn sie stärker abfallen, kann statt des Exponenten 2.5 ein größerer Exponent
gewählt werden, und wir können für noch mehr Tori zeigen, dass sie nicht zerstört werden. Allgemein
versucht man jeweils, die Abschätzungen möglichst gut auf das konkrete System zuzuschneiden.
118

13.5 Was bedeutet das anschaulich?
Wir haben gesehen, dass Tori mit rationalen Frequenzverhältnissen, also mit geschlossenen, periodischen
Bahnen, durch eine Störung kaputt gemacht werden. Dies können wir uns anschaulich plausibel machen:
Eine geschlossene Bahn kommt immer wieder an genau derselben Stelle im Phasenraum vorbei. Dort
spürt sie die Störung H1 immer auf die gleiche Weise. Also kann H1 bei jedem Umlauf die Bahn ein
Stück weiter in derselben Richtung ablenken. Im Laufe der Zeit addieren sich diese kleinen Änderungen
zu einer großen Änderung der Bahn auf. Bei einer quasiperiodischen Bahn ist dies anders, da die Bahn ja
nicht immer wieder dieselben Punkte im Phasenraum durchläuft. Wenn die quasiperiodische Bahn jedoch
nah an einer periodischen ist, kommt sie mehrfach nahe an demselben Punkt vorbei, bevor sie in andere
Bereiche des Phasenraums geht. Je kürzer die Periode der Bahn (also je kleiner s in (13.8)) ist und je
stärker die Störung (also je größer ǫ) ist, desto eher schafft die Störung es, auch eine quasiperiodische
Bahn stark zu ändern. Dies ist das anschauliche Ergebnis des KAM-Theorems.
Wir können dies auch auf unser Sonnensystem anwenden: Wir betrachten die Störung der Bahn eines
Objekts A (z.B. ein Asteroid) durch einen Planeten B (z.B. Jupiter). Um die Störung zeitunabhängig zu
machen, setzen wir uns in ein Bezugssystem, das mit Jupiter wandert. Aus Sicht dieses Bezugssystem
ist der Planet auf einer quasiperiodischen Bahn mit zwei Frequenzen, die sich aus dem Umlaufzeiten von
A und B ergeben. Wenn die Umlaufzeiten der beiden Himmelskörper um die Sonne in einem rationalen
Verhältnis zueinander stehen, sagen wir 3:1, dann sieht der Asteroid bei jedem dritten Umlauf den
Jupiter wieder an derselben Stelle und wird durch ihn in derselben Richtung abgelenkt. Diese kleinen
Störungen, die immer in derselben Richtung wirken, können sich über Jahrmillionen soweit aufaddieren,
dass der Asteroid aus seiner Bahn geworfen wird. Genau dies ist auch in der Vergangenheit passiert, und
man findet im Asteroidengürtel die sogenannten “Kirkwood”-Lücken bei Umlaufzeiten, die in Resonanz
mit der Umlaufzeit des Jupiter stehen, wie in diesem Bild gezeigt, das auf der Wikipedia-Seite zum
Asteroidengürtel zu finden ist:
Auch die Lücken in den Ringen des Saturn kann man so erklären. Dort wo die Lücken sind, steht
die Umlaufdauer der Teilchen in einem rationalen Verhältnis (mit niedrigem s) zur Umlaufdauer eines
Saturn-Mondes.
119

Aufgaben
1. Betrachten Sie die in den folgenden Teilaufgaben genannten mechanischen Systeme mit zeitunabhängigerHamiltonfunktion
und mit konservativenKräften und holonomen, skleronomenZwangsbedingungen
(bzw. ohne Zwangsbedingungen), die wir dieses Semester gelöst haben. Finden Sie zu
jedem dieser Systeme n Erhaltungsgrößen, die in Involution miteinander stehen.
(a) Der Skifahrer (Kapitel 1)
(b) Das Teilchen im Kreiskegel
(c) Das Rollpendel
(d) Das Kepler-Problem (Kapitel 7)
2. Betrachten Sie das Zentralkraftproblem.
(a) Diskutieren Sie folgende Behauptung: Die Wirkungsvariablen des Zentralkraftproblems sind
gegeben durch
Jϕ = 1
pϕdϕ = pϕ
2π
und
Jr = 1
2π
prdr = 1
rmax
2m(E −Veff(r))dr
π rmin
mit Veff(r) = p2
ϕ
2mr 2 +V(r).
(b) Eigentlich ist n = 3 für das Zentralkraftproblem. Wo bleibt die dritte Dimension und die dritte
Wirkungsvariable?
(c) Berechnen Sie für das Kepler-Problem explizit Jr als Funktion von E. Ermitteln Sie daraus
den Zusammenhang E(Jr,Jϕ), und aus diesem die Frequenzen ωr und ωϕ. Wie interpretieren
Sie das Ergebnis ωr = ωϕ?
120

Kapitel 14
Das Entstehen von Chaos:
Poincaré-Birkhoff-Theorem und
gekickter Rotator
14.1 Instabile Tori und das Poincaré-Birkhoff-Theorem
Was passiert, wenn Tori zerstört werden? Hierauf gibt das Poincaré-Birkhoff-Theorem (1935) eine Antwort.
Wir betrachten wieder den Fall n = 2, in dem die Tori zweidimensional sind, und wir konzentrieren
uns auf die Umgebung eines rationalen Torus. Wir werden zeigen, dass der ursprüngliche rationale Torus
beim Einschalten der Störung in kleinere Tori zerfällt. Zwischen diesen Tori ist die Bewegung vollständig
irregulär.
Dies lässt sich am besten mit einer Poincaré-Abbildung veranschaulichen. Wir legen in Gedanken ein
Blatt Papier durch den Torus, so dass ein Schnitt in Form eines Kreises entsteht. (Einen Kreis gibt es,
solange wir H1 = 0 wählen.) Wir betrachten eine Trajektorie auf diesem Torus. In Zeitabständen T2 =
2π/ω2 kommt die Trajektorie durch unsere Schnittebene durch. Jedes Mal ist sie um einen Winkel T2·ω1
versetzt. Wir erhalten also eine Folge von Durchstoßpunkten der Trajektorie durch unsere Schnittebene.
Wenn der Torus rational ist (ω1/ω2 = m/s), dann ist der Durchstoßpunkt Nummer s+1 identisch mit
Nummer 1. Für irrationale Tori überdecken im Lauf der Zeit die Durchstoßpunkte den Kreis.
Nun betrachten wir nicht nur einen Torus, sondern alle Tori innerhalb eines gewissen Intervalls von
Werten der Wirkungsvariablen. In der Schnittebene bilden diese Tori dann einen konzentrischen Satz von
Kreisen, deren Radius kontinuierlich von der Wirkungsvariablen J1 abhängt.
Die Abfolge von Durchstoßpunkten einer Trajektorie durch die Schnittebene können wir in Polarkoordinaten
durch eine diskrete Abbildung M darstellen, die definiert ist durch die beiden Beziehungen
ri+1 = ri = r(t = i· 2π
)
θi+1 = θi +2π ω1
ω2
ω2
= θi +2πα(r). (14.1)
Für ein rationales Verhältnis α ≡ (ω1/ω2) = m/s ist jeder Punkt auf dem Kreis ein Fixpunkt der s-fach
iterierten Abbildung M s .
Nun addieren wir eine Störung ǫH1. Weil wir wieder ǫ als klein betrachten, können wir die geänderte
Abbildung, die wir mit Mǫ bezeichnen, durch eine Taylorentwicklung bis zur ersten Ordnung in ǫ nähern:
ri+1 = ri +ǫf(ri,θi)
θi+1 = θi +2πα(ri)+ǫg(ri,θi). (14.2)
121

Weil wirvoneinem stetigemH1 ausgehen,nehmen wirauchan,dassf und g stetigeFunktionen sind. Was
können wir über die Fixpunkte von (Mǫ) s sagen? Um dies zu diskutieren, untersuchen wir den Fall, dass
α(r) stetig mit r anwächst. (Der umgekehrte Fall, dass α(r) stetig mit r abfällt, lässt sich ganz analog
behandeln.) Dazu betrachten wir zunächst alle Punkte mit demselben Winkel θi und verschiedenem
Radius ri. Diejenigen mit einem kleinen ri (so dass α(ri) < m/s ist) werden von der Abbildung M s im
Uhrzeigersinn gedreht (θi+1 < θi), während diejenigen mit einem großen ri (so dass α(ri) > m/s ist) von
der Abbildung M s gegen den Uhrzeigersinn gedreht werden (θi+1 > θi). Diejenigen mit dem Radius, der
zuα(ri) = m/sgehört,werdenaufsichselbstabgebildet.Wenn dieStörungeingeschaltetwird(unddamit
M s durch (Mǫ) s ersetzt wird), werden für genügend kleine ǫ ebenfalls die Punkte (ri,θi) zu kleineren ri
im Uhrzeigersinn gedreht, während die Punkte zu genügend großen ri gegen den Uhrzeigersinn gedreht
werden.Im GegensatzzurungestörtenAbbildung kannsichhierbeiderRadius ändern.Irgendwozwischen
den kleinen und großen ri muss es einen Punkt (Rǫ(θi),θi) geben, der unter der Abbildung (Mǫ) s seinen
Winkelerhält.DiesesArgumentgiltfürjedenWinkelθi,sodassesfürjedenWinkelθi einensolchenPunkt
gibt, dessen Winkel sich unter (Mǫ) s nicht ändert. Also gibt es eine geschlossene Kurve von Punkten,
die unter (Mǫ) s ihren Winkel nicht ändern (siehe Abb. 14.1). Nun betrachten wir diese Kurve samt der
s
M ε(R
ε)
R ε
Abbildung 14.1: Die Kurve Rǫ derjenigen Punkte, die unter der Abbildung (Mǫ) s nicht ihren Winkel
ändern, und die Kurve (Mǫ) s (Rǫ).
Kurve (Mǫ) s (Rǫ). Diese beiden Kurven können nicht identisch sein, da dies ja bedeuten würde, dass der
rationale Torus nicht zerstört wird. Beide Kurven müssen dieselbe Fläche einschließen. Daraus folgt, dass
sie sich an einer geraden Anzahl von Stellen schneiden. Die Schnittpunkte, die auf beiden Kurven Rǫ und
(Mǫ) s (Rǫ) liegen, sind Fixpunkte von (Mǫ) s . Wir betrachten nun die Umgebung dieser Schnittpunkte:
(Abb.14.2). Man sieht, dass abwechselnd elliptische Fixpunkte (Zentren) und hyperbolische Fixpunkte
Abbildung 14.2: Man erhält abwechselnd elliptische und hyperbolische Fixpunkte.
(Sattelpunkte)auftreten.UmeinenelliptischenFixpunktgibtesgeschlosseneTrajektorien.Diesbedeutet,
122

dass der elliptische Fixpunkt von Tori umgeben ist.
Wir haben also folgendes Szenario: Durch das Einschalten einer Störung ǫH1 werden alle rationalen
Tori zerstört.Ein Torusdes Frequenzverhältnissesm/swarin der diskreten Abbildung, die wir betrachtet
haben, ein Ring, auf dem alle Punkte die Periode s haben. Nach Zerstörung des Torus gibt es noch
(mindestens) eine stabile Trajektorie der Periode s und eine instabile Trajektorie der Periode s. Um
jeden Punkt der stabilen Trajektorie gibt es einen neuen Satz von Tori. Hier können wir nun das KAM-
Theorem und das Poincaré-Birkhoff-Theoremwieder anwenden: In dem Satz von neuen Tori darf es auch
keine rationalen Tori geben. Statt ihrer gibt es eine stabile und eine instabile periodische Trajektorie. Um
die Punkte der stabilen Trajektorie gibt es wieder Tori, aber die rationalen Tori sind auch hier zerstört
und durch weitere stabile und instabile Trajektorien ersetzt, etc... Wir erhalten also eine selbstähnliche
Struktur, die auf allen Skalen zu finden ist.
Zum Schluss diskutieren wir noch die Rolle der hyperbolischen Fixpunkte. Die Trajektorien, die in
ihrer Nähe beginnen, werden von ihnen abgestoßen. Aber sie können nicht sehr weit wandern, da sie in
radialer Richtung zwischen den benachbarten nicht zerstörten Tori eingesperrt sind und in tangentialer
Richtung den elliptischen Fixpunkten nicht zu nahe kommen können. In der Umgebung der hyperbolischen
Fixpunkte bewegen sich die Trajektorien chaotisch und füllen den ihnen zugänglichen Phasenraum
aus. Um einen genaueren Eindruck von den Trajektorien in der Nähe der hyperbolischen Fixpunkte zu
bekommen, betrachten wir die zu diesem Fixpunkt gehörige stabile und instabile Mannigfaltigkeit. Die
stabile Mannigfaltigkeit ist die Linie all derjenigen Punkte, die unter der Iteration in den Fixpunkt hineinlaufen.
Die instabile Mannigfaltigkeit sind all diejenigen Punkte, die unter einer Rückwärtsiteration in
den Fixpunkt laufen. Man kann diese Mannigfaltigkeiten dadurch konstruieren, dass man mit demjenigen
Teil der Mannigfaltigkeit beginnt, der sich in unmittelbarer Nähe (zum Beispiel innerhalb eines Abstands
ǫ) des Fixpunktes befindet. Unter wiederholter Vorwärtsiteration (bzw. Rückwärtsiteration) aller Punkte
auf diesem Linienstück erhält man dann die instabile (bzw. stabile) Mannigfaltigkeit. Eine Mannigfaltigkeit
kann sich nicht selbst schneiden, denn sonst hätte ein Punkt ja zwei Vorgänger bzw. Nachfolger,
was bei einer deterministischen Dynamik nicht möglich ist. Die instabile Mannigfaltigkeit kann unter
Vorwärtsiteration entweder in der Nähe des Fixpunktes bleiben oder auf einen benachbarten Fixpunkt
zulaufen. Im ersten Fall schneidet sie irgendwann die stabile Mannigfaltigkeit des eigenen Fixpunktes.
Man nennt einen solchen Schnittpunkt einen homoklinen Punkt. Wenn es einen Schnittpunkt gibt, gibt
es aber unendlich viele. Der Grund ist, dass sich der Schnittpunkt unter der Iteration wieder auf einen
Schnittpunkt abbildet. Dies kann nicht derselbe Schnittpunkt sein, da wir sonst eine periodische Bahn
hätten, was im Wiederspruch damit ist, dass jeder Punkt der Mannigfaltigkeiten unter einer Vorwärts-
(bzw. Rückwärts-) Iteration in den hyperbolischen Fixpunkt läuft. Es gibt also eine unendliche Folge
von Schnittpunkten, die sich in beiden Iterationsrichtungen dem Fixpunkt nähern. Abb. 14.3 zeigt den
qualitativen Verlauf der beiden Mannigfaltigkeiten. Wenn die instabile Mannigfaltigkeit eines Fixpunk-
3
2
H 0
Abbildung 14.3: Die stabile und instabile Mannigfaltigkeit eines hyperbolischen Fixpunktes H, wenn sie
sich schneiden. Der Schnittpunkt 0 der beiden Mannigfaltigkeiten und die ersten drei seiner vorwärts
Iterierten sind gekennzeichnet.
1
123

tes unter Vorwärtsiteration auf einen benachbarten Fixpunkt zuläuft, schneidet sie sich irgendwann mit
der stabilen Mannigfaltigkeit des Nachbarfixpunktes. In diesem Fall spricht man von einem heteroklinen
Punkt, und es gibt ebenfalls unendlich viele Schnittpunkte.
Diese Überlegungen zeigen uns, dass chaotische Bereiche in der Umgebung hyperbolischer Fixpunkte
auftreten. Dies passt sehr gut mit unserer Beobachtung im letzten Kapitel zusammen, dass Phasenraumbereiche,
die hyperbolische Fixpunkte enthalten, nicht integrabel sind. Das Poincaré-Birkhoff-Theorem
zeigt uns nun, dass es in dem durch H0+ǫH1 beschriebenen System keinen Bereich im Phasenraum gibt,
in dem es keinen hyperbolischen Fixpunkt gibt. Denn beliebig nah an einem irrationalen Torus befinden
sich immer auch rationale Tori... Also gibt es für ein nicht integrables System keine stückweise stetig
differenzierbare erzeugende Funktion W(q,P), die eine globale Transformation des Phasenraums auf eine
freie Bewegung macht.
Was wir (im Poincaré-Schnitt) als hyperbolische Fixpunkte identifiziert haben, sind im kontinuierlichen
System instabile periodische Bahnen. Chaotische Bereiche sind dicht von solchen instabilen periodischen
Bahnen durchsetzt. Wir haben in Kapitel 11 gesehen, dass in der Nähe eines hyperbolischen
Fixpunktes (und analog in der Nähe einer instabilen periodischen Bahn) der Abstand einer Trajektorie
zu diesem Fixpunkt exponenziell in der Zeit anwächst, wenn man längs der instabilen Eigenrichtung
herausläuft. Dies ist letztlich die Ursache für die fundamentale Eigenschaft chaotischer Bewegung, dass
sich benachbarte Trajektorien exponenziell schnell voneinander entfernen, solange ihr Abstand klein ist.
14.2 Beispiel: Der gekickte Rotator
Das Standardbeispiel für Hamiltonsches Chaos ist der gekickte Rotator. Dies ist ein rotierender Stab der
Länge l und des Trägheitsmoments I, der an einem Ende reibungsfrei gelagert ist. Wenn keine Kraft auf
ihn wirkt, rotiert er also mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ˙ θ. Der frei rotierende Stab liegt daher mit
der Winkelvariablen θ und der Wirkungsvariablen pθ (Drehimpuls) schon automatisch in der durch die
Hamilton-Jacobi-Gleichung angestrebten einfachen Form einer freien Bewegung vor.
Nun gibt man dem Stab zu Zeiten t = τ,2τ,... einen Stoß der ImpulsstärkeK/l in einer vorgegebenen
Richtung. Die Hamiltonfunktion lautet
H(pθ,θ,t) = p2θ 2I +Kcosθ δ(t−nτ),
n
wobei der erste Tern die kinetische Energie aufgrund der Rotationsbewegung ist und der zweite Term
dafür sorgt,dass der Drehimpuls zu Zeiten nτ durch die Stöße jeweils eine Änderung um den Wert Ksinθ
bekommt, wie die Bewegungsgleichungen zeigen:
dpθ
dt
dθ
dt
= Ksinθ δ(t−nτ)
= pθ
I
n
. (14.3)
DerDrehimpulspθ ändertsichalsodiskontinuierlichzudenZeitennτ,wobeiderKraftstoßin+x-Richtung
geht, so dass die Drehimpulsänderung für θ = ±π am größten ist.
Dies ist eigentlich kein System mit zeitunabhängigem Hamilton-Operator, wie wir sie die ganze Zeit
betrachtet haben. Doch diese Art von zeitabhängiger Störung ist die einfachste Art, Chaos in möglichst
niedrigen Dimensionen zu erzeugen. Wenn wir das System immer nur zu diskreten Zeiten betrachten (wie
bei einer Beobachtung mit dem Stroboskop), bekommen wir dasselbe Szenario, wie wenn wir durch einen
zweidimensionalen Torus eines zeitunabhängigen Systems einen Poincaré-Schnitt machen.
Wir gehen also von den kontinuierlichen Gleichungen zu einer diskreten Abbildung über. Seien pn und
θn der Drehimpuls und der Winkel unmittelbar nach dem n-ten Stoß. Integration der Gleichungen (14.3)
124

über den Stoß und die Vereinfachung τ/I = 1 gibt
pn+1 −pn = Ksinθn+1
θn+1 = (θn +pn) mod 2π. (14.4)
Diese diskrete Abbildung nennt man oft die Standardabbildung. Die Fläche im Phasenraum bleibt unter
dieser Abbildung erhalten, denn es ist
∂θn+1/∂θn ∂θn+1/∂pn 1 1
det
= det
= 1.
∂pn+1/∂θn ∂pn+1/∂pn Kcosθn+1 1+Kcosθn+1
Die nächsten drei Abbildungen zeigen die Trajektoriender Standardabbildung für verschiedene Werte des
ParametersK.DerAnfangswertderImpulsewurdeimmerimIntervall[0,2π[gewählt.DadieImpulsesich
auch aus diesem Intervall herausbewegen (um so weiter, je größer K ist), haben wir in den Abbildungen
immer p mod 2π aufgetragen. Für K = 0 ist das System integrabel, und man sieht nur reguläre Tori, die
sich als waagrechte Bänder durch das Bild ziehen.
Mit zunehmendem K zerfallen immer mehr Tori und gibt es immer größere chaotische Regionen. Bei
K ≃ 0.97 zerfällt der letzte ursprüngliche Torus. Für genügend große K füllt vermutlich eine einzige
Trajektorie den ganzen Phasenraum gleichmäßig aus.
14.3 Konsequenzen aus der Existenz von Chaos
Wir haben also gesehen, dass ein nichtverschwindender Anteil des Phasenraums mechanischer Systeme,
dienichtdie strengenBedingungenfürIntegrabilitäterfüllen, auschaotischenTrajektorienbesteht. Chaos
zeichnet sich dadurch aus, dass benachbarte Trajektorien exponentiell schnell in der Zeit auseinanderlaufen,
was dazu führt, dass kleinste Veränderungen der Anfangsbedingungen schon nach recht kurzer
Zeit zu völlig verschiedenem Bahnverlauf führen. Da Anfangsbedingungen prinzipiell nur mit endlicher
Genauigkeit festgelegt oder gemessen werden können, sind chaotische Systeme nur über einen begrenzten
Zeithorizont vorhersagbar. Diese Erkenntnis kam seit den 1960er Jahren, als man anfing, Bewegungsgleichungen
mit den ersten Computern zu integrieren. Doch es dauerte noch 20 Jahre, bis klar wurde, ein
wie generelles und weit verbreitetes Phänomen Chaos ist. Die Erforschung chaotischer Dynamik ist auch
heute ein sehr aktives Forschungsgebiet, auf dem wegen der schwierigen mathematischen Beschreibung
und der Vielfalt der Phänomene immer noch viele neue Erkenntnisse gewonnen werden können.
Als Fazit sei ein Abschnitt aus dem Buch “The Transition to Chaos” von Linda Reichl (S. 3) zitiert,
der 300 Jahre nach der Veröffentlichung von Newtons principia eine Bilanz im Lichte der Erkenntnisse
der Chaostheorie zieht:
“Thebelief that Newtonian mechanicsis a basisfor determinism wasformallylaid to restby Sir James
Lighthill in a lecture to the Royal Society on the three hundredth anniversary of Newton’s Principa.
In his lecture Lighthill says ...I speak ...once again on behalf of the global fraternity of practitioners
of mechanics. We are all deeply conscious today that the enthusiasm of our forebears for the marvelous
achievements of Newtonian mechanics led them to make generalizations in this area of predictability which,
indeed, we may have generally tended to believe before 1960, but which we now recognize were false. We
collectively wish to apologize for having misled the general educated public by spreading ideas about the
determinism of systems satisfying Newton’s laws of motion that, after 1960, were proved incorrect...”
125

Abbildung 14.4: Trajektorien der Standardabbildung für K = 0,0.3,0.6 (von oben nach unten).
126

Abbildung 14.5: Trajektorien der Standardabbildung für K = 0.8 und 0.97 (von oben nach unten). Die
mittlere Abbildung ist ein Zoom in die für K = 0.8.
127

Abbildung 14.6: Trajektorien der Standardabbildung für K = 1.6, 2.5 und 5 (von oben nach unten). Die
dritte Abbildung zeigt eine der beiden einzigen Inseln.
128

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