Klassische Mechanik

Kapitel 5
Lagrange-Gleichungen erster Art
5.1 Vorbemerkungen
Die Lagrange-Gleichungen erster Art (Lagrange-I) sind den Lagrange-Gleichungen zweiter Art (Lagrange-
II) recht ähnlich. Sie unterscheiden sich in drei Aspekten:
1. In Lagrange-II wird die Lagrange-Funktion nur durch die 3N − k unabhängigen verallgemeinerten
Koordinaten und die zugehörigen Geschwindigkeiten ausgedrückt. In Lagrange-I wird die Lagrange-
Funktion durch alle 3N verallgemeinerten Koordinaten ausgedrückt. Man darf im Lagrange-I-
Formalismus also keine Koordinaten mit Hilfe der Zwangsbedingungen eliminieren, wenn man die
Lagrange-Funktion L = T − V aufstellt.
2. Die Lagrange-I-Gleichungen sind den Lagrange-II-Gleichungen sehr ähnlich (s.u.), aber sie enthalten
jeweils einen zusätzlichen Summanden, der von den Zwangskräften herrührt.
3. Die Lagrange-I-Gleichungen gelten auch für nicht holonome Zwangsbedingungen, wenn diese sich
in differenzieller Form schreiben lassen, während die Lagrange-II-Gleichungen nur für holonome
Zwangsbedingungen gelten.
Da in den Lagrange-I-Gleichungen die Zwangskräfte explizit drinstehen, ist es praktisch, sie zu verwenden,
wenn man Zwangskräfte berechnen muss. Das Berechnen von Zwangskräften wird z.B. bei Gleitreibung
nötig (weil F (R) = −f| Z|ˆv ist, siehe Abschnitt 3.4.1), bei der Berechnung der realen Zwangsarbeit
bei rheonomen Zwangsbedingungen, oder auch bei der Dimensionierung von technischen Anlagen, z.B.
Achterbahnen.
Allerdings kann man bei holonomen Zwangsbedingungen die Zwangskräfte auch aus dem Lagrange-II-
Formalismus herleiten. Wir demonstrieren dies im Folgenden, bevor wir dann den Lagrange-I-Formalismus
vorstellen.
Die Berechnung der Zwangskräfte über den Lagrange-II-Formalismus geht über die Beziehung (2.11),
also
Zi = mi ¨ ri − Fi .
Wenn man die Lösung ri(t) bestimmt hat, hat man auch ¨ ri und damit Zi.
Um diese Beziehung auf verallgemeinerte Koordinaten qj umzuschreiben (mit j = 1, . . . , 3N), definieren
wir analog zu den verallgemeinerten Kräften Qj (siehe (3.2)) nun verallgemeinerte Zwangskräfte Zj
als
Zj
≡
(3.6)
=
N
i=1
d ∂T
dt ∂ ˙qj
Zi · ∂ri
∂qj
=
N
i=1
mi ¨ ∂ri
ri −
∂qj
N
i=1
Fi · ∂ri
, j = 1, . . . , 3N
∂qj
− ∂T
− Qj . (5.1)
∂qj
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