Klassische Mechanik

Also laufen gleich schwere Teilchen nach der elastischen Streuung unter einem Winkel von 90 o im Laborsystem
auseinander (wenn der Stoß nicht so zentral ist, dass die erste Kugel nach dem Stoß liegenbleibt).
Dieses Ergebnis ist jedem Billardspieler bekannt und setzt vier Bedingungen voraus: Der Stoß ist elastisch,
beide Teilchen sind gleich schwer, die Masse m2 ruht vor dem Stoß und die Kräfte beim Stoß wirken in
radialer Richtung.
Nicht nur der Streuwinkel, auch die differenziellen Wirkungsquerschnitte sind in beiden Bezugssystemen
verschieden. Im Laborsystem ist die Intensität der einfallenden Teilchen größer als im Schwerpunktsystem,
weil ihre Geschwindigkeit größer ist. Wir bezeichnen diese Intensität mit IL. Der differenzielle
Wirkungsquerschnitt im Laborsystem wird durch folgende Beziehung definiert:
σL(θL)dΩL = σL(θL)2π sin θLdθL = Zahl der pro Sekunde in den Raumwinkel dΩL gestreuten Teilchen
.
Intensität IL der einfallenden Teilchen
(8.8)
Die Zahl der Teilchen, die pro Sekunde mit einem Stoßparameter im Intervall [s, s + ds] einlaufen, ist
gleich der Zahl der Teilchen, die pro Sekunde in den Winkelbereich [θL, θL + dθL] gestreut werden:
Daraus folgt
σL(θL) = s
sin θL
ds
dθL
IL · 2πs|ds| = IL · σL(θL)2π sin θL|dθL| .
= s
sin θ
ds
dθ
· sin θ
sin θL
dθ
dθL
= σ(θ) sin θ
sin θL
dθ
dθL
= σ(θ)
d cos θ
d
cos θL
.
Wenn wir für cos θ die rechte Seite von (8.5) einsetzen, ergibt sich nach einer kurzen Rechnung
⎡
⎢
σL(θL) = σ(θ) ⎣2 m1
2 m1
1 + cos (2θL)
m2
cos θL +
m2
2
m1
1 − sin 2 ⎤
⎥
⎦ . (8.9)
θL
Für den Streuwinkel θ im Laborsystem in dieser Formel ist Gleichung (8.5) zu nehmen.
Wir betrachten wieder den Spezialfall m1 = m2. Dann ist wegen (8.7) θL = θ/2 und folglich
1 + cos(2θL)
σL(θL) = σ(θ) · 2 cos θL + = 4σ(2θL) cos θL . (8.10)
cos θL
Aufgaben
1. Berechnen Sie den differenziellen Wirkungsquerschnitt σ(θ) im Zentralkraftfeld V (r) = β/r 2 mit
β > 0.
(a) Stellen Sie eine Beziehung für den Streuwinkel in Abhängigkeit vom Stoßparameter, also für
θ(s), in Form eines Integrals auf.
(b) Welche Beziehung besteht zwischen dem minimalen Abstand rmin und dem Stoßparameter s?
(c) Lösen Sie das unter a) erhaltene Integral für θ(s). (Hinweis: Für das Kepler-Potenzial haben
wir in Kap. 7 bereits ein ähnliches Integral gelöst.)
(d) Stellen Sie nun den differentiellen Wirkungsquerschnitt σ(θ) auf.
2. Betrachten Sie zwei identische Kugeln der Masse m1 und des Radius R1. Die eine Kugel sei am
Anfang ruhend, und die andere wird an ihr elastisch gestreut. Berechnen Sie den differenziellen und
den totalen Wirkungsquerschnitt im Laborsystem.
72
m2