Klassische Mechanik

Nach diesen Definitionen und Vorüberlegungen betrachten wir jetzt das Integral I, wobei wir für y(x)
den Ansatz (6.2) einsetzen und I als Funktion von ɛ ansehen:
x2
I(ε) ≡ F (y + εη, y ′ + εη ′ , x) dx . (6.5)
Wir suchen ein Extremum von I. Das bedeutet, dass
x2
dI
′
∂F (y, y , x)
dε =
ε=0 x1 ∂y
x1
η(x) + ∂F (y, y′ , x)
∂y ′ η ′ (x)
dx = 0 (6.6)
sein muss für alle Funktionen η(x).
Wir formen den zweiten Summanden durch partielle Integration um:
x2
∂F (y, y
x1
′ , x)
∂y ′ η ′ x2
partielle Integration d ∂F (y, y
(x)dx = −
x1 dx
′
, x)
η(x) dx +
∂y
∂F (y, y′ , x)
∂y ′
x2
η(x)
. (6.7)
x1
Eingesetzt in (6.6) ergibt sich
x2
x1
∂F (y, y ′ , x)
∂y
− d
dx
Dies ist genau dann für alle möglichen Funktionen η(x) erfüllt, wenn
null, da η(x1)=η(x2)=0
∂F (y, y ′ , x)
∂y ′
η(x)dx = 0 (6.8)
d ∂F ∂F
− = 0 (6.9)
dx ∂y ′ ∂y
ist. (Das folgt aus dem “Fundamental-Lemma der Variationsrechnung ohne Nebenbedingungen”.)
Wir haben also die Aufgabe, das Integral I zu maximieren (oder minimieren), zurückgeführt auf die
Aufgabe, die Differenzialgleichung (6.9) zu lösen.
Hängt der Integrand F (y, y ′ ) nicht explizit von x ab, ist es zur Lösung konkreter Aufgaben zweckmäßig,
die Bedingung (6.9) auf die Bedingung
′ ∂F
H ≡ F − y = konst (6.10)
∂y ′
umzuschreiben.
Test: H = konst bedeutet dH/dx = 0, und dies sieht man anhand von
dH ∂F ∂F ∂F d ∂F ∂F d ∂F
= y′ + y′′ − y′′ − y′ = y′ −
dx ∂y ∂y ′ ∂y ′ dx ∂y ′ ∂y dx ∂y ′
= 0 .
=0 nach Gl. (6.9)
Also ist H = konst genau dann erfüllt, wenn Gl. (6.9) erfüllt ist.
6.2 Beispiel: Brachistochronen-Problem
Als Beispiel für die Variationsrechnung mit einer Variablen betrachten wir das sogenannte Brachistochronen-
Problem. Dieses in der Geschichte der Mathematik berühmte Problem wurde 1696 von Johann Bernoulli
gestellt und begründete die Variationsrechnung: Ein Massepunkt mit Anfangsgeschwindigkeit Null soll
im Gravitationsfeld reibungsfrei von P1 = (x1, 0) nach P2 = (x2, y2) laufen. (Es zeige die y-Achse in
Richtung der Gravitationskraft, so dass y2 > 0 ist.) Gesucht ist diejenige Zwangsfläche, die die hierfür
benötigte Zeit minimiert.
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