Klassische Mechanik

2) E3 < E = E2 < 0 ⇒ 0 < ε < 1, d.h. die Bahn ist eine Ellipse. Dass die Planetenbahnen Ellipsen
sind, ist das Erste Keplersche Gesetz.
Perihel-Abstand: rp
Aphel-Abstand: rA
(7.25) mit cos(ϕp−ϕ0)=1
=
cos(ϕA−ϕ0)=−1
=
1
C(1 − ε)
1
C(1 + ε) ,
vom Koordinatenursprung. Die große Halbachse a der Ellipse ist definiert als
a = rP + rA
2
(7.26)
=
1
C(1 − ε2 (7.25) p
= −
)
2 ϕ
mα
mα 2
2Ep 2 ϕ
= − α
2E .
(7.26)
Also ist
E = − α
,
2a
(7.27)
d.h. die Energie des Teilchens auf der Ellipsenbahn hängt nur von a ab.
Zur Bestimmung der kleinen Halbachse b setzen wir ϕ0 = 0. Der Abstand c des Kraftzentrums vom
Ellipsenmittelpunkt ist
ɛ
c = a − rP =
C(1 − ɛ2 ) .
Die kleine Halbachse schneidet die Ellipse bei einem Winkel ϕ, der durch die Bedingung r(ϕ) cos(ϕ) =
−c gegeben ist. Dies ergibt cos(ϕ) = −ɛ und r −1 = C(1 − ɛ 2 ). Die Länge der kleinen Halbachse ist
gegeben durch die Bedingung b 2 = r 2 − c 2 , was schließlich
ergibt.
1
b =
C √ 1 − ɛ2 Damit können wir das dritte Keplersche Gesetz herleiten: Die Fläche der Ellipse ist
1
A = πab = π
C2 (1 − ɛ2 )
√ C .
3/2 = πa3/2
Außerdem ist die Fläche A wegen dem zweiten Keplerschen Gesetz (7.15) identisch mit pϕT/2m,
wobei T die Umlaufdauer ist. Gleichsetzen dieser beiden Ausdrücke für A und Einsetzen der Konstanten
ergibt das Dritte Keplersche Gesetz
wobei wir seit Newton auch den Wert der Konstanten kennen,
a3 = konst , (7.28)
T 2
konst = α
4mπ2 = G(m1 + m2)
4π2 .
Da die Masse eines Planenten sehr viel kleiner ist als die Sonnenmasse, kann die Summe der beiden
Massen durch die Sonnenmasse genähert werden. Dann ist das Verhältnis a 2 /T 3 weder von der
Planetenmasse, noch von seiner Energie oder seienm Drehimpuls abhängig. Also ist dieses Verhältnis
für alle Planeten gleich.
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