Klassische Mechanik

wobei Phasenverschiebungen 0 bzw. π durch positive bzw. negative Amplituden Ai beschrieben werden.
Einsetzen ergibt
mit
(ω 2 3 − Ω 2 )A1 − D12
m A2 = f0
− D12
m A1 + (ω 2 3 − Ω 2 )A2 = 0
ω 2 3 ≡
Die Lösung des Gleichungssystems lautet
A1 = f0
A2 = f0
D + D12
m , f0 ≡ DA
m .
ω 2 3 − Ω 2
(ω 2 3 − Ω2 ) 2 − D12
m
D12
m
(ω 2 3 − Ω2 ) 2 − D12
m
wobei ω1 und ω2 wie im vorigen Beispiel definiert sind als
2
2
ω 2 1 ≡ D
m , ω2 D + 2D12
2 ≡ .
m
ω
= f0
2 3 − Ω2 (ω2 1 − Ω2 )(ω2 2 − Ω2 )
ω
= f0
2 3 − ω2 1
(ω2 1 − Ω2 )(ω2 2 − Ω2 ) ,
Erwartungsgemäß werden die Amplituden bei diesen Frequenzen unendlich. (Wenn man den Dämpfungsterm
dazunimmt, werden die Amplituden nicht unendlich, sondern haben ein Maximum in der Nähe der Eigenfrequenzen.)
Besonders bemerkenswert ist das Ergebnis
A1(Ω = ω3) = 0 , A2(Ω = ω3) = − AD
.
D.h. die rechte Masse schwingt im stationären Fall mit solcher Amplitude, dass sich die beiden an der linken
Masse angreifenden Federkräfte gegenseitig aufheben. Man benutzt diesen Effekt zur Konstruktion
von Schwingungstilgern: Maschinenschwingungen, die durch harmonische Anregungen konstanter Frequenz
erzeugt werden, lassen sich durch einen angekoppelten, geeignet abgestimmten zweiten Schwinger
eliminieren.
Aufgaben
1. Gekoppelte Pendel: Zwei Pendel der Längen l1 und l2 mit den Massen m1 und m2 werden durch eine
horizontale Feder verbunden. Die Feder wird an den beiden (wie immer masselosen) Pendelstangen
auf der Höhe l < l1, l2 unterhalb der Aufhängepunkte angebracht. Der Abstand der beiden Pendel
sei wesentlich größer als l, so dass die Feder stets nahezu horizontal bleibt.
D12
(a) Stellen Sie die Bewegungsgleichungen für die beiden Pendel auf.
(b) Integrieren Sie die Bewegungsgleichungen zunächst für den Spezialfall m1 = m2 und l1 = l2
und in der Näherung kleiner Ausschläge. Wählen Sie die Anfangsbedingungen ϕ1(0) = ϕ0 und
˙ϕ1 = ˙ϕ2 = ϕ2 = 0. Bemerkung: ϕ0 muss eine kleine Größe sein.
(c) Lösen Sie jetzt diese Aufgabe auch für m1 = m2, aber immer noch mit l1 = l2.
(d) Betrachten Sie zum Schluss den Fall m1 = m2 und l1 = l2, immer noch für dieselben Anfangsbedingungen
wie in (b) und für kleine Ausschläge.
2. Gehen Sie aus von der Wellengleichung (6.19).
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