Klassische Mechanik

die den Torus charakterisieren. Man nennt sie Wirkungsvariablen.
Diesbedeutet, dassW dochnichteindeutigdefiniertist, damanzwischenzweiPunktenaufdem Torus
Integrationswege nehmen kann, die sich in ihrer Windungszahl um den Torus in jeder der n Dimensionen
unterscheiden können. Doch dies spiegelt nur die Tatsache wider, dass auch die Qj nur bis auf Vielfache
von 2π∂K/∂Ij eindeutig sind.
Da die Wirkungsvariablen einen Torus eindeutig charakterisieren, müssen sie sich als Funktionen der
ErhaltungsgrößenIi schreibenlassen.Diesbedeutet,dasssieselbstErhaltungsgrößensind.Wirhättenvon
Anfang an als neue verallgemeinerte Impulse P in der Erzeugenden W der kanonischen Transformation
statt der I die Variablen J wählen können. Die entsprechenden verallgemeinerten neuen Koordinaten Qi
nennen wir Winkelvariablen θi, und diese genügen den Beziehungen
und der Bewegungsgleichung
θi = ∂W(q,J)
∂Ji
(13.4)
˙θi = ∂K(J)
≡ ωi = konst.
∂Ji
(13.5)
Wir können die den Torus charakterisierenden Integrale (13.3) auch in den neuen Koordinaten berechnen.
Wir erhalten dann
Jj ≡ 1
2π
Jidθi.
Cj
WennwirdiegeschlosseneKurveCj alsWegvon(θ1,...,θj,...θn) = (0,...,0,...,0)nach(θ1,...,θj,...θn) =
(0,...,2π,...,0)nehmen,erhaltenwirdieIdentitätJj = Jj,wieesseinmuss.DieWirkungsvariablensind
also eindeutig und verändern sich nicht unter einer kanonischen Transformation. Der Vorfaktor 1/(2π)
vor dem Integral (13.3) führt dazu, dass die θi bei einer Umrundung des Torus genau um 2π anwachsen,
also als echte Winkel verstanden werden können.
13.3 Eine kleine Änderung von H kann ein System nichtintegrabel
machen
Nun beginnen wir mit einem integrablen System in der Formulierung mit Wirkungs- und Winkelvariablen
und mit einer (zeitunabhängigen) Hamilton-Funktion H0, aber addieren eine kleine “Störung” ǫH1, die
z.B. die bisher vernachlässigten Effete der Umgebung des betrachteten Systems auf die Dynamik dieses
Systems beinhaltet:
H(θ,J) = H0(J)+ǫH1(θ,J).
In der Darstellung durch Wirkungs- und Winkelvariable hängt H0 nur von den J ab, weil die Hamiltonfunktion
H ja identisch mit K(J) ist. Wenn H1 explizit von den θ abhängt, hat das durch H beschriebene
System keine n Erhaltungsgrößenmehr. Wir zeigen im Folgenden, dass das System dann auch nicht mehr
integrabel ist. solche Überlegungen wurden übrigens schon um das Jahr 1890 durch Henri Poincaré angestellt.
Wir versuchen, eine kanonische Transformation auf neue Variablen J ′ ,θ ′ zu finden, so dass die
Hamilton-Funktion nur von J ′ abhängt. Wenn es uns gelingt, ist das neue System integrabel, aber wenn
wir zeigen können, dass es keine solche Transformation gibt, ist das System nicht integrabel.
Die zeitunabhängige Hamilton-Jacobi-Gleichung für die gesuchte Transformation lautet
∂W
H
∂θ ,θ
= H(J ′ ).
Wir entwickeln W in Potenzen von ǫ und behalten in der folgenden Rechnung nur die Terme bis zur
linearen Ordnung in ǫ:
W = W(θ,J ′ ) = θJ ′ +ǫW1(θ,J ′ )+... .
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