Klassische Mechanik
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Die Erhaltungsgröße J(r, ˙ r, t) lautet<br />
N ∂L<br />
J =<br />
∂ ˙ r · ∂ri(r ′ <br />
, t, α)<br />
<br />
<br />
−<br />
∂α<br />
∂F<br />
<br />
<br />
<br />
∂α<br />
i=1<br />
α=0<br />
α=0<br />
=<br />
N<br />
(−pi · vt + miri · v) = (− P t + MrS) · v<br />
mit der Schwerpunktkoordinate rS und der Gesamtmasse M. Da J für jedes v eine Erhaltungsgröße<br />
ist, ist auch der Ausdruck in Klammern<br />
eine Erhaltungsgröße.<br />
i=1<br />
− P t + MrS<br />
Damit haben wir die 10 Erhaltungsgrößen bestimmt: E, L, P und − P t + MrS.<br />
Aufgaben<br />
1. Begründen Sie, dass ein eindimensionales mechanisches System m¨x = F (x), dessen Kraft nicht<br />
explizit zeitabhängig ist, nicht chaotisch sein kann.<br />
2. Betrachten Sie das Rollpendel.<br />
(a) Wieviele Freiheitsgrade und wieviele Erhaltungsgrößen hat dieses System? Schreiben Sie explizit<br />
die Erhaltungsgrößen hin. Nennen Sie diejenige Erhaltungsgröße, die nicht die Energie<br />
ist, px.<br />
(b) Berechnen Sie die Koordinaten (x2, y2) als Funktion von ϕ und zeigen Sie, dass sich m2 für<br />
px = 0 auf einer Ellipsenbahn bewegt.<br />
(c) Berechnen Sie den Zusammenhang zwischen ϕ und t in der Gestalt t = dϕ . . . .<br />
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