Klassische Mechanik

d.h. im Gleichgewicht verschwindet die virtuelle Arbeit aller eingeprägten Kräfte.
Diese Bedingung kann benützt werden, um Gleichgewichtsprobleme zu lösen. Als Beispiel betrachten
wir eine Leiter an der Wand: (das Bild habe ich von
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/8/23028 leiter2.gif geklaut.)
Eine Leiter der Länge L und Masse M steht an der Wand und wird von einer Frau der Masse m bis
zur Länge l bestiegen. Die Leiter hat an beiden Enden Rollen, so dass keine Reibung gegen Wand und
Boden auftritt. An ihrem unteren Ende ist ein Seil befestigt, um das Wegrutschen zu verhindern. Wie
groß ist die Kraft F , mit der das Seil die Leiter hält?
Es existieren 4 Zwangsbedingungen:
xB = (L − l) cos µ , yB = l sin µ , xS = L
2 cos µ , yS = L
sin µ .
2
Von den 5 Variablen xS, yS, xB, yB, µ ist also nur eine unabhängig. Wir wählen µ, das über die
Beziehung xA = L cos µ mit dem Auflagepunkt xA zusammenhängt.
Es gibt drei Kräfte, nämlich die Gravitationskraft der Frau, die am Punkt B angreift, die Gravitationskraft
der Leiter, die am Schwerpunkt S angreift, und die Kraft, die die Leiter hält und am Auflagepunkt
A angreift. Die Bedingung (2.26) lautet also
Mg · δrS + mg · δrB + F · δrA = 0 bzw. − MgδyS − mgδyB − F δxA = 0 .
Ausgedrückt durch die unabhängige Variable µ sind die virtuellen Verrückungen
δxA = −L sin µδµ , δyB = l cos µδµ , δyS = L
cos µδµ ,
2
so dass wir
−Mg L
cos µ − mgl cos µ + F L sin µ δµ = 0
2
erhalten. Also ist
Aufgaben
M l
F = g cot µ + m .
2 L
1. Nennen Sie mehrere Beispiele für holonome und nicht holonome Zwangsbedingungen.
2. Leiten Sie das Hebelgesetz F1r1 = F2r2 aus der Gleichgewichtsbedingung (2.26) her.
(Bild ist von http://wapedia.mobi/de/Hebelgesetz?t=2.)
3. (Diese Aufgabe entspricht Aufgaben 3-5 und 4-1 im Kuypers.) Betrachten Sie die Perle auf dem gebogenen
rotierenden Draht (Abschnitt 2.1.1. aus dem Skript). Stellen Sie die Bewegungsgleichungen
auf zwei Wegen auf:
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