Klassische Mechanik

5. Bestimmen der Hamiltonschen Bewegungsgleichungen:
˙ϕ = ∂H
∂pϕ
= pϕ
,
mr2 ˙pϕ = − ∂H
= 0,
∂ϕ
˙r = ∂H pr
=
∂pr m(1+cot 2α) ,
˙pr = − ∂H
∂r = p2ϕ −mgcotα.
mr3 Die erste und dritte Gleichung stimmen mit obigen Beziehungen für die kanonischen Impulse
überein. Die zweite Gleichung entspricht der Tatsache, dass ϕ eine zyklische Variable ist. Die vierte
Gleichung entspricht der Gleichung (4.10).
Wirsehen,dassdasAufstellenderHamiltonschenBewegungsgleichungenkomplizierteristalsderLagrange-
Formalismus, da wir zunächst durch diesen hindurch gehen müssen, um die kanonischen Impulse korrekt
zu identifizieren.
11.3 Erhaltungsgrößen und Poissonklammern
Wir untersuchen nun, wie sich Erhaltungsgrößen im Hamiltonformalismus äußern. Zunächst betrachten
wir nochmal die Bedingungen, unter denen die Hamiltonfunktion selbst eine Erhaltungsgröße ist. Unter
Verwendung der Hamiltonschen Gleichung ergibt sich
dH
dt
∂H
= ˙qi +
∂qi i
∂H
˙pi +
∂pi i
∂H
∂t
=
∂H ∂H
+
∂qi ∂pi
∂H
−
∂pi
∂H
+
∂qi
∂H
∂t
i
= ∂H
∂t .
Also ist H genau dann eine Erhaltungsgröße, wenn ∂H/∂t = 0 ist. Mit (11.2) erhalten wir wieder die
schon in Kapitel 4 formulierte Bedingung, dass H eine Erhaltungsgröße ist, wenn L nicht explizit von
der Zeit abhängt. Außerdem hatten wir schon in Kapitel 4 gesehen, dass wenn die Zwangsbedingungen
skleronom und die Kräfte konservativ sind, H identisch mit der Energie E ist.
AlsnächstesbetrachtenwireinebeliebigedifferenzierbareFunktionf(q,p,t)derKoordinaten,Impulse
und evtl. der Zeit und untersuchen, unter welchen Bedingungen sie eine Erhaltungsgröße ist. Es ist
df
dt
∂f
= ˙qi +
∂qi i
∂f
˙pi +
∂pi i
∂f
∂t
=
∂f ∂H
+
∂qi ∂pi
∂f
−
∂pi
∂H
+
∂qi
∂f
∂t
i
≡ [f,H]+ ∂f
. (11.6)
∂t
Hier haben wir die sogenannte Poisson-Klammer eingeführt. Allgemein ist die Poissonklammer zweier
differenzierbarer Funktionen von p und q definiert als
[f,g] =
∂f ∂g
−
∂qi ∂pi
∂f
∂g
. (11.7)
∂pi ∂qi
i
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