Klassische Mechanik

12.3 Die zeitunabhängige Hamilton-Jacobi-Gleichung
Die kanonische Transformation auf K = 0, die wir im vorigen Unterkapitel durchgeführt haben, führt in
einen trivialen Phasenraum: Es ist ˙ Qi = ˙ Pi = 0 für alle i, d.h. alle Trajektorien sind Fixpunkte. Der neue
Phasenraum weiß also nichts mehr von der Struktur des ursprünglichen Phasenraums, und wir können
aus ihm keine weiteren Erkenntnisse gewinnen. Um weitere Fortschritte bei der Suche nach Kriterien für
die Lösbarkeit mechanischer Probleme zu machen, führen wir im Folgenden eine modifizierte kanonische
Transformation durch, die mehr Einsichten gewährt. Wir beschränken uns auf Systeme mit einer nicht
explizit zeitabhängigen Hamiltonfunktion.
Wenn die Hamiltonfunktion nicht explizit von der Zeit abhängt, kann man die Zeit durch den Ansatz
S(q,α,t) = W(q,α)−Et aus der Hamilton-Jacobi-Gleichung (12.6) eliminieren, so wie wir es im Beispiel
des harmonischen Oszillators gemacht haben. Man nennt W die Charakteristische Funktion.
Die Hamilton-Jacobi-Gleichung lautet mit dieser Ersetzung
H q, ∂W
= E. (12.9)
∂q
WirwählenjetztW stattS alsErzeugendederkanonischenTransformation.AusderdrittenGleichung
von (12.2) folgt dann
K(Q,α) = H(q(Q,α),p(Q,α)).
Weil die α ja konstant sein sollen, darf K nicht von den Q abhängen (sonst wäre mindestens ein ˙αi =
∂K/∂Qi = 0), also lässt sich auch H allein als Funktion der α schreiben. Wenn die Energie als eine dieser
Größen gewählt wurde, ist natürlich einfach H = E.
Aus der ersten Gleichung von (12.2) erhalten wir jetzt keine konstanten Q mehr, sondern
woraus
˙Qi = ∂K/∂Pi ≡ ∂K/∂αi ≡ ωi = konst,
Qi(t) = ωit+Qi(0) (12.10)
folgt.
Wir haben also diesmal nicht eine Transformation auf lauter Konstanten gemacht, sondern auf eine
freieBewegung,mitkonstantenImpulsenundlinearinderZeitanwachsendenKoordinaten.DiePi können
irgendwelcheKonstantender Bewegungsein, z.B. Anfangswerteder Impulse oderauch Erhaltungsgrößen.
Da wir schon die Energie als Konstante verwendet haben, setzen wir schonmal P1 ≡ α1 = E. Die Pi legen
zusammen mit den Qi(0) den Anfangspunkt einer Trajektoriefest. Um die kanonische Transformationauf
diese freie Bewegungexplizit zu finden, muss man freilich auchhier wieder die Hamilton-Jacobi-Gleichung
lösen oder auf einem anderen Weg die Lösung der Bewegungsgleichungen finden. Allerdings werden uns
einige Überlegungen zur Beschaffenheit des Phasenraums und zur Auswirkung von Erhaltungsgrößen
ermöglichen, allgemeine Bedingungen zu finden, unter denen eine kanonische Transformation auf eine
freie Bewegung möglich ist. Doch vorher betrachten wir wieder das Beispiel des harmonischen Oszillators.
Nochmal der harmonische Oszillator
Wenn wir den harmonischen Oszillator mit der Erzeugenden W kanonisch transformieren, erhalten wir
statt (12.8)
Q = ∂W
∂E
dq ′
= 1
ω arcsin
mω2 2E q
.
q
1
=
ω 0
2E
mω 2 −q ′2
Also ist der Zusammenhang zwischen den alten und neuen Koordinaten jetzt
2E
q(t) = sin(ωQ(t)).
mω2 108