Klassische Mechanik

Hauptträgheitsachsensystem:
Da der Trägheitstensor reell und symmetrisch ist, lässt er sich durch eine orthogonale Transformation auf
Diagonalform bringen:
R J R
0 −1
0
=
⎛
J = ⎝
0 I1 0
0 I2
0 0
0
0
I3
⎞
⎠
= d 3 ⎛
⎞
yϱ(y)
⎠ (9.10)
⎝ y2 2 + y 2 3 0 0
0 y 2 3 + y 2 1 0
0 0 y 2 1 + y 2 2
Hierzu bestimmt man die Eigenwerte Ii und Eigenvektoren ω (i) :
Jω (i) = Iiω (i) . (9.11)
R −1
0 hat als Spalten die ω(i) . I1, I2, I3 sind die (Haupt-)Trägheitsmomente des starren Körpers. Sie sind
positiv und erfüllen die Ungleichung
I1 + I2 ≥ I3
(und analog unter zyklischer Vertauschung der Indizes). Dasjenige körperfeste System, in dem der Trägheitstensor
diagonal ist, heißt Hauptträgheitsachsensystem. (Bei Entartung der Eigenwerte gibt es eine Wahlfreiheit.)
Als Beispiel berechnen wir das Trägheitsmoment einer homogenen Kugel der Dichte ϱ und des Radius
R: Es ist I1 = I2 = I3 aus Symmetriegründen, und das Hauptachsensystem ist im Kugelzentrum
verankert. Es ist
Mit ϱ = 3M
4πR 3 erhalten wir daraus
I1 + I2 + I3 = 3I = 2ϱ
r 2 d 3 x = 8πϱ
R
0
r 4 dr = 8πϱR5
5
I = 2
5 MR2 . (9.12)
9.2 Drehimpuls und Bewegungsgleichung des starren Körpers
Wie wir in Kapitel 1 gesehen haben, setzt sich der Drehimpuls zusammen aus dem Bahndrehimpuls und
dem Eigendrehimpuls. Wenn wir den Ursprung des Laborsystems in den Schwerpunkt des Körpers legen,
verschwindet der Bahndrehimpuls. Es bleibt also
Also ist
L =
=
d 3 xϱ(x)x × ˙ x
˙x=ω×x
↓
=
d 3 xϱ(x) x 2 ω − (x · ω)x = Jω .
d 3 xϱ(x)x × (ω × x)
L = Jω . (9.13)
L hat im allgemeinen nicht dieselbe Richtung wie ω. Es hat nur dann dieselbe Richtung, wenn ω parallel
zu einer Hauptachse ist.
Die Rotationsenergie können wir nun auch durch den Drehimpuls ausdrücken: Aus (9.7) und (9.13)
erhalten wir
Trot = 1
2 ω · L . (9.14)
75
.