Klassische Mechanik

Systeme mit n unabhängigen Erhaltungsgrößen sind also potenzielle Kandidaten für integrable Systeme,
in denen die Hamilton-Jacobi-Gleichunglösbar ist. Noch mehr unabhängige Erhaltungsgrößenzu fordern,
macht keinen Sinn, denn n = 3N − k ist die Zahl der räumlichen Koordinaten des Systems, und diese
hatten wir schon so gewählt, dass alle Zwangbedingungen berücksichtigt sind. Wenn eine Trajektorie in
einem Unterraum des Phasenraums gefangen ist, der eine Dimension kleiner als n hat, bedeutet dies, dass
sie nicht alle räumlichen Dimensionen sehen kann. Also hat man von Anfang an mehr räumliche Koordinaten
als nötig gewählt. Diesen Fall wollen wir daher ausschließen. Dann gibt es maximal n unabhängige
Erhaltungsgrößen.
Wir werden später an einem Beispiel sehen, dass auch, wenn es außer der Energie keine weiteren Erhaltungsgrößengibt,
Trajektorienin n-dimensionalenUnterräumengefangensein können, doch typischerweise
gibt es neben diesen Trajekorien auch solche, die einen 2n−1-dimensionalen Teil des Phasenraums
überdecken.
12.4.2 Von der Gefährlichkeit hyperbolischer Fixpunkte und instabiler periodischer
Bahnen
Nachdem wir geklärt haben, unter welchen Bedingungen Trajektorien in n-dimensionalen Unterräumen
des Phasenraums gefangen sind, fragen wir als nächstes, wie das durch die Hamiltonschen Gleichungen
(11.10) gegebene Vektorfeld beschaffen sein muss, damit eine kanonische Transformation eines zusammenhängenden,
endlichen Teils des Phasenraums von der ursprünglichen Form (11.10) auf eine freie
Bewegung, also auf ein Vektorfeld der Form
˙x = konst
möglich ist. Hierzu betrachten wir nochmal das Phasenraumportrait des Pendels:
Wir sehen, dass es zwei Sorten von Trajektorien gibt: diejenigen, bei denen das Pendel in einem
begrenzten Winkelbereich hin- und herschwingt, und diejenigen, bei denen das Pendel überschlägt und
sich immer in derselben Richtung dreht. Diese beiden Sorten von Trajektorien unterscheiden sich durch
ihre Energiewerte. Im Energieintervall [−mgl,mgl[ schwingt das Pendel hin und her, im Energiebereich
E > mgl überschlägt es sich. Diese beiden Bereiche sind durch die Trajektorien zu E = mgl voneinander
getrennt. Diese Trajektorien sind sogenannte heterokline Trajektorien, die zwei hyperbolische Fixpunkte
miteinander verbinden, indem sie aus dem einen Fixpunkt in seiner instabilen Eigenrichtung herauslaufen
und in den anderen Fixpunkt aus der stabilen Eigenrichtung einmünden. Es ist anschaulich klar, dass
man für jeden dieser beiden Energiebereiche eine Transformation auf eine gleichförmige Bewegung auf
einem eindimensionalen “Torus” (also einem Kreis) machen kann.
In dem ersten Energiebereich, in dem das Pendel hin- und herschwingt, haben wir eine ähnliche
Situation wie beim harmonischen Oszillator, für den wir diese Transformation explizit gemacht haben.
Die neue Koordinate Q = ωt läuft gleichförmig von 0 nach 2π, während das Pendel von der Ruhelage
zunächst nach rechts zum maximalen Ausschlag, dann nach links zum maximalen Ausschlag auf der
anderen Seite, und zurück zum Nulldurchgang schwingt.
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