Klassische Mechanik

wobei wir wieder 1 + y ′2 durch 1+y ′2 /2 ersetzt haben. Die Lagrange-Gleichungen zweiter Art sind also
d ∂L
yj − yj−1
= ϱ¨yj∆xj = F
+
dt ∂ ˙yj
∆x
yj
− yj+1
=
∆x
∂L
.
∂yj
Das führt auf
ϱ¨yj = F 2yj − yj+1 − yj−1
(∆x) 2
und schließlich, wenn wir wieder zum Kontinuum gehen, auf
Aufgaben
ϱ¨y = F y ′′ .
1. Seifenhaut: Eine Seifenhaut, die zwischen zwei an den Positionen x1 und x2 um die x-Achse zentrierten
Kreisen mit den Radien y1 und y2 eingespannt ist, nimmt eine minimale Fläche ein.
(a) Stellen Sie eine Bedingung für diese Fläche auf.
(b) Berechnen Sie die Kurve y(x), die die minimale Fläche beschreibt. Gehen Sie dabei aus von
′ ∂F F − y ∂y ′ = konst. ≡ a (siehe Gleichung (6.10) im Skript). In Ihrem Ergebnis für y(x) darf
die Konstante a drinstehen. Erklären Sie am Ende, durch welche Bedingung der Wert von a
festgelegt wird. (Hinweis: Vielleicht brauchen Sie folgende Beziehung: cosh 2 (x)−1 = sinh 2 (x).)
2. Weisen Sie nach, dass sich ein Teilchen, das infolge von Zwangskräften auf einer gekrümmten Fläche
laufen muss, ansonsten aber kräftefrei ist, auf einer Geodäten (also der kürzest möglichen Verbindung
zwischen zwei Punkten) bewegt. (Statt der gekrümmten Fläche kann man auch einen gekrümmten
Raum betrachten - das findet bei der Allgemeinen Relativitätstheorie eine Anwendung.)
3. Hochspannungsleitung: Gegeben ist ein Kabel, das an den Enden xA und xB auf derselben Höhe
yA = yB aufgehängt ist und nicht den Boden berühren kann. Im Folgenden soll schrittweise die
Form des Kabels berechnet werden, indem die potenzielle Energie minimiert wird.
(a) Stellen Sie die potenzielle Energie in der Form Upot = F (y, y ′ ) dx auf, wobei y(x) die Form
des Kabels beschreibt.
(b) Das Kabel habe die Länge L (wobei der Abstand der beiden Pfosten xB − xA < L sei).
Schreiben Sie diese Nebenbedingung in Form eines Integrals g(y, y ′ ) dx − L = 0.
(c) Um die Variation mit Nebenbedingungen zu lösen, soll eine erweiterte Funktion ˜ F aufgestellt
werden, die die Nebenbedingungen enthält: ˜ F = F + λg mit λ ∈ R.
Gehen Sie nun von der Beziehung ˜ F − y ′ ∂ ˜ F
∂y ′ = konst. ≡ a (analog zu Gleichung (6.10) im
Skript) aus, um aus der erweiterten Funktion ˜ F eine Lösung für die Kurve des Kabels y(x) zu
bestimmen. Ihr Ergebnis für y(x) darf von a und λ abhängen. (Hinweis: Vielleicht brauchen
Sie folgende Beziehung: cosh 2 (x) − 1 = sinh 2 (x).)
(d) Geben Sie die beiden Beziehungen an, durch die a und λ festgelegt sind.
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