Klassische Mechanik

Wir beschreiben die Zwangsfläche, auf der die Masse rutscht, durch die Kurve y(x), wobei y(x1) = 0
und y(x2) = y2 ist. Die Laufzeit ist gegeben durch
mit
x2
T =
ds 2 = dx 2 + dy 2 und 1
2 mv2 = mgy(x) .
(Beim letzten Schritt haben wir den Energieerhaltungssatz mit v0 = 0 verwendet.) Also ist
T = 1
x2
1 + y
√
2g x1
′2
dx .
y
Ein Extremum von T zu finden bedeutet, Gl. (6.9) mit F = (1 + y ′2 )/y zu lösen, bzw. die Gleichung
(6.10) H = konst mit H = F − y ′ ∂F/∂y ′ zu lösen.
Letzteres führt auf
1
(1 + y ′2 = c
)y
bzw. mit der Ersetzung r0 = 1/(2c 2 )
Mit der Substitution
wird dies zu
x2 − x1 = 2r0
ϕ2
ϕ1
2 ϕ
sin
2
cos ϕ
2
1 − sin
2 ϕ
2
x1
ds
v
x2 y2
y
dx =
dy .
2r0 − y
x1
y1
2 ϕ
y = 2r0 sin
2 = r0(1 − cos ϕ)
ϕ2
ϕ2
2 ϕ
dϕ = 2r0 sin dϕ = r0
2
ϕ1
ϕ1
(1 − cos ϕ)dϕ = r0(ϕ − sin ϕ)| ϕ2
ϕ1 .
Zur Vereinfachung setzen wir x1 = 0. Außerdem ist wegen y1 = 0 auch ϕ1 = 0. Dann gilt
y2 = r0(1 − cos ϕ2) und x2 = r0(ϕ2 − sin ϕ2) .
Diese beiden Gleichungen legen die Parameter r0 und ϕ2 fest, weil ja x2 und y2 gegeben sind. Wenn wir
als obere Integrationsgrenze nicht x2 und y2 bzw. ϕ2 wählen, sondern einen beliebigen Wert zwischen
dem Anfangs- und Endpunkt, erhalten wir die gesamte Form der Zwangsfläche:
y = r0(1 − cos ϕ) und x = r0(ϕ − sin ϕ) .
Man nennt dies eine Zykloide. Die Steigung y ′ = dy/dx bekommt man, indem man dy/dϕ und dx/dϕ
berechnet und durcheinander dividiert. Dies ergibt
dy sin ϕ
=
dx 1 − cos ϕ ,
was für ϕ < π positiv ist und für ϕ > π negativ wird. Wenn also x2/y2 so groß ist, dass ϕ > π wird,
hat die Zwangsfläche ein Minimum, d.h. der tiefste Punkt liegt tiefer als der Endpunkt. Dies tritt auf für
x2 > y2π/2.
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