Klassische Mechanik

erhalten wir ˙ l1 = ˙x (1)
e − ˙x (1)
a ≃ l1∂f1/∂x (1) . Damit folgt
˙V = ˙ l1l2...l2n + ˙ l2l1l3...l2n +...
= ∂f1
∂x (1)l1l2...l2n + ∂f2
∂x (2)l2l1l3...l2n +...
=
i
∂fi
∂x (i)l1l2...l2n
= V ∇· f . (11.11)
Die Divergenz der Funktion f entscheidet also, wie sich das Phasenraumvolumen unter der Dynamik
ändert. Für unsere Hamiltonschen Bewegungsgleichungen gilt
∇· f =
n
∂
i=1
∂H
∂qi ∂pi
− ∂
∂pi
∂H
= 0. (11.12)
∂qi
Das Phasenraumvolumen ändert sich also nicht, sondern deformiert sich nur.
Wir bezeichnen mit ̺(x,t) die Dichte der Zustände unseres Ensembles im Phasenraum. Sie hat am
Anfang den Wert ̺0 innerhalb des gewählten Volumenelements, und außerhalb ist sie 0. Wir haben eben
gezeigt, dass sich das Phasenraumvolumenelement unter der Hamiltonschen Dynamik deformiert, aber
dass es nicht sein Volumen ändert. Also gibt es auch zu späteren Zeiten nur Bereiche mit Dichte ̺0 und
0, die aber immer feiner verwoben werden.
Wir stellen jetzt noch eine allgemeineBewegungsgleichung,die sogenannteLiouville-Gleichung,für die
Dichte ̺(x,t) auf, die auch dann gilt, wenn ̺(x,t) nicht konstant ist. Wir gehen aus von einer allgemeinen
Funktion ̺(x,t). Wir leiten die Liouville-Gleichung aus den Hamiltonschen Gleichungen her, indem wir
mit der Kontinuitätsgleichung starten und die rechte Seite mit Hilfe der Hamiltonschen Gleichungen
umformen:
∂̺
∂t = − ∇ ̺˙ x
=
∂
̺
∂pi i
∂H
−
∂qi
∂
∂qi
=
∂H ∂
−
∂qi ∂pi
∂H
∂
̺,
∂pi ∂qi
∂̺
∂t
i
̺ ∂H
∂pi
= [H,̺]. (11.13)
In der letzten Zeile tritt wieder eine Poisson-Klammer auf. Die Liouville-Gleichung besagt also, dass
die zeitliche Änderung der Phasenraumdichte ̺ durch die Poisson-Klammer der Hamiltonfunktion mit
̺ gegeben ist. Für den speziellen, oben behandelten Fall, dass ̺ innerhalb eines gewissen Volumens den
konstanten Wert ̺0 und außerhalb den Wert Null hat, ergibt sich ∂̺/∂t = 0 an allen Orten außer an den
Rändern des Volumenelements, die sich ja verschieben.
11.4.3 Invariante Mannigfaltigkeiten
ZurVeranschaulichungderDynamik HamiltonscherSystemeist eshilfreich,invarianteMannigfaltigkeiten
(auch “invariante Mengen” genannt) im Phasenraum zu identifizieren. Dies sind Mengen von Punkten im
Phasenraum, die unter der Zeitentwicklung auf sich selbst abgebildet werden. Das bedeutet, dass wenn
man die Zeitentwicklung aller Trajektorien, die in diesen Punkten starten, gleichzeitig betrachtet, diese
Menge auf sich selbst abgebildet wird. Zwei wichtige Arten von invarianten Mengen sollen im Folgenden
kurz vorgestellt werden: Fixpunkte und periodische Bahnen.
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