Klassische Mechanik

Sie hängen von den verallgemeinerten Koordinaten und der Zeit ab, aber nicht von den Geschwindigkeiten.
Zwangsbedingungen, die die Zeit explizit enthalten, heißen “rheonom” (d.h. “fließend”), zeitunabhängige
Zwangsbedingungen heißen skleronom (“starr”). Von den bisher genannten Beispielen ist nur das
Beispiel mit der Perle auf dem rotierenden Draht (2.5) rheonom.
2.1.3 Zwangskräfte
Aufgrund von Zwangsbedingungen gibt es neben den “inneren” (zwischen den Teilen des Systems wirkenden)
und “äußeren” (von außen angreifenden) Kräften noch die sogenannten “Zwangskräfte”, die durch
diejenigen Vorrichtungen ausgeübt werden, die für die Zwangsbedingungen verantwortlich sind. Wenn
z.B. ein Buch auf einem Tisch liegt, übt die Tischfläche auf das Buch eine Zwangskraft aus, die der
Gravitationskraft entgegengerichtet und ebenso groß wie diese ist, so dass das Buch auf dem Tisch ruht.
Wenn es Zwangsbedingungen gibt, müssen diese Zwangskräfte in den Newtonschen Bewegungsgleichungen
berücksichtigt werden:
mi ¨ ri = Fi + Zi , (2.11)
wobei Fi die Summe aus den äußeren und inneren Kräften darstellt und Zi die Zwangskraft auf das
i-te Teilchen. Allgemeine Regeln zur Bestimmung der Zwangskräfte werden wir später formulieren. Für
den Fall, dass wir es mit zeitunabhängigen Zwangsbedingungen zu tun haben (wie Berandungen, Verbindungsstangen,
etc.), gilt die Regel, dass die Zwangskräfte insgesamt keine Arbeit verrichten dürfen. Wenn
sie es täten, wäre der Energieerhaltungssatz verletzt und man könnte ein Perpetuum mobile bauen. Da
den Berandungen und Stangen etc. keine Energie zugeführt wird, können sie auch keine abgeben.
Um diese Bewegungsgleichungen zu lösen, muss man die Zwangskräfte entweder berechnen oder eliminieren.
Dies kann man durch ein systematisches Vorgehen wie im Folgenden gezeigt durchführen. Mit
Hilfe der k Zwangsbedingungen kann man die generalisierten Koordinaten auf 3N −k unabhängige Koordinaten
reduzieren und die k Zwangskräfte eliminieren. Allerdings werden die Rechnungen recht schnell
aufwendig, und wir werden im weiteren Verlauf der Vorlesung elegantere Methoden zum Lösen von mechanischen
Aufgaben mit Zwangbedingungen kennenlernen.
Beispiel 1: Teilchen im Kreiskegel Eine Punktmasse m gleitet reibungsfrei auf der Innenseite eines
Kreiskegels. Die Gravitationskraft wirkt in negative z-Richtung.
x
z
ϕ
r
g
y
(Bild stammt von http://www.semibyte.de/dokuwiki/nat/graphiken/physik/teilchen auf kreiskegel)
Die Bewegungsgleichungen (2.11) sind
m¨x = Zx ; m¨y = Zy ; m¨z = Zz − mg .
Wir wählen Zylinderkoordinaten (r, z, ϕ) als generalisierte Koordinaten. Die Zwangsbedingung ist
r − z tan α = 0 ,
wobei α den Winkel der Zylinderwand mit der z-Achse darstellt (nicht im Bild eingezeichnet). Wir wählen
r und ϕ als unabhängige Koordinaten. Dann gilt
(x, y, z) = r(cos ϕ, sin ϕ, cot α) .
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