Klassische Mechanik

Transformation zu finden. Aus 2n gewöhnlichen Differenzialgleichungen für die q und p der Hamiltonschen
Formulierung wurde nun eine partielle Differenzialgleichung für S. Hiermit haben wir eine weitere
Formulierung mechanischer Probleme gefunden. (Nach Newton, d’Alembert, Lagrange und Hamilton ist
das jetzt die fünfte Formulierung.) Es gibt einige mechanische Probleme, die sich recht schnell mit der
Hamilton-Jacobi-Gleichung lösen lassen, da die Hamilton-Jacobi-Gleichung in diesen Problemen sich bei
geeigneter Koordinatenwahl leicht in einen Satz unabhängiger Gleichungen für die einzelnen Koordinaten
separieren lässt. (Wir machen eine solche Separation in der Übungsaufgabe 3 am Ende dieses Kapitels.)
Bespiel: Harmonischer Oszillator
AlseinfachesBeispielbetrachtenwireinenharmonischenOszillator.DerPhasenraumistzweidimensional,
aber weil die Energie erhalten ist, ist jede Trajektorie in einem eindimensionalen Unterraum gefangen.
Die eindimensionalen Probleme lassen sich immer durch eine direkte Integration lösen. Also ist auch die
Hamilton-Jacobi-GleichungfüreindimensionaleSystememiteinernichtexplizitvonderZeitabhängenden
Hamiltonfunktion immer durch eine Integration lösbar.
Für den harmonischen Oszillator ist
Die Hamilton-Jacobi-Gleichung lautet somit
1 1
2 m
H = p2 m
+
2m 2 ω2q 2 .
2 ∂S
+mω
∂q
2 q 2
+ ∂S
∂t
Mit dem Ansatz S = W −Pt können wir die Zeit loswerden und erhalten
2 1 1 ∂W
+mω
2 m ∂q
2 q 2
= P . (12.7)
Auf der linken Seite steht die Hamiltonfunktion. Da sie nicht explizit zeitabhängig ist, ist sie eine Erhaltungsgröße
und identisch mit E, also ist der neue Impuls gegeben durch die Erhaltungsgröße P = E.
Auflösen nach W gibt
∂W(q,E)
= ±
∂q
2mE −m2ω 2q2 = p.
Integration ergibt
und
Q = ∂S ∂W
=
∂E ∂E
q
W(q,E) = mω
q
1
−t =
ω 0
0
dq ′
2E
mω 2 −q ′2
= 0.
2E
mω 2 −q′2 dq ′
−t = 1
ω arcsin
mω2 2E q
−t. (12.8)
(Den Anfangspunkt q0 des Integrals haben wir hier ohne Verlust von Allgemeinheit des in der nächsten
Zeile angegebenen Ergebnisses auf 0 gesetzt.) Damit ist
q(t) =
2E 2E
sin(ω(t+Q)) ≡ sin(ωt+ϕ0).
mω2 mω2 Wir haben also q ausgedrückt durch den neuen “Impuls” P = E und durch die neue Koordinate Q =
ϕ0/ω, die die Anfangsphase festlegt, und durch die Zeit t. Damit haben wir die Bewegungsgleichung
gelöst.
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