Klassische Mechanik

4.4 Energieerhaltung
Da Zwangskräfte in der Lagrangeschen Mechanik eliminiert sind, kann die reale Zwangsarbeit rheonomer
Zwangsbedingungen nicht berücksichtigt werden. Folglich lässt sich für rheonome Zwangsbedingungen
aus L nicht E = konst ableiten, wie das vorige Beispiel zeigt.
Es gilt der folgende Satz: Wenn L nicht explizit zeitabängig ist, ist H konstant und entspricht für
skleronome, holonome Zwangsbedingungen und konservative Kräfte der Gesamtenergie, d.h.,
H = E = T + V . (4.10)
Wir wir gesehen haben, sind aber im Allgemeinen die Bedingungen H = konst und H = E zwei
verschiedene Sachverhalte.
Wir zeigen, dass für konservative Kräfte und zeitunabhängiges L die Hamiltonfunktion H = T + V
ist, indem wir benützen, dass ∂V/∂ ˙qj = 0 ist (woraus ∂L/∂ ˙qj = ∂T/∂ ˙qj folgt), und indem wir T durch
die unabhängigen Koordinaten qj ausdrücken:
T =
Damit ist
N
i=1
mi
2 ˙ r 2 i =
N
i=1
H =
⎛
mi ⎝
2
⎞2
∂ri
˙qj ⎠ =
∂qj j
1 N
∂ri ∂ri
mi ˙ql ˙qj =
2
∂ql ∂qj
j i=1 l
∂T/∂ ˙qj
1 ∂T
˙qj . (4.11)
2 ∂ ˙qj j
j
∂L
˙qj − L =
∂ ˙qj
∂T
˙qj − L = 2T − L = T + V = E .
∂ ˙qj j
Nun haben wir genügend Werkzeuge erarbeitet, um mit Hilfe der Erhaltungsgrößen das Lösen der
Bewegungsgleichungen zu vereinfachen. Wir nehmen wieder das Beispiel des Teilchens im Kreiskegel:
Die Lagrange-Funktion hatten wir schon hergeleitet:
L = T − V = m 2 2 2 2
(1 + cot α) ˙r + r ˙ϕ
2
− mgr cot α .
Sie hängt nicht explizit von ϕ ab, also ist ϕ eine zyklische Variable und
pϕ = ∂L
∂ ˙ϕ = mr2 ˙ϕ = konst (4.12)
eine Erhaltungsgröße. Dies sieht man auch anhand der Bewegungsgleichung (2.15), die ja mr(2 ˙r ˙ϕ+r ¨ϕ) =
d
dt mr2 ˙ϕ = 0 lautet.
Es gibt noch eine zweite Erhaltungsgröße, nämlich die Energie, deren Ausdruck sich von demjenigen
für L nur durch das Vorzeichen des Potenzialterms unterscheidet:
E = T + V = m 2 2 2 2
(1 + cot α) ˙r + r ˙ϕ
2
+ mgr cot α = konst . (4.13)
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