Klassische Mechanik

Wenn J diagonal ist, lauten die Eulerschen Gleichungen
N =
⎛
⎝ I1 ˙ω1
I2 ˙ω2
I3 ˙ω3
⎞
⎠ +
⎛
⎝ ω1
ω2
ω3
⎞
⎠ ×
⎛
⎝ I1ω1
I2ω2
I3ω3
⎞
⎠ =
⎛
⎝ I1 ˙ω1 + ω2ω3(I3 − I2)
I2 ˙ω2 + ω3ω1(I1 − I3)
I3 ˙ω3 + ω1ω2(I2 − I1)
⎞
⎠ . (9.30)
Diese Gleichungen sind nichtlinear und führen damit im Allgemeinen auf komplizierte Bewegungen.
Wir kommen nun zum Kreisel zurück und betrachten daher noch einmal einen rotationssymmetrischen
starren Körper ohne äußere Kräfte (wie in 9.3). Es ist also N = 0 und I1 = I2. Aus der dritten Euler-
Gleichung folgt sofort, dass ˙ω3 = 0 ist. Wenn wir die erste Euler-Gleichung nach der Zeit ableiten und
˙ω2 durch die zweite Euler-Gleichung ausdrücken, erhalten wir
Wir definieren
und erhalten damit
und
(I1 − I3)
¨ω1 + ω1
2ω2 3
I2 1
ω 2 0 = (I1 − I3) 2 ω 2 3
I 2 1
= 0 .
ω1 = A sin(ω0t − φ) (9.31)
ω2 = −A cos(ω0t − φ) , (9.32)
wobei A und φ durch die Anfangsbedingungen festzulegen sind. Die Vektoren ω und L rotieren mit
Frequenz ω0 um die Symmetrieachse. Dies wird in der Literatur auch “Nutation” genannt. Die Frequenz
ω0 ist verschieden von der Präzessionsfrequenz ωP r aus Gleichung (9.19), mit der die Symmetrieachse im
Laborsystem um den Drehimpuls rotiert.
9.6 Der Schwere Kreisel
O
S
Der Kreisel im Schwerefeld ist ein anspruchsvolles Thema der theoretischen Mechanik, und wir beschränken
uns hier auf eine Berechnung der wesentlichen Phänomene. Der Kreisel sei rotationssymmetrisch
um die x3-Achse, und wir definieren
l = OS ,
wobei O der Punkt ist, in dem der Kreisel gestützt wird. Da der Punkt O fest ist, bleiben von den 6
Freiheitsgraden des starren Körpers nur 3 übrig.
Wir wählen 3 Winkel als Freiheitsgrade, die sogenannten “Eulerschen Winkel”:
• θ : Winkel zwischen z-Achse und x3-Achse;
• φ: Winkel zwischen Projektion der x3-Achse auf den Boden und der x-Achse des Laborsystems;
• ψ: Winkel zwischen x1-Achse und der Verbindungslinie von S zur z-Achse (Linie ⊥ x3-Achse) .
79
x3