Klassische Mechanik

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Im anderen Energiebereich, in dem das Pendel überschlägt, ist die neue Koordinate Q einfach eine in der Zeit geeignet gestreckte und gestauchte Funktion ϕ(t), so dass Q gleichförmig in der Zeit anwächst (oder abfällt). Die spezielle Trajektorie, die diese beiden Energiebereiche trennt, lässt sich nicht auf diese Weise transformieren. Der Grund hierfür ist der hyperbolische Fixpunkt, dem sich die Trajektorie im Limes t → ∞ immer mehr annähert, und an dem die Länge des Pfeils, der die Geschwindigkeit der Trajektorien im Phasenraum angibt, Null ist. Bei einer Bewegung auf einem Torus ist die Geschwindigkeit überall von Null verschieden und die Richtung der Bewegung an jedem Punkt eindeutig. Wir folgern also: die Transformation eines durch einen endlichen Energiebereich gegebenen Teils des Phasenraums auf eine gleichförmige Bewegung ist unmöglich, wenn dieser Teil des Phasenraums hyperbolische Fixpunkte enthält. Elliptische Fixpunkte sind harmloser, da sie als ein auf die Größe Null geschrumpfter Torus angesehen werden können. Hyperbolische Fixpunkte haben noch eine weitere wichtige Eigenschaft: Wenn man in ihrer unmittelbaren Umgebung ist und in der instabilen Eigenrichtung rausläuft, entfernt sich die Trajektorie für kleine Zeiten gemäß einer Exponentialfunktion von dem Fixpunkt. BeimPendel(undbeiallenanderenzeitunabhängigeneindimensionalenSystemen)istdieExistenzvon hyperbolischen Fixpunkten harmlos, da sie nur einen einzigen Energiewert betreffen (bzw. für allgemeine eindimensionale Systeme eine endliche Anzahl von Energiewerten in jedem endlichen Energieintervall). Für die Energiebereiche unterhalb und oberhalb der Energie des hyperbolischen Fixpunkts (oder, wenn es mehrere solcher Fixpunkte gibt, für die Energiebereiche zwischen den Fixpunkten) ist eine kanonische Transformation auf Tori möglich. Das System ist also integrabel, benötigt aber für verschiedene Bereiche des Phasenraums verschiedene Transformationen. In höherdimensionalen Systemen ist die Situation komplexer. Auch hier kann keine kanonische Transformation auf eine freie Bewegung durchgeführt werden, wenn der betrachtete Bereich des Phasenraums hyperbolische Fixpunkte (also Fixpunkte mit stabilen und instabilen Eigenrichtungen) enthält. Doch es gibt noch weitere gefährliche Objekte in höherdimensionalen Systemen, nämlich instabile periodische Trajektorien. Ebenso wie Fixpunkte bilden die Punkte einer periodischen Bahn eine invariante Menge im Phasenraum. Wenn wir uns nun noch bewusst machen, dass solche invarianten Mengen nach einer kanonischen Transformation mit der Erzeugenden W(q,α) wieder eine invariante Menge sein müssen, aber dass ein Torus keine instabilen periodischen Bahnen enthält, folgt, dass Phasenraumbereiche, die instabile periodische Bahnen enthalten, nicht auf eine freie Bewegung transformiert werden können. All diese Überlegungen führen uns also zu der Schlussfolgerung, dass die Hamilton-Jacobi-Gleichung lösbar ist, also dass die Dynamik sich auf eine freie Bewegung transformieren lässt, wenn es n Erhaltungsgrößen gibt und wenn es innerhalb der Phasenraumbereiche, die gemeinsam transformiert werden sollen, keine instabilen periodischen Bahnen oder Fixpunkte gibt. Damit sind wir vorbereitet für den Satz von Liouville über integrable Systeme und für den Nachweis, dass nicht integrable Systeme typischerweise chaotisch sind. Aufgaben 1. Führen Sie eine kanonische Transformation mit der Erzeugenden G = i qiPi durch. Wie interpretieren Sie dieses Ergebnis? 2. Zeigen Sie, dass die Transformation Qi = pi, Pi = −qi, K(Q,P,t) = H(−P,Q,t) kanonisch ist. Wie interpretieren Sie dieses Ergebnis? 3. (a) Stellen Sie die Hamilton-Jacobi-Gleichung für das Zentralkraftproblem auf. H = 1 p 2m 2 r 112 pϕ + r2 +V(r)
(b) Separieren Sie zunächst die Zeit ab, so dass Sie eine partielle Differenzialgleichung für W bekommen. Setzen Sie α1 = E und machen Sie den Ansatz W(r,ϕ,E,α2) = W1(r,E,α2) + W2(ϕ,E,α2). Warum funktioniert dieser Ansatz? (c) Formen Sie diese Gleichung so um, dass auf der einen Seite keine ϕ-Abhängigkeit und auf der anderen Seite keine r-Abhängigkeit ist. (d) Da die rechte und linke Seite von verschiedenen Variablen abhängen, müssen sie gleich einer Konstanten sein. Identifizieren Sie diese mit α2 und schreiben Sie die resultierenden Ausdrücke für W1 und W2 auf. Diese Ausdrücke dürfen noch einfache Integrale enthalten. (e) Finden Sie einen Zusammenhang zwischen pϕ und α2. (f) Schreiben Sie das somit erhaltene Ergebnis für S auf und berechnen Sie daraus Ausdrücke für die neuen Koordinaten β1 und β2. 113
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Kapitel 1 Grundlagen: Newtonsche Me
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Der Beschleunigungsvektor ist a =
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Wer lieber zu Fuß rechnet mit expl
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Das Potenzial der Gravitationskraft
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wobei ri ′ die Darstellung des Or
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(b) Berechnen Sie für allgemeine a
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Wenn es k holonome Zwangsbedingunge
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Sie hängen von den verallgemeinert
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Die Zwangsbedingungen sind y1 = 0 u
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Beachte: Die Summanden in (2.22) d
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d.h. im Gleichgewicht verschwindet
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Kapitel 3 Lagrange-Gleichungen zwei
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und erhalten damit die Lagrange-Gle
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3.4 Lagrange-Formalismus mit Reibun
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Wir wählen die x-Achse in v-Richtu
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und und folglich ∂L ′ ∂ ˙ Qj
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und damit und ∂ df ∂f = und ∂
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Auch diese Gleichung können wir au
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Dann haben die neuen Koordinaten qi
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Die Erhaltungsgröße J(r, ˙ r, t)
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Falls sich die Kräfte Qj aus einem
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ist. Durch Vergleich mit (5.2) erke
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4). Wenn man eine Lösung hat, kann
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Ein Massepunkt (1) bewegt sich auf
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Nach diesen Definitionen und Vorüb
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6.3 Verallgemeinerung auf mehrere V
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Wir setzen in Folgenden t1 = 0 und
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wobei wir wieder 1 + y ′2 durch
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Im Folgenden betrachten wir nur noc
Seite 59 und 60: Dieses Gesetz folgt direkt aus der
Seite 61 und 62: ist mit ganzen Zahlen m und n, d.h.
Seite 63 und 64: 2) E3 < E = E2 < 0 ⇒ 0 < ε < 1,
Seite 65 und 66: Kapitel 8 Streuung im Zentralkraftf
Seite 67 und 68: mindestens den Winkel θ0 gestreut
Seite 69 und 70: u. Im Laborsystem geben wir allen O
Seite 71 und 72: Kapitel 9 Starrer Körper In diesem
Seite 73 und 74: Hauptträgheitsachsensystem: Da der
Seite 75 und 76: L Die Winkelgeschwindigkeit um die
Seite 77 und 78: Wenn J diagonal ist, lauten die Eul
Seite 79 und 80: eine Erhaltungsgröße. Der Ausdruc
Seite 81 und 82: Kapitel 10 Schwingungen In diesem v
Seite 83 und 84: 10.1.2 Periodisch getriebener gedä
Seite 85 und 86: 10.2 Schwingungen mit mehreren Frei
Seite 87 und 88: d.h. die Matrix A diagonalisiert si
Seite 89 und 90: Der erste Faktor auf der rechten Se
Seite 91 und 92: (a) Zeigen Sie, dass diese Gleichun
Seite 93 und 94: Hamiltonschen Prinzip (dem Prinzip
Seite 95 und 96: 5. Bestimmen der Hamiltonschen Bewe
Seite 97 und 98: 11.4.1 Trajektorien im Phasenraum D
Seite 99 und 100: Fixpunkte Fixpunkte x ∗ sind Glei
Seite 101 und 102: entfernen sich benachbarte Trajekto
Seite 103 und 104: wobei die Variation an den Anfangs-
Seite 105 und 106: Transformation zu finden. Aus 2n ge
Seite 107 und 108: Den Zeitverlauf Q(t) erhalten wir a
Seite 109: Systeme mit n unabhängigen Erhaltu
Seite 113 und 114: Der Integrationsweg ist innerhalb d
Seite 115 und 116: (Bemerkung: Das Produkt θJ ′ ist
Seite 117 und 118: 13.5 Was bedeutet das anschaulich?
Seite 119 und 120: Kapitel 14 Das Entstehen von Chaos:
Seite 121 und 122: dass der elliptische Fixpunkt von T
Seite 123 und 124: über den Stoß und die Vereinfachu
Seite 125 und 126: Abbildung 14.5: Trajektorien der St
Seite 127 und 128: Downloaded from rspa.royalsocietypu
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