Klassische Mechanik

Wir haben also drei Lagrange-I-Gleichungen und eine Zwangsbedingung zur Bestimmung der 4 Unbekannten
z(t), r(t), ϕ(t), λ(t). Wenn man die Unbekannten bestimmt hat, hat man auch die Zwangskräfte:
Zz = −λ(t) tan α Zr = λ(t) , Zϕ = 0 .
Zur Lösung dieser Gleichungen kann man zunächst die Zwangskraft samt einer der drei Variablen (z.B.
z) eliminieren und die Bewegungsgleichungen für die nun unabhängigen verbleibenden Variablen r und ϕ
lösen. Hierzu kann man die Zwangsbedingung in der Form ¨z = ¨r cot α in die erste Lagrange-I-Gleichung
einsetzen (das gibt m(¨r cot α + g) = −λ tan α) und dann hierzu die mit tan α multiplizierte zweite
Lagrange-I-Gleichung addieren. Dies gibt
(tan α + cot α)¨r − r ˙ϕ 2 tan α + g = 0 .
Zusammen mit der dritten Lagrange-I-Gleichung haben wir wieder die schon bekannten Bewegungsgleichungen
ermittelt. Wenn man r(t) und ϕ(t) berechnet hat, kann man dann über die Zwangsbedingung
auch z(t) bestimmen und über eine der drei Lagrange-I-Gleichungen dann λ(t). Dann hat man auch Zz
und Zϕ.
5.3.2 Rollpendel
Im Folgenden stellen wir die Lagrange-Gleichungen erster Art für das Rollpendel auf und bestimmen einen
Zusammenhang zwischen der Zwangskraft, die die Schiene ausübt, und der Zwangskraft, die der Faden
ausübt. Die Lagrange-Gleichungen zweiter Art für das Rollpendel haben wir in Abschnitt 3.3 aufgestellt.
Die beiden Zwangsbedingungen lauten
und
f1(x1, y1, r, ϕ) = y1 = 0
f2(x1, y1, r, ϕ) = r − l = 0 .
Nur zwei der insgesamt 8 partiellen Ableitungen der beiden Zwangsbedingungen nach den 4 Variablen
sind von Null verschieden. Diese partiellen Ableitungen entsprechen den Koeffizienten aij aus (2.8), und
die beiden von Null verschiedenen Koeffizienten sind
Die Lagrange-Funktion ist
T − V = m1
2
∂f1
∂y1
= a12 = 1 und ∂f2
∂r = a23 = 1 .
2
˙x 1 + ˙y 2 m2 2
1 + ˙x 2 + ˙y
2
2 2 − m1gy1 − m2gy2 ,
bzw ausgedrückt durch die verallgemeinerten Koordinaten r und ϕ statt x2 = x1 + r sin ϕ und y2 =
y1 − r cos ϕ:
L = m1 + m2
2
2
˙x 1 + ˙y 2 m2 2 2 2
1 + ˙r + r ˙ϕ + 2 ˙r ( ˙x1 sin ϕ − ˙y1 cos ϕ) + 2r ˙ϕ ( ˙x1 cos ϕ + ˙y1 sin ϕ)
2
−m1gy1−m2g(y1−r cos ϕ) .
Die Lagrange-Gleichungen lauten nach Einsetzen der Zwangsbedingungen:
Lx1 : (m1 + m2)¨x1 + m2l( ¨ϕ cos ϕ − ˙ϕ 2 sin ϕ) = 0 (5.8)
Ly1 : m2l( ¨ϕ sin ϕ + ˙ϕ 2 cos ϕ) + (m1 + m2)g = λ1 = ZSchiene (5.9)
Lr : m2(¨x1 sin ϕ − l ˙ϕ 2 − g cos ϕ) = λ2 = −ZF aden (5.10)
Lϕ : m2l(¨x1 cos ϕ − l ¨ϕ + g sin ϕ) = 0 . (5.11)
Die erste und letzte dieser Gleichungen sind die Bewegungsgleichungen für x1 und ϕ, die wir schon früher
hergeleitet haben. Für den Fall px1 = 0 berechnen wir in den Übungen eine Lösung (Aufgabe 2 zu Kapitel
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